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八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）.行程问题：基本公式：路程=速度times;时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c.工程问题基本公式：工作量=工时times;工效.d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水. 14植树问题1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:株数=段数=全长divide;株距全长=株距times;株数株距=全长divide;株数全长=株距times;株数株距=全长divide;株数 15盈亏问题(盈+亏)divide;两次分配量之差=参加分配的份数(大盈-小盈)divide;两次分配量之差=参加分配的份数(大亏-小亏)divide;两次分配量之差=参加分配的份数 16相遇问题相遇路程=速度和times;相遇时间第 2 页共 2 页⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,⑶如果在非封闭线路的两端都不要植那:株数=段数+1=全长divide;株距-1 全长=株距times;(株数-1) 株距=全长divide;(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样: 树,那么:株数=段数-1=全长divide;株距-1 全长=株距times;(株数+1) 株距=全长divide;(株数+1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下：株数=段数=全长divide;株距相遇时间=相遇路程divide;速度和速度和=相遇路程divide;相遇时间 17追及问题追及距离=速度差times;追及时间追及时间=追及距离divide;速度差速度差=追及距离divide;追及时间18流水问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度静水速度=(顺流速度+逆流速度)divide;2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)divide;219浓度问题溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量divide;溶液的重量times;100%=浓度溶液的重量times;浓度=溶质的重量溶质的重量divide;浓度=溶液的重量20利润与折扣问题利润=售出价-成本利润率=利润divide;成本times;100%=(售出价divide;成本-1)times;100% 涨跌金额=本金times;涨跌百分比折扣=实际售价divide;原售价times;100%(折扣1)利息=本金times;利率times;时间税后利息=本金times;利率times;时间times;(1-20%)。
适用精选文件资料分享八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）. 行程问题：基本公式：行程 =速度 × 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 . b. 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法 .c. 工程问题基本公式：工作量 =工时 × 工效 .d. 顺流逆水问题 v 顺流 =v 静水 +v 水. v 逆水 =v 静水 -v 水. 14 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情况 : 株数 =段数 =全长 ÷ 株距全长 =株距 × 株数株距 =全长 ÷ 株数全长=株距 × 株数株距 =全长 ÷ 株数 15 盈亏问题 ( 盈+亏)÷ 两次分配量之差 =参加分配的份数 ( 大盈 - 小盈 )÷两次分配量之差 =参加分配的份数 ( 大亏 - 小亏 )÷ 两次分配量之差=参加分配的份数 16 相遇问题相遇行程 =速度和 × 相遇时间第 2 页共 2 页⑴假如在非封闭线路的两端都要植树 , ⑶假如在非封闭线路的两端都不要植那 : 株数 =段数 +1=全长 ÷ 株距 -1 全长 =株距×( 株数 -1) 株距 =全长 ÷( 株数 - 1) ⑵假如在非封闭线路的一端要植树 , 另一端不要植树 , 那就这样 : 树, 那么 : 株数 =段数 -1= 全长÷ 株距 -1 全长 =株距 ×( 株数 +1) 株距=全长 ÷( 株数 +1) 2 封闭线路上的植树问题的数目关系以下：株数 =段数 =全长 ÷ 株距相遇时间 =相遇行程 ÷速度和速度和 =相遇行程 ÷ 相遇时间 17 追及问题追及距离 = 速度差 × 追及时间追及时间 =追及距离 ÷ 速度差速度差=追及距离 ÷ 追及时间 18 流水问题顺流速度 =静水速度 +水流速度逆流速度 =静水速度 - 水流速度静水速度 =( 顺流速度 +逆流速度)÷2 水流速度 =( 顺流速度 - 逆流速度 )÷2 19 浓度问题溶质的重量 +溶剂的重量 =溶液的重量溶质的重量 ÷ 溶液的重量 ×100%=浓度溶液的重量 × 浓度 =溶质的重量溶质的重量 ÷ 浓度 =溶液的重量 20 利润与折扣问题利润 =售出价- 成本利润率 =利润 ÷ 成本 ×100%=( 售出价 ÷成本 -1)×100% 涨跌金额 =本金 × 涨跌百分比折扣 =实质售价 ÷ 原售价 ×100%( 折扣 <1) 利息 =本金 × 利率× 时间税后利息 =本金 × 利率 × 时间适用精选文件资料分享×(1-20%)。
鲁教版（五四制）初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习1、分式的概念普通地，假设A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即事先，分式才有意义；〔4〕判别一个代数式能否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能依据它的原本面目停止判别。
例如：关于来说，，我们不能由于是整式，就判别也是整式，理想上是分式。
2、分式有意义、有意义，分式的值为零的条件〔1〕分式有意义的条件是分式的分母不为0；〔2〕分式有意义的条件是分式的分母为零；〔3〕分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成局部，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
假设分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，那么分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
〔4〕假设没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这特性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能疏忽〝〞这一条件. 如，变形时，必需满足2x+1≠0。
〔2〕分式的基本性质要求〝同乘〔或除以〕一个不等于0的整式〞即分式的分子、分母要做相反的变形，要防止只乘〔或除以〕分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘〔或除〕以的整式必需相反。
〔3〕在运用分式的基本性质停止分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有能够发作变化。
第二章 分式与分式方程一. 分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。
如果B 中含有字母，那么称BA 为分式，其中A 成为分式的分子，B 称为分式的分母。
且B ≠0。
二.分式有无意义的条件：1. 有意义：分母B ≠0，与分子无关； 2. 无意义：分母B=0，与分子无关；三. 分式的值为零的条件： 1. 分子等于零；2. 分母B ≠0，两者缺一不可。
四. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即M B M A B A ⋅⋅= )0(≠÷÷=M M B M A B A 五. 分式的变形：（一）约分:根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的结果必须是整式或最简分式。
（二）最简分式(分子和分母没有公因式的分式称为最简分式)。
（三）通分:根据分式的基本性质，异分母分式可以化为同分母的分式，这种变形称为分式的通分。
注：约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.知识链接：整数指数幂运算性质（1）a m a n =am+n （m ，n 是正整数)； （2）(a m )n =a mn （m ，n 是正整数）； （3）(ab)n =a n b n （n 是正整数）； （4）a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 是正整数，ｍ＞ｎ）； （5）n b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n ba （n 是正整数）； （6）n a -=n a 1（a ≠0，n 是正整数）；特别地，当a ≠0时，a 0=1．十. 分式的混合运算：式中有乘方、除法运算，应先算乘方，再算除法，最后算加减.十一. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
十二. 分式方程（组）的解法。
1、解分式方程（组）的指导思想2. 分式方程的增根与无解增根不是分式方程的根，是能使最简公分母为零，且满足分式方程去分母后转化成整式方程的根。
2019版八年级数学上册第二章分式与分式方程分式方程
1教案鲁教版五四制
课题分式方程
课
型新授
审核签
字
序
号
1
学习目标与重难点1．了解分式方程的概念，和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
认知难点与突破方法
恰当具
体可测
媒体
运用多媒体
整合点
准确恰
当
教学思路
解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分
式方程化成整式方程，所以教学时应注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思
想，同时要适当复习一元一次方程的解法．至于解分式方程时产生增根的原因只让学生
了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法.
要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是
“去分母”，即方程两边统称最简公分母.
要让学生掌握解分式方程的一般步骤：
具体明
晰
导语设计1、以前我们学过什么方程？（一元一次方程和二元一次方程）
2、你可以分别举一个例子吗？
3、你还记得一元一次方程的解法吗？（出示方程，引导学生回忆旧知识。
）
这节课我们学习一种新的方程——分式方程
精炼灵
活紧扣
学习目
标
板书设计分式方程知识结
构纲要。
分式与分式方程小结与复习
考点呈现
考点1 分式的意义
例1 （2013年成都）要使分式
51
x -有意义，则x 的取值范围是（ ）
A. x ≠1
B. x ＞1
C. x ＜1
D. x ≠－1
解析：要使分式51x -有意义，需满足x －1≠0，解得x ≠1.故选A. 点评：要使分式有意义，必须满足其分母不等于0，从而构造出不等式，进而求得字母的取值范围.
考点2 分式的性质
例2（2013年滨州）化简3a a
，正确的结果为（ ） A.a B.a 2 C.a －1 D.a －2
解析：分式的分子与分母都含有因式a ，运用分式的基本性质约
去分子与分母的公因式a 即可，3a a
＝a 2.故选B. 点评：分式约分的依据是分式的基本性质，约分时，首先要确定分子与分母的公因式，然后约去公因式.
考点3 分式的运算
例3（2013年聊城）计算(22444x x x -+-－2x x +)÷12
x x -+. 解：(22444x x x -+-－2x x +)÷12x x -+＝[()()()2
222x x x -+-－2x x +]÷12
x x -+
＝(22x x -+－2x x +)÷12x x -+＝－22x +×21x x +-＝－21
x -. 点评：本题属于分式的混合运算，求解时除了要注意运算的顺序外，还应讲究一定的技巧，同时还应避免因符号带来的困扰.
考点4 分式的化简求值
例4 （2013年乐山）化简并求值：(
1x y -+1x y +)÷222x y x y --，其中x ，y 满足|x －2|+(2x －y －3)2＝0.
解：(
1x y -+1x y +)÷222x y x y --＝()()()()x y x y x y x y ++-+-÷222x y x y -- ＝()()
2x x y x y +-·()()2x y x y x y +--＝22x x y -. 因为x ，y 满足|x －2|+(2x －y －3)2＝0，所以x －2＝0且2x －y －3＝0，则x ＝2，2x －y ＝3. 所以原式＝22x x y -＝43
. 点评：有关分式的求值问题是历年中考的常考题型，而且经常与其他知识结合在一起，有时还设计创新型试题，同学们在学习时一定要注意体会.
考点5 解分式方程
例5 （2013年宁波）解方程：31x -＝1
x x -－5. 解：方程两边乘（x-1），得－3＝x －5（x －1）.
解得x ＝2.
检验：当x ＝2时，x-1≠0.
所以，原分式方程的解为x ＝2.
点评：解分式方程去分母时，一定要注意整式项也必须乘以最简公分母，求得的解一定要检验.
考点6 用分式方程解应用题
例6 （2013年郴州）乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150 kg ，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不太好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全倍售出，前后一共获利750元.求小李所进乌梅的数量.
分析：先设小李所进乌梅的数量为x kg ，根据前后一共获利750元，列出方程求解即可．
解：设小李进了x kg 乌梅，根据题意，得
3000300040%15020%(150)750x x x
⨯⨯-⨯⨯-=. 解得x =200.
经检验，x =200是原分式方程的解，且符合题意.
答：小李所进乌梅的数量是200 kg.
点评：本题意在考查用分式方程解决实际问题，求解时一定要认真分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的内在联系.
误区点拨
例1 若A 、B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）。
A.
E B E A B A ⋅⋅=（E 为整式） B.E B E A B A ++=（E 为整式） C.()()
1122+⋅+⋅=x B x A B A D. ()()2211+⋅+⋅=x B x A B A
错解：A.
剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
故B 选项明显不对。
E 和2)1+x （均可能为零，所以A 、D 选项错误。
C 选项中112≥+x ，故应选C.
正解：C
例2 若方程
08242=---x x x ，则=x 。
错解：±4.
剖析：若分式为0，则分子为0且分母不为0，分母若为0，分式无意义，所以04=-x 且0822≠--x x ，即4-=x ,所以检验
也是做题的重要步骤之一。
正解：-4.
例3 x 取何值时，分式
6522+++x x x 有意义？ 错解：原式=
()()31322+=+++x x x x ，即03≠+x ，得3-≠x ，所以3-≠x 时，分式6
522+++x x x 有意义。
剖析：本题约去分母中的2+x ，但无法确定2+x 不为零，使得未
知数x 的范围扩大，导致有漏解的现象，错于约分。
正解：由32,0652-≠-≠≠++x x x x 且即，所以32-≠-≠x x 且时，分式
6
522+++x x x 有意义。
例4 计算()()11122
2+⨯+÷-x x x x x
错解：原式=1
21122-=+÷-x x x x x . 剖析：分式的混合乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺
序依次计算，不可因为计算简便而颠倒顺序，导致结果出
现错误。
正解：原式=()()()1242112111222
22-++=-+=+⨯+⨯-x x x x x x x x x x . 跟踪训练
1. 化简x
y y y x x -+-22的结果是（ ） A.y x -
B.y x +
C.1
D.22y x - 2. 求()()
x x x x x x --÷+-22646522的值是（ ） A.1
B.-1
C.x
D.-x 3. 使代数式3
4223+-÷--x x x x 有意义的x 的值是（ ） A.31-≠≠x x 且
B.31±≠≠x x 且
C.431≠-≠≠x x x 且且
D.431≠±≠≠x x x 且且 4.若65=x y ，则=+y
y x )3(2 . 5.m= 时，方程23
32+-=--x m x x 产生增根。
6.先化简，再求值：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++÷-+n n m m n mn m n m 222，其中m=20，n=15。
7.先化简，再求值：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-÷++-12112222m m m m m m m m ，其中m 满足012=--m m 。
8.暑假期间，小灰灰请喜洋洋和懒洋洋去狼堡做客，喜洋洋决定
步行，懒洋洋选择骑自行车，喜洋洋每小时比懒洋洋少走1千米，喜洋洋决定提前一天出发，结果喜洋洋与懒洋洋同时到达狼堡，已知羊村到狼堡相距144千米，求喜洋洋与懒洋洋每小时各走多少千米？
跟踪训练
参考答案
B .1 A .2
C .3 5
42.4 1-.5 6．原式
()()()()()()()()()n
m n n m mn n m m n m mn n m n m m n m mn n m m n n m m n m -=+⨯-+=+÷-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷-+=2222222 15,20==n m 315
2015=-=-=
∴n m n 原式. 7.原式 ()()()()()
()112111211212121211222
222222+=-+⨯+-=+-÷++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-÷++-=m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ∵m 满足012=--m m ∴12+=m m 即：原式=11
112=++=+m m m m . 8.解：设喜洋洋每小时走x 千米，则懒洋洋每小时走()1+x 千米，且1天=24小时。
由题意，得241
144144=+-x x 解得：3,221-==x x 经检验3,221-==x x 都为方程的根，但是32-=x 不符合题意要求，舍去，
即：3121=+=+x .
答：喜洋洋每小时走2千米，懒洋洋每小时走3千米。
