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信息光学习题答案
第一章
线性系统分析
1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性 .
（ 1） g x
d
f x ;
（ 2） g x f x dx ; dx
（ 3） g x
f x ; （4）
g x
f
h x
2
d ;
（ 5）
f exp j 2 d
解：（ 1）线性、平移不变； （ 2）线性、平移不变；
（ 3）非线性、平移不变；
（ 4）线性、平移不变； （ 5）线性、非平移不变。
1.2
证明 comb
x
comb( x) exp( j x) comb( x)
2
证明：左边＝ comb
x
x
n
1
( x 2n) 2
( x 2n)
2
n
2
n
2
n
右边 comb( x) comb( x) exp( j x)
( x n)
exp( j x) (x n)
n
n
( x n)
exp( jn ) ( x
n)
n
n
( x n)
( 1) n ( x n)
n
n
当 n 为奇数时，右边＝ 0，当 n 为偶数时，右边＝ 2
( x
2n)
n
所以当 n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明
(sin x) comb( x)
证明：根据复合函数形式的
δ函数公式
n
( x x i
)
,
[ h( x)]
h ( x i ) 0
i 1 h ( x i )
式中 x i 是 h(x)=0 的根， h ( x i ) 表示 h(x) 在 x x i 处的导数。于是
( x n)
(sin x)
n
comb(x)
1.4 计算图题 1.1 所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x) 。当 -1≤ x≤ 0 时，如图题1.1(a) 所示，
1 x
)d 1 1 x 1 x3
g( x) (1 )(1 x
0 3 2 6
图题 1.1
当0 < x ≤ 1 时，如图题 1.1(b) 所示，
g( x) 1 )(1 x )d 1 1 x 1 x 3
(1
x 3 2 6
1 1 x 1 x3, 1 x 0
3 2 6
即g( x) 1 1 x 1 x3, 0 x 1
3 2 6
0, 其它
1.5 计算下列一维卷积。
（ 1）(2x 3) rect x 1
（ 2）rect
x 1
rect
x 1 2 2 2
（3）comb(x) rect ( x)
解：（ 1）(2x 3) rect x 1
1 x 3 rect
x 1 1
rect
x
2.5 2 2 2 2 2 2
（2）设卷积为g(x) ，当 x≤ 0 时，如图题 1.2(a)所示，
g (x) x 2 x 2
d
当 0 < x时，如图题 1.2(b)所示
图题 1.2
g ( x) 2
2 x
x
d
1
x
x 0
,
g ( x) 2 2
1 x x 0
,
2
即g ( x)
x 2
2
（ 3）comb( x) rect (x) 1
1.6 已知exp( x 2 ) 的傅立叶变换为 exp( 2 ) ，试求
（ 1）exp x2 ? （ 2）exp x 2 / 2 2 ? 解：设 y x, z 即exp( y2 ) exp( 2 )
由坐标缩放性质 f (ax, by) 1
, 得F
b
ab a
（ 1）exp x 2 exp( y2 / exp( z2 ) exp( 2 2 )
（ 2）exp x 2 / 2 2 exp y 2 / 2 2
2 exp( 2 2 z2 ) 2 exp( 2 2 2 )
1.7 计算积分 . （ 1 ）sin c 4 x dx ? （ 2 ）sin c 2 x cos xdx ?
解：应用广义巴塞伐定理可得
（ 1）sin c2(x)sin c2( x)dx ( ) ( ) d 0 ) 2 d 1 ) 2 d 2
(1 (1
1 0 3
（ 2）sin c 2 ( x) cos xdx 1 ( ) 1 d ( ) 1 d
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1.8 应用卷积定理求 f x sin c x sin c 2x 的傅里叶变换.
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解：当
sin c( x) sin c( 2x)sin c( x)sin c(2 x) 1 rect ( ) rect
2 2
3 1
1.3(a)所示，
2
时，如图题
2
1 1 3
G ( ) 2 du
2 1 2
当1 1
1.3(b) 所示，
2
时，如图题
2
1 1
1
2du 1
G( )
2 2
当1 3
时，如图题 1.3(c)所示，
2 2
G (
1 1
1 du
3
)
2
2 2
2G( ξ)的图形如图题 1.3(d)所示，由图可知
G (
3 1
)
3 / 2
4 1 / 2
4
图题 1.3
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1.9
设 f x exp x ， 0 ，求
f x
?
f x dx ?
exp(
x )
exp( x) exp( j 2 x)dx
exp(
x) exp(
j 2 x)dx 解：
2
exp(
x ) dx
2 2
2
( 2 )2 2
(2 )2
1.10 设线性平移不变系统的原点响应为
h x exp x step x ，试计算系统对阶跃
函数 step x 的响应 .
解：由阶跃函数定义
1, x 0 step( x)
得
0,
x 0
线性平移不变系统的原点响应为
h x
exp x step x exp x , x 0
所以系统对解阶跃函数
step x 的响应为
g(x) step(x) h( x) exp[ (x
)]d 1
exp( x), x
1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为
h 1 x sin c x 和
h 2 x sin c 3x .试计算各自对输入函数
f x cos2 x 的响应
g 1 x 和
g 2 x .
解：
1.12 已知一平面波的复振幅表达式为
U ( x, y, z) A exp[ j ( 2x 3y 4z)]
试计算其波长 λ以及沿 x, y, z 方向的空间频率。
解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
U ( x, y, z) a exp( j k ? r ) a exp[ jk ( x cos y cos z cos )]
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由题可知， k cos 2, k cos
3, k cos 4 又因为 cos 2
cos 2
cos 2
1
所以 k
29
波长为
2
2
k
29
沿 x, y, z 方向的空间频率为
cos
1 ,
cos
3 ,
cos
2
2
1.13 单色平面波的复振幅表达式为
U x, y, z
Aexp j
1 x
2 y
3 z
14
14
14
求此波在传播方向的空间频率以及在
x, y, z 方向的空间频率 .
解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
U ( x, y, z) a exp( j k ? r ) a exp[ jk ( x cos
y coszcos )]
由题可知， k cos
1 , k cos
2 , k cos 3
14 14
14
又因为 cos 2 cos 2
cos 2
1
所以 k
1
波长为
2 2
k
沿 x, y, z 方向的空间频率为
cos
1 cos
1 cos 3 2
,
14
,
14
14
2
第三章
光学成像系统的传递函数
3.1 参看图 3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数
(3.1.5) 式时，对于积分号前的相位
因子
exp j
k 2 2
exp k
x i 2 y i 2 x 0
y 0
j
M 2
2d 0
2d 0 试问：（ 1）物平面上半径多大时，相位因子
exp j
k x 02 y 02
2d 0
相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（ 2）设光瞳函数是一个半径为 a 的圆， 那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是
多少？
（ 3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么 a , λ和 d o 之间存在什么关
系
WORD 格式 .可编辑时可以弃去相位因子
exp j k
x02 y02 2d0
解：（ 1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是
k ( x o2 y o2 ) kr o2 , r o d o
2d o 2d o
（ 2）根据
h( x o , y o ; x i , y i ) 1 P( x, y) exp j 2
[( x i Mx o )x ( y i My o ) y] dxdy
2 d o d i d i
1
P( x, y) exp 2
[( x i
~ ~
) y] dxdy
2 d o d i j x o ) x ( y i y o
d i
相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点~ ~
( x o , y o )
h( x o , y o ; x i , y i )
1
P(x, y) exp j
2
[( x i
~
)
2
( y i
~ 2
] dxdy 2d o d i d i x o y o )
1 ~ circ r 1 aJ1 (
2 a )
B
a 2 d o d i
2 d o d i
式中 r x2 y 2，而
2 2 x i
~ 2
y i
~ 2
x o y o （ 1）
d i d i
在点扩散函数的第一个零点处J1 (2 a o ) 0 ，此时应有 2 a o 3.83，即
o 0.61
(2) a
将(2) 式代入 (1) 式，并注意观察点在原点( x i y i 0) ，于是得
r o 0.61 d o
(3)
a
（ 3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献 h(x o , y o ;0,0) 。按照上面的分析，如果略去h 第一个零点以外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近
r o 0.61 d o / a 范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子exp[ jkr o2 / 2d o ] 变化不大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，
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则 kr o 2 / 2d o
, r o 2 d o /16 ，也即
16
a 2.44 d o
（4）
例如 λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径 a ≥ 1.46mm ，显然这一条件是极易满足的。
3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为
t x o , y o
1
1
cos2 f o x o
2
2
放在图 3.1.1 所示的成像系统的物面上， 用单色平面波倾斜照明， 平面波的传播方向在 x o z 平
面内，与 z 轴夹角为θ。透镜焦距为
f ,孔径为 D 。
（ 1） 求物体透射光场的频谱；
（ 2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；
（ 3） 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝
0 时
的截止频率比较，结论如何？
解：（ 1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为
Aexp( jkx 0 , sin ) ，为确定起见
设θ > 0 ，则物平面上的透射光场为
U o ( x o , y o ) Aexp( jkx o , sin )t( x o , y o )
A sin
1
j 2 x o f o sin
1
sin
exp j 2 x o
exp exp j 2 x o f o 2
2
2
其频谱为
A( , ){U o ( x o , y o )}
A sin
1 sin 1 f o sin
2
2
f o
2
由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了
sin θ / λ 距离。
（ 2 ）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率
c
D / 4 f ，于是要求
sin
D , D f o sin
D
4 f
4 f
4 f
由此得
D sin
D （ 1）
f o
4 f
4 f
θ角的最大值为
max
arcsin
D （ 2）
4 f
此时像面上复振幅分布和强度分布为
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U i (x i , y i ) A
exp j 2 x i D [1
1
exp( j 2 x i f o )] 2 4 f 2
I i ( x i , y i ) A2 5
cos 2 f o x 4 4
（ 3）照明光束的倾角取最大值时，由(1) 式和 (2) 式可得
f o
D D
4 f 4 f
即 f o
D
或 f o max
D
(3) 2 f 2 f
θ＝ 0 时，系统的截止频率为 c D / 4 f ，因此光栅的最大频率
f o max c
D
(4) 2 f
比较 (3) 和 (4) 式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
3.3 光学传递函数在0 处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于
1 吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？
解：在
H I ( , ) h I ( x i , y i ) exp[ j 2 ( x i , y i )]dx i dy i
（ 1）
( , )
H I (0,0)
h I ( x i , y i )dx i dy i
式中，令
h I (x i , y i )
h(x i , y i )
h I ( x i , y i ) dx i dy i
为归一化强度点扩散函数，因此(1) 式可写成
( , ) h( x i , y i ) exp[ j 2 ( x i , y i )]dx i dy i
而(0,0) 1h(x i , y i )dx i dy i
即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。
（2）不能大于 1。
（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数 1，即系统对任何频率的传
递都是无损的。
3.4当非相干成像系统的点扩散函数h I x i , y i成点对称时，则其光学传递函数是实函
数.
解：由于 h I ( x i , y i ) 是实函数并且是中心对称的，即有 h I ( x i , y i )h I ( x i , y i ) ，h I (x i , y i ) h I ( x i ,y i ) ，应用光学传递函数的定义式
h I ( x i , y i ) exp[ j 2 ( x i , y i )]dx i dy i
H I ( ,)
( , )
H I (0,0)
h I ( x i , y i )dx i dy i
易于证明( , )( , ) ，即 ( , ) 为实函数
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，
出瞳到像面的距离为 d i，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率
近似为多大？
解：用公式
S( , )
( , ) 来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因S0
此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时 N 个小孔的重叠面积除以N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一
样的，即截至频率约为 2a / d i，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波。
第四章部分相干理论
4.1 若光波的波长宽度为λ，频率宽度为ν，试证明：
v
。设光波波长为v
632.8nm, 2 10 8 nm ，试计算它的频宽ν= ? 若把光谱分布看成是矩形线型，
则相干长度 l c ?
证明：因为频率与波长的关系为 c v (其中 c 为光速 )
对上式两边求导得dc vd dv 0
所以dv d v v v v v
因632.8 nm, 2 10 8 nm
c v
v v 2
c
v
所以v 1.5 104赫
有因为相干长度l c ct c
l c c 2.0 104 (m)
v
4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为1 589nm, 2 589.6nm 的钠双线，每一谱线的宽度为 0.01nm .
（1）试求光场的复相干度的模；
（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？
（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？
解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为
1 v v1 v v2
?(v) rect rect
2 v v v
（ 1）光场的复相干度为
( )?( v) exp( j 2 v )dv
1
sin c( v ) exp( j 2 v1 )[1 exp( j 2 v )]
2
式中v v2v1，复相干度的模为
( ) sin c( v ) cos v )
由于，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子
是τ的快变化周期函数。相干时
间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在
c 1/ v c
的地方，τ即为相干时间，故相
干
长度
c 2 2
l c c c
v
(2) 可见到的条纹总数N l c 5893
58930
0.1
（ 3）复相干度的模中第二个因子的变化周期1/ v ，故
可见度的变化周期n c v 6
60 v 0.1
每个周期内的条纹数N 58930
n 60 982
4.3 假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为
? v 1
N 1 / 2
式中，
ν是纵模间隔， v 为中心频率。为简单起见，假定
N 为奇数。
（ 1）证明复相干度的模为
( )
sin( N v )
N sin( v )
（ 2）若 N ＝ 3，且 0≤τ≤ 1/ v ，画出
与 ντ的关系曲线。
（ 1）证明：复相干度函数为
( )
?
(v) exp( j 2 v )dv
得
N 1
( )
N n
exp( j 2
N sin N N sin
所以复相干度得模为
( )
1 / 2
v v n v exp( j 2 v ) dv
N 1 / 2
v )
N 1 / 2
exp( j 2 n v )
n
N 1 / 2
v
exp( j 2 v )
v
sin(N v )
N sin( v )
（ 2）当 N=3 时，复相干度的模为
sin(3 v ) ( )
v )
3sin( 4.4 在例 4.7.1 所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为
a ，强度相等的准单色
点光源代替，试计算此时的复相干系数。
解：应用范西泰特－策尼克定理得
I 0
a a exp
j
2
d d
(d )
2
2
z
a
a
I 0
d
2
2
cos a
d
z
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4.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为
z 的平面上任意两点
P 和
1
P 2 之间的复相干系数μ (P 1 ,P 2) .
解：设光源所在平面的坐标为
α ，β；孔平面的坐标为 x ,y 。点 P 1
2
的坐标为 (x 1
1
和 P
,y )
和(x 2 ,y 2) 。对于准单色点光源，其强度可表为
I ( , ) I 0 (
1
, 1
)
在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得
exp( j
)
I 0 (
1
,
1 ) exp
j 2
( x
y ) d d
z ( P 1 , P 2 )
I 0 ( 1
, 1 )d d
exp j 2 (x 2
2
y 22
x 1
2
y 12
) exp j 2 ( x 1
y
1
)
z
z
因为 ( P , P )
1 ,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说
x,y 面上的相干面
1
2
积趋于无限大。
第六章
计算全息
6.1 一个二维物函数 f ( x, y) ，在空域尺寸为 10× 10mm ，最高空间频率为 5 线 /mm ，为了制
作一张傅里叶变换全息图：
(1) 确定物面抽样点总数 .
(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？
(4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？ 解： (1) 假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为
x,
y ；频宽为
2B x ,2B y . 根据抽样定理， 抽样间距 δ x, δ y 必须满足 δ x ≤ 1/2B x , δ y ≤ 1/2B y 才能使物复原。
故抽样点总 N(即空间带宽积 SW)为
N
x ? y x y( 2B x )(2B y ) SW 10 10 (2 5) (2 5) 10 4
y y
(2) 罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位
置来编码物光波在该点的振幅和相位。 根据抽样定理， 在物面上的抽样单元数应为物面的空
间带宽积，即 N
SW 10 4 。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应
保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为N 10 4
.
(3) 对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频
α 应满足 α≥ B x
为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足 δ x ≤ 1/2B x , δ y ≤ 1/2B y 。因此其抽样点数
为
N
x ? y x y(4B x )(2B y )
10 10 20 10
2 10 4
(4)两种编码方法的抽样点总数为 2 倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元
编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。
修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负
值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。
6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息
图的抽样频率 .
解：设物的频宽为 (2B x ,2 B y )
(1) 对于频宽α的选择光学离轴，由图 6.2.5(b) 可知，3B x
修正离轴，由图 6.2.5(d) 可知，B x 载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。
(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择
光学离轴全息，由图 6.2.5(c) 可知：
在 x 方向的抽样频率应8B x，即x方向的抽样间距x 1/ 8B x。
在 y 方向的抽样频率应4B，即x方向的抽样间距y 1/ 4B。
修正离轴全息，由图 6.2.5(e) 可知：
在 x 方向的抽样频率应 4B x ，即 x 方向的抽样间距 x 1/ 4B x 。 在 y 方向的抽样频率应 2B y ，即 x 方向的抽样间距
y
1/ 2B y 。
6.3
一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏 (Huang) 法，这种方法在偏置项中
加入物函数本身，所构成的全息函数为
h(x, y)
1
( , y ) 1 cos[2 ax ( , )]
A x
y
2
(1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.
(2)
画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频
.
解：把全息函数重写为
h(x, y)
1
A( x, y) 1
A( x, y) exp[ j (x, y)] exp( j 2 x)
2 4
1
A( x, y) exp[ j (x, y)] exp( j 2 x)
4
物函数为
f ( x, y) A( x, y) exp[ j ( x, y)]
并且归一化的，即
A( x, y) max 1，参考光波 R ＝ 1。经过处理后的振幅透过率为
t( x, y) t o
1 A(x, y)
1
j 2 x)
2 A(x, y) exp[ j (x, y)] exp(
4
1 A( x, y) exp[ j (x, y)] exp( j 2
x)
4
t o
1 1 f ( x, y) exp(
j 2 x)
1 (x, y) exp( j
2 x)
2
A( x, y)
f
4
4
其频谱为
T ( , )
t o ( , )
1 1 F (
1 F (
, )
F ( , )
, )
2
4
4
(1) 设物的带宽为 2B x ,2B y ，如图题 6.3(a) 所示。全息函数的空间频谱结构如图题 6.3(b) 所示，载频
2B x 。
(2) 黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c) 所示，由此可得出：
在 x 方向的抽样频率应 6B x ，即 x 方向的抽样间距 x 1/ 6B x 。 在 y 方向的抽样频率应
2B y ，即 x 方向的抽样间距 y 1/ 2B y 。 抽样点数即空间带宽积为 N
x y
SW
12xyB x B y .
x y
黄氏计算全息图的特点：
(1)占用了更大的空间带宽积 ( 博奇全息图的空间带宽积SW 8xyB x B y ) ，不具有降低空间带宽积的优点。
(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。
6.4罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题 6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.
解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用 A x 来编码振幅A(x,y) ，用d x来编码相位( x, y) ，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题 6.4(a).
对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度的矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔。两矩孔之间的
距离 A x 是变化的，用这个变化来编码振幅A(x,y) 。在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量 d x 用作相位( x, y) 的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了( x, y) 的大小，如图题 6.4(b)所示。
第八章空间滤波
8.1利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干
照明下的最小分辨距离公式比较。
解：显微镜是用于观察微笑物体的，可对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距
近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点为
上。设物镜直径为 D ，焦距为 f ，如图 8.1
所示。对于相干照明，系统的截止频率由物
镜孔径的最大孔径角θo 决定，截止频率为
sin o /
。从几何上看，近似有
sin o D / 2 f 。截止频率的倒数的倒数即
为分辨距，即
c
2 f 0.61
o D
sin sin o
非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。
8.2 在 4f 系统输入平面放置 40mm-1的光栅，入射光波长 632.8nm 。为了使频谱面上至少能够获得± 5 级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm，求透镜的焦距和直径。
解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d，透光部分为a，则其透过率函数可表为
f (x 1 )
rect x 1 md rect
x
a
x 1 md
m
a m
rect
x 1
comb x
a
d d
其频谱为
F ( )
f (x 1 ) rect
x 1 1 x
1`
a d
comb
d
a sin c( a )comb( d a
m
)
sin c(a )
d
m
d
a
ma ) m
d sin c(
d
m d
即谱点的位置由
x 2 / f
m / d
决定，即 m 级衍射在后焦面上的位置由下式确定：
x m f / d
相邻衍射斑之间的间距
x f / d
由此得焦距 f 为
xd 2 / 40 79(
)
f
6328 10 7
mm
5 级衍射斑对应于能通过透镜的最
物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的±
大空间频率应满足
sin
1 D /
2 5
d
于是求得透镜直径
D 10 f
10 x
20( mm)
d
8.3 观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不
透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟 <<1 弧度，求所观察到的像强度
(用
物体的相位延迟表示出来 )。
解：相位物体的透过率为
t( x 1 , y 1 ) exp[ j (x 1 , y 1 )] 1 j ( x 1 , y 1 )
其频谱为
T ( , )
1
j ( x 1 , y 1 )
( , )
j ( , )
若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，
滤掉零频背景分量， 则透过的频
谱为
T M ( , ) j ( , )
再经过一次傅里叶变换 (在反演坐标系 )得
t M ( x 3 , y 3 )
j ( x 3 , y 3 )
强度分布为
因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布， 实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。
8.4 当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于
α(0< α<1)时，
求观察到的像强度表示式。
解：相位物体的频谱为
现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个± π/2 的相移，即滤波器的透过率表达式为
j
,
在
的小范围内
H ( ,
)
其它
1,
于是
T M ( , )
H ( , )T( , ) j ( , ) j ( , ) 像的复振幅分布为 t M ( x 3 , y 3 )
j
j ( x 3 , y 3 )
像强度分布为
I ( x 3 , y 3 )
j
2
2
j ( x 3 , y 3 )
( x 3 , y 3 )
2 2
( x 3 , y 3 ) 2
( x 3 , y 3 )
2
2 ( x
3 , y 3 )
像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。
8.5 用 CRT(阴极射线管 )记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为 0.2mm ，图像
最高空间频率为 10mm -1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器
的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何 ( 设傅立叶变换物镜的焦距
f ＝
1000mm ,λ=632.8nm) 。
解：扫描点的表达式为
f ( x 1 , y 1 )
m
n
x 1 mx 0 , y 1 ny 0
其频谱为
F ( , )
exp[ j 2 ( mx 0
ny 0 )] m n
1
(
m / x 0 ,
n / y 0 )
x 0 y 0 m n
1
x 2 m y 2 n
x 0 y 0
(
f
,
f
)
m n
x 0 y 0
在上式的化简中应用了公式
exp( j 2 nax)
1 x n
a n
a
n
由此可见， 点状结构的频谱仍然是点状结构， 但点与点之间的距离不同。 扫描点频谱出现的
位置为
x 2 m , y 2 n
f
x 0 f
y 0
点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为
1.常用的非初等函数：矩形函数、Sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函 数。 2.δ函数的定义：a.类似普通函数定义b.序列极限形式定义c.广义函数形式定义 δ函数的性质：a.筛选性质 b.坐标缩放性质 c.可分离变量性 d.与普通函数乘积性质 4.卷积，性质：线性性质、交换律、平移不变性、结合律、坐标缩放性质 5.互相关，两个函数f(x,y）和g(x,y)的互相关定义为含参变量的无穷积分 6.惠更斯-菲涅尔原理：光场中任意给定曲面上的诸面元可以看作是子波源，如果这些子 波源是相干的，则在波继续传播的空间上任意一点处的光振动都可看作是子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。 7.基尔霍夫理论：在空域中光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上 的场分布则等于他们所发出的带有不同权重的因子的球面子波的相干叠加。 8.角谱理论：孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单 色平面波分量的线性组合。 9.点扩散函数：面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做~。 10.菲涅尔衍射成立的充分条件： 传递函数： 11.泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透 明片后的某些距离上出现该周期函数的现象，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为~。 12.夫琅禾费衍射： 13.衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。 14.单色信号的复表示：去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分。 多色信号的复表示： 16.如果两点处的光扰动相同，两点间的互相干函数将变成自相干函数。 18.光学全息：利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，使物光 波前的全部信息都储存在记录介质中，做记录的干涉条纹图样被称为“全息图”，当用光波照射全息图时，由于衍射原理能能重现出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维像，这个波前记录和重现的过程成为~ 19.+1级波（虚像），-1级波（实像），±1级波（赝像） 20.从物光与参考光的位置是否同轴考虑：同轴全息、离轴全息。 从记录时物体与全息图片的相对位置分类：菲涅尔全息图、像面全息图、傅里叶变换全息图。 从记录介质的厚度考虑：平面全息图、体积全息图。 21.菲涅尔全息图：记录平面位于物体衍射光场的菲涅尔衍射区，物光由物体直接照到底片 上 傅里叶全息图：物体或图像频谱的全息记录。
初一上学期动点问题练习 1.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； 解：（1）由题意得点B表示的数为－6；点P表示的数为8－5t； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图） 则AC=5，BC=3， ∵AC－BC=AB ∴5－3="14" 解得：=7， ∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q； （3）没有变化．分两种情况： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB="7" ②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP－NP= AP－BP=(AP－BP)=AB="7" ∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7； 2.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=______，PC=______． （2）当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离． 解：（1）PA=t，PC=36-t； （2）当16≤t≤24时PQ=t-3（t-16）=-2t+48， 当24＜t≤28时PQ=3（t-16）-t=2t-48， 当28＜t≤30时PQ=72-3（t-16）-t=120-4t， 当30＜t≤36时PQ=t-[72-3（t-16）]=4t-120． 3.已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A 的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______；（2）用含t的代数式
第五章 习题解答 5．1两束夹角为 θ = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm ，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。 答：已知：θ = 450，λ= 632.8nm ，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式 2 d sin （θ/2）= λ 其中d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录 在干板上的全息光栅空间频率为 f x = （1/d ）= （1/λ）·2 sin （θ/2）= 1209.5 l /mm 故全息光栅的空间频率为1209.5 l /mm 。 5．2 如图5.33所示，点光源A （0，-40，-150）和B （0，30，-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉： x z 图5.33 （5.2题图） （1） 写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式； 答：设：点源A 、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为U A 和U B ， 则有 ()[{]}2 2--22 )()()/(e x p e x p A A A A A A y y x x z jk jkz a U += ()[{]}22--22)()()/(exp exp B B B B B B y y x x z jk jkz a U += 其中: x A = x B = 0, y A = -40, z A = -150, y B = 30, z B = -100; a A 、a B 分别是球面波的振幅；k 为波数。 （2） 写出干涉条纹强度分布的表达式； I = |U A +U B |2 = U A ·U A * + U B ·U B * +U A *·U B + U A ·U B *
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。 求动点轨迹的常用方法 动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。 1. 直接法 （1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。 依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN -=,所以 (x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45 。动点M 的轨迹是一条直线。 2. 定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。 例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：082 2=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹 方程。 解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。 若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以 ∣M C ∣-∣M P ∣=±4 动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。 动点的轨迹方程为： 3. 相关点法 若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则 将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-= ∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ
B 卷 第 1页 蚌埠学院2013—2014学年第二学期 《信息光学》期末考试试题（B ） 注意事项：1、适用班级：11级光信息科学本 2、本试卷共1页。满分100分。 3、考试时间120分钟。 4、考试方式：“闭卷” 一、选择题（每小题3分，共24分） 1、Sinc 函数常用来描述（ ）的夫琅和费衍射图样 A 、圆孔 B 、矩形和狭缝 C 、三角形 D 、其它形状 2、卷积运算有两种效应，一种是展宽，还有一种就是被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑，这种效应是（ ） A 、锐化 B 、平滑化 C 、放大化 D 、缩小化 3、函数rect(x)rect(y)的傅立叶变换为（ ） A 、),(ηεδ B 、1 C 、)(sin )(sin ηεc c D 、)sgn()sgn(ηε 4、光学成象系统类似一个（ ）滤波器，它滤掉了物体的高频成分，只允许一定范围内的低频成分通过系统，这正是任何光学系统不能传递物体全部细节的原因。 A 、高通 B 、低通 C 、带通 D 、带阻 5、光学传递函数是非相干光学系统中（ ）的付里叶变换。 A 、复振幅点扩散函数 B 、光强 C 、强度点扩散函数 C 、相干点扩散函数 6、衍射受限成像系统，出瞳是边长为l 的正方形，则相干传递函数的截止频率是（ ） A 、i c d l λρ2= B 、i c d l λρ22= C 、i c d l λρ2= D 、i c d l λρ= 7、()x rect 的自相关函数的峰值出现在（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 8、通过全息技术可以记录物体的全息图，光波再次照明全息图。由于（ ）可产生 物体全部信息的三维象。 A 、干涉效应 B 、衍射效应 C 、投影效应 D 、其它效应 二、名词解释（每小题5分，共20分） 1、线性移不变系统 2、光学传递函数 3、脉冲响应，点扩散函数 4、傅立叶变换全息 三、计算题（每小题5分，共15分） （1）() )1(142-*-x x δ （2）)4()23 ( -*+x x rect δ （3）求)()6 (61)(x rect x comb x f *=的频谱函数 四、综合题（共41分） 1、单色平面波的复振幅表达式为()????????? ??++=z y x j A z y x U 14314214 1exp ,,，求此波在传播方向的空间频率以及ζηε,,。（10分） 2、用单位振幅的单色平面光波垂直照射一半径为1的圆孔，试分析其夫琅禾费衍射光场的光强分布。 (已知夫琅禾费衍射公式)],([2exp )exp(1),(0002 2y x U z y x jk jkz z j y x U F ????? ? ?+=λ）（12分） 3、设有一透镜带有一mm 2020?的方形光阑，像距为mm 40，设入射波长为m μ6328 .0，试求：在相干光照明下，该透镜的相干传递函数和截止频率。（10分） 4、制作一全息图，记录时用的是氩离子激光器波长为488.0nm 的光，而成像时则是用He-Ne 激光器波长为632.8nm 的光：设,10,2,00cm z z z z r p ==∞=问i z 是多少？放 大率M 是多少？（已知1012121-??? ? ??±=z z z z r p i λλλλ 1 20101--=p r z z z z M λλ ）（9分） 装 订 线 内 不 要 答 题
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.
（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）
《光学》期中测试 一、单项选择题. (3×10=30分) 1． 如图，S 1、S 2 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别 为r 1 和r 2 ，路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 2 ，折射率 为n 1的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2折射率为n 2 的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的 光程差等于 [ B ] （A ）（r 2+n 2t 2）－(r 1+n 1t 1)； （B ）[r 2+(n 2－1)t 2－[r 1+(n 1－1)t 1 ]； （C ）(r 2－n 2t 2)－(r 1－n 1t 1)； （D ）n 2t 2－n 1t 1。 2． 如图所示，折射率为n 2 、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方 的透明介质的折射率分别为n 1和n 3 。已知n 1< n 2 < n 3 λ束①与②的光程差是 [ A ] （A ）2 n 2e ； （B ） 2 n 2e - ? λ ； （C ） 2 n 2e - λ ； （D ） 2 n 2e - ? n 2 λ。 3．用白光源进行杨氏双缝干涉实验，若用一个纯红色的滤光片遮盖一条缝，用一个纯蓝色滤光片 遮盖另一条缝，则 [ D ] （A ）纹的宽度将发生改变； （B ）产生红色和蓝色的两套彩色干涉条纹； （C ）干涉条纹的亮度将发生变化； （D ）不产生干涉条纹。 4． 把一平凸透镜放在平玻璃上，构成牛顿环装置当平凸透镜慢慢的向上平移时， 由反射光形成的牛顿环 [ B ] （A ） 向中心收缩，条纹间隔变小； （B ） 向中心收缩，环心呈明暗交替变化； （C ） 向外扩张，环心呈明暗交替变化； （D ） 向外扩张，条纹间隔变大。 5．在单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度b 稍稍变宽，同时使单缝沿y 轴正方向作为微小位移， 则屏幕上的中央衍射条纹将 [ C ] （A ） 变窄，同时向上移； （B ） 变窄，同时向下移； （C ） 变窄，不移动； （D ） 变宽，同时向上移； （E ） 变宽，不移动。 S S ① 3
圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N
25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． A B E F C D O A B E F C D O
25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1 的半径； （3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
名词解释 单色平面波 波函数E 取余弦或正弦形式，对应的光波等相面为平面，且等相面上个点的扰动大小时刻相等的光波称为单色平面波。 光学全息 利用光的干涉原理将物体发出的特定光波以干涉条纹形式记录下来，使物光波前的全部信息都贮存在记录介质中形成全息图，当用适当光波照射全息图时，由于光的衍射原理能重现原始物光波，从而形成与原物相同的三维像的过程称为光学全息。 色模糊 由于波长不同而产生的像的扩展的现象叫做像的色模糊。 范西泰特—策尼克定理 指研究一种由准单色（空间）非相干光源照明而产生的光场的互强度，特别指研究干涉条纹可冗度。 11222(,) exp()2(,;,)(,)exp ()()j J x y x y I j x y d d z z ψπαβαβαβλλ+∞-∞?? = -?+??????? 其中 22 2222221121[()()]()x y x y z z ππψρρλλ= +--=- 12ρρ分别是点11(,)x y 和点22(,)x y 离光轴的距离 基元全息图 指单一物点发出的光波与参考光波干涉所形成的全息图。 彩虹全息 只利用纪录时在光路的适当位置加一个夹缝，使再现的同时再现狭缝像，观察再现像将受到狭缝再现像的调制，当用白光照明再现时，对不同颜色的光波，狭缝和物体的再现像位于不同颜色的像，犹如彩虹一样的全息图。 判断 1.衍射受限系统是一个低通滤波器。 2.物 000(,)x y μ通过衍射受限系统后的像分布(,)i i i x y μ是000(,)x y μ的理想像和点扩散 (,)i i h x y 的卷积。 3.我们把(,)H ξη称为衍射受限系统的想干传递函数。 4.定义：()()f x h x 为一维函数，则无穷积分 ()()()()() g x f h x d f x h x ααα+∞ -∞ =-=*? 5.二维卷积 (,) (,)(,)(,)(,)(,) g x y f h x y d d f x y h x y αβαβαβ+∞-∞= --=*?? 6.1,()()() ,x x x x x a rect rect a a a a a o ?-≤?*==Λ???其他 7.透镜作用 成像；傅里叶变换；相位因子。
第一章激光的基本概念 §1.1时间相干性和空间相干性 １．相干时间 ２．相干面积 ３．相干体积 §1.2光波模式和光子状态 １．光波模式 ２．光子及其状态 §1.３光与物质的相互作用 １．光与物质相互作用的三过程(自发辐射受激吸收受激辐射)２．爱因斯坦系数间的关系 ３．光子简并度 ４．激光器与起振条件 第二章腔模理论的一般问题 §2.1变换矩阵 １．变换矩阵的基本性质 ２．变换矩阵各元素的意义 §2.2腔的稳定性问题 １．稳定性条件 ２．等效方法 §2.3腔的本征模式 §2.4腔的损耗 1. 平均单程损耗因子 2．光子在腔内平均寿命 3．无源谐振腔的品质因数Q 4．本征振荡模式带宽 第三章稳定球面腔 §3.1共焦腔的振荡模 §3.2光斑尺寸和等价共焦腔 §3.3衍射损耗及横模选择 §3.4谐振频率，模体积和远场发散角第四章高斯光束 §4.1 厄米高斯光束和拉盖尔高斯光束§4.2 高斯光束的q参数 第五章非稳定腔 §5.1 非稳定腔的谐振模 §5.2 几何放大率和功率损耗率 §5.3 单端输出虚共焦腔的设计 第六章电磁场和物质相互作用 §6.1 线性函数 1. 定义 2.自然加宽和碰撞加宽N 3. 多普勒加宽
4. 综合加宽 §6.2 速率方程组 1.三能级系统 2.四能级系统 第七章增益饱和与光放大 §7.1 发射截面和吸收截面 §7.2 小信号增益系数 §7.3 均匀加宽工作物质的增益饱和 1. 反转集居数的饱和 2. 均匀加宽大信号增益系数 §7.4 非均匀加宽工作物质的增益饱和 1. 加宽大信号增益系数 2. 强光作用下弱光的增益系数 第八章激光振荡理论 §8.1激光器的振荡阈值,阈值反转集居数密度 §8.2连续激光器或长脉冲激光器的阈值泵浦功率§8.3多模激光器 §8.4 频率牵引 第九章激光的半经典理论 §9.1处理方法 §9.2 密度矩阵 1.定义 2.性质 §9.3 集居数运动方程迭代解 1. 静止原子的单模理论 2. 运动原子的单模理论 3. 静止原子的多模理论 4. 环形激光器 5. 塞曼激光器 第十章激光的量子理论 §10.1 辐射场的量子化 §10.2 相干态 §10.3 相干态的几个性质 §10.4 约化密度矩阵 §10.5 原子和辐射场的相干作用 §10.6 主方程 §10.7 振荡阈值和增益饱和 §10.8 光子统计 §10.9 内禀线宽 §10.10 激光场的光强涨落 第十一章相干光学瞬态效应 §11.1 二能级系统和辐射场相互作用 §11.2 相干瞬态光学过程 §11.3 相干双光子过程
七年级上学期期末动点问题专题 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|． （1）求线段AB的长． （2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值． （3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN 的值不变，②|PM﹣PN|的值不变． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）PA=_________；PB=_________（用含x的式子表示） （2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点， AB=14． （1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度； （2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关； （3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；② 的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．
4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C 在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200． （1）若BC=300，求点A对应的数； （2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）； （3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动 到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．
中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半
径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D．
动点例题解析及答案
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初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。
《光学》试题 4 页，五道大题，满分为100分，请考生仔细检查，以免漏答。 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．波长为400nm和800nm的两条谱线的瑞利散射强度之比为： （A）2 （B）16 （ C）4 （ D）32 ［］ 2．全息照片记录的是 (A) 被拍照物体表面光波光强的分布． (B) 拍照物体表面光波相位的分布． (C) 物光与参考光的干涉图样． (D) 被拍照物体的像． (E) 被摄物体的倒立实像．［］ 3．一束自然光以布儒斯特角入射于平板玻璃,则： (A)反射光束是垂直于入射面振动，而透射光束平行于入射面振动，并都为线偏光. (B)反射光束是平行于入射面振动的线偏振光，而透射光束是部分偏振光. (C)反射光束是垂直于入射面振动的线偏振光，而透射光束是部分偏振光. (D)反射光束和透射光束都是部分偏振光. ［］ 4．在单缝夫琅禾费衍射实验中，若增大缝宽，其他条件不变，则中央明条纹 (A)宽度变小. (B) 宽度变大. (C) 宽度不变，且中心强度也不变. (D) 宽度不变，但中心强度变小．［］ 5．仅用一个偏振片观察一束单色光时，发现出射光存在强度为最大的位置（标出此方向MN），但无消光位置．在偏振片前放置一块四分之一波片，且使波片的光轴与标出的方向MN平行，这时旋转偏振片，观察到有消光位置，则这束单色光是 (A) 线偏振光．(B) 椭圆偏振光． (C) 圆偏振光. （D）自然光.
二、填空题（每小题3分，共24分） 1． 能量为2电子伏特的光子频率为 。 （e=1.6310-19 C ，Js h 34 10 63.6-?=） 2. 一束单色光波在折射率为n 的介质中由A 点传播到B 点，位相改变了2π，问光程改变了_______________________。 ３． 光栅衍射中，欲使双缝夫琅禾费衍射的中央峰内恰好含有11条干涉条纹，则缝宽和缝间距需要满足什么条件______________________。 ４． 用波长λ=632.8nm 的光源照明迈克耳孙干涉仪测量长度时，发现一镜移动一段距离后，干涉条纹移动2000条，这段距离为______________mm 。 ５． 如图所示的劈形薄膜，当上表面BB’平行地向上移动时，条纹将向 移动。 6． 用波长为λ的单色光垂直照射折射率为n 2的劈形膜,各部分折射率的关系是n 1＜n 2＜n 3．观察反射光的干涉条纹，从劈形膜尖开始向右数第5条明条纹中心所对应的厚度e ＝____________________． 7． 一束单色线偏振光沿光轴方向通过厚度为l 的旋光晶体后，若旋光晶体对该 光的旋光率为α，则线偏振光的振动面发生，旋转的角度的表示式为_________． 8. 激光器的基本结构包括三部分，即________________、______________和 __________________． 8小题，共56分） 6分) 若空气中一均匀球形透明体能将平行光束会聚于其背面的顶点上，此透明体的折射率应等于多少？
初中数学动点集 一、线段和、差中的动点 （一）利用垂线段最短的性质解决最大（小）值的问题 1.如下图所示，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P 为AB 上的一动点，且PE⊥AC 于E，PF ⊥BC 于F，则线段EF 长度的最小值是。 2.如图所示，在菱形ABCD 中，过A 作AE⊥BC 于E，P 为AB 上一动点，已知 13 5 AB BE ，EC=8，则线段PE 的长度最小值为。 3.如图所示，等边△ABC 的边长为1，D、E 两点分别在边AB、AC 上，CE=DE，则线段CE 的最小值为。 4.如右图所示，点A 的坐标为（0,22-），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时， 点B 的坐标为。
5.在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+m与y轴交于点A，与直线y=-x+4交于点B（3，n），p为直线y=-x+4上一动点。 （1）求m，n的值 （2）当线段AP最短时，求点p的坐标。 2。 6.已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=30 试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最短，则此时AM+NB=。 （二）利用三点共线的特征解决最大（小）值的问题 1.如图所示，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且BE=1，P是对角线AC上任意一点，则 PE+PB的最小值是。 2.如图所示，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN 的最小值是。
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是。 4.如图1所示，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA上两个动点（不与C、D、A重合），满足DF=AE。直线BE、AF相交于点G，则有BE=AF，BE⊥AF；如图2所示，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点（不与D、A重合），依然有BE=AF，BE⊥AF； 若在上述的图1与图2中，正方形ABCD的边长为4，随着动点F、E的移动，线段DG的长也随之变化。在变化过程中，线段DG的长是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由。（要求：分别就图1、图2直接写出结论，再选择其中一个图形说明理由）