第五章 习题解答
5．1两束夹角为 θ = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm ，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。
答：已知：θ = 450，λ= 632.8nm ，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式
2 d sin （θ/2）= λ
其中d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录 在干板上的全息光栅空间频率为
f x = （1/d ）= （1/λ）·2 sin （θ/2）= 1209.5 l /mm
故全息光栅的空间频率为1209.5 l /mm 。
5．2 如图5.33所示，点光源A （0，-40，-150）和B （0，30，-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉：
x
z
图5.33 （5.2题图）
（1） 写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式；
答：设：点源A 、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为U A 和U B ，
则有 ()[{]}2
2--22
)()()/(e x p e x p A A A A A A y y x x z jk jkz a U +=
()[{]}22--22)()()/(exp exp B B B B B B y y x x z jk jkz a U +=
其中: x A = x B = 0, y A = -40, z A = -150, y B = 30, z B = -100;
a A 、a B 分别是球面波的振幅；k 为波数。
（2） 写出干涉条纹强度分布的表达式；
I = |U A +U B |2 = U A ·U A * + U B ·U B * +U A *·U B + U A ·U B *
[{]
{[]}}[{]
{
[]}}--2---2-4
--2--2--4
42222222
222)()()/()()()/(exp )exp()()()/()()()/(exp )exp(B B B A A A B A B A B B B A A A B A B A B A y y x x z jk y y x x z jk jkz jkz a a y y x x z jk y y x x z jk jkz jkz a a a a ++•+++++•++=（3）设全息干板的尺寸为100 × 100 mm 2，λ = 632.8nm ，求全息图上最高和最低空间频率；说明这对记录介质的分辨率有何要求？
解答：设全息干板对于坐标轴是对称的，设点源A 与点源B 到达干板的光线的最大
和最小夹角分别为θmax 和θmin ，A 、B 发出的到达干板两个边缘的光线与干板的夹角分别为θA 、θB 、θA ’和θB ’，如图所示，它们的关系为
θ A = tg -1[z A /（-y A - 50）] ，θ B = tg -1[z B /（-y B - 50）]
θA ’= tg -1[z A /（y A - 50）] ，θ
B ’= tg -1[z B /（y B - 50）] θmax =θ A -θB ， θmin =θ B ’-θA ’
根据全息光栅记录原理，全息图上所记录的
最高空间频率 f max = （2/λ）sin （θ
max /2）·cos α 1 最低空间频率 f min = （2/λ）sin （θmin /2）·cos α 2
其中α角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角，由几何关系可知
cos α 1 = sin （θ A +θB ）/2 ， cos α 2 = sin （θA ’+θB ’）/2
将数据代入公式得 f max = 882 l /mm ，f min = 503 l /mm
故全息图的空间频率最高为882 l /mm ，最低为503 l /mm ，要求记录介质的分辨率不得
低于900 l /mm 。
5.3 请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅耳全息图。
（1）为什么不能用白光再现？试证明如图5.7所记录和再现的菲涅耳全息图的线模糊和色模糊的表达式（5.26）和（5.28）；
（2）为什么全息图的碎片仍能再现出物体完整的像？碎片尺寸的大小对再现像质量有哪些影响？
（3）由全息图再现的三维立体像与普通立体电影看到的立体像有何本质区别？ 答：（1）首先证明（5.26）式，当0
1λμλ==。即记录光与再现光波长相同时，（5.21）式变为：0000i c r i c r
i c r i c r x x x x l l l l y y y y l l l l =+-=+-
当再现光源没有展宽，即0C ∆=，一个点光源的像的展宽，(,)i i I x y ∆∆∆与参考光源的展宽(,)i i R x y ∆∆∆，成正比，即：
()i R
i r
I R l l ∆∆= 同样，当参考光源没有展宽，再现光源的展宽(,)c c C x y ∆∆∆也与像的展宽成正比 ()i c
i c
I C l l ∆∆= 参考光源与再现光源同时存在微小展宽其最后结果展宽是两者之和为：
()()i i i R c
I I I ∆=∆+∆
i r r R C l l l ⎛⎫∆∆=+ ⎪⎝⎭ 此即式（5.26）。对于色模糊，由图5.8可以看出：i l λθ∆=⋅∆
色散角与波长成一定函数关系，由于波长范围λ∆产生的色散角为：
i
x θθλλ∂∆=∆∂ 因而有i
x i I l λθλλ∂∆=∆∂
