2019北京师范大学附属中学高三第三次质量检测数 学(理)

高考数学一轮复习讲练测Word版含解析专题6.4 数列求和1．（2019届湘赣十四校高三联考）已知数列{}n a的通项公式为12nna-=，数列{}nb满足*221221log()log logn nn nb a n Na a++=+∈⋅，则数列{}n b的前10项和为（）A．50511B．50711C．61511D．61711【答案】A【解析】∵212log log2nna n+==，∴()21221111log log11n na a n n n n++==-⋅++，∴()1111nb nn n⎛⎫=-+-⎪+⎝⎭∴()11111012...11...2231nS nn n⎡⎤⎡⎤=++++-+-+-++-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦()11121n nn-⎛⎫=+-⎪+⎝⎭322n nn+=+，310101050520211S+==+.故选A。

2．（福建省三明市2019年高三质检）已知正项数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，()2*121n na S n n+=++∈N，设数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n T，则n T的取值范围为（）A．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B．(0,1)C．1(,1)2D．21100m2Bx at==【答案】D【解析】因为2121n na S n+=++，所以()2122n na S n n-=+≥，因此()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，即()2211n n a a +=+，又{}n a 为正项数列，所以11n n a a +=+，故数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，()*n N ∈因此()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为*n N ∈，所以112n T ≤<. 故选D 。

一、选择题1．已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)2．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-3．等差数列{a n }中的a 2、a 4030是函数321()4613f x x x x =-+- 的两个极值点，则log 2（a 2016）=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，设()()x f x F x e=则不等式()21F x e <的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞6．设12x <<，则ln x x ，2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ln x x 的大小关系是（ ） A ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．222ln ln ln x x x x x x⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（ ） A ．()(0)a f a e f > B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)a f a e f =D ．()(0)a f a e f ≤9．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤11．若121x x >>，则（ ） A ．1221x xx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x >D ．2112ln ln x x x x <12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___． 14．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 15．函数()()2ln 23f x x x =++在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为____________.16．若函数()sin 2xxf x e ex -=-+，则不等式()()2210f x f x -+>的解集为________.17．记函数(),,2ln ,0,xx s eH x x x s x⎧≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩若对任意的实数k ，总存在实数m ，使得()=H m k成立，则实数s 的取值集合______.18．若函数的()1,2ln ,x m x e f x x x x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是______.19．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______. 20．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题21．已知函数)(21ln 2f x x ax x =-+有两个极值点)(1212,x x x x <． （1）求a 的取值范围； （2）求证：21>x 且)(2132f x x <-． 22．已知函数()()ln 0af x x a a x=-+>． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值； （2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数；（3）若1x ∀、()21,x e ∈，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，试写出a 的取值范围.（只需写出结论）23．设函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈. （1）若函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =，求m 的值；（2）若()0,x π∀∈，()0f x >恒成立，求m 的取值范围. 24．已知函数()ln f x x ax =-，()2g x x =，a R ∈.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 25．已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+.（1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 26．已知函数()xf x ax e =-(a R ∈，e 为自然对数的底数). （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥-，()232f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=， 因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >； 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<， 所以不等式()0f x >的解集为(1,2021). 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式构造函数()ln ()g x xf x =，利用导数判断其单调性是本题解题关键.2．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．A解析：A 【解析】2240302016220162()86084,log log 42f x x x a a a a =-+=∴+=⇒='== ，选A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，注意利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.4．B解析：B 【详解】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系.5．B解析：B 【解析】 ∵()()xf x F x e=∴2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e''--'== ∵对任意实数都有()()0f x f x -'> ∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数 又∵()11f e= ∴21(1)F e =∴不等式()21F x e <等价于()(1)F x F < ∴不等式()21F x e <的解集为(1,)+∞ 故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<，构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.6．A解析：A 【解析】 试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.7．C解析：C 【解析】 函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．8．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()x f x g x e=，求导可知()g x 单调递增，比较(),(0)g a g 的大小，可得()f a 和(0)a e f 的大小关系.【详解】解：令()()x f x g x e =，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e--==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增；因为0a >，所以()(0)g a g >，即0()(0)af a f e e>，即()(0)a f a e f >. 故选：A. 【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.9．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C10．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立，得23,3x a a -≤∴≥-， 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值， 所以，可知()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220ax x+=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 11．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．a≥﹣1【分析】将函数f （x ）在（0）上单调递减转化在（0）上恒成立即在（0）上恒成立再求最大值即可【详解】因为函数f （x ）在（0）上单调递减所以在（0）上恒成立即在（0）上恒成立因为所以所以所以故解析：a ≥﹣1．【分析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x--'=≤在（0，2π）上恒成立 ， 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥- 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可. 【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x e x e x f x --=+-=+=，所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-， 因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->， 故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数. 因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤. 故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.15．【分析】利用导数求得函数的单调性进而求得极值和区间端点处的函数值值找出函数的最大值和最小值即可【详解】解：由题得的定义域为由得或因为所以时单调递增；时单调递减；所以为极小值点且又因为又所以所以所以故 解析：5ln 716+【分析】利用导数求得函数的单调性，进而求得极值和区间端点处的函数值值，找出函数的最大值和最小值即可. 【详解】解：由题得()f x 的定义域为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， ()22(1)(21)22323x x f x x x x ++'=+=++ 由()0f x '=得，1x =-或12x =-,因为31,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增；31,42x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以12x =-为极小值点，且11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又因为339ln 4216f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，171ln 4216f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又13711ln ln 2044322f f ⎛⎫⎛⎫--=->->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以max 171()ln 4216f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以()min 11ln 224f x f ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭. 所以max min 7115()()ln ln 2ln 7216416f x f x +=+++=+. 故答案为：5ln 716+. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的最值，属于中档题.16．【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为利用单调性可得自变量的大小关系解不等式可求得结果【详解】由题意得：为上的奇函数且不恒等于零在上单调递增等价于解得：故答解析：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x ->-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.【详解】由题意得：()()2sin2xx f x ee xf x --=--=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos2x x f x e e x -'=++,2x x e e -+≥，2cos 22x ≤，()0f x '∴≥且不恒等于零 ()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+>等价于()()()221f x f x f x ->-=-221x x ∴->-，解得：()1,1,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.17．【分析】由题意得的值域为R 求出在单调递增其值域为然后求导求出函数的值域通过求解和的值域并分析是否满足题意可推出实数s 的取值集合【详解】因为对任意的实数总存在实数使得成立所以的值域为R 函数在单调递增其解析：【分析】由题意得()H x 的值域为R ，求出2x y e=在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2se +∞，然后求导，求出函数ln xy x=的值域，通过求解s e >和0s e <≤的值域，并分析是否满足题意，可推出实数s 的取值集合. 【详解】因为对任意的实数k ，总存在实数m ，使得()=H m k 成立， 所以()H x 的值域为R . 函数2x y e=在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2se +∞，函数ln x y x =，'21ln x y x -=， 当(0,)x e ∈时，'0y >，所以ln xy x=在(0,)e 单调递增； 当[,)x e ∈+∞时，'0y <，所以ln xy x=在(,)e +∞单调递减， ①当s e >时，函数ln x y x =在(0,)e 单调递增，(,)e s 单调递减，其值域为1(,]e-∞，又12s e e>，不符合题意； ②当0s e <≤时，函数ln xy x =在(0,)s 单调递增，其值域为ln (,]s s-∞，由题意得ln 2s se s≤，即22ln 0s e s -≤； 令22'222()2ln ,()2e s e u s s e s u s s s s-=-=-=，当s >'()0u s >，()u s 在)e 上单调递增；当0s <<'()0u s <，()u s 在上单调递减，所以当s =()u s 有最小值0u =，从而()0u s ≥恒成立，所以，()0u s =，所以s =故答案为：.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于根据题意分析出()H x 的值域为R ，并由此求出2x y e=和ln x y x =的值域，进行分析，考查分类讨论的思想，属难题.18．【分析】利用导数可求得当时函数的值域是；当时函数的值域是从而可得进而可得结果【详解】当时此时函数在上递增值域是当时是减函数其值域是因为函数的值域是所以于是解得即实数的最小值是故答案为：【点睛】本题主解析：312e-【分析】利用导数可求得当x e ≥时，函数()f x 的值域是[)1,e -+∞；当x e <时，函数的值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，从而可得,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞，进而可得结果. 【详解】当x e ≥时，'1(ln )10,x x x-=->此时函数()f x 在[),e +∞上递增，值域是[)1,e -+∞. 当x e <时，12x m -+是减函数，其值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()1,2,x m x ef x x lnx x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，所以,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞. 于是1,2e m e -+≥-解得312e m ≥-，即实数m 的最小值是312e-. 故答案为：312e-. 【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，以及利用导数求函数的最值，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.19．【分析】考虑和两种情况分别计算得到利用均值不等式得到；证明单调递增得到得到答案【详解】当时即对恒成立当时符合题意；当时参变分离得：因为当时等号成立故上式恒成立时；当时即对恒成立参变分离得：令故单调递解析：14a e≤≤【分析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()xx p x e =单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立， 当1x =时，符合题意；当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤； 当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立， 参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10xxp x e-'=>，故()p x 单调递增， ∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e≤≤. 故答案为：14a e≤≤. 【点睛】本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.20．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x+=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】()1ln2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-．∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==-当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.三、解答题21．（1）2a >；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，对函数加以分析，最后求得结果；（2）构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 【详解】解：（1）)(211x ax f x x a x x='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根，即方程1a x x =+有两相异正根，由1y x x=+图象可知2a >． （2）要证)(2132f x x <-，只要证2222113ln 22x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+．只要证)(2222221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22x x x x --+<-； 2x 为方程210x ax -+=的较大根，212ax >>． 令)()(32222221ln 12g x x x x x x =--+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(222221301g x x x x =-+<'>'；)(22223ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立；)(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()2312g x g <=-．【点睛】：思路点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22．（1）1a =；（2）答案见解析；（3）(][)0,1,e +∞.【分析】（1）由题意可得()10f '=，由此可解得实数a 的值； （2）求得()2x af x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间()1,e 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）根据（2）中的讨论可写出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()221a x a f x x x x'-=-=， 因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =， 所以()110f a '=-=，解得1a =. 经检验1a =符合题意； （2）由（1）知()2x af x x-'=，令()0f x '=，得x a =. （i ）当01a <≤时，()1,x e ∈，()0f x '>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增， 所以()()10f x f >=， 所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1a e <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若a x e <<，则()0f x '>. 函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),a e 上单调递增， 且()10f =，()1ea f e a =-+. 当()10af e a e=-+>，即11e a e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()10af e a e=-+≤时，即当e e e 1a <-≤时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点； （iii ）当a e ≥时，()1,x e ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减， 所以()()10f x f <=， 所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点.综上：当01a <≤或ee 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 当11ea e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点. （3）01a <≤或a e ≥. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 23．（1）2；（2）()1,+∞. 【分析】（1）利用已知条件求出切点坐标，代入到原函数即可得到m 的值；（2）利用已知条件得到cos 2sin x m x >-，令()cos 212sin sin sin x g x x x x=-=-，sin x t =，(]0,1t ∈，得到()12g t t t=-，求导分析函数()g t 的单调性即可得到m 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈， 且函数()f x 在2x π=处的切线方程为1y =，所以该函数过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，故cos 2sin 112222f m m m πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-+=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以m 的值为2；（2）对()0,x π∀∈，()0f x >恒成立， 即cos 2sin 0x m x +>， 所以cos 2sin x m x >-，① 又因为()0,x π∈，所以sin 0x >， 故①可化简为cos 2sin xm x>-，② 令()2cos 212sin 12sin sin sin sin x x g x x x x x-=-=-=-，再令sin x t =，则(]0,1t ∈， 所以()12g t t t=-，()2120g t t '=+>， 所以()g t 在(]0,1上单调递增， 故()()max 1211g t g ==-=，又由②式可得，当(]0,1t ∈时，()m g t >恒成立， 所以()max 1m g t >=，综上所述：m 的取值范围是：()1,+∞. 【点睛】结论点睛：利用导数研究不等式恒成立问题.（1）()f x a ≥恒成立()min f x a ⇔≥；()f x a ≥成立()max f x a ⇔≥； （2）()f x b ≤恒成立()max f x b ⇔≤；()f x b ≤成立()min f x b ⇔≤； （3）()()f x g x >恒成立，令()()()F x f x g x =-，则()min 0F x >. 24．（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞. 【分析】（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0xh x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，()10f x a x'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点； 当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()y f x =有极大值点是1a，无极小值点； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->， 则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. 所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-. 因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.25．（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【分析】（1）求导数可得2244(1)(2)ax a y ax x +-'=++，当1a 时函数在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时易得函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，不等式()()1f x g x +在[0x ∈，)+∞时恒成立，当01a <<时，不等式00()()1f x g x +不成立，综合可得a 的范围； （3）由（2）的单调性易得11[(1)]122ln k lnk k <+-+，进而可得11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得结论． 【详解】解：（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++， 当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由0y '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立，当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=， 即不等式00()()1f x g x +不成立，综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k ∴+>+，*()k N ∈． 即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调性和恒成立以及不等式的证明，属于中档题． 26．（1）见解析；（2）1.【分析】（1）按照0a ≤、0a >分类，结合导函数的正负即可得解；（2）转化条件为2231ex x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1x x ax a g x x e++-=≥-，按照4a ≥、4a <分类，结合导数确定函数()g x 的最大值即可得解.【详解】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()xf x a e '=-， 故当ln x a <时，有()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递增；当ln x a >时，有()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递减；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减；（2）因为当1x ≥-时，()232f x a x ≤--恒成立， 所以2231ex x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1x x ax a g x x e++-=≥-， 则()()()()22313e ex x x a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦'==， ①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减， 则要使()()121g a e -=-≤，解得12a e ≤+(不合题意)； ②当31a ->-即4a <时，则当()1,3x a ∈--时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当()3,x a ∈-+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；则要使()()()()233max 3323631a a a a a a a g x g a e e---+-+--=-==≤ 令31t a =->-，3a t =-，设()3,1t t h t t e +=>-，则要使()1h t ≤， 因为()20et t h t --'=<，所以()h t 在()1,-+∞单调递减， 而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2，故整数a 的最大值为1.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.。

2019年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|0}x x x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（ ） A. 12 B. 2 C. 23 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可． 【详解】由3222x >=，解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜， 所以312a +=，解得21=a ．故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变【答案】B【解析】解：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n （n≥3，n∈N *）个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A. 12B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出2c a =，然后求得离心率21==a c e 即可. 【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.4.已知函数f （x ）=21111log x x x x≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（ ） A. (],2-∞B. (],0(1-∞⋃，2]C. []0,2D. ][(,01,2⎤-∞⋃⎦ 【答案】D【解析】【分析】对x 讨论，当x 1≥时，当1x <时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．【详解】解：当x 1≥时，()1f x ≤，即为： 2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；当1x <时，()1f x ≤，即为：111x≤-，解得x ≤0． 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⋃⎦．故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 233π- B. 133π- C. 81633π- D. 8833π- 【答案】D【解析】【分析】 根据三视图可知该几何体是14球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出14球与三棱锥的体积，从而可得结果． 【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.6.在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. n a n =B. 1n a n =+C. 2)1(-=n n a nD. 2)1(+=n n a n 【答案】D【解析】【分析】令m=1得11n n a a n +-=+，再利用累加法求数列{}n a 的通项公式.【详解】令m=1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=. 故选：D 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 ( )A. 212B. 84C. 3D. 21【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。

北师大实验中学2023届高三数学零模测试教学班级 姓名 学号第一部分（选择题 共40分）一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （ 1 ）已知集合{1,0,1}A =-，则满足{1,0,1,2,3}A B =-的集合B 可能是（A ）{1,2}-（B ）{1,0,1,3}-（C ）{1,0,1}-（D ）{0,2,3}（ 2 ）复数z 满足2iz i =-，则在复平面内，z 对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（ 3 ）在252()x x-的展开式中，x 的系数为（A ）80（B ）-80（C ）40（D ）-40（4）下列函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是（A ）ln y x = （B ）tan y x = （C ）||y x x = （D ） x x y e e -=+ （5）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A B ，线段AB 的中点M 的横坐标为4，则AB 长为 （A ）10 （B ）8 （C ）5 （D ）4（ 6）当N 个相同的声强级为0L dB 的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级010lg L L N '=+，已知一台电锯工作时的声强级是110dB ，则10台相同电锯工作时的声强级1L 与5台相同电锯工作时的声强级2L 的关系约为 （参考数据：lg 20.3010≈） （A ）122L L ≈ （B ）123L L ≈（C ）123L L -≈（D ）127L L -≈（7）已知函数()sin()f x x x ϕϕ=++）满足()24f π= ，则函数()4f x π+是（A ）奇函数，关于点(,0)π成中心对称 （B ）偶函数，关于点(,0)π成中心对称（C ）奇函数，关于直线x π=成轴对称 （D ）偶函数，关于直线x π=成轴对称（ 8）数列{}n a 是无穷项数列，则“存在00001N2),n n n n a a *+∈≥≥（且001n n a a -≥”是 “{}n a 存在最大项” 的（A ）充分且不必要条件（B ）必要且不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）已知点(1,0)A ，直线l 与圆22:1M x y +=交于两相异点B,C ，则AB AC ⋅的取值范围为（A ）1[,4)2-（B ）[0,4) （C ）[1,2)- （D ）[0,2)（ 10）现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是 （A ）12（B ）16 （C ）20 (D) 24第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分．（11）已知数列{}n a 是等差数列，并且14766,0a a a a ++==，若将2345,,,a a a a 去掉一项后，剩下三项依次为等比数列{}n b 的前三项，则4b 为 .（12）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>与直线2y x =没有公共点，则该双曲线的离心率e 的最大值是 .（13）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上三点,,A B C 满足：A 点坐标为(1,0)并且AB BC =，OB 在OA 上的投影向量为1(,0)3，则OA OC ⋅= .（14）已知函数2|1|(0)42()(0)2x x x x f x x -<⎧++=⎨≥⎩，则()f x 的最小值是 ，若关于x 的方程()f x x a =+有且仅有四个不同的实数解，则整数a 的取值范围是 . （15）如图，在棱长为1的正方体中，点P 是线段1A B 上一动点（不与1,A B 重合），则下列命题中：① 平面1AA P ⊥平面11D A P ； ②1APD ∠一定是锐角； ③11DC D P ⊥；④ 三棱锥11B D PC -的体积为定值.其中真命题的有 ..三、解答题 共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）在ABC △中，3a =，26b =，2B A =．（1）求cos A ；（2）求c ． （17）（本小题13分）为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A 和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：康复时间 只服用药物A 只服用药物B7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复12人40人假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．(1) 若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；(2) 从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2 人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：(3) 从只服用药物A 的患者中随机抽取100人，用“100()P k ”表示这100人中恰有k 人在14天内未康复的概率，其中0,1,2,,100k =．当100()P k 最大时，写出k 的值．（只需写出结论）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，112AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点． (1)求证：直线CE ∥平面PAB ；(2)已知，点M 在棱PC 上，且二面角M AB D --的大小为30︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求CMCP的值．条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件②：PC PD =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知函数2()2ln af x x x =+. （1）若()f x 在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）()f x 是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； （3）若()f x a ≥在区间(0,1]上恒成立，求a 的取值范围.（20）（本小题15分）已知点A , B 是椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点，椭圆E 的短轴长为2，离心率为2, （1）求椭圆E 的方程；（2）点O 是坐标原点，直线l 经过点(2,2)P -，并且与椭圆E 交于点M ,N ，直线BM 与直线OP 交于点T , 设直线AT , AN 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k 为定值.（21）（本小题15分）对于一个有穷单调递增正整数数列P ，设其各项为12,,,(5)n a a a n ≥，若数列P中存在不同的四项,,,p q s t a a a a 满足p q s t a a a a +=+ ,则称P 为等和数列，集合{,,,}p q s t M a a a a =称为P 的一个等和子集，否则称P 为不等和数列.（1）判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；:1,3,5,7,9;A :2,4,6,7,10;B （2）已知数列12345:,,,,P a a a a a 是等和数列，并且对于任意的,(15)i j i j ≤<≤，总存在P 的一个等和子集M 满足集合{,}i j a a M ⊆，求证：数列P 是等差数列； （3）若数列12:,,,n P a a a 是不等和数列，求证： 294n n n a -+> .北师大实验中学2023届高三数学零模测试答案（11）12 （122（13） 79- （14）−2 ， {0,1} （15）①③④． 三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC △中，由正弦定理得3sin A =．所以2sin cos sin A A A故cos A =（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos A =sin A = 又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13B A =-=．所以sin B =． 在ABC △中，sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+所以sin 5sin a Cc A==． （17）（本小题13分） 解：（1）只服用药物A 的人数为36022812600++=人， 且能在14天内康复的人数有360228588+=人，故一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率为5884960050=； （2）只服用药物A 的患者7天内康复的概率为36036005=， 只服用药物B 的患者7天内康复的概率为1602160200405=++，其中X 的可能取值为0,1,2，()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，则分布列为： X0 1 2 P6251325625数学期望为61360121252525EX =⨯+⨯+⨯=； （3）2.（18）（本小题14分）（1）取P A 中点F ，连接,EF BF ，因为E 是PD 的中点，F 是P A 中点，所以EF 是中位线， 所以EF 平行且等于AD 的一半，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC 平行于AD ， 又12BC AD =，所以EF 与BC 平行且相等， 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE 平行于BF ，而CE ⊄平面PAB ，BF ⊄平面PAB ， 所以直线CE ∥平面PAB .（2）若选①：平面PAD ⊥平面ABCD ， 取AD 中点O ，因为侧面PAD 为等边三角形，所以PO ⊥平面ABCD ， 易证OC ⊥平面AD ，以O 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， (1,0,0),(1,1,0)A B --,(0,1,0)C ，(0,0,3)P ,所以(,,)M x y z ,(0,1,3)CP =-所以(,,)(0,1,3)CM x y z CP λλ===-，所以0,,3,x y z λλ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以(0,1,3)M λλ-，所以(1,1,3)MA λλ=---,(0,1,0)AB =, 设平面MAB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，所以111111111111(,,)(1,1,3))30(,,)(0,1,0)(10n MA x y z x y z n MB x y z y λλλλ⎧⋅=---=-+-=⎪⎨⋅===⎪⎩-，令11z =，解得111301x y z λ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，所以1(3,0,1)n λ=-，易知底面一个法向量为(0,0,1)m =， 又二面角M AB D --的大小为30︒， 所以112113cos ,231m n m n m n λ⋅===+，解得13λ=±， 又点M 在棱PC 上，所以0λ>，所以13λ=，所以CMCP 的值为13.若选②：则取AD 中点O ，因为侧面PAD 为等边三角形，所以PO ⊥平面AD ， 连接OA ,OC ,OD ，易知POA POB POD ≅≅， 所以90POA POB POD ∠=∠=∠=，以O 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， (1,0,0),(1,1,0)A B --,(0,1,0)C ，(0,0,3)P ,所以(,,)M x y z ,(0,1,3)CP =-所以(,,)(0,1,3)CM x y z CP λλ===-，所以0,,3,x y z λλ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以(0,1,3)M λλ-，所以(1,1,3)MA λλ=---,(0,1,0)AB =, 设平面MAB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，所以111111111111(,,)(1,1,3))30(,,)(0,1,0)(10n MA x y z x y z n MB x y z y λλλλ⎧⋅=---=-+-=⎪⎨⋅===⎪⎩-，令11z =，解得111301x y z λ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，所以1(3,0,1)n λ=-，易知底面一个法向量为(0,0,1)m =， 又二面角M AB D --的大小为30︒，所以1111cos ,3m n m n m n λ⋅==13λ=±， 又点M 在棱PC 上，所以0λ>，所以13λ=，所以CM CP的值为13.（19）（本小题15分） 解：（1）f ′(x )=2x −2a x 3，令f ′(1)=0，解得a =1.经检验，当a =1时，f (x )在(1,f (1))处的切线为y =1，满足题意. （2）f (x )的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=2x 2−2a x 3,当a ≤0时，f ′(x )≥0，f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点； ′√a ，（3）设g (x )=f (x )−a =2ln x +ax 2−a ，g ′(x )=f ′(x )=2x 2−2a x 3，当a ≤0时，g ′(x )≥0，f (x )在(0,1]上单调递增，g (e a2)=ae −a <0，结论不成立； 当a >0时，令g ′(x )=0，x =±√a ，√a 设ℎ(x )=ln x −x +1,x ∈(0,1]ℎ′(x )=1x −1≥0，所以，ℎ(x )在(0,1)上单调递增，ℎ(x )≤ℎ(1)=0， 因此，ln a +1−a ≥0在(0,1)上无解；若√a ≥1，即a ≥1，g ′(x )≤0，g (x )在(0,1)上单调递减， 所以，g (x )≥g (1)=0恒成立， 综上所述，a 的取值范围是[1,+∞).（20）（本小题15分）解：（1）依题意，{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，所以，椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.（2）显然直线l 的斜率存在，不妨设直线l:y =kx +m ，因为过点P (−2,2)，所以，−2k +m =2， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∆=16(4k 2−m 2+1)>0， 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)， 所以，x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+m 2=m 2−4k 24k 2+1，直线OM:y =y 1x 1−2(x −2)，直线OP:y =−x ，联立{y =y 1x 1−2(x −2)y =−x ,解得{x =2y 1x 1+y 1−2y =−2y 1x 1+y 1−2,即T (2y 1x 1+y 1−2,−2y 1x 1+y 1−2)， 所以，k 1=−2y 1x 1+y 1−22y 1x 1+y 1−2+2=−y1(2k+1)(x1+2)，k 2=y 2x 2+2，所以，k 1k 2=−y 1y2(2k+1)(x 1+2)(x2+2)=−y 1y 2(2k+1)(x1x 2+2(x 1+x 2)+4)=−14.（21）（本小题15分）解：（1）A 是等和数列，所有的等和子集为{1,3,5,7}, {1,3,7,9}，{3,5,7,9}； B 是不等和数列.（2）数列P 最多有如下五个等和子集：{a 1,a 2,a 3,a 4},{a 1,a 2,a 3,a 5},{a 1,a 2,a 4,a 5},{a 1,a 3,a 4,a 5},{a 2,a 3,a 4,a 5},考虑a 1，a 5，只可能是如下三种情况的一种：a 1+a 5=a 2+a 3,a 1+a 5=a 3+a 4,a 1+a 5=a 2+a 4， 若a 1+a 5=a 2+a 3，则{a 1,a 2,a 4,a 5},{a 1,a 3,a 4,a 5}不是P 的等和子集，否则，a 3=a 4或a 2=a 4， 并且{a 1,a 2,a 3,a 4}不是P 的等和子集，否则，a 5=a 4，所以，P 的所有等和子集有{a 1,a 2,a 3,a 5}，{a 2,a 3,a 4,a 5}， 此时，{a 1,a 4}⊈M ，该情况不成立，即a 1+a 5≠a 2+a 3； 由对称性可知，a 1+a 5≠a 3+a 4，因此，a 1+a 5=a 2+a 4，此时，{a 1,a 2,a 3,a 5}，{a 1,a 3,a 4,a 5}不是P 的等和子集，考虑{a 1,a 3}⊆{a 1,a 2,a 3,a 4}，{a 3,a 5}⊆{a 2,a 3,a 4,a 5}，故{a 1,a 2,a 3,a 4},{a 2,a 3,a 4,a 5}是P 的等和子集，故a 1+a 4=a 2+a 3，a 3+a 4=a 2+a 5，由以上三式可知a 2−a 1=a 3−a 2=a 4−a 3=a 5−a 4，即数列P 是等差数列. （3）假设a n ≤n 2−n+94,且n 2−n+94不是整数，则对于任意i,j (1≤i <j ≤n )，总有3≤a i +a j ≤n 2−n+84+n 2−n+84−1=n 2−n 2+3，因为数列P 是不等和数列，所以，a i +a j 至少有C n 2=n 2−n 个不同的取值，若存在a i+a j=3，则a1=1,a2=2,此时，有a n−a n−1≥2，所以，3≤a i+a j≤n2−n+84+n2−n+84−2=n2−n2+2，只有n2−n2个不同的取值，因此，a n=n2−n+84,a n−1=n2−n+84−2，又因为存在a i+a j=4，所以，a3=3，此时，a1+a n=a3+a n−1，矛盾.若不存在a i+a j=3，则4≤a i+a j≤n2−n2+3，恰有n2−n2个不同的取值，所以，a1=1,a2=3,并且a n=n2−n+84,a n−2=n2−n+84−2，此时，a n+a1=a n−2+a2,矛盾.综上，a n>n2−n+94.。