2.2.3两条直线的位置关系1

二、两条直线的垂直
对坐标平面内的任意两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，有 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 .
如果 B1B2≠0， 则 l1 的斜率 k1＝－AB11， l2 的斜率 k2＝－AB22. 又可以得出：l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
知识拓展：
1．两直线相交的判定方法 (1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直 线相交． 2．直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m为 参数且m≠C)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为 参数)．
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，
解得λ＝11，∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
类型二、两条直线的平行关系
例 2、判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1， －1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)． [思路探索] 求出斜率，利用“l1∥l2⇔k1＝k2”判断，注意公 式成立的条件．
解：法一 解方程组 x－2y＋4＝0 x＋y－2＝0 得 P(0,2)．
因为
l3
的斜率为3，且 4
l⊥l3，所以直线
l
的斜率为－4，由斜截式 3
可知 l 的方程为 y＝－43x＋2，

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已知直线l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0，直线l2： (m－2)x＋(m＋2)y－3＝0，且l1⊥l2，求m的值 ．
∵l1⊥l2， ∴(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0， ∴(m＋2)(4m－2)＝0， ∴m＝－2 或 m＝12.
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(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)已知
线x－y－2＝0和4x－2y－5＝0的交点且与直
线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程．
[解析]
由4x－x－y－2y－2＝5＝0 0 ，得yx＝＝12－32
.
∴过点(12，－32)且与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程为
y＋32＝32(x－12)， 即6x－4y－9＝0.
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练习1:已知直线l1：x+(a+1)y-2+a=0和 l2：2ax+4y+16=0，若l1//l2，求a的值.
得b=
，
5 2
即x+2y－5=0.
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（2）(1，2)，2x+y－10=0.
解：（2）设所求的直线方程为 x－2y+C=0， 因为直线过点(1，2)，代入方程， 解得C=3，
所以所求的直线方程为x－2y+3=0.
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❖ (2014·福建安溪八中高一期末测试)求过直
❖ A．－1或2
B．0或1
❖ C．－1
D．2
❖ [答案] C
❖ [解析] ∵l1∥l2，∴a(a－1)－2＝0， ❖ ∴a＝－1或2.
❖ 当a＝2时，l1与l2重合，∴a＝－1.
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❖ 三条直线l1：x＋y＝2，l2：x－y＝0，l3：x＋ ay－3＝0能构成三角形，求实数a的取值范 围．

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
巩固提例高:1．空间四边形 ABCD 中， AD BC 2 ， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ， 求异面直线 AD, BC 所成的角。
2
2
在 EGF 中，cos EGF EG2 FG2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 ，
2EG FG
2
∵两异面直线所成角的范围是：00,900
∴异面直线 AD, BC 所成的角为60
作角
证角
算角
答角
小结：
1. 异面直线的定义 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线
2. 空间两直线的位置关系
平行直线 异面直线
3. 异面直线的画法 辅助平面衬托法
4. 异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角 5. 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6. 等角定理：空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相
等或互补．
7. 计算异面直线所成的角
补充练习
450 。
D
(3)
直线
AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA 与直线AAA
都垂直.
C' B'
C B
课堂反馈
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2