条件数学期望例题

y
1
x
O
1
PX
1 3
Y
1
2
=FX
Y
1
3
1 2
13
fX Y
x
1 2
dx
1/ 3 0
3 2
x dx
4. 9
依定义，有
E
X
Y
1
2
xf X Y
x
1
2
dx
1 0
x
3 2
x dx
5 ,
12
E
X2
Y
1
2
x2
fX Y
x
1
2
dx
1 0
x2
3 2
x dx
1 ,
2
E Y 2 X xi E Y X xi
为在X=xi条件下Y的条件方差，记作 D Y X xi ，即
2
D Y X xi E Y 2 X xi E Y X xi .
【注】若在X=xi条件下，Y取有限个值，则E(Y X=xi)存在。
例1 设二维随机变量(X, Y)的概率分布为
3 7
4, 7
12
1
P Y 2 X 1 P{ X 1,Y 2} P{ X 1}
6 7
2, 7
12
在X=1条件下，Y的条件概率分布为
Y
012
P{Y=yj|X=1} 1/7 4/7 2/7
依定义，E Y X 1 0 1 1 4 2 2 8 , 7 7 77
E Y 2 X 1 02 1 12 4 22 2 12 ,
2
E X2 Y yj E X Y yj
为在Y=yj条件下X的条件方差，记作D X Y yj ，即

) 则 >=# >+ =<;#2, +A+ 2, /此处积分为 7P/CQP+CR积分#当 %
A+ 2, 为阶梯函数#也就是 ;为离散随机变量时积分表示级数
$3+ ; #2', 2'/ ;是连续型随机变量且密度为 B+ 2, 时#积分

) 为 >=# >+ =<;#2, B+ 2, +2/ ;与 =独立时# >+ =<;, # %
;% #%# ;I#I* $ 是第 I%$ 与第 I个呼叫到达的间隔时间# 6I
I
$ # ;'#I* $#即 6I是第 I个呼叫到达的时刻# B+ 2, 是; B+ 6I,
I#$
I
$ 分析!注意到 ;'服从分布 #+ I#", #
'#$
) 若 B非负#则 >B+ 6I,
称 @+ =<;, #>+ + =%>+ =<;, ,) <;, 是已知 ;时 =的
条件方差*
以下分别讨论条件概率与条件数学期望的应用* >=#>+ >+ =<;, , /

) 设 ;的分布函数为 A+ 2, # >=存在#则 >= # >+ =<; %
#2, +A+ 2, /此处积分为 7P/CQP+CR积分#当 A+ 2, 为阶梯函数#
#科技风 !$"% 年 "" 月
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7 C1 A 1 2 7 法．由题意得 P(X＝0)＝ 8 ＝ ， A8 4
善 于 1 1 6 1 1 6 C2C6A6 3 C2C5A6 5 把 P(X＝1)＝ ＝ ， P(X＝2)＝ ＝ ， 8 8 A8 14 A8 28 问 1 1 6 1 1 6 C2C4A6 1 C2C3A6 3 题 P(X＝3)＝ ＝ ， P(X＝4)＝ ＝ ， 8 8 A8 7 A8 28 转 1 1 6 1 1 6 C2C2A6 1 C2C1A6 1 化 P(X＝5)＝ ＝ ，P(X＝6)＝ ＝ . 8 8 A8 14 A8 28 为 故随机变量 X 的分布列为： 排 列 X＝i 0 1 2 3 4 5 6 问 1 3 5 1 3 1 1 题 P(X＝i)
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设 工程的人数，求ξ的分布列．
【思路点拨】
(1)3 名工人选择的项目所属类别互
不相同的情况有 A3 3种．在每种情况下，每名工人做 1 某一个基础设施工程项目的概率为 ，做某一个民生 2 1 工程项目的概率为 ，做某一个产业建设工程项目的 3 1 概率为 ，并且他们相互独立．(2)寻找 ξ 与选择民生 6 工程项目的人数 η 的关系，据 η 服从二项分布，可 求 ξ 的分布列．
习
题 课
例1：抛掷一颗骰子一次，A表示事件：出现偶数点，B表 示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系 B ( ) A:相互互斥事件 。 B相互独立事件。 C既相互互斥又相互独立事件。D既不互斥又不独立事件。
解析：A 2， 4， 6，B 3.6，A B 3 1 1 1 1 1 P ( A) , P ( B ) , P( AB) * 2 3 6 2 3

在给定条件下，对相关的随机变量进行加权求和。
利用全概率公式进行计算
将事件分解为若干个互斥事件，分别计算每个事件的数学期望，然后加权求和。
在金融中的应用
风险评估
在投资组合优化中，条件数学期望常用于评估不同风险水平下的预期收益。
资本资产定价模型（CAPM）
条件数学期望用于计算资产的预期收益率，进而确定其风险溢价。
条件数学期望与条件方差
目录
• 条件数学期望 • 条件方差 • 条件数学期望与条件方差的关系 • 条件数学期望与条件方差的实例分析
01
条件数学期望
定义与性质
定义
在给定某个条件或信息下，数学期望 的值。
性质
与普通数学期望的性质相似，但需要 考虑条件的影响。
计算方法
利用概率质量函数或概率密度函数计算
波动风险，进而制定合适的投资策略。
外汇汇率的条件数学期望与条件方差分析
总结词
外汇汇率的条件数学期望和条件方差分析有 助于投资者预测汇率走势，进行合理的资产 配置。
详细描述
通过分析外汇汇率的历史数据和市场信息， 投资者可以预测未来汇率的走势，进而制定 相应的投资策略。条件方差则反映了外汇汇 率波动的风险，投资者可以根据风险承受能 力进行资产配置。
投资决策
在制定投资决策时，投资者可以利用条件数学期望和条件方差 来评估不同投资策略的预期回报和风险，从而选择更合适的策
略。
04
条件数学期望与条件方差的实例分 析
股票价格的条件数学期望与条件方差分析
总结词
股票价格的条件数学期望和条件方差分析是 评估投资风险和预期收益的重要工具。
详细描述
条件数学期望表示在给定某些信息或条件下 ，未来股票价格的预期值。通过分析历史数 据和市场信息，投资者可以预测未来股票价 格的走势，并制定相应的投资策略。条件方 差则衡量了股票价格的条件数学期望的波动 性，即风险。较低的条件方差意味着股票价