高三数学导数的应用1

专题03 导数及其应用

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．e1ab， B．a=e，b=1

C．1e1ab， D．1ea，1b

【答案】D

【解析】∵eln1,xyax

∴切线的斜率1|e12xkya，1ea，

将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.

故选D．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

2．【2019年高考天津理数】已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为

A．0,1 B．0,2

C．0,e D．1,e

【答案】C

【解析】当1x时，(1)12210faa恒成立；

当1x时，22()22021xfxxaxaax恒成立，

令2()1xgxx，

则222(11)(1)2(1)1()111xxxxgxxxx

11122(1)2011xxxx， 当111xx，即0x时取等号，

∴max2()0agx，则0a.

当1x时，()ln0fxxax，即lnxax恒成立，

令()lnxhxx，则2ln1()(ln)xhxx，

当ex时，()0hx，函数()hx单调递增，

当0ex时，()0hx，函数()hx单调递减，

则ex时，()hx取得最小值(e)eh，

∴min()eahx，

综上可知，a的取值范围是[0,e].

故选C.

【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.

课时限时检测(十四)　导数的应用(一)

(时间：60分钟　满分：80分)命题报告

考查知识点及角

度题号及难度

基础中档稍难

求单调区间1,2,79

求极值35,8

求最值4126

综合应用 10,11

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．(2012·辽宁高考)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )

A．(－1,1] B．(0,1]

C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)

【解析】　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，

解得0

【答案】　B

2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝

在区间(1，＋∞)上一定( )

A．有最小值 B．有最大值

C．是减函数 D．是增函数

【解析】　由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可

得a的取值范围为a＜1，又g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－，

易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，

所以g(x)为增函数．

【答案】　D3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范

围是( )

A．(0,1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D.

【解析】　f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0得x2＝2b，

由题意知0＜2b＜1，∴0＜b＜，故选D.

【答案】　D

4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有

( )

A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)

C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)

【解析】　由(x－a)f′(x)≥0知，当x＞a时，f′(x)≥0；当x＜a时，f′

(x)≤0.

∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．

【答案】　A

5．已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是( )

A．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，极大值f(1)＝1

B．函数f(x)有极大值f(－2)＝－，极小值f(1)＝1

C．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，无极大值

1.3导数的应用

教材分析：

本章内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用.

本章先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题.

本章共分三节，第三节是“导数的应用”，内容包括利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数的实际应用.

在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学目标：

1、能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值.

2、掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学重点：

理解并掌握利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学难点：

解决实际生活中的最优化问题的关键是建立函数模型.

学 法：

本节课是在学习了导数的概念、运算的基础上来学习的导数的应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

教法

数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

3.4导数的实际应用

教学目的：

1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；

⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题

教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．

教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.极大值：

2.极小值：

3.极大值与极小值统称为极值

4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)

(2)

(3)

6.函数的最大值和最小值:

7.利用导数求函数的最值步骤:⑴ ；

⑵

二、讲解范例：

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？