2018-2019学年重庆市重庆外国语学校高一下学期期中数学试题(解析版)

重庆市重庆外国语学校高一下学期期中 数学试题一、单选题1．数列1，，，，，…的一个通项公式是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过观察数列的分子和分母，猜想出数列的通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为.故选D.【点睛】本小题考查观察数列给定的项，猜想数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易得出正确的选项.属于基础题.2．已知a b >，0abc ≠，,,a b c ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．22a b< 【答案】B【解析】不等式两边同时加上同一个实数不等号不变. 【详解】若a b >，因为不等式两边同时加上同一个实数不等号不变，所以a c b c ->-. 故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64【答案】A【解析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 故选:A【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．在△ABC 中，cA ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A．BC ．32D．2【答案】A【解析】因为A ＝75°，B ＝60°， 所以C ＝180°－75°－60°＝45°． 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b cB C=，所以sin sin 60sin sin 452c B b C ︒====︒．选A ．5．在ABC ∆中，若2cos 0a b C -=，则ABC ∆必定是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理进行边角互化可得sin 2sin cos 0A B C -=，进一步化简可推出B C =，三角形为等腰三角形.【详解】2cos 0a b C -=Q ，sin 2sin cos 0A B C ∴-=，又()A B C π=-+,所以sin()2sin cos 0cos sin sin cos 0B C B C B C B C +-=⇒-=， 化简得sin()0C B -=，所以B C =，ABC ∆为等腰三角形. 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 6．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是 A ．-6 B ．-5C ．6D ．5【答案】C【解析】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 可得0a <且1-和13是210ax bx ++=的两根，从而利用根与系数的关系求解即可.【详解】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 可得：0a <且1-和13是210ax bx ++=的两根， 所以：()01131113a b a a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，从而得：3b 2a =-=-，.所以6ab =. 故选C.. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次方程根与系数的关系，属于基础题. 7．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，且5a =，4cos 5C =，ABC ∆的面积为3，则c = A．B．CD【答案】C【解析】由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c. 【详解】 因为4cos 5C =,所以3sin 5C =， 由in 12s S ab C =，可得2b =， 根据余弦定理，22242cos 2920135c a b ab C =+-=-⨯=，所以c = ，故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.8．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0） 由题意可得31212322a a a ⨯=+，即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题． 9．等差数列{}n a 中，16170,0S S ><，当其前n 项和取得最大值时，n =( ) A ．16 B ．8C ．9D ．17【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式知若16170,0S S ><则80a >，90a <，所以8S 为最大值. 【详解】116168916()=8()02a a a S a +=+>，所以890a a +>，11717917()1702a a S a +==<，所以90a <，则80a >，可知8a 是等差数列{}n a 中大于零的最后一项，因此8S 是前n 项和里最大的. 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式及其最值，等差数列的性质，属于基础题. 10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．30mC ．103mD ．203m【答案】B【解析】如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°−60°−15°=105°，∴∠BAC=180°−45°−105°=30°，由正弦定理知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，∴106220322BC AC sin ABC sin BAC =⋅∠=⨯=∠(m) 在Rt △ACD 中,3320330AD AC =⋅=⨯= (m) 即旗杆的高度为30m. 本题选择B 选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.11．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都有11n n a a a n +=++，则122017111···a a a +++等于（ ） A ．20162017B ．40322017C ．20172018D ．40342018【答案】D【解析】由题意可得：11n n a a n +-=+，则：1213211,2,23,,n n a a a a a a n -=-=-=-=L ，以上各式相加可得：()12n n n a +=，则：11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12201711111111403421223201720182018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . 本题选择D 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，若不等式2483(5)2nn n n m a -+<-⋅对任意的正整数n 恒成立，则整数m 的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】由21441n n a S n +=++知2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得12n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列，求出通项公式代入2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，转化为2352n n m -->对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当3n =时，n b 取得最大值38，即可求解.【详解】由题意，数列满足21441n n a S n +=++，则当2n ≥时，2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得22114()444n n n n n a a S S a +--=-+=+，所以222144(2)n n n n a a a a +=++=+，又由0n a >，所以12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项11a =，公差为2的等差数列，所以*21()n a n n =-∈N ，因为2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，所以2483(5)2(21)nn n m n -+<-⋅-，即(23)(21)(5)2(21)nn n m n --<-⋅-， 则(23)(5)2nn m -<-对任意的正整数恒成立，又20n >，所以2352nn m -->对任意的正整数恒成立， 设232n n n b -=，则111212325222n n n n n n n n b b +++---+-=-=， 所以12334,n b b b b b b <<>>>L ，当3n =时，n b 最大,此时最大值为38，所以538m ->，即337858m <-=，所以m 的最大整数为4，故选B . 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难题.二、填空题13．在等比数列{a n }中，已知246a a a =8，则35a a =__________ 【答案】4【解析】利用等比数列通项公式得a 2a 4a 6=34a =8，求出a 4=2，再由a 3a 5=24a ，能求出结果． 【详解】∵在等比数列{a n }中，a 2a 4a 6=8，∴a 2a 4a 6=34a =8， 解得a 4=2，∴a 3a 5=24a =4． 故答案为4． 【点睛】本题考查等比数列的等比中项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．14．在ABC V 中，60,3A a b ︒∠===，则ABC V 解的情况是_____（填“无解”、“一解”或“两解”）. 【答案】无解【解析】由正弦定理确定． 【详解】由正弦定理得sin sin 14b A B a ===>，无解． 故答案为：无解． 【点睛】本题考查用正弦定理解三角形，判断解的个数，可以由正弦定理求出角的正弦，由正弦值来判断角的个数，同时注意大边对大角的性质即可． 15．在数列{}n a 中，已知12,3m n m n a a a a +==+，则n a n=___________. 【答案】23【解析】令m =1，得11n n a a a +=+可以推出数列{}n a 为等差数列，求出通项公式即可求出na n. 【详解】令m =1，得11n n a a a +=+，即1123n n a a a +-==， 所以数列{}n a 是首项为123a =，公差为23的等差数列， 222(1)333n n n a =+-⨯=，所以23n a n =故答案为：23【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意递推公式的合理应用，属于基础题. 16．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积为S ，若2a =，222b c a =+-，则ABC ∆周长的最大值为_________. 【答案】6【解析】222sin A b a c =+-，利用余弦定理化简即可求出角A ，再次利用余弦定理及基本不等式可求得4bc ≤，进而求得4b c +≤，即可计算周长的最大值.【详解】将1sin 2S bc A =222sin A b a c =+-，cos A A =，即tan A =(0,)A π∈，3A π∴=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b =c 时等号成立，又因为2224()3b c bc b c bc =+-=+-，所以2()4343416b c bc +=+≤+⨯=， 即4b c +≤，当且仅当b =c 时等号成立，∴ABC ∆周长的最大值为6.故答案为：6 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项；(2)设数列2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)*(N )n a n n =∈；(2)21*22(N )2n n n S n n++=+-∈.【解析】(1)由等比中项的性质列出方程求解d ，写出通项公式即可；(2)求出n b 的通项公式，利用等差数列、等比数列的前n 项和公式分部求和即可. 【详解】(1)因为139,,a a a 成等比数列，所以3129a a a =⋅，则2(12)18d d +=+，得1d =，所以1(1)1(1)n a n n n n N =+-⨯=≥∈且；(2) 因为22na n n nb a n =+=+,所以()()()()232(12)22322(123)222n n Sn n n =++++++++=++++++++L L L21(1)2(12)222122n n n n n n ++-+=+=+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的性质及前n 项和，属于基础题. 18．设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)若2a =-，解不等式()0f x >； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x >. 【答案】(1)1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)01a <<，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U . 【解析】(1)当2a =-时，不等式为2210x x -++>，求解即可；(2)对应不等式为(1)(1)0ax x -->，求出对应方程的根，对两根的大小关系进行分类讨论求不等式的解.【详解】(1)若2a =-，则不等式()0f x >即为2210x x -++>， (1)(21)0x x -+<，解得112x -<<； (2)当0a >时，由()0f x >得2(1)10ax a x -++>，即(1)(1)0ax x -->， 方程(1)(1)0ax x --=的两根为1,1a， 当11a >即01a <<时，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当11a=即1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞； 当11a <即1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .综上所述：当01a <<，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，对对应方程的根进行分类讨论是解含参一元二次不等式的关键，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得tan C 值，结合范围()0,C π∈，即可得解C 的值．（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得ab ，再利用余弦定理化简可得a b +值，联立得,a b 从而解得ABC ∆周长．【详解】（Ⅰ）由正弦定理sin sin b c B C=，得cos sin sin B C B C =，在ABC n 中，因为sin 0B ≠sin C C =故tan C =又因为0＜C ＜π，所以3C π=．（Ⅱ）由已知，得1sin 2ab C =又3C π=，所以24ab =.由已知及余弦定理，得222cos 28a b ab C +-=，所以22=52a b +，从而()2100a b +=.即10a b +=又c =ABC ∆的周长为10+【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．20．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且112n n S a =-，其中*N n ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2n T <.【答案】(1)*2(N )3n n n a ∈=；(2)22223n n n T +=-<，证明见解析. 【解析】(1)首先令n =1求出首项，然后当2n ≥时，由112n n S a =-，11112n n S a --=-两式相减即可证明数列{}n a 为等比数列，直接写出等比数列的通项公式；(2)利用错位相减法及等比数列的前n 项和公式求出2223n n n T +=-，即可求得范围. 【详解】(1)112n n S a =-，令1n =得111121,23a a a =-=， 当2n ≥时，112n n S a =-，11112n n S a --=-两式相减得11111,223n n n n n a a a a a --=-=，所以{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，所以1*212(N )333n n n a n -⎛⎫=⋅=∈ ⎪⎝⎭. (2)12314124224324(1)24233333n n nn n T -⨯-⨯-⨯-⨯---=+++++L ， 012214124224324(1)242333333n n n n n T --⨯-⨯-⨯-⨯---=+++++L ， 两式相减得：12144442223333n n n n T --=++++-L 111(1)42443324413313n n n n n ---+=+⨯-=--， 所以22223n nn T +=-<. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式，错位相减法求和，属于中档题. 21．如图，D 是直角ABC V 斜边BC 上一点，3AC DC =．(Ⅰ)若60BAD ∠=o ，求ADC ∠的大小；(Ⅱ)若2BD DC =，且6AB =，求AD 的长．【答案】(Ⅰ)120(oⅡ2【解析】(Ⅰ)由已知可求DAC 30∠=o ，在ADC V 中，由正弦定理可得sin ADC 2∠=，即可解得ADC 120∠=o ．(Ⅱ)由已知在ABC V 中，由勾股定理可得DC 1=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理26AD 44ADcos θ23AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩，即可解得AD 的值． 【详解】(Ⅰ)BAD 60∠=o Q ，BAC 90∠=o ，DAC 30o ∠∴=，在ADC V 中，由正弦定理可得：DC AC sin DAC sin ADC∠∠=，AC sin ADC sin DAC DC 2∠∠∴==， ADC 120∠∴=o 或60o ，又BAD 60∠=o ，ADC 120∠∴=o(Ⅱ)BD 2DC =Q ，BC 3DC ∴=，在ABC V 中，由勾股定理可得：222BC AB AC =+，可得：229DC 63DC =+，DC 1∴=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理：在ADB V 中，222AB AD BD 2AD BD cos θ=+-⋅⋅，在ADC V 中，()222AC AD CD 2AD CD cos πθ=+-⋅⋅-， 可得：26AD 44ADcos θ23AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩， ∴解得：2AD 2=，可得：AD =【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知数列{}n a 满足()2112,66N n n n a a a a n ++==++∈(1)设()5log 3n n c a =+，求证{}n c 是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式；（3）设21166n n n nb a a a =--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1253()n n a n N -+=-∈；（3）51164n T -≤<-. 【解析】(1)由已知等式可得()2133n n a a ++=+，同时取以5为底的对数化简即可证明；(2)求出{}n C 的通项公式，对数式写为指数式即可得解；(3)化简可得11166n n n b a a +=---，求出n T ，由n ∈+N 利用不等式的性质求出n T 的范围. 【详解】(1)由2166n n n a a a +=++得()2133n n a a ++=+， ∴()()515log 32log 3n n a a ++=+，即12n n c c +=∴{}n c 是以2为公比的等比数列；(2)又15log 51c ==，∴12n n c -=，即()15log 32n n a -+=，∴1235n n a -+=故1253()n n a n N -+=-∈； （3）∵1211116666n n n n n n b a a a a a +=-=--+--，12a = ∴21122311111111666666459n n n n T a a a a a a +=-=--+-+--------. 因为*n N ∈，所以22252551596n n ≥=⇒-≥21101659n ∴<≤-，则51164n T -≤<-. 【点睛】本题考查等比数列的证明及等比数列的通项公式，裂项相消法求和，涉及不等式的性质，属于中档题.。