珠海一中2020-2021学年度上学期摸底考试 高一年级数学试题 参考答案

★启用前注意保密珠海市2025届高三第一次摸底考试数学本答案共15页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（）A.(][),12,-∞⋃+∞ B.()[)0,12,+∞ C.()(),12,-∞+∞ D.()()0,12,⋃+∞2.复数103iz =-+（i 为虚数单位），z 的共轭复数为（）A.3i-- B.3i-+ C.3i- D.3i+3.在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uuu r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.1C.78D.584.已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最小值为（）A.6B.112C.92D.1062-5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）A.:2B.1:3:4C.2:D.26.已知函数()()()122,0,R log 1,0,x a x f x a x a x ⎧+≤⎪=∈⎨++>⎪⎩在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（）A.(){},10-∞- B.(),1∞-- C.()1,-+∞ D.()0,∞+7.函数()()22πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法错误的是（）A.1ω=B.函数()f x图象关于点π3⎛⎝对称C.函数()f x 图象向右移()0ϕϕ>个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12D.若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x的最大值为1+8.若不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立，其中,R a b ∈，e 为自然对数的底数，则a b +的取值范围是（）A.(],1-∞- B.(),1∞-- C.(],1-∞ D.(),2-∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率．()()(),0,1P A P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ B .若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C.若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.()()()()P A BP B A P A B P B A ⋅与()()()()P A B P B A P B A P A B ⋅相等10.设()33f x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象与圆221x y +=有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形ABD ，其三个顶点都在函数()y f x =的图象上C.存在无数个菱形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上D.存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy 中，到两定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积为常数2a 的点的轨迹C 是双纽线.若()3,0M 是曲线C 上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.曲线C 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3D.曲线C 上有且仅有3个点P 满足12PF PF =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线e y ax =-与曲线ln C y x x :=相切，则a =______．13.已知点P 在双曲线22:16436x y C -=上，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为45，则12PF PF +=______．14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分2．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 其中(),m a b = ，3cos ,sin 4n B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m n c ⋅= ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC V 的外接圆半径为5，求ABC V 面积的最大值．16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠= ，点D 是棱11A B 的中点．（1）证明：AD BC ⊥；（2）求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =，点233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭M 在椭圆C 上，直线:l y x t =+．（1）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，求实数t 的取值范围；（2）当2t =时，记直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，求四边形PAQB 面积的最大值．18.设函数()1ln f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0,1x ∈.（1）试判断′的单调性；（2）证明：对任意()00,1x ∈，有()()()()000f x f x x x f x -'≥+，当且仅当0x x =时等号成立.（3）已知1(1,2,3,,),1nj i i X i n X +=∈==∑R ，证明：2111nni i i n x x n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏（其中1231nin i aa a a a ==⋅⋅∏ ）19.对于数列，若存在常数T ，()*00,Nn T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n Tn aa +=成立，则称数列是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列为纯周期数列；当02n ≥时，称数列为混周期数列．记为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：[]21log ,212,2n nn n a n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数.（1）若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值；（2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由；（3）证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21mn a =-．★启用前注意保密珠海市2025届高三第一次摸底考试数学本答案共15页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（）A.(][),12,-∞⋃+∞ B.()[)0,12,+∞ C.()(),12,-∞+∞ D.()()0,12,⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可.【详解】因为{}0U x x =>，{}12A x x =≤<，所以U A =ð()[)0,12,+∞ ，故选：B.2.复数103iz =-+（i 为虚数单位），z 的共轭复数为（）A.3i --B.3i-+ C.3i- D.3i+【答案】B 【解析】【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共轭复数即可.【详解】()()()()2103i 103i 103i 3i 3i 3i 9i z ----====---+-+---，所以z 的共轭复数为3i -+.故选:B3.在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uuu r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.1C.78D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =⇒-=-⇒=+，()3334BD DC BC BD BD BC ==-⇒= ,所以有11132228BM BA BD BA BC =+=+ ，所以13,28λμ==，得78λμ+=.故选：C4.已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最小值为（）A.6B.112C.92D.1062-【答案】D 【解析】【分析】求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P 到直线AB 距离的最小值即可求得最小值.【详解】两点()1,0A -，0,3，则||AB ==，直线AB 方程为33y x =+，圆()2231x y -+=的圆心(3,0)C ，半径1r =，点C 到直线:330AB x y -+=的距离6105d ==，因此点P 到直线AB 距离的最小值为15d r -=-，所以PAB 面积的最小值是161010(1)6252-=-.故选：D5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）A.:2B.1:3:4C.2: D.2【答案】C 【解析】【分析】设该直角三角形的三条边长分别为2，求出三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式即可求解.【详解】设该直角三角形的三条边长分别为2，设三角形斜边上的高为h ，则1121222S h =⨯⋅=⨯=，32h ∴=，由题意设该3个几何体的体积为123,,V V V ，则113ππ33V =⋅=，221π1π3V =⋅⋅⨯=，2313ππ2322V ⎛⎫=⋅⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，312V V V << ，所以这3个几何体的体积从小到大之比为π3:π:π2:23=.故选：C .6.已知函数()()()122,0,R log 1,0,x a x f x a x a x ⎧+≤⎪=∈⎨++>⎪⎩在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（）A.(){},10-∞- B.(),1∞-- C.()1,-+∞ D.()0,∞+【答案】A 【解析】【分析】将问题转化为()()122,0log 1,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩与函数y a =-的图象没有交点，利用数形结合法求解.【详解】设()()122,0log 1,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，()g x的图象如图所示，问题转化为()g x 与函数y a =-的图象没有交点，所以0a -=或1a ->,解得0a =或1a <-,故选：A.7.函数()()22πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法错误的是（）A.1ω=B.函数()f x图象关于点π3⎛ ⎝对称C.函数()f x 图象向右移()0ϕϕ>个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12D.若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最大值为1+【答案】D 【解析】【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求ω判断A ，验证π3⎛ ⎝是否为函数()f x 的对称中心判断B ，结合函数图象平移变换结论判断C ，结合不等式性质及正弦函数性质判断D.【详解】由已知()())22π2π2πsin 21cos 2sin 2cos cos 2sin333f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=++=-++ ⎪⎝⎭，所以()13πsin 22sin 2223f x x x x ωωω⎛⎫=--+-++ ⎪⎝⎭，又0ω>，所以函数()f x 的最小正周期为π，由已知2ππ2ω=，所以1ω=，A 正确；所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为ππ2π33⨯+=，所以函数()f x 图象关于点π3⎛ ⎝对称，B 正确，将函数图象向右移()0ϕϕ>个单位后可得函数πsin 223y x ϕ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭因为πsin 223y x ϕ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以ππ,Z 212k k ϕ=--∈，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为5π12，C 正确，若π02x ≤≤，则ππ4π2333x ≤+≤，所以3πsin 2123x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故()12f x -+≤≤，所以当π2x =时，函数()f x 取最大值，最大值为332，D 错误.故选：D.8.若不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立，其中,R a b ∈，e 为自然对数的底数，则a b +的取值范围是（）A.(],1-∞- B.(),1∞-- C.(],1-∞ D.(),2-∞【答案】A 【解析】【分析】将原不等式转化为()21e 1xax bx ++≤对一切R x ∈恒成立，设()()21e xf x ax bx =++，则后者可转化为()()0f x f ≤恒成立即()0f 为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为21e x ax bx -++≤，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围.【详解】法一：不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立即为不等式()21e 1xax bx ++≤对一切R x ∈恒成立，今()()21e xf x ax bx =++，则有()01f =；故不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立等价于()()0f x f ≤恒成立，所以()0f 为()f x 的最大值点.显然，0a ≤，否则x →+∞时，()f x ∞→+，与题设矛盾.又()()2e 21xf x ax a b x b ⎡⎤=++++⎣'⎦，此时()01f b '=+若10+>b ，存在区间(),s t ，是否()0,s t ∈且(),x s t ∀∈，总有′>0，这与()0f 为()f x 的最大值点矛盾，故10+>b 不成立，同理10b +<也不成立，故10b +=，则1b =-，()()()2e 21e 21,x xf x ax a x x ax a ⎡⎤∴=++=+-⎣⎦'当0a =时，当(),0x ∞∈-时，′>0，当∈0,+∞时，′<0，故()f x 在(),0∞-上递增，0,+∞上递减，()()0f x f ≤符合题意；当0a <时，当()12,0,a x a ∞∞-⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，′<0，当12,0a x a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，′>0，故()f x 在12,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，12,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭上递增，0,+∞上递减，而当12a x a -<时，12114142022a a a a a----=<，故210ax x -+<即()0f x <，故()()0f x f ≤恒成立，故0a <符合题意.综上，0,1a b ≤=-，因此(],1a b ∞+∈--.法二：不等式()21e 1xax bx ++≤可化为21e x ax bx -++≤，令()()21,exf x ax bxg x -=++=，当0a =时，()211f x ax bx bx =++=+，此时，直线()f x 恒过点0,1，故只需直线()1f x bx =+为()exg x -=在点0,1处的切线即可，()01b g ='=-，此时1a b +=-.当0a ≠时，()f x 亦恒过点0,1，为使21e x ax bx -++≤对一切∈恒成立，需()21f x ax bx =++开口向下，且在点0,1处与()exg x -=有公切线即可，故()001a f b ='<⎧⎨=-⎩，此时1a b +≤-.综上，a b +的取值范围是(],1a b ∞+∈--.故选：A.【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率．()()(),0,1P A P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B =+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C.若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.()()()()P A BP B A P A B P B A ⋅与()()()()P A B P B A P B A P A B ⋅相等【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由条件概率公式化简，可判断D 选项.【详解】对于A ：若A ，B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B =+ ，故A 正确；对于B ：由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件A ，B 是相互独立事件，故B 正确；对于C ：若A ，B 互斥，则A ，B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A =“正面朝上”，事件B =“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，所以不满足相互独立事件的定义，故C 错误；对于D ：()()()()()()()()()()()()()()=P A BP B A P BA P AB P A P AB P B P B P AB P AB P A B P B A P A P BA ⋅⋅⋅⋅=，()()()()()()()()()()()()()()P A B P B AP AB P AB P AB P B P A P A P AB P AB P B A P A B P B P AB ⋅=⋅⋅⋅=，所以()()()()P A BP B A P A B P B A ⋅与()()()()P A B P B A P B A P A B ⋅相等，故D 正确.故选：ABD.10.设()33f x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象与圆221x y +=有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形ABD ，其三个顶点都在函数()y f x =的图象上C.存在无数个菱形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上D.存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，结合函数的性质与图象判断即可；对于B 、C ，利用函数=关于原点对称，结合等腰三角形三线合一，以及菱形的对角线互相垂直判断即可；对于D ，由曲线的对称性，可知要使得正方形存在，则AOB V 为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形.【详解】对于选项A ，令()()()233311f x x x x ==+'--，当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，′>0，当∈−1,1时，′<0，则函数()f x 在(),1∞--、1,+∞上单调递增，在−1,1上单调递减，又()1132f -=-+=，()1132f =-=-，函数=的图象与圆221x y +=得图象如图所示：故函数=的图象与圆221x y +=有且只有两个公共点，故A 正确；对于选项B 、C ，由于函数=的图象关于坐标原点O 成中心对称，过点O 作直线交()f x 的图象于B 、D 两点，过点O 作BD 的垂线交()f x 的图象于A 、C 两点，则ABD △为等腰三角形，四边形ABCD 为菱形，当线段BD 绕点O 转动时，ABD △仍为等腰三角形，四边形ABCD 仍为菱形，故选项B 、C 均正确；对于选项D ：由于()()33f x x x f x -=-+=-，故要使得正方形存在，则AOB V 为等腰直角三角形，显然，当()1,2B -时，OB =()2,1P 在函数图象外侧，则OA <此时OB OA >，利用极限思想，当0OB →时，OA →OB OA <；当OB →时，OA ∞→+，此时OB OA <；如图所示，故至少存在两个正方形，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是，熟练掌握函数的对称性，注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形.11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy 中，到两定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积为常数2a 的点的轨迹C 是双纽线.若()3,0M 是曲线C 上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.曲线C 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3D.曲线C 上有且仅有3个点P 满足12PF PF =【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求出轨迹C 的方程，把(),x y --代入C 的方程可判断A ；令0y =，1,2x x =±=±，得y的范围可判断B ；由曲线C 的方程可得()22222299x y x y x y-+=≤+，根据3=≤d 可判断C ；由题意得0Px =，设()0,p P y ，结合题意计算p y 可判断D .【详解】对于选项A ：212,PF PF a ⋅==化简得到：()()2222222x y a x y +=-，将()3,0M 代入可得229a =，所以曲线()()22222:9C x y x y +=-.把(),x y --代入()()222229x y x y +=-得()()222229x y x y +=-，所以，曲线C 的图象关于原点对称，故A 正确；对于选项B ：令0y =解得0,3x x ==±，即：曲线经过()()()0,0,3,0,3,0-，结合图象，得33x -≤≤.今1x =±，得21y =，令2x =±，得217369122-+<=<y ，因此，结合图象曲线C 只能经过3个整点()()()0,0,3,0,3,0-.故B 错误；对于选项C ：()()222229x y x y +=-可得()22222299x y x y x y -+=≤+，所以曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离3=≤d ，即：都不超过3，故C 正确；对于选项D ：点P 满足12PF PF =，则P 在2FF 垂直平分线上，则0P x =，设()0,p P y ，则22a =，0p y ∴=，故只有原点满足，故D 错误.故选：AC .【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系.（1）求谁设谁，设所求点的坐标为(,)x y ；（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为(,)(0,1,2)i i x y i = 等；（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；（4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；（5）代入方程，消去参数值.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线e y ax =-与曲线ln C y x x :=相切，则a =______．【答案】2【解析】【分析】设切点坐标为(),ln t t t ，由导数的几何意义求解即可.【详解】设切点坐标为(),ln t t t ，由于ln 1y x ¢=+，所以切线的斜率为：ln 1k t =+，所以曲线在(),ln t t t 处的切线方程为：()()ln 1ln y t x t t t =+-+，即()ln 1y t x t =+-，所以e t =，ln 1ln e 12a t =+=+=，故答案为：2.13.已知点P 在双曲线22:16436x y C -=上，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为45，则12PF PF +=______．【答案】25【解析】【分析】设P 在双曲线右支上，由双曲线定义得到1216PF PF -=，由余弦定理和面积公式，得到125ta 4n2F PF ∠=，进而得到123694PF PF ⋅=，从而求出()()221212124625PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，求出答案.【详解】设P 在双曲线右支上，则122816PF PF -=⨯=，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF --+⋅+-∠==⋅⋅222121212124422422a c PF PF PF PF b PF PF PF PF -+⋅⋅-==⋅⋅，所以2221222121212221cos 2sin sin 22b b b PF PF F PF F PF F PF ⋅===∠∠-∠，又1221212121221211sin 2sincos 2222sin 2PF F F PF F PF b S PF PF F PF F PF ∠∠=⋅∠=⋅∠ 122tan2F b PF =∠所以1235ta 64n 2F PF =∠，解得121212sin 4tan 25cos F PF F PF F PF ∠∠==∠，结合221212sin cos 1F PF F PF ∠+∠=，则2121s 264in1F PF ∠=，12212363641369164sin 2PF PF F PF ⨯⋅===∠，又122816PF PF -=⨯=，故()()221212124256369625PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=+=，故1225PF PF +=.故答案为：2514.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分2．【答案】①.80②.4703【解析】【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进行求解.【详解】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为72509040805040⨯+⨯=+分，方差为()()2250405447090728060908015416050405040993⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⨯+⨯=⎣⎦⎣⎦++故答案为：80，4703四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 其中(),m a b = ，3cos ,sin 4n B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m n c ⋅= ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC V 的外接圆半径为5，求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）45（2）32【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得3sin cos sin sin sin 4A B B A C +=，根据()sin sin A B C +=可变形为3sin cos 4A A =，由22sin cos 1A A +=，即可求解；（2）由正弦定理可得8a =，根据余弦定理结合基本不等式可得80bc ≤，根据面积公式即可求解面积的最大值.【小问1详解】由题意得，3cos sin 4m n a B b A c ⋅=+= ，由正弦定理可知，3sin cos sin sin sin 4A B B A C +=，在ABC V 中，因为πA B C ++=，()sin sin A B C +=，所以3sin cos sin sin sin cos cos sin 4A B B A A B A B +=+，即3sin sin cos sin 4B A A B =，因为(),0,πA B ∈，所以sin 0B ≠，所以3sin cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，所以sin 45A =；【小问2详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，因为5R =，sin 45A =，所以8a =，3cos 5A =，由2222cos a b c bc A =+-，得226645b c bc =+-，由基本不等式可知，22664642555b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以80bc ≤，当且仅当b c ==时等号成立，所以114sin 8032225ABC S bc A =≤⨯⨯= ，所以ABC V 面积的最大值为32.16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠= ，点D 是棱11A B 的中点．（1）证明：AD BC ⊥；（2）求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）由侧面11ABB A ⊥底面ABC 得AD ⊥底面ABC ，进而可证；（2）向量法求面与面的夹角.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -中1AB AA =，故四边形11ABB A 为菱形，又因160ABB ∠=，点D 是棱11A B 的中点，故AD AB ⊥，又侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面=ABC AB ，AD ⊂侧面11ABB A ，所以AD ⊥底面ABC ，又⊂BC 底面ABC ，故AD BC ⊥.【小问2详解】因2AB AC ==，BC =ABC V 为直角三角形，故AB AC ⊥，如图分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0C ，由（1）可知，11A D =，AD ==，故(1A -，(D ，则(1BA =-，(11,CA =--由题意平面ABC的一个法向量为(AD =设平面1A BC 的一个法向量为 =s s ，则1100n BA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3020x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，令1x =，则z =，1y =，则(n =，设面ABC 与面1A BC 夹角为θ，则cos AD n AD nθ⋅===⋅故sin tan cos cos 3θθθθ===，面ABC 与面1A BC夹角的正切值为3.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =，点233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭M 在椭圆C 上，直线:l y x t =+．（1）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，求实数t 的取值范围；（2）当2t =时，记直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，求四边形PAQB 面积的最大值．【答案】（1）221124x y +=（2）8【解析】【分析】（1）根据焦距可得228a b -=，再根据点在椭圆上可得228413a b +=，解出,a b 后可得椭圆的方程，联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求t 的范围；（2）由题设可得当过,P Q 且与直线l 平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点坐标后可求面积和的最大值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c ，则c =，故228a b -=，而3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，故228413a b +=，故2212,4a b ==，故椭圆方程为：221124x y +=，由22312y x tx y =+⎧⎨+=⎩可得22463120x xt t ++-=，故()22Δ36163120t t =-->即2192120t ->即44t -<<.【小问2详解】当2t =时，直线:2l y x =+，故()()2,0,0,2A B -，由题设可得,P Q 为位于直线AB 的两侧，不妨设Q 在直线AB 上方，P 在直线AB 的下方，当过Q 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时，Q 到直线AB 的距离最大及QAB 的面积最大，当过P 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时，Q 到直线AB 的距离最大及QAB 的面积最大，由（1）可得相切时0∆=即4t =±，当4t =时，切点的横坐标为638t-=-，切点坐标为()3,1-，在直线AB 上方，此时()3,1-到AB =当4t =-时，切点的横坐标为638t-=，切点坐标为()3,1-，在直线AB 下方；此时()3,1-到AB=，又AB =故四边形PAQB 面积的最大值为8.18.设函数()1ln f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0,1x ∈.（1）试判断′的单调性；（2）证明：对任意()00,1x ∈，有()()()()000f x f x x x f x -'≥+，当且仅当0x x =时等号成立.（3）已知1(1,2,3,,),1nj i i X i n X +=∈==∑R ，证明：2111nni i i n x x n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏（其中1231nin i aa a a a ==⋅⋅∏ ）【答案】（1）()f x '在()0,1上单调递增.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次求导即得；（2）令()()()()()000g x f x f x x x f x ⎡⎤=--+⎣'⎦，则()()0()g x f x f x ''-'=，由（1）得()g x 在0,1上的单调性，进而()()00g x g x ≥=，即可证明；（3）将原不等式转化为111ln ln ni i j x n n x n =⎛⎫⎛⎫+≥⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，令()()1ln ,0,1f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由（2）得11111()ln nni i f x f x n n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅-++ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝'⎭⎣⎦∑∑，结合1111ln ni i f x n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣'⎦∑1ln n n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可证明.【小问1详解】()()1ln ,0,1f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，()()221,1x f x x x -∴=+'令()()h x f x ='，()()()()()22242223341141x x x x x h x xxx x ++--++==+'+，01x <<Q ，210x ∴->，()()()()222234110x x x h x x x ++-∴==>+'故′在0,1上单调递增.【小问2详解】令()()()()()000g x f x f x x x f x ⎡⎤=--+⎣'⎦，则()()()()()()()0000000,()g x f x f x x x f x g x f x f x ⎡⎤=--+==-''''⎣⎦.又()f x ' 在0,1上单调递増，∴当001x x <<<时，()()()()()000f x f x g x f x f x <⇒=-''''<'；当001x x <<<时，()()()()()000f x f x g x f x f x '''⇒=-；当0x x =时，()()()00g x f x f x =-'='；所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(),1x 上单调递增，故()g x 在0x x =处取最小值()0g x ，即()()00g x g x ≥=，从而()()()()0000f x f x x x f x ⎡⎤--+≥⎣⎦'，即()()()()000f x f x x x f x -'≥+.【小问3详解】10i jx x +> ，要证111nni i i x n x n =⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏，只需证111ln ln nn i i i x n x n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∏，即证111ln ln ni i j x n n x n =⎛⎫⎛⎫+≥⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（*）显然，当()11,2,,i X i n n== 时，不等式（*）中等号成立.令()()1ln ,0,1f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由（2）可知：111()f x f x f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'成立，即：111()ln f x f x n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝'⎭⎭成立，即：11111()ln nni i f x f x n n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝'⎭⎣⎦∑∑而111()ln nni i i i f x x x ==⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑11111111ln ln nn i i i i f x n f x n n n n n n n n ==''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++=⋅-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑1111ln n i i f X n n n n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝'⎭∑1ln n n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111ln ln ni i i x n n x n =⎛⎫⎛⎫∴+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑成立，从而111nnj j i x n x n =⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏成立.【点睛】关键点点睛：小问（2），令()()()()()000g x f x f x x x f x ⎡⎤=--+⎣'⎦，则()()0()g x f x f x ''-'=，由()f x '在(0,1)上单调递增，得到()g x 在0x x =处取最小值()0g x ，即()()00g x g x ≥=，命题得证；小问3，解决该小问的关键是利用分析法证明111ln ln ni i i x n n x n =⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑即可.19.对于数列，若存在常数T ，()*00,Nn T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n Tn aa +=成立，则称数列是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列为纯周期数列；当02n ≥时，称数列为混周期数列．记为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：[]21log ,212,2n nn n a n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数.（1）若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值；（2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由；（3）证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21mn a =-．【答案】（1）3,5,6（2）()121Nka k *=-∈，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别取12a =，3，4，5，6，根据已知条件逐一验证即可求解；（2）分别取11a =，2，3，4，5，6，7，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；（3）根据（2）的分析，()121Nka k *=-∈时，满足题意；再证明，当()121N k ak *≠-∈时，也存在,m n使得21mn a =-即可.【小问1详解】因为对任意整数n 都有1n a ≠，所以取12a =，则1212a a ==，不符合题意；取13a =，[]2log 312121232a a -=+=+=，343n a a a ==== ，此时，数列{}n a 为常数列{}3；取14a =，1222a a ==，2312aa ==，不符合题意；取15a =，[]2log 5212122262a a -=+=+=，2332aa ==，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为5,16,23,3n n a n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩；取16a =，1232a a ==，[]2log 323121232a a -=+=+=，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为6,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩；所以满足条件的三个1a 的值为3,5,6；【小问2详解】取11a =，[]2log 1121212a a -=+=，341n a a a ==== ，此时数列{}n a 为常数列{}1，为纯周期数列；取12a =，则1212a a ==，341n a a a ==== ，此时数列{}n a 的通项公式为2,11,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，为混周期数列；取13a =，[]2log 312121232a a -=+=+=，343n a a a ==== ，此时，数列{}n a 为常数列{}3，为纯周期数列；取14a =，1222a a ==，2312aa ==，451n a a a ==== ，此时数列{}n a 的通项公式为4,12,21,3n n a n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩，为混周期数列；取15a =，[]2log 5212122262a a -=+=+=，2332aa ==，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为5,16,23,3n n a n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩，为混周期数列；取16a =，1232a a ==，[]2log 323121232a a -=+=+=，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为6,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，为混周期数列；取17a =，[]2log 7212123272a a -=+=+=，347n a a a ==== ，此时，数列{}n a 为常数列{}7，为纯周期数列；根据上述计算得出猜想，当()121Nka k *=-∈时，数列{}na 为常数列也是纯周期数列{}()21N kk *-∈，下面进行验证：当121ka =-时，[]()221log 21log 11121211222122122k k a k k k a a ⎡⎤---⎣⎦---=+=+=-+=-，3421k n a a a ====- ，()N k *∈，此时数列{}n a 为常数列，也是纯周期数列；【小问3详解】首先，根据（2）的分析，发现当()121Nka k *=-∈时，数列{}na 为常数列，也是纯周期数列{}()21Nkk *-∈，满足题意；接下来证明，当()121N ka k *≠-∈时，也存在,m n 使得21m na=-；因为1121=-，所以只需要证明数列{}n a 中始终存在值为1的项即可，当()12N ka k *=∈时，显然存在值为1的项，当()()12,21N kka k *∈-∈时，有122a a=或[]21log 12122a a a -=+，若1a 为偶数，则122a a =，若1a 为奇数时，则[]()12211log 21log 112121122212222k k a k k k a a ++⎡⎤-+⎣⎦---=+<+=-+<，1111121111212222202222k k k k ka a a a a a a +-----=+-=+=->-=，所以()11122222,2kk k k a a a ++<<<⇒∈，所以无论1a 为奇数还是偶数，均有122k a +<；特别的，当1a 为奇数时，()122,2k k a +∈且12aa <，类似的，可得：无论2a 为奇数还是偶数，均有132k a +<；特别的，当2a 为奇数时，()132,2k k a +∈且()1123221k aa a a +<≤=-取等；所以无论无论1a 为奇数还是偶数，均有12k n a +<；若()()12,22kk n a n +∈≥，则na恒为奇数且()11234221k n a a a a a a +<≤≤≤≤≤=- 取等，于是，假设数列{}n a 的()121Nka k *≠-∈且()()12,22kk na n +∈≥，所以，n a 恒为奇数且()11234221k n a a a a a a +<≤≤≤≤≤=- 取等，由于()12,2k k +中仅有有限个正整数，故数列{}na 从某项起恒为常数121k +-；设i a 为第一个值为121k +-的项，而[]2log 11112222i a ki i i a a a ----=+=+，故11111221212kk k i i i a a a ++---=+=-⇒=-，这与“i a 是第一个值为121k +-的项”相矛盾，所以，数列{}n a 除第一项外，还存在不属于区间()12,2kk +的项，假设这些不属于区间()12,2k k +的项全部属于区间()12,2k k -，那么也会出现类似的矛盾，所以，数列{}n a 除第一项外，存在不属于区间()12,2kk +和()12,2k k -的项，以此类推，数列{}n a 一定存在小于值为2的正整数的项，即存在值为1的项，得证.【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给1a 赋值，逐一根据已知题意进行验证.。

2020-2021学年珠海市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|−2<x≤1}，则A∪B=()A. [−1,1]B. (−2,2]C. [−1,2]D. [−2,2]2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的大小为()A. 1B. 1或4C. 4D. 2或43.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是()A. y=x2+2B. y=|x|+1C. y=−|x|D. y=e|x|4.在下列给出的四个结论中，正确的结论是()A. 已知函数f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0B. 若a+b=1，则3是3a与3b的等比中项C. 若e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的向量，且m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=3e1⃗⃗⃗ −6e2⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ //n⃗D. 已知角α终边经过点(3,−4)，则cosα=−455.若函数y=log a(x+1)(a>0,a≠1)的图象过定点，则x值为()A. −1B. 0C. 1D. 无法确定6.已知曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间[0,2πω]上截直线y=2及y=−1所得的弦长相等且不为0，则a的值是()A. 12B. 1 C. 23D. 27.函数y=x12和y=−log2x在同一坐标系内的大致图象是()A. B. C. D.8.向量，且若则的值为()A. B. C. D.9.设函数的值域为R，则常数的取值范围是A. B. C. D.10.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则()A. B. C. D.11.的值为A. B. C. D. ．12.设定义在(0,+∞)上的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)−log2x)=6，若x0是方程f(x)−f′(x)=4的一个解，且x0∈(a,a+1)，a∈N，则a等于()．A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）13.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α，β，则2α+β=______ ．14.圆内接四边形ABCD中，cosA+cosB+cosC+cosD=______ ．−1+t(其中t为常数).若a=−ef(−e)，15.设定义在R上的奇函数f(x)满足：x≤0时，f(x)=1e xb=f(1)，c=2f(2)，则a，b，c的大小关系是______.(用“<”连接)16.函数的图象可以先由的图象向平移个单位，然后把所得的图象上所有点的横坐标为原来的倍(纵坐标不变)而得到．17.已知A有限集合，，若的子集个数分别为，且，则__．18.下列说法：①线性回归方程ŷ=b̂x+â必过(x,y)；②命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x<1，x2+3<4”③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是______(把你认为正确的结论都写在横线上)本题可参考独立性检验临界值表：P(K 2≥k)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k2.7063.8415.0246.63510.82819. 已知f(x)是奇函数，满足f(x +2)=−f(x)，f(1)=2，则f(2015)+f(2016)= ______ ． 20. 已知向量a ⃗ =(2,sinθ)，b ⃗ =(cosθ,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则sin(θ+π4)cos(θ+π4)=______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +(t +2)b ⃗ ，n ⃗ =k a ⃗ +t b ⃗ (k ∈R)． (1)若t =1，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求k 的值； (2)若t ∈R ，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =5，求证：k ≤2．22. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知A ，B ，C 成等差数列，且cosAsinC =√3−14，求内角C ．23. 已知函数f(x)=2x +a2x +1(a ∈R)，(1)确定实数a 的值，使f(x)为奇函数； (2)在(1)的基础上，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(1)的基础上，求f(x)的值域．24. 如图所示，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS ，OT(点S ，T 分别在第一，四象限)上移动，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ) 求mn 的值；(Ⅱ) 求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．25. 已知函数f(x)=e 2x −m e x 是定义域为R 的奇函数，其中m 是常数．(Ⅰ)判断f(x)的单调性，并用定义证明；(Ⅱ)若对任意x ∈[−3,1]，有f(tx)+f(2t −1)≤0恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A ={x|x 2−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}， B ={x|−2<x ≤1}，∴A ∪B ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]． 故选：B ．求出集A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：设扇形的弧长为：l ，半径为r ，所以2r +l =6， S 面积=12lr =2，所以解得：{l =4r =1或{l =2r =2，所以扇形的圆心角的弧度数是α=lr =4或1． 故选：B ．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=lr 求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．3.答案：C解析：解：对于A ，y =x 2+2是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意； 对于B ，y =|x|+1是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意； 对于C ，y =−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递减的，所以满足题意； 对于D ，y =e |x|是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意． 故选：C ．根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可． 本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的应用问题，是基础题目．4.答案：C解析：本题考查了平面向量共线定理以及函数零点和等比数列、三角函数的定义应用问题，是综合题，但又是基础题．A，举例说明函数f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)f(b)<0；B，举例说明a+b=1时3不是3a与3b的等比中项；C，根据平面向量共线定理的定义判断即可；D，根据余弦值的定义计算即可．解：对于A，函数f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)f(b)<0，如f(x)=x2在(−1,1)内有零点，但f(−1)⋅f(1)=1>0，所以A错误；对于B，当a+b=1时，令a=1，b=0，则3a=3，3b=1，则3不是3a与3b的等比中项，所以B错误；对于C，若e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的向量，且m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=3e1⃗⃗⃗ −6e2⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ =3n⃗，即m⃗⃗⃗ //n⃗，所以C正确；对于D，角α终边经过点(3,−4)，则r=√32+(−4)2=5，cosα=xr =35，所以D错误．故选：C．5.答案：B解析：解：因为y=log a x的图象恒过(1,0)点，又y=log a(x+1)的图象是把y=log a x的图象左移1个单位得到的，所以y=log a(x+1)的图象必过定点(0,0)．故选B．根据对数函数的图象恒过(1,0)点，然后利用函数图象的平移即可得到答案．本题考查了对数的运算性质，考查了函数图象的平移，是基础题．6.答案：A解析：解：曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图象关于直线y=a的对称，又截直线y=2及y=−1所得的弦长相等，所以，两条直线y=2及y=−1关于y=a对称，所以a=2−12=12．故选：A．由曲线y=Asinωx+a的性质：在一个周期上截直线y=2与y=−1所得的弦长相等且不为0，可知两条直线关于y=a对称，由此对称性可求出a的值．本题考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题目．7.答案：C解析：解：函数y=x12是增函数，定义域为：x≥0；y=−log2x是对数函数y=log2x关于x对称的图象，正确选项为：C．故选：C．利用对数函数与幂函数的图象判断即可．本题考查函数的图象的判断，掌握基本函数的图象是解题的关键．8.答案：B解析：本题考查向量的数量积及其运算性质，考查向量的模，考查两角和差公式，解题的关键求得．根据向量的数量积公式结合两角差的余弦公式得，再由可得，可得的值，进而得的值．解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴．故选B．9.答案：C解析：试题分析：由于已知中给定的函数是分段函数，因此求解值域要分别求解值域，再取其并集，那么可知，当x>2时，f(x)>，当x，则根二次函数的性质，那么f(x)=，那么值域为R，可知并集为R，因此利用数轴法表示得到a的范围是，故选C．考点：本试题主要是考查了分段函数的值域。

珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试数 学2020.9一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

2．错误!未找到引用源。

A ．1B ．2C ．−iD ．−2i3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种4．一球错误!未找到引用源。

内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形错误!未找到引用源。

，过错误!未找到引用源。

作与球错误!未找到引用源。

相切的平面错误!未找到引用源。

，则直线错误!未找到引用源。

与平面错误!未找到引用源。

所成的角为 A ．30°B ．45°C ．15°D ．60°5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

6．若定义在错误!未找到引用源。

上的奇函数f (x )在错误!未找到引用源。

单调递增，且错误!未找到引用源。

，则满足错误!未找到引用源。

的解集是A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则错误!未找到引用源。

的最大值是A．错误!未找到引用源。

B．2 C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

8．直线错误!未找到引用源。

2020-2021高一数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-2．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞4．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．20226．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -7．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x10．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．412．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.15．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.16．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________17．已知函数1()41xf x a =+-是奇函数，则的值为________. 18．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.19．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．20．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________． 三、解答题21．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.22．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由. 23．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值. 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅---. 25．已知．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围．26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.3．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞.内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．5．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.【详解】()()10f x f x ++-=，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.6．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.7．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-（）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=,则()()()012f f f <-<故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知343333log 2log 342a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以3c ∈， 所以a c b <<，故选B.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2．故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．14．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．16．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .17．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为1218．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段解析：13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立， 则函数()f x 在R 上为减函数，∵函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，故22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩， 计算得出：13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.20．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周 解析：16【解析】 【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称； 又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m << 【解析】 【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】 （1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下： 由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数； （2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)mf x x x >--恒成立，即221log log 1(1)(7)x mx x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]2,4x ∈，所以107mx x+>>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15， 所以015m <<. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22．(1)()2,2-；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出x 的取值范围即可； （2）根据奇偶性的定义即可证明函数()f x 是定义域上的偶函数．（3）将方程()f x x =变形为()22log 4x x -=，即242xx-=，设()242xg x x =--（22x -≤≤），再根据零点存在性定理即可判断. 【详解】 解：（1）()()()22log 2log 2f x x x =-++2020x x ->⎧∴⎨+>⎩，解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-； （2）证明：∵对定义域()2,2-中的任意x ， 都有()()()()22log 2log 2f x x x f x -=++-= ∴函数()f x 为偶函数；（3）方程()f x x =有两个实数根， 理由如下：易知方程()f x x =的根在()2,2-内， 方程()f x x =可同解变形为()22log 4x x -=，即242xx-=设()242x gx x =--（22x -≤≤）.当[]2,0x ∈-时，()g x 为增函数，且()()20120g g -⋅=-<， 则在()2,0-内，函数()g x 有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，又因为偶函数，在()0,2内，函数()g x 也有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根， 所以原方程有两个实数根. 【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题． 23．（1）证明见解析（2）0m =或2m = 【解析】 【分析】（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()22211x m x --=-，计算得到答案. 【详解】（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-， 又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->， 即1211221x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()120f x f x ->.所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. （2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭， 所以()22211x m x --=-，所以()211m -=，0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 24．（1）99；（2）3-. 【解析】 【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可； （2）直接利用对数运算性质即可得出. 【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- 99=.（2）原式323log 313lg 10=---31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 25．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得.试题解析：（1）由函数的定义域为可得:不等式的解集为，∴解得，∴所求的取值范围是（2）由函数在区间上是递增的得： 区间上是递减的， 且在区间上恒成立；则，解得26．(1)(,5)-∞;(2)()0,1. 【解析】 【分析】（1）由(5)8(2)f f =求得a 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案； （2）作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t 的取值范围. 【详解】 (1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2x f x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+ 得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2x f x =,由题知21xy =-图象与y t =图象有两个不同交点,t由图知:(0,1)【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。

2020-2021高一数学上期末一模试卷含答案(3)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－153．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]4．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．37．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根8．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．9．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1110．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值11．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.15．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．16．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．17．设,,x y z R +∈，满足236x y z==，则112x z y+-的最小值为__________. 18．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 19．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.22．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.23．已知函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数.（1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知()()122x x f x a a R +-=+∈n .（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a 的取值范围.25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.4．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．5．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解，故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.6．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．7．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.8．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误； 本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,12)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,12〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2．故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．14．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】 【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.15．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】 【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．16．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．17．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】 【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当x =.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.18．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围. 【详解】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤< 故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.19．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】 【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+， 又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+， 综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+； 故答案为()1x x + 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化． 【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去；若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根，由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==；（3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==， 设2lg 1lg my x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21my t t=+-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421mt t≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，所以[2,)m ∈+∞．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．22．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤ 【解析】 【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤. （Ⅱ）,M N M ⋃=QN M ∴⊆当N =∅时，121a a +>+，即0a <； 当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤. 综上：2a ≤. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题. 23．（1）证明见解析（2）44a -≤≤ 【解析】 【分析】（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】解：（1）∵函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数，()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-⋅+⋅+3131331x x x x m m --∴=+⋅+，()(1)310x a ∴--=，等式()(1)310xm --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，则31()31x x f x -=+，即2()131x f x =-+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，()()()()()121212122332231313131x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭， 因为12x x <，则1233x x ≤，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数; （2）由不等式()21cos sin 32f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立， 则()2cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数，则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，[1,1]t ∈-，则222()33024a a g t t at t ⎛⎫=++=++-≥ ⎪⎝⎭在[1,1]-上恒成立.①当12a->时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-， 所以42a -≤<-；②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭.即a -≤≤22a -≤≤； ③当12a-<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，综上，当44a -≤≤时，不等式()21cos sin 32f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题. 24．(1)答案见解析；(2)253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 试题分析：(1)函数为奇函数，则()()0f x f x -+=，据此可得2a =-，且函数()f x 在R 上单调递增；(2)原问题等价于22252x x a =-⋅+⋅在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令2x t =，结合二次函数的性质可得a 的取值范围是253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 试题解析： （1）因为是奇函数，所以()()()()1122222220x x x x x x f x f x a a a -++---+=+⋅++⋅=++=，所以；在上是单调递增函数;(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，即方程在区间(0,1)上有两个不同的根， 所以方程在区间上有两个不同的根，画出函数在(1,2)上的图象,如下图,由图知,当直线y =a 与函数的图象有2个交点时,所以的取值范围为.点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 25．（1）()g x 为奇函数；（2）20 【解析】 【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值. 【详解】（1）12()12xxg x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈.因为11112212()()112212xx x xx x g x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=.所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题. 26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题一、单选题1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【解析】本题首先可以通过对不等式24x >、230x x -<进行计算得出集合A 和集合B 中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果. 【详解】24x >，即2x >或2x <-，则集合()(),22,A =-∞-⋃+∞，230x x -<，即650x x ，解得56x ，则集合()5,6B =-，故(5,2)(2,6)A B ⋂=--⋃， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.2．27(1)i i-=（ ） A ．1 B ．2C ．−iD ．−2i【答案】B【解析】利用复数的四则运算，计算结果即可. 【详解】化简得2732(1)22221i i i i i ----====-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题.3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种【答案】B【解析】对医生a 去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果. 【详解】若医生a 去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得322742210C C C =； 若医生a 去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得331741140C C C =；所以不同的选派方式共有210140350+=种. 故选：B. 【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．15°D ．60°【答案】D【解析】分析得平面α与圆锥底面平行，求直线AC 与圆锥底面所成的角，即得结果. 【详解】如图所示截面为正三角形的三棱锥中，,,A B C 在球O 上，过C 作与球O 相切的平面α必然与圆锥底面平行，则直线AC 与平面α所成的角，即直线AC 与圆锥底面所成的角，即60CAB ∠=︒， 故选：D. 【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础题.5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（ ）A ．14B ．12C ．38D ．58【答案】A【解析】根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【详解】由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P 两种乐器都会演奏的同学12181)4C C ==故选：A 【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概率公式求概率；6．若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()50f -=，则满足()0xf x <的解集是（ ） A ．()(),55,-∞-+∞ B ．()(),50,5-∞- C ．()()5,05,-+∞D ．()()5,00,5-【答案】D【解析】分析出函数()f x 在(),0-∞单调递增，可得出()50f =，然后分0x >、0x =、0x <三种情况解不等式()0xf x <，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，则该函数在(),0-∞单调递增， 且()00f =，()()550f f =--=. 显然当0x =时，()000f ⨯=；当0x >时，由()0xf x <可得()()05f x f <=，解得05x <<； 当0x <时，由()0xf x <可得()()05f x f >=-，解得5x 0-<<. 因此，不等式()0xf x <的解集为()()5,00,5-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是（ ） A ．14B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】构建A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)P x y 则可用坐标表示22AP BP x x y ⋅=-+，由于,x y 是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x 和y 的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为AP BP ⋅的最大值 【详解】构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD 边长为1，知：(1,0),(1,1),(0,1)B C D ， 若令(,)P x y ，即(,)AP x y =，(1,)BP x y =-； ∴22AP BP x x y ⋅=-+，而01x ≤≤，01y ≤≤，则2211()()24f x x x x =-=--在01x ≤≤上0x =或1x =有最大值为0，2()g y y =在01y ≤≤上1y =有最大值为1；∴AP BP ⋅的最大值为1 故选：C本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值8．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e【答案】C【解析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x '=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．53D ．35【答案】AB【解析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可. 【详解】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2ab=，251c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭. 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10．如图是函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的部分图象，则（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()12sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12sin 22f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()12cos 2f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】由图象可求得函数()y f x =的振幅A 以及最小正周期T ，可求得ω的值，再将点()0,2的坐标代入函数()y f x =的解析式可求得ϕ的值，结合诱导公式可得出合【详解】由图象可得()max 2f x A ==，该函数的最小正周期T 满足122T π=，可得4T π=，212T πω∴==，所以，()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又()02sin 2f ϕ==，可得sin 1ϕ=，()22k k Z πϕπ∴=+∈，()1112sin 22sin 2cos 22222f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 、D 选项合乎要求；对于A 选项，()112sin 2sin 2422f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎要求；对于C 选项，()1112sin 2sin 2cos 22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项合乎要求. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知0ab <，则（ ） A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 【答案】ACD【解析】由,a b 异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】0ab <即,a b 异号；∴222a b ab +≥成立，故A 正确，而B 错误； 又2()0a a b =a ab -->，故C 正确；||()()2b a b a a b a b +=-+-≥=当且仅当=-a b 时等号成立，故D 正确 故选：ACD本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题；12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ） A ．()(2)E X g = B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 【答案】CD【解析】先求出1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++和123()23i n E X p p p ip np =++++++，并判断123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，则排除选项A ，判断选项C 正确；再求出X 的分布列和1()f x 的解析式，最后求出1225(2)4f =，则排除选项B ；判断选项D 正确. 【详解】解：因为230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，则1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++，123()23i n E X p p p ip np =++++++， 令1x =时，123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811234321()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321225(2)2222222161616161616164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项B 错误；选项D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查导数的运算、由X 生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.三、填空题13．椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与E 交于A ，B两点，1AF 、2BF 都与x 轴垂直，则||AB =________．【解析】根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中,,a b c 三者之间的关系，可以求得21c =，设出()()111,,1,A y B y --，由两点间距离公式可以求得AB =据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得2194y =，之后代入求得AB ==. 【详解】在已知椭圆中，222431c a b =-=-=， 因为直线l 过原点，交椭圆于,A B 两点， 则A 与B 关于原点对称， 又1AF 、2BF 都与x 轴垂直，设()()111,,1,A y B y --，则AB ==又A 在椭圆上，则211143y +=，得2194y =，则AB ==，【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中,,a b c 三者之间的关系，椭圆上点的坐标的特征，两点间距离公式，属于基础题目. 14．将数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}na 的前10项和为________（用数字作答）． 【答案】2046【解析】本题首先可以根据题意确定数列{}n a 的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是由数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到，所以数列{}n a 的前10项为2、22、32、42、、102，则{}n a 的前10项和为101121222204612，故答案为：2046. 【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15．已知α、β为锐角三角形的两个内角，sin α=sin()αβ+=，则cos 2β=____．【答案】12-【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos α、cos()αβ+，再用凑角得到cos β，最后利用二倍角公式得到答案.【详解】因为α、β为锐角三角形的两个内角， 所以0<,022ππαβ，<2παβπ，因为sin α=，sin()αβ+=，所以1cos 7α===，11cos()14αβ+===-， 所以cos cos()cos()cos sin()sin ββαααβααβα=+-=+++11111477142=-⨯+=， 则211cos 22cos12142ββ=-=⨯-=-， 故答案为：12-. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题. 16．一半径为R 的球的表面积为64π，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．【答案】【解析】由球体的表面积公式求出半径R ，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c 即有222+=a b c 、2232a b +=，最后利用长方体的体积公式有V =【详解】由半径为R 的球的表面积为64π，知：2464R ππ=，有4R =；由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222+=a b c ，2222464a b c R ++==；∴2232a b +=，而长方体体积V abc ==∴3222()2a b V +=≤=当且仅当4a b ==时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对角截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值四、解答题17．在①1cos 2B =，②1cos 2C =，③cos 2C = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角△ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，1b =，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sin sin )cos 0B A C -=，结合题设可知2a b =且1b =、2a =，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求c 的值；【详解】△ABC 中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+∴(2sin sin )cos 0B A C -=；∵△ABC 不是直角三角形；∴cos 0C ≠，则有2sin sin B A =，即2a b =，而1b =，即有2a =； 选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=；由sin sin b a B A= 得sin 1A =>不合理，故△ABC 不存在.选②：由1cos 2C =得：c ==222b c a +=； ∴A 为直角，不合题设，故△ABC 不存在．选③：由cos 2C =得：c ==． 【点睛】 本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾；18．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足3452a a a +=，121a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log (3)n n t a =，求数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）本题首先可设数列{}n a 的公比为q ，然后根据题意得出2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，通过计算求出1a 和q 的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据123n n a -=得出1n t n =-，然后根据1n t n =-得出121111n n t t n n ++=-+，最后通过裂项相消法求和即可得出结果. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，因为3452a a a +=，121a a +=，所以2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故{}n a 的通项公式123n n a -=. （2）因为123n n a -=，所以122log (3)log 21n n n t a n -===-，则121111(1)1n n t t n n n n ++==-++， 故数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为： 1111111(1)()()()2233411n n T n n n =-+-+-++-=++． 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有：111(1)1n n n n =-++、11(1)1k n n n n k 、1111()n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等，考查计算能力，是中档题. 19．如图，三棱锥P ABC -中，2AC BC PC PB ====，120ACB ∠=，平面PBC ⊥底面ABC ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABC ；（2）求二面角P CE B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）利用等腰三角形三线合一可得PD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得出PD ⊥平面ABC ；（2）取CE 中点F ，连接DF 、PF ，证明出CE ⊥平面PDF ，可得出二面角P CE B --的平面角为PFD ∠，通过解PDF 可求得tan PFD ∠，进而得解.【详解】（1）证明：PC PB =，D 是BC 中点，PD BC ∴⊥，平面PBC ⊥底面ABC ，平面PBC底面ABC BC =， PD ⊂平面PBC ， PD ∴⊥平面ABC ；（2）如图，取CE 的中点F ，连接DF 、PF ，则//DF AB ，2AC BC PC PB ====，E 是AB 的中点，120ACB ∠=，则30CBE ∠=， CE AB ∴⊥，DF CE ∴⊥，cos303BE BC ==，223PD PD BD -=132DF BE ==， PD ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，CE PD ∴⊥，PD DF D =，CE ∴⊥平面PDF ，PF ⊂平面PDF ，CE PF ∴⊥，PFD ∴∠为二面角P CE B --的平面角. 在Rt PDF 中，3tan 232PD PFD DF ∠===，因此，二面角P CE B --的正切值为2. 【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)指标值频2184814162数（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值．（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为ξ(单位：元)，求ξ(元)的分布列．【答案】（1）118元；（2）答案见解析.【解析】（1）根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用η的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则X=-，根据频数分布表得到X的分布列为:50,70,130,190-70130190X50设备升级前利润的期望值为:()0.14(50)0.18700.281300.4190118E X =⨯-+⨯+⨯+⨯=∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为η(元)则120,180,240η=，患者购买一件合格品的费用η的分布列为故患者随机购买两件时240,300,360,420,480ξ= 111(240)6636P ξ==⨯= 111(300)339P ξ==⨯= 11115(360)2263318P ξ==⨯⨯+⨯= 111(420)2323P ξ==⨯⨯= 111(480)224P ξ==⨯= 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题.21．已知函数2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++，0a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点的个数．【答案】（1）减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）0a >时，()f x 有两个零点；0a =时， ()f x 只有一个零点．【解析】（1）利用函数求导，判断导数符号确定()f x 的单调性即可；（2）对a 进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.【详解】解：（1）∵2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++∴()(1)(e 2)x f x x a '=-+ 0a ≥时20x e a +>，故1x <时()0f x '<，1x >时()0f x '>.∴0a ≥时，()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）①0a >时，∵()01f '=且()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞ ∴(1)0f e =-<是()f x 的极小值，也是最小值，(2)0f a =>，取0b <且ln 2a b <则22()(2)(1)(2)(1)(23)022b a a f b b e a b b a b b b =-+->-+-=-> ∴()f x 在(,1)b 和(1,2)上各一个零点；②0a =时，()(2)x f x x e =-，只一个零点2x =，综上，0a >时，()f x 有两个零点；0a =时，()f x 一个零点．【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题.22．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点(0,)2p F (0)p >到直线:2l y x =-的距离为2，00(,)P x y 为直线l 上的点，过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ，切点为M N 、． （1）求抛物线E 的方程；（2）若(3,1)P ，求直线MN 的方程;（3）若P 为直线l 上的动点，求||||MF NF ⋅的最小值．【答案】（1）2:4E x y =；（2）:3220MN x y --=；（3）92． 【解析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解p 的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p ，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将||||MF NF ⋅进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由(0,)2pF 到直线:20l x y --=的距离为2|2|2p+=得2p =或10p =-∵0p >∴2p =∴抛物线2:4E x y =(2) 由2:4E x y =知214y x = ∴2xy '=设切点11(,)M x y ，22(,)N x y 则21111111:()22222x x x x PM y y x x x x y -=-=-=- 即11:2x PM y x y =-22:2x PN y x y =-∵P PM ∈，P PN ∈ ∴112231023102x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即112232203220x y x y --=⎧⎨--=⎩∴:3220MN x y --=．(3)若P 为直线l 上的动点，设00(,)P x y ，则002x y =+由(2)知∵P PM ∈，P PN ∈∴011002200202x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ ∴00:02x MN x y y --=与2:4E x y =联立消x 得 222000(24)0y y y y y -+++=…………“”则1y ，2y 是“”的二根∴21200212024y y y y y y y ⎧+=++⎨=⎩ 121212||||(1)(1)1MF NF y y y y y y ⋅=++=+++200225y y =++ 当012y =-时，||||MF NF ⋅得到最小值为92． 【点睛】 本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.。

广东省珠海市市第一中学高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 小华到某文具店想买2支钢笔或3支圆珠笔，现知6支钢笔和3支圆珠笔的价格之和大于24元，而4支钢笔和5支圆珠笔的价格之和小于22元，若设2支钢笔的价格为元,3支圆珠笔的价格为元，则（）A． B． C．D．不确定参考答案：A2. 下列计算正确的是( )A．（a3）2=a9 B．log26﹣log23=1C．a?a=0 D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）参考答案：B【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用有理指数幂以及对数运算法则判断选项即可．【解答】解：（a3）2=a6，A不正确；log26﹣log23=log22=1，B正确；a?a=a0=1，C不正确；log3（﹣4）2=2log3（﹣4），不正确；故选：B．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．3. 下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；③y=x与y=log a a x（a＞0且a≠1）表示同一个函数；④函数f（x）=a x+1﹣1的图象过定点（﹣1，﹣1）．正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据映射和函数的定义，可判断①；判断函数图象的形状，可判断②；根据同一函数的定义，可判断③；求出函数图象所过定义，可判断④．【解答】解：①函数是其定义域到值域的映射，为真命题；②函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线上的散点，为假命题；③y=x与y=log a a x=x（a＞0且a≠1）的定义域相等，解析式相同，故表示同一个函数，为真命题；④函数f（x）=a x+1﹣1的图象过定点（﹣1，0），为假命题．故选：B4. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD 所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG==1，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，理解异面直线夹角的定义利用平移法，构造出满足条件的平面角是解答的关键．5. 若集合，，且，则的值为（）A． B． C．或D．或或参考答案：D6. 已知，向量与垂直，则实数的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：解析：向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A。

2021珠海一模（理数）含答案--全WORD--精心排版珠海市2021--2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.x1．已知全集U?R，集合A?yy?2,x?R，则CUA＝（）??A．? B．(0，＋∞) C． (－∞，0] D．R 2．已知a,b是实数，则“??a?2”是“a?b?5”的（）?b?3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l,m和平面?，则下列命题正确的是（）A．若l//m,m??，则l//? B．若l//?,m??，则l//m C．若l?m,l??，则m//? D．若l??,m??，则l?m 5．已知是虚数单位，复数i＝（） 3?i13131313A．?i B．??i C．??i D．??i8810101010886．函数y?sin?2x? A．向左平移?????的图象可由函数y?sin2x的图象（）4?ππ个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到88ππ C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到44?x?y?5?0?7．若实数x,y满足不等式组?x?y?0 则2x?4y的最小值是（）?x?3?A．6 B．4 C．?2 D．?68．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=x1?x2?y1?y2，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D.3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题）19．函数y?sinx的导函数y?? ． x10．在递增等比数列?an?中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝．11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：合唱社粤曲社武术社a 45 30 高一15 10 20 高二学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C＝?3，b?3，若△ABC的面积为33 ，则c= ． 2x2y213．如图，F1，F2是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1ab的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：??x?t?2(t为参数）与曲线C2：?y?1?2t?x?3cos?（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为 . ?y?3sin??15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5， AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．??16．（本小题满分12分）设向量a??2,sin??,b??1,cos??，?为锐角．??13b?，求sin??cos?的值；（1）若a?6?????（2）若a//b，求sin?2???的值．3??17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证：BC//平面C1B1N；2（2）求证：BN?平面C1B1N；（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1，并求BP的值. PCx2y219．(本题满分14分) 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，ab?AF1F2为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．12ax?2x，g(x)?lnx. 2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；g(x)1（2）是否存在实数a?0，使得方程?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根？若xe存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数f(x)?21．（本题满分14分）已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式；an(an?2)* (n?N). 411115(n?N*)； ??????3333a1a2a3an32?an?11111（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?)(1?)???(1?)cos对一切n?N*都成立？?a1a2an2an?1（2）求证：若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.珠海市2021~2021学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABD AADB 二、填空题：9、三、解答题：xcosx?sinx 10、2 11、150 12、x27 13、13 14、 4 15、 63??131b?2?sin?cos??，?sin?cos??…………… 3分 16．解：（1）因为?a?66??sin??cos???1?2sin?cos??2423，又??为锐角，?sin??cos??．………… 6分33??2sin?cos?2tan?4??（2）解法一：?a//b，?tan??2…… 8分，?sin2??2sin?cos??，sin2??cos2?tan2??15cos2??sin2?1?tan2?3cos2??cos??sin?????………… 10分sin2??cos2?tan2??1522??13143?3?4?33? (12)分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10???255解法二：?a//b，?tan??2 (8)分，?sin??， ,cos??55?sin2??2sin?cos??4322，cos2??cos??sin???…………… 10分55??13143?3?4?33?………… 12分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10?17. 解：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=4?4?4?64 …… 3分222C4C3A22?3?3?29??………… 7分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2?4?4?41643(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为?，则?＝0,1,2,3113C3?32273?C3C3332791P(?＝0)＝3?，P(?＝1)＝，P(＝2)＝，P(＝3)＝ (9)分 ?????464436443644364?的分布列是2727913?1??2??3?? ………… 12分 64646464418. 解：（1）证明：E??0? 4?该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，?BA,BC,BB1两两互相垂直。