一种解析的反向运动学方法

逆运动学迭代法解析法
逆运动学是机器人学中的一个重要概念，它涉及到确定机器人在给定末端执行器位置时各关节的位置和姿态。

逆运动学问题在机器人控制和路径规划中起着关键作用。

为了解决逆运动学问题，工程师们开发了多种方法，其中包括迭代法和解析法。

迭代法是一种常用的逆运动学求解方法。

它通过不断迭代计算来逼近最优解。

在机器人控制中，迭代法通常涉及到不断调整关节角度，直到机器人末端执行器达到期望位置。

这种方法的优点是可以适用于各种复杂的机器人结构和运动学模型，但缺点是可能需要较长的计算时间和不一定能收敛到全局最优解。

另一种逆运动学求解方法是解析法。

解析法通过数学推导和求解方程组来获得逆运动学解析解。

这种方法的优点是能够直接获得解析解，计算速度较快，并且能够得到全局最优解。

然而，解析法只适用于简单的机器人结构和运动学模型，对于复杂的情况可能无法得到解析解。

在实际应用中，工程师们通常会根据具体情况选择适合的逆运动学求解方法。

对于简单的机器人结构和运动学模型，可以采用解
析法获得快速且精确的解，而对于复杂的情况，则可以考虑使用迭代法来逼近最优解。

同时，也有一些混合方法结合了迭代法和解析法的优点，以求得更好的逆运动学解决方案。

总之，逆运动学问题的解决对于机器人控制和路径规划至关重要，而迭代法和解析法则是两种常用的逆运动学求解方法，它们各自具有优缺点，工程师们需要根据具体情况选择合适的方法来解决逆运动学问题。

机器人运动学随着科技的不断发展，机器人已经逐渐成为了人们生活中不可或缺的一部分。

机器人的出现不仅改变了人们生活的方方面面，还为工业、医疗等领域带来了巨大的变革。

作为机器人领域的核心技术之一，机器人运动学是机器人技术中的重要组成部分。

本文将从机器人运动学的基本概念、运动学分析、运动规划等方面进行详细的阐述。

一、机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人运动的学科，主要研究机器人的运动规律、运动学模型、运动学分析和运动规划等问题。

机器人运动学的基本概念包括机器人的自由度、坐标系、位姿等。

1. 机器人的自由度机器人的自由度是指机器人能够自由运动的方向和数量。

机器人的自由度通常是由机器人的关节数量决定的。

例如，一个具有6个关节的机器人，其自由度就是6。

机器人的自由度越大，机器人的运动能力就越强。

2. 坐标系坐标系是机器人运动学中的重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。

机器人通常使用笛卡尔坐标系或者极坐标系来描述机器人的位置和姿态。

在机器人运动学中，通常使用基座坐标系和工具坐标系来描述机器人的运动。

3. 位姿位姿是机器人运动学中的另一个重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。

位姿通常由位置和方向两个部分组成。

在机器人运动学中，通常使用欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述机器人的位姿。

二、机器人运动学分析机器人运动学分析是指对机器人的运动进行分析和计算，以确定机器人的运动规律和运动学模型。

机器人运动学分析通常涉及到逆运动学、正运动学和雅可比矩阵等内容。

1. 逆运动学逆运动学是机器人运动学分析中的重要内容，用于确定机器人关节的运动规律。

逆运动学通常包括解析解法和数值解法两种方法。

解析解法是指通过数学公式来计算机器人关节的运动规律，数值解法是指通过计算机模拟来计算机器人关节的运动规律。

2. 正运动学正运动学是机器人运动学分析中的另一个重要内容，用于确定机器人末端执行器的位置和姿态。

正运动学通常包括前向运动学和反向运动学两种方法。

第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系知识点一 匀变速直线运动的位移位移与时间的关系[思考判断]（1）物体的初速度越大，位移越大。

（×） （2）物体的加速度越大，位移越大。

（×）（3）物体的平均速度越大，相同时间内的位移越大。

（√）,0～t 1时间内位移x 1取正值，t 1～t 2时间内的位移x 2取负值，则0～t 2时间内的总位移x ＝x 1＋x 2。

知识点二速度与位移关系[观图助学]如图所示，A、B、C三个标志牌间距相等为x，汽车做匀加速运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌的速度为v A，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度v B和v C吗？1.公式：v2－v20＝2ax。

2.推导速度公式v＝v0＋at。

位移公式x＝v0t＋12at2。

由以上两个公式消去t，可得：[思考判断]（1）公式v2－v20＝2ax适用于任何直线运动。

（×）（2）物体的末速度越大，位移越大。

（×）（3）对匀减速直线运动，公式v2－v20＝2ax中的a必须取负值。

（×）,左图中，利用x＝v A t＋12at2可求时间t，再利用vB＝v A＋at求v B，同理求v C。

描述直线运动的五个物理量有x、a、t、v、v0，公式v2－v20＝2ax中不包含时间t。

核心要点匀变速直线运动位移公式的理解与应用[要点归纳]1.适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动。

2.矢量性：公式x ＝v 0t ＋12at 2为矢量公式，其中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。

一般选v 0的方向为正方向，那么匀加速直线运动，a 取正，匀减速直线运动，a 取负。

3.两种特殊形式（1）当a ＝0时，x ＝v 0t （匀速直线运动）。

（2）当v 0＝0时，x ＝12at 2（由静止开始的匀加速直线运动）。

[试题案例][例1] 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v 0＝5 m/s ，加速度大小为a ＝ 0.5 m/s 2，求：（1）物体在前3 s 内的位移； （2）物体在第3 s 内的位移； （3）物体在15 s 内的位移。

解答运动学问题的思路与方法综述匀变速直线运动是高中物理中的重要内容，也是历年高考的必考内容。

这部分知识不仅自成体系，而且与力学、电学、光学等知识联系紧密。

近年来高考考查的重点是匀变速直线运动的规律以及v-t 图象的应用。

对本章知识的单独考查主要是以选择、填空的形式命题。

虽然没有仅以本章知识单独命题的计算题，但较多的是将本章知识与牛顿运动定律、功能知识、带电粒子在电场中的运动等知识结合起来考查。

所以从本章在物理学中的地位看，可以说是学习力学，乃至电磁学的基础。

另外需要指出的是，考纲中虽然不要求会用v-t 图去讨论问题，但实际上高考中图象问题却频频出现，且要求较高。

原因是图象问题属于数学方法在物理学中应用的一个重要方面。

运动图象是学生进入高中后首次接触到的图象，是学习其它图象的基础。

因此，不论是从今后的学习和发展，还是从高考的角度看，都应对运动图象予以足够重视。

由于本章涉及的基本公式和导出公式繁多，且各公式之间又相互关联，使得处理问题的方法也不唯一，因此本章的题目常可一题多解。

这就使不少学生在解答具体问题时，因为找不到简捷的方法，使解题过程复杂化，白白浪费了时间，增加了难度。

本文就拟对解答运动学问题的思路与本章涉及的许多特殊方法，象比例法、逆向转化法、平均速度法、图象法、巧选参照考系法等作一综合分析。

以便使学生达到能够根据试题特点，迅速准确找到一种行之有效的方法，从而顺利解题的目的。

一、依靠匀变速直线运动的基本公式匀变速直线运动的速度公式at v v t +=0，位移公式2021at t v s +=，以及重要推论as v v t 2202=-是匀变速直线运动的最基本的公式。

一般来说，利用这三个基本公式可以求解所有的匀变速直线运动问题。

以上公式中涉及的五个物理量，上述三个基本公式含有五个物理量中的四个，每个公式中各缺少一个物理量，解题时题目中不要求或不涉及哪个物理量，就选用缺这个物理量的公式，这样可少走弯路。

运动学解题方法-逆向法运动问题的解法较多，同学们在解有关问题时，要注意培养自己的发散思维，一个有效的训练是对一道题要尽可能从不同角度不同方位去分析，既要掌握最基本的解题方法，也要注意分析题目的特点，选用灵活巧妙的解题方法。

长此下去，一定能提高在解题时的应变能力。

逆向法这种思维方法是对物理过程的反向思维。

逆向法思路：是一般思维过程的逆过程，在解题时常常具有独到之处。

例题从A点竖直上抛的小球经B点达到最高点C，若小球在BC段运动所用的时间是小球上升过程总时间的1/3，则小球在A，B两点的速度之比V A:V B＝ __________，A，B两点距离和B，C两点距离之比H AB:H BC＝ __________解此题时可用逆向法这种思维方法，竖直上抛运动上升阶段的逆运动是自由落体运动，据题意可见如右运动示意图。

由初速度为零的匀变速运动规律,将自由落体运动阶段分为三个时间相等的阶段.其速度之比为1:2:3;其位移之比为1:3:5再返回原题A,B两点的速度之比V A:V B＝ 3:1A，B两点距离和B，C两点距离之比H AB:H BC＝ 8:1答案：3:1 8:1 练习题我国航天局宣布，我国已启动“登月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船，2010年左右实现登月飞行。

下面是与登月行动有关的一个问题。

人类为了探测距地球约30万公里的月球，发射了一辆四轮的登月探测小车，它能够在自动导航系统的控制下行走，且每隔10秒向地球发射一次信号，探测器上还装有两个相同的减速器（其中一个是备用的），这种减速器最多能使小车产生5米/秒2的加速度。

某次探测中，探测器的自动导航系统出现故障，探测器因匀速前进而不能避开正前方的障碍物，此时，地球上的科学家必须对探测器进行人工遥控操作。

下表是控制中心的显示屏上的数据信息：收到信号的时间发射信号的时间信号的内容9时10分20秒与前方障碍物相距52米9时10分30秒与前方障碍物相距32米9时10分33秒使小车以2米/秒2的加速度减速9时10分40秒与前方障碍物相距12米已知控制中心信号发射和接受设备工作速度极快，科学家每次分析数据并输入命令最少需要3秒。

ik反向运动原理IK反向运动（Inverse Kinematics，IK）是计算机图形学和动画领域的一个重要概念和技术。

它主要用于确定一个物体的末端位置，然后反向计算出使得末端位置能够达到指定目标位置的关节参数。

本文将通过介绍IK的原理、应用和实现方法来详细解释IK反向运动。

一、什么是IK反向运动？IK反向运动是一种计算机图形学和动画中的技术，用于计算使得物体的末端位置达到目标位置所需要的关节参数。

相比于正向运动（即由关节参数决定末端位置），IK反向运动更加自然而有效。

它常常用于虚拟角色的动画、机器人运动控制和虚拟现实等领域。

二、IK反向运动的原理IK反向运动的原理基于逆向运动学的概念。

逆向运动学是指通过已知的末端位置来计算关节参数的过程。

在IK反向运动中，我们通过一个目标位置来计算使得物体末端位置能够到达该目标的关节参数。

1. 关节链IK反向运动中，通常会涉及到一个关节链（Joint Chain）。

关节链是由多个相互连接的关节组成的，每个关节通过旋转或者平移运动来控制物体的末端位置。

2. 关节限制每个关节都有其特定的运动范围和限制，比如关节的旋转角度或者位置的限制。

这些关节的限制也需要在IK反向运动中考虑进去，以确保关节参数的计算结果是可行的。

3. 末端位置IK反向运动中，末端位置是指需要通过反向计算得到的目标位置。

末端位置可以是二维坐标或者三维空间中的点，也可以是虚拟角色的手部或者脚部等。

4. 目标位置目标位置是末端位置需要到达的位置。

在IK反向运动中，目标位置是已知的，通过计算关节参数来使得末端位置能够达到该目标位置。

5. IK求解器IK求解器是实现IK反向运动的核心组件。

它通过迭代计算来确定使得末端位置能够到达目标位置的关节参数。

IK求解器可以采用不同的数值计算方法和优化算法，如Jacobbian迭代法、CCD算法、FABRIK算法等。

三、IK反向运动的应用IK反向运动在计算机图形学和动画领域有着广泛的应用。

正向运动学和反向运动学正向运动学和反向运动学并不完美，我在程序⾥⾯也说了，因为没有牵涉到反向运动学的知识，所以⼈物运动起来感觉脚⽆法收缩、头发⽆法飘逸的感觉。

其实在现实中这样的情况是要避免的，但是由于在动画设计的时候要指定每⼀个关节，显得⾮常费事。

所以引⼊了反向运动学这个概念。

在介绍反向运动学之前，⾸先让我们看⼀下正向运动学。

正向运动学，通俗来说是给定⽗⾻骼位置以及它的变换来得出⼦⾻骼的位置以及变换，打⼀个⽐⽅，就像运动⼿臂，可以带动⼿肘，进⽽带动⼿掌运动。

正向运动学的概念是⾮常容易理解的，实现起来也⽐较⽅便，即在场景中先绘制⽗⾻骼，应⽤⽗⾻骼的变换，然后根据这个变换绘制⼦⾻骼，以此类推。

我们可以⽤下⾯伪代码来表⽰：PushMatrix( );RenderParentBone( );ApplyParentTransform( );PushMatrix( );RenderChildBone( );ApplyChildTransform( );……PopMatrix( );PopMatrix( );反向运动学（InverseKinematics），⼜称逆运动学，与正向运动学的概念不同，是以⼦⾻骼的位置和变换反推⽗⾻骼的位置和变换，相⽐正向运动学来说，概念稍难理解。

同样打⼀个⽐⽅，我们拽着玩具机械臂的⼀头进⾏运动，可以看到机械臂的各个关节都跟着进⾏运动。

下⾯有介绍了反向运动学，⼤家可以看看。

反向运动学的概念知道了后，我们该思考⼀下如何实现反向运动学，即给定n个⾻骼以及n-1个关节形成⼀个关节链，已知末端关节的位置和⾸端关节的位置求出中间关节的位置。

⽬前⽹络上有关反向运动学的资料偏少，可能这是⼀个存在时间并不长的课题吧。

我所看到的中⽂资料仅限于⼆维的AS3相关实现，于是开始研究在三维条件下反向运动学的实现。

有⼀些参考资料，如果⼤家感兴趣的话，可以下载，我也是在研究这么多资料之后才开始着⼿实现的。

解决三维中反向运动学的问题的⽅法是分析型（⼀称解析型）的和数值型⽅法。

常用运动控制算法的技术分析一、前言随着科技的发展，运动控制领域也迅速发展，从简单的PID控制算法到运动规划算法，不断涌现出更加先进的算法。

在实际应用中，常用的运动控制算法有很多，本文将对几种常用运动控制算法进行分析，对算法的特点和适用范围进行介绍，为读者提供帮助。

二、PID控制算法PID控制算法是运动控制中最常用的一种算法。

其名称来源于其三个基本的控制参数：比例（P）、积分（I）、微分（D）。

它通过不断修改输出信号与反馈信号之间的误差，对运动设备进行控制。

1. 特点PID控制算法的优点包括控制精度高、实现简单容易、使用灵活、常用于工业自动化控制系统等。

但相应地，当误差在小范围内时，它的响应速度较慢，容易受到外界环境的扰动和噪声信号的影响，造成误差增大或不稳定的现象。

2. 适用范围PID控制算法适用于许多控制系统，包括动力学系统、机械系统、化学过程等等。

在机器人领域，它常被用来实现基本的关节控制。

三、运动规划算法运动规划算法是指在一定的限制约束下，确定运动轨迹以及路径的生成算法。

其包含多种算法，如最短时间轨迹规划、最优轨迹规划、力学优化轨迹规划等等。

1. 特点运动规划算法最大的优点是能够克服PID控制算法在缺少稳定性和准确度方面的不足，实现更加精确的控制。

此外，它还可以考虑到多个变量相互作用的影响，提供更好的运动性能。

2. 适用范围运动规划算法的应用范围广泛，包括机器人领域中的路径规划、轨迹跟踪、目标追踪等，也广泛用于物流自动化、加工中心、3D打印等领域。

四、反向运动学算法反向运动学算法是指根据末端执行器的期望运动状态，推导出各个关节的角度或位移，以达到期望运动目标的一种算法。

在机器人控制中，由于末端执行器的位置和姿态信息比较容易得到，因此反向运动学计算常被用于实现机器人的高级控制。

1. 特点反向运动学算法对实现高级机器人控制非常关键，它的主要优点是计算简单，可快速实现。

但它相对应的劣势是精确度不如运动规划算法，且容易受到机械系统误差的影响，影响系统性能。

智能制造中的工业机器人运动学分析近年来，随着智能制造技术的不断发展，工业机器人在制造业中的应用越来越广泛。

在这个领域中，工业机器人的运动学分析是非常重要的。

工业机器人的运动学分析旨在研究机器人运动姿态、轨迹规划、动力学特性等方面的问题，对于提高机器人的运动性能和精度具有重要的意义。

一、工业机器人的基本构造工业机器人通常由机械臂、控制系统和感知系统三个部分组成。

其基本构造如下图所示：其中，机械臂是机器人的主体，其由基座、臂涵和末端执行器三部分构成。

控制系统一般由电脑、控制器和驱动器组成，用于控制机器人的运动。

感知系统包括视觉、触觉、力觉和环境感知四个方面，用于收集机器人所需要的信息。

二、工业机器人的运动学问题工业机器人的运动学问题主要包括运动参数的描述、运动规划和动力学特性的分析等方面。

这些问题的解决对于提高机器人的运动精度和效率具有十分重要的意义。

1. 运动参数描述工业机器人的运动参数描述涉及到位置、速度和加速度三个方面。

其中，位置可以用笛卡尔坐标系或关节角度坐标系来描述；速度和加速度的描述则采用导数的形式，即速度为位置的一阶导数，加速度为速度的一阶导数。

2. 运动规划运动规划是指在满足一定要求条件下，为机器人设定合理的轨迹和姿态。

这个过程需要根据任务要求来设计合理的运动路径和初始状态，同时还需要考虑机器人的速度、加速度、惯性等运动参数。

3. 动力学特性分析动力学特性分析是指研究机器人的轨迹、速度和姿态等与机器人动力学相关的问题。

这些特性与机器人的质量、惯性、运动参数以及力和力矩的作用有关。

为了保证机器人的运动稳定性和精度，需要对这些特性进行分析和优化。

三、工业机器人的运动学分析方法工业机器人的运动学分析方法主要有两类：解析方法和数值方法。

1. 解析方法解析方法是利用机械学公式和解析式，对机器人的运动学问题进行分析，通过解析求解方式，得到机器人运动参数的精确解。

这种方法具有精度高、计算速度快等优点，但其求解难度较大，且只适用于特定问题的解决。

仿生青蛙运动学矩阵解仿生学（bionics）是一门研究自然界生物系统的结构、功能和行为，并借鉴其设计原理和思维方法，应用于工程技术领域的学科。

仿生学在机器人领域中广泛应用，其中仿生青蛙机器人是一种受到青蛙腿运动启发设计的机器人。

在研究仿生青蛙机器人运动学的过程中，运动学矩阵解起到了重要的作用。

仿生青蛙机器人是模仿青蛙的腿部运动，并模拟其行进方式的机器人。

青蛙的腿部运动被认为是一种高效、平滑和灵活的方式，能够适应多种地形，并具有较高的能量转换效率。

因此，借鉴仿生青蛙机器人的设计原理可以提高机器人在复杂环境中的运动能力和适应性。

运动学矩阵是描述机器人运动学的一种数学工具，它能够通过给定机器人的关节角度信息计算出机器人运动的空间位置和速度。

对于仿生青蛙机器人来说，其关节角度信息包括腿部各个关节的角度和身体姿态的信息。

通过运动学矩阵解，可以得到机器人腿部末端执行器的位置和速度，从而实现对机器人运动过程的描述和控制。

具体来说，仿生青蛙机器人的运动学矩阵解涉及到青蛙腿部关节的正向和逆向运动学问题。

正向运动学问题是给定关节角度，求解末端执行器的位置和速度，而逆向运动学问题是给定末端执行器的位置和速度，求解关节角度。

运动学矩阵解包括以下几个步骤：1. 建立仿生青蛙机器人的坐标系：根据机器人的结构和运动方式，建立仿生青蛙机器人的坐标系，包括身体坐标系和腿部关节坐标系。

2. 正向运动学求解：通过基于坐标系的变换和旋转矩阵的乘法计算，将关节角度信息转化为机器人腿部末端执行器的位置和速度。

具体计算方法可以根据机器人的结构和运动方式而定，例如使用旋转矩阵和平移矩阵等。

3. 逆向运动学求解：给定机器人腿部末端执行器的位置和速度，通过反向迭代和近似求解的方法，求解出关节角度信息。

逆向运动学问题可以通过数值求解方法，如牛顿迭代法或蒙特卡洛模拟等来解决。

4. 运动学矩阵验证和分析：对仿生青蛙机器人的运动学矩阵进行验证和分析，检查计算结果是否符合预期，评估机器人运动性能，并根据需要进行优化和改进。

六自由度机械臂逆运动学求解作者：李顺治齐鹏王凯来源：《科技风》2019年第07期摘要：进行了六自由度机械手的正运动学分析和求解，提出了一套求解六自由度机械手逆运动学问题的算法，可以最大限度地降低能耗。

首先，根据机械臂的结构特点，建立D-H坐标系，得到正向运动学模型。

然后，通过对正向运动学模型可解性的分析，通过矩阵逆乘法得到机械臂逆运动学的完整解析解。

然后，采用计算极值的方法用于计算机械臂的运动轨迹的最小能耗。

最后，采用实例验证了正向运动学模型和反向运动学解决方案的正确性。

关键词：六自由度机械臂;正运动学;逆运动学1 概述我国每年的收成耗费大量劳动力，机械臂已经成为取代人类工作的好工具。

机械手是一种设计用于模仿人体手臂的装置，可以自动移动。

它用于抓取和收获，可以取代人类无法工作的环境中的人类工作，并可以确保稳定性，在提高生产效率和降低劳动力成本方面发挥了非常重要的作用，目前已被应用于各个领域。

6自由度机械手的逆运动学问题是近年来国内外研究的热点之一。

逆运动学解决方案的难点与机械手的结构直接相关。

许多学者为六自由度机械手的逆运动学解决方案做出了巨大贡献。

在求解逆运动学问题时，迭代方法只能找到一组解;分析方法可以得到所有解，但计算复杂;人工神经网络，遗传方法等仅在理论上进行了研究，不能保证解的精度和稳定性，很少用于机械手的运动控制。

本文提出了一种实时算法来解决六自由度机械手的逆运動学问题。

在分析机械手运动特性的基础上，建立了D-H坐标系，研究机械手的运动学问题。

首先建立了机械手的正运动学模型，然后通过矩阵逆乘法求解逆运动学问题。

最后，通过仿真实验验证了机械手的正运动学模型和逆运动学解的正确性。

2 正运动学模型机械手的正向运动学解决方案是通过主要使用D-H坐标系统知道操纵器的每个关节的角度来获得操纵器的端部操纵器的期望位置。

总的思路是：首先，在每个关节中建立参考坐标系;然后确定每两个相邻坐标系之间的关系;最后，获得机械臂的总变换矩阵。

ae相反运动表达式1.引言1.1 概述相反运动是指在动画制作中，通过使用相反运动表达式来实现物体或字符在运动中反向移动的效果。

相反运动表达式是Adobe After Effects 软件中一种强大的功能，可以帮助动画制作人员轻松地实现反向运动效果，为动画增添创意和表现力。

在动画制作中，常常需要通过物体或字符的移动来表达不同的情感和动态效果。

传统的方法是通过逐帧绘制每一帧的图像，来制作动画效果。

然而，这种方法费时费力，制作过程繁琐且缺乏灵活性。

相反运动表达式的出现解决了这一问题，使得动画制作更加高效和智能化。

相反运动表达式可以应用于各种类型的动画场景，如人物走路、车辆行驶、物体移动等。

通过简单的表达式编写，即可实现物体或字符在运动中反向移动的效果。

相反运动表达式通过设置物体或字符的速度和加速度的负值，实现了动画的反向播放，使得物体或字符逆着原始路径返回。

相反运动表达式的应用广泛，不仅可以用于增加动画的变化和创意，还可以用于解决动画中的一些技术问题。

例如，当需要让一个角色在动画中来回走动时，通过使用相反运动表达式可以简单地设置一个循环动画，而无需逐帧绘制每一帧的图像。

总之，相反运动表达式是一种实用的动画技术，在动画制作中具有广泛的应用前景。

它的出现提高了动画制作的效率和质量，为动画创作带来了更多的可能性和创意。

本文将对ae相反运动表达式的定义和应用进行详细介绍，希望能够给读者带来一些启发和帮助。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：1.2 文章结构本文将从以下几个方面对AE相反运动表达式进行深入探讨：1.2.1 引言：首先对AE相反运动表达式的背景和意义进行介绍，引发读者对该主题的兴趣。

1.2.2 AE相反运动表达式的定义：对AE相反运动表达式的概念和基本定义进行详细解释，确保读者对该概念有清晰的理解。

1.2.3 AE相反运动表达式的应用：探讨AE相反运动表达式在实际应用中的价值和作用，包括其在影视特效、动画制作和视觉效果设计等领域的具体应用案例。

一、概述机械臂是一种自动化控制系统中常见的装置，它能够模拟人手的动作，广泛应用于工业生产线、医疗设备、航天航空等领域。

机械臂的运动学逆解是对机械臂的运动学方程进行反向求解，以求得机械臂在给定位置下的关节角度。

本文将针对七自由度机械臂的运动学逆解问题进行深入探讨，使用MATLAB进行数值计算和仿真。

二、机械臂的七自由度机械臂的自由度指的是它的可运动关节数量。

七自由度机械臂意味着它有七个独立的运动关节，可以在三维空间中执行更加复杂的运动。

七自由度机械臂的运动学逆解较为复杂，需要利用数学方法来求解。

三、机械臂的运动学建模机械臂的运动学建模是描述机械臂运动学性能的过程，它是机械臂控制的基础。

在进行运动学建模时，需要建立机械臂的坐标系，并推导出机械臂的正运动学方程。

对于七自由度机械臂来说，其正运动学方程通常可以表示为一个复杂的矩阵方程。

四、机械臂的运动学逆解求解方法机械臂的运动学逆解求解方法有多种，常用的方法包括解析法和数值法。

在解析法中，可以利用几何和代数方法进行分析，推导出七自由度机械臂的逆运动学方程。

而在数值法中，则可以借助数值计算软件如MATLAB来进行求解。

五、MATLAB求解七自由度机械臂的运动学逆解MATLAB是一款强大的科学计算软件，它具有丰富的数值计算函数和工具箱，可以方便地进行复杂的数值计算和仿真。

在求解七自由度机械臂的运动学逆解时，可以利用MATLAB的矩阵运算和符号计算功能，快速高效地求解出机械臂的关节角度。

六、七自由度机械臂运动学逆解的仿真利用MATLAB进行七自由度机械臂的运动学逆解仿真，可以直观地展示机械臂在给定位置下的关节角度和轨迹。

通过仿真可以验证逆解的准确性，同时可以对机械臂的运动学性能进行进一步分析和优化。

七、结论七自由度机械臂的运动学逆解是机械臂控制的关键问题，它直接影响着机械臂的运动精度和灵活性。

利用MATLAB进行运动学逆解的求解和仿真可以帮助工程师和研究人员更好地理解机械臂的运动学特性，为机械臂的控制和应用提供重要的参考和支持。

文章编号：1671-7872(2024)02-0165-08基于残差BP 神经网络的Baxter 机器人逆运动学分析方法赵杨鑫1 ，曹　旭1 ，余志强1 ，潘雨欣1 ，方　田2 ，汪　婧1 ，沈　浩1(1. 安徽工业大学 电气与信息工程学院, 安徽 马鞍山 243032；2. 中冶华天工程技术有限公司, 安徽 马鞍山243005)摘要：提出1种基于残差BP(back propagation)神经网络的自适应逆运动学分析方法，围绕数据采集至实时控制的整个运动规划流程，采集140组位置和欧拉角数据，利用残差BP 神经网络对Baxter 机械臂进行逆运动学分析，拟合得到机械臂7个关节角度；将训练好的关节角度以话题的形式发布，通过在抓取物体的脚本中订阅该话题实现通讯；结合Rviz 进行可视化展示和实物双臂协同实验，对4种物体模型分别用残差BP 神经网络和普通BP 神经网络进行抓取实验，验证所提方法的有效性。

结果表明：所提方法的计算单点时间约8.1 ms ，远小于机械臂的控制周期，可实现实时性的要求；在进行1 500次训练的情况下，残差BP 神经网络模型的均方误差为0.006，相比普通BP 神经网络模型，误差降低0.077，提高了模型的准确性；所提方法的抓取成功率为87.5%，比普通BP 神经网络提高了22.5%，验证了本文所提方法的有效性和实用性。

关键词：残差；BP 神经网络；逆运动学；运动规划；双臂协同；机器人中图分类号：TP 273.5 文献标志码：A doi ：10.12415/j.issn.1671−7872.23109Inverse Kinematics Analysis of Baxter Robot Based on ResidualBP Neural NetworkZHAO Yangxin 1, CAO Xu 1, YU Zhiqiang 1, PAN Yuxin 1, FANG Tian 2, WANG Jing 1, SHEN Hao1(1. School of Electrical & Information Engineering, Anhui University of Technology, Maanshan 243032, China;2. MCC Huatian Engineering & Technology Corporation, Maanshan 243005, China)Abstract ：A self-adaptive inverse kinematics analysis method based on the residual back propagation (BP) neural network was proposed. Around the entire motion planning process from data acquisition to real-time control, 140sets of position and Euler angle data were collected. The residual BP neural network was employed to perform inverse kinematics analysis on Baxter robot’s arm, and 7 joint angles of the robot’s arm were fitted. Additionally, the trained joint angles were published in the form of topics, and realized the communication by subscribing to the topic in the script for grasping objects. Combined with visualization with Rviz and real-world dual-arm cooperative experiments, grasping experiments were conducted on four object models with residual BP neural network and ordinary BP neural network, respectively, to verify the effectiveness of the proposed method. The results show that the calculation time for a single point of the proposed method is approximately 8.1 ms, which is much shorter than收稿日期：2023-07-13基金项目：国家自然科学基金项目(62173001，62273006)；安徽省重点研发计划项目(202104a05020015)；安徽省科技重大专项(202003a05020001)；特殊服役环境的智能装备制造国际科技合作基地开放基金项目(ISTC2021KF04)作者简介：赵杨鑫(1999—)，男，湖南长沙人，硕士生，主要研究方向为机器人运动规划。

反向运动学反向运动学是机器人领域中的一个重要概念，是指通过给定的末端执行器的位置以及末端执行器姿态信息，推导出机器人各关节的角度和位移的一种算法。

在机器人控制和路径规划中得到了广泛的应用。

本文将对反向运动学的概念、算法原理、应用和优化进行详细介绍。

一、概念简介在机器人控制中，通常我们需要知道机器人各关节的角度和位移信息，才能将机器人移动到要求的位置。

正向运动学是已知机器人各关节的角度和位移信息，推导出机器人末端执行器的位置和姿态信息的过程。

而反向运动学就是已知机器人末端执行器的位置以及末端执行器姿态信息，推导出机器人各关节的角度和位移信息的过程。

在机器人的控制和路径规划中，反向运动学可以使机器人在不同的环境中快速和准确地完成任务。

二、算法原理反向运动学算法的原理可以分为两类：解析法和数值法。

1. 解析法解析法是指利用数学方法，解出机器人各关节的角度和位移信息。

对于不同的机器人，其解析法不同，解析法需要考虑机器人的结构和规约条件。

以一个机械臂为例，从末端执行器向机器人根部逐级分析，可以得到具体的解析法。

首先，已知机器人末端执行器的位置以及末端执行器姿态信息，可以得到机器人的正向运动学模型，即可以计算出每个关节的位置，末端执行器的近似位置和方向。

然后利用三角函数关系可以得到解析法。

2.数值法数值法是指通过迭代运算来求解机器人各关节的角度和位移信息。

常用的数值法有雅克比矩阵法和牛顿-拉弗森法。

雅克比矩阵法是一种基于线性化近似的算法，通过计算雅克比矩阵的逆矩阵来求解。

与解析法相比，雅克比矩阵法更加通用，可以应用于所有类型的机器人，但相比起解析法，其计算速度较慢。

牛顿-拉弗森法则是一种迭代算法，通过计算机器人各关节位置的偏移量来进行迭代，并不断逼近最终解。

该算法计算速度相对比较快，但是需要先验的初值，还需要选择合适的迭代次数。

三、应用反向运动学在机器人控制和路径规划中有着重要应用。

在机器人控制中，反向运动学可以用来控制机器人的末端执行器的位置和姿态，让机器人完成各种任务。

动量守恒定律的应用（反冲）【学习目标】1．了解什么是反冲运动和反冲运动在生活中的应用；2．知道火箭的飞行原理和主要用途；3．了解我国航天技术的发展．【要点梳理】要点一、反冲运动1．反冲运动（1）反冲：根据动量守恒定律，如果一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动．这个现象叫做反冲．（2）反冲运动的特点：反冲运动是相互作用的物体之间的作用力与反作用力产生的效果．反冲运动过程中，一般满足系统的合外力为零或内力远大于外力的条件，因此可以运用动量守恒定律进行分析．（3）反冲现象的应用及防止：反冲是生活和生产实践中常见的一种现象，在许多场合，反冲是不利的，如大炮射击时，由于炮身的反冲，会影响炮弹的出口速度和准确性．为了减小反冲的影响，可增大炮身的阻力．但还有许多场合，恰好是利用了反冲，如反击式水轮机是应用反冲而工作的、喷气式飞机和火箭是反冲的重要应用，它们都是靠喷出气流的反冲作用而获得巨大速度的．（4）理解反冲运动与动量守恒定律．、组成的系统，A对B的作用反冲运动的产生是系统内力作用的结果，两个相互作用的物体A B力使B获得某一方向的动量，B对A的反作用力使A获得相反方向的动量，从而使A沿着与B的运动方向相反的方向做反冲运动．实际遇到的动量守恒问题通常有以下三种：①系统不受外力或所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，可以用动量守恒定律解决反冲运动问题．②系统虽然受到外力作用，但内力远远大于外力，外力可以忽略，也可以用动量守恒定律解决反冲运动问题．③系统虽然所受外力之和不为零，系统的动量并不守恒，但系统在某一方向上不受外力或外力在该方向上的分力之和为零，则系统的动量在该方向上的分量保持不变，可以用该方向上动量守恒解决反冲运动问题．（5）在讨论反冲运动问题时，应注意以下几点．①速度的反向性．对于原来静止的整体，抛出部分具有速度时，剩余部分的反冲是相对于抛出部分来说的，两者运动方向必然相反．在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则反方向的另一部分的速度应取负值．质量为M 的物体以对地速度v 抛出一个质量为m 的物体，研究剩余部分对地反冲速度时，设v 的方向为正．列出的方程式为()0mv M m v +=－＇，得'm v v M m=--． 由于v ＇为待求速度，事先可不考虑其方向，由计算结果为负值，表示剩余部分的运动方向与抛出部分速度力向相反．由于我们已明确剩余部分与抛出部分反向，因此可直接列出两部分动量大小相等方程．即上例可列式为()'mv M m v =-，'m v v M m=--． 其中v ＇为剩余部分速率．②速度的相对性．反冲运动中存在相互作用的物体间发生相对运动，已知条件中告知的常常是物体的相对速度，在应用动量守恒定律时，应将相对速度转换为绝对速度（一般为对地速度）．2．火箭（1）火箭：现代火箭是指一种靠喷射高温高压燃气获得反作用力向前推进的飞行器，是反冲运动的典型应用之一．（2）火箭的工作原理：动量守恒定律．当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷出的气体具有很大的动量，根据动量守恒定律，火箭获得大小相等、方向相反的动量，因而发生连续的反冲现象，随着推进剂的消耗，火箭的质量逐渐减小，速度不断增大，当推进剂燃尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行．（3）火箭飞行能达到的最大飞行速度，主要取决于两个因素：①喷气速度：现代液体燃料火箭的喷气速度约为2.5 km/s ，提高到3 4 km/s ～需很高的技术水平． ②质量比（火箭开始飞行时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比），现代火箭能达到的质量比不超过10．（4）现代火箭的主要用途：利用火箭作为运载工具，例如发射探测仪器、常规弹头和核弹头、人造卫星和宇宙飞船．（5）我国的火箭技术已跨入了世界先进行列．要点二、反冲运动的模型1．“人船模型”——反冲运动 【例】如图所示，长为l 、质量为M 的小船停在静水中，一个质量为m 的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？【解析】选人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以水平方向动量守恒，人起步前系统的总动量为零．当人起步加速前进时，船同时向后加速运动；当人匀速前进时，船同时向后匀速运动，当人停下来时船也停止．设某一时刻人对地的速度为2v ，船对地的速度为1v ，选人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：210mv Mv =－，即： 21v M v m=． 因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一时刻系统都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量成反比．从而可以得出判断：在人从船头走向船尾的过程中，人和船的平均速度也跟它们的质量成反比，即对应的平均动量12Mv mv =，而位移s vt =，所以有12Ms ms =，即21s M s m=． 由图可知12s s l +=，解得1m s l M m=+， 2M s l M m =+， 12s s l s +==人相对船．“人船模型”是利用平均动量守恒求解的一类问题．适用条件是：（1）系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零；（2）在系统内发生相对运动的过程中至少有一个方向的动量守恒（如水平方向或竖直方向），注意两物体的位移是相对同一参照物的位移．在解题时要画出各物体的位移关系草图，找出各长度间的关系．此类问题也可以根据静止系统不受外力、系统质心位置不变的道理求解．利用这一模型还可以推广到其他问题上来解决大量的实际问题．2．火箭的最终速度火箭的工作原理就是动量守恒定律．当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷出的气体具有很大的动量，根据动量守恒定律，火箭就获得数值相等、方向相反的动量，因而发生连续的反冲现象．随着推进剂的消耗，火箭逐渐减轻，加速度不断增大．当推进剂烧尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行．根据动量守恒定律可以推导出单级火箭的最终速度公式（设火箭开始飞行时速度为零）： 0ln sM v u M =， 式中u 是燃烧气体相对于火箭的喷射速度，0M 是火箭开始时的总质量，s M 是火箭喷气终了时剩下的壳体及其他附属设备的总质量，0sM M 通常称为火箭的质量比． 上式是在未考虑空气阻力和地球引力的情况下推导出来的，由于空气阻力和地球引力的影响，火箭速度达不到公式中所给出的数值．但从这一公式可以看到提高火箭速度有两个办法，一是提高气体的喷射速度，二是提高质量比．而提高喷射速度的办法比提高质量比的办法更有效，但喷射速度的提高也有一定限度．【典型例题】类型一、反冲速度的计算例1．如图所示，水平地面上放置一门大炮，炮身质量为M ，炮筒与水平方向成θ角，今相对地以速度v 发射一炮弹，若炮弹质量为m ，求炮身的后退速度．【思路点拨】以m 和M 组成的系统为研究对象，水平方向上炮身和炮弹的内力远大于外力，可认为水平方向动量守恒．【答案】cos 'mv v Mθ= 【解析】以炮弹的水平速度方向为正方向，由动量守恒定律可知： 0cos mv Mv =－＇解得cos 'mv v Mθ=， 方向与炮弹的水平速度方向相反． 【总结升华】本题系统动量并不守恒，但是水平方向上动量守恒，发射炮弹的过程中，炮身向后运动，这是一种反冲运动，以m 和M 组成的系统为研究对象，水平方向上炮身和炮弹的内力远大于外力，可认为水平方向动量守恒．举一反三:【变式】(2015 江山市模拟)如图，一个连同装备共有100Kg 的宇航员，脱离宇宙飞船后，在离飞船45m 的位置与飞船处于相对静止的状态．装备中有一个高压气源，能以50m/s 的速度喷出气体．宇航员为了能在10min 时间内返还飞船，他需要在开始返回的瞬间一次性向后喷出的气体为 kg【答案】0.15【解析】设宇航员的速度为v '，则：450.0751060x v m s m s t '===⨯ 释放1m 氧气后，则根据动量守恒有：110()m v M m v '=--代入数据得：10.15m kg =故答案为：0.15类型二、反冲运动的相对速度问题例2．如图所示，一个质量为m 的玩具蛙，蹲在质量为M 的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上，若车长为l ，细杆高为h ，且位于小车的中点．试求：当玩具蛙最大以多少的水平速度跳出时，才能落到车面上？【答案】2()2M g v M m h=+【解析】玩具蛙跳出时，它和小车组成的系统水平方向不受外力，动量守恒，车将获得反向速度，之后玩具蛙将做平抛运动，由相关知识可求得结论．设玩具蛙以v 跳出时，车获得的速度为v ＇，由动量守恒定律有mv Mv =＇． ①设蛙从跳出到落到车面上，蛙对地位移为1s ，车对地位移为2s ，则1s vt =， ②2s v t =＇， ③212gt h =， ④且有122l s s +=， ⑤ 由①②③④⑤解得v = 【总结升华】解题中注意分析物理过程，同时要明确各过程的相互关系．【变式1】质量为M 的小船以速度0v 行驶，船上有两个质量皆为m 的小孩a 和b ，分别静止站在船头和船尾．现小孩a 沿水平方向以速度v 向前跃入水中，然后小孩b 沿水平方向以同一速度v （相对于静止水面）向后跃入水中．求小孩b 跃出后小船的速度．【答案】02'1m v v M ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】选小孩a b 、和船为一个系统，忽略水的阻力，系统水平方向动量守恒，设小孩b 跃出后小船向前行驶的速度为v ＇，选0v 方向为正方向，根据动量守恒定律，有0(2)M m v Mv mv mv +=+＇－，整理得02'1m v v M ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【变式2】一置于桌面上质量为M 的玩具炮，水平发射质量为m 的炮弹．炮可在水平方向自由移动．当炮身上未放置其他重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A ；当炮身上固定一质量为0M 的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B ．炮口离水平地面的高度的h ．如果两次发射时“火药”提供的机械能相等，求B A 、两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比．【答案】'x x =【解析】设炮弹的出口速度和炮身的反冲速度分别为1v 和2v ，E 为“火药”提供的机械能． 由动量守恒定律和能量守恒定律得120mv Mv =－， ①22121122E mv Mv =+， ② 由①②式得1v = ③ 炮弹射出后做平抛运动，有 212h gt =， ④ 1x v t =， ⑤式中，t 是炮弹从射击到落地时所需的时间，x 为目标A 距炮口的水平距离，由③④⑤式得x = 同理，目标B 距炮口的水平距离为'x = ⑦ 由⑥⑦得'x x =类型三、反冲运动在发射火箭中的运用【高清课堂：动量守恒定律的应用（反冲） 例２】例3．设火箭发射前的总质量为M ，燃料燃尽后的质量为m ，火箭燃气的喷射速度为v ，燃料燃尽后火箭的飞行速度为v '. 试求火箭飞行的速度v '？思考火箭飞行的最大速度是由什么因素决定的？【思路点拨】火箭在运动的过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量在不断减小，对于这一类的问题，可选取火箭本身和在相互作用的时间内喷出的全部气体为研究对象，取相互作用的整个过程为研究过程，运用动量守恒的观点解决问题【答案】(/1)M m v -【解析】由动量守恒定律：()M m v mv --'=0()/v M m v m '=--即(/1)v M m v '=--通过式子：(1)M v v m'=--可以看出，火箭所获得的速度与哪些因素有关呢？（1）喷气速度v ：v 越大，火箭获得的速度越大。