一维传热问题边界条件的处理

传热学思考题参考答案第一章：1、用铝制水壶烧开水时，尽管炉火很旺，但水壶仍安然无恙。

而一旦壶内的水烧干后水壶很快就被烧坏。

试从传热学的观点分析这一现象。

答：当壶内有水时，可以对壶底进行很好的冷却（水对壶底的对流换热系数大），壶底的热量被很快传走而不至于温度升得很高；当没有水时，和壶底发生对流换热的是气体，因为气体发生对流换热的表面换热系数小，壶底的热量不能很快被传走，故此壶底升温很快，容易被烧坏。

2、什么是串联热阻叠加原则，它在什么前提下成立？以固体中的导热为例，试讨论有哪些情况可能使热量传递方向上不同截面的热流量不相等。

答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。

例如：三块无限大平板叠加构成的平壁。

例如通过圆筒壁，对于各个传热环节的传热面积不相等，可能造成热量传递方向上不同截面的热流量不相等。

第二章：1、扩展表面中的导热问题可以按一维问题处理的条件是什么?有人认为,只要扩展表面细长,就可按一维问题处理,你同意这种观点吗?答：条件：（1）材料的导热系数，表面传热系数以及沿肋高方向的横截面积均各自为常数（2）肋片温度在垂直纸面方向（即长度方向）不发生变化，因此可取一个截面（即单位长度）来分析（3）表面上的换热热阻远远大于肋片中的导热热阻，因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的（4）肋片顶端可视为绝热。

并不是扩展表面细长就可以按一维问题处理，必须满足上述四个假设才可视为一维问题。

2、肋片高度增加引起两种效果:肋效率下降及散热表面积增加。

因而有人认为随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热流量会下降，试分析该观点的正确性。

答：的确肋片高度增加会导致肋效率下降及散热表面积增加，但是总的导热量是增加的，只是增加的部分的效率有所减低，所以我们要选择经济的肋片高度。

第三章：1、由导热微分方程可知，非稳态导热只与热扩散率有关,而与导热系数无关。

2.5.1 编制通用程序的一些基本考虑
2.5.2 一维非稳态导热程序的功能与算法特点
2. 主要算法：
2.5.3 通用程序的模块结构与流程
2.5.4 各模块的基本功能
2.5.5 一维非稳态导热程序使用方法
2.5.6 一维非稳态导热程序程序浏览
着重介绍主程序； 其它模块只做简要介绍。
体现通用性的方面
坐标系： 同一个程序适用于不同坐标系； 控制方程：同一套控制方程适用于流动，传热，
燃烧，传质，有化学反应的传热；
边界条件：三种边界条件都能方便处理；
源项处理：实际工程问题中有各色源项，要发展出 一种有效的处理方法
几何形状：能方便地应用于复杂计算区域，结构 化的网格生成技术，非结构化网格，…
第二章 一维导热问题的数值解
2.1 一维稳态导热 2.2 边界条件及源项的处理 2.3 一维非稳态导热
2.4 代数方程的求解方法
2.5 一维非稳态导热通用程序介绍 2. 一维稳态导热的通用控制方程 2.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散 2.1.3 界面导热系数的确定方法 1. 算术平均法(arithmetic mean)
2.4 求解代数方程的TDMA方法 2.4.1 一维导热问题代数方程通用形式
2.4.2 Thomas算法的一般形式
1. 消元过程－把每行的未知数由三个减少为二个。
所谓消元就是要找出系数Pi, Qi与Ai, Bi, Ci, Di间的关系。
将(b)乘以Ci,并与(a)式相加：
2. 回代过程－从M1点开始，利用式(b) 逐一得出Ti。
2. 线性化方法讨论
3. 线性化方法应用实例
2.2.2 第二、三类边界条件的处理
（2）两种边界条件的统一表示方法

计算传热学第一类边界条件离散方程
传热学中的第一类边界条件，也称为热流量边界条件，是指在一个热传导过程中，表面的热流量（或热通量）是已知的。

对于此类边界条件，我们可以通过离散化的方法来建立传热方程，并求解出时间和空间上的温度分布。

以一维传热问题为例，考虑一个长L的直管，管的外部温度为T1，内部温度为T2，管壁的热流量为q，假设热传导系数为k，管的长度分为n个小段，依据传热学原理可以建立如下的离散方程：
$$\frac{T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}{\Delta x^2}=-\frac{q}{k},\quad i=1,2,\cdots,n-1, $$
其中$T_i$是第i个网格（或节点）的温度。

将第一类边界条件代入方程，得到：
$$\frac{T_1-2T_2+T_3}{\Delta x^2}=-\frac{q}{k}, $$
$$\frac{T_{n-2}-2T_{n-1}+T_n}{\Delta x^2}=-\frac{q}{k}, $$
同时，我们还需要加入一个边界条件，即：
$$T_1=T_2=T_1, $$
$$T_n=T_{n-1}=T_2. $$
通过将这些方程进行整理和线性求解，可以求得各个节点的温度。

具体的解法可以用三对角矩阵算法（Thomas Algorithm）进行求解，也可以使用迭代法（如高斯-赛德尔迭代法或松弛迭代法）进行求解。

总之，对于第一类边界条件，我们可以通过将离散化的方法来建立方程并求解，这是解决传热学问题中的一种常用方法。

§ 3-3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。

如何理解无 限大物体，女口：当一块平板的长度、 宽度 >> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散 热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时， 该平板就是一块 无限大”平板。

若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好, 则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。

、无限大平板的分析解已知：厚度2d 的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为 上9的流体中，而且上9 >（边界条件）E （边界条件）引入过余温度:(0<x< <5 , > 0)(3-9)3（x,0）=灵（0 -X - ^）（初始条件）传热学--第三章第三节维非稳态导热问题to,流体与板面间的表面传热系数为一常数 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

解：如图3-5所示，平板两面对称受热, 于x ±0的半块平板，其导热微分方程:定解条件：t （x,0）= t0（0 -x -占）所以其内温度分布以其中心截面为对称面。

—=说—7肮 即（0<x< 占，r>0）tan （氏&）= 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。

a 5%其中Bi 是以特征长度为日T液2的毕渥数。

与（ T ）各自均与 T 有关，但其比值则与 T 无关，而仅取决于几何位置（X/ 6 ）及边 界条件（Bi ）。

也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要（边界条件）朋(& T)dx（边界条件）3B 护日 —=a ------氏分离变量求解g Sb 等 外=君&0冲首+如（线6 g 貞（3-10由此可见：平板中的无量纲过余温度3/宀与三个无量纲数有关：以平板厚度一半 占为特征长度的傅立叶数、毕渥数及 %即:9E 畑g =畑、曲5(3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明, 用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于当1% , Fo>0.2 时，采因此，当 Fo>0.2Ct/时，采用以下简化结果：丸（3-13 ）其中特征值 之值与Bi 有关。