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一维Dirac方程组的周期边界条件下的特征值问题

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｛２ ｐ ）ｌ ｑ ）２ ｙ Ｙ ＋ （ Ｙ ＋ （ Ｙ ＝Ａｌ
Ｌ， ，
。
０＜ ＜叮 ｒ
（ ）＝ Ｙ （ ） Ｙ （ ）＝Ｙ （ ０ 。 ，２ ０ ２ 竹）
其 中 ｐ ） ｑ ）Ｅ ｃ ０ 叮］ 它不 能归 结为 文献 ［ ］中线性 齐次 边 界问题 ， 必要 专 门来研 究它 。 （ ，（ ［， ， ｒ １ 有 本文
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２ｏ ｏ７
文章 编号 ：６ ２—６ ７ （ ０ ７ ０ ０ ８ １７ ８ １ ２ ０ ） ３— ０ ８—０ ３
一
维 Ｄｉ ｃ方 程 组 的周 期 边界 条 件 下 的 特 征 值 问题 ｒ ａ
李 镇 。周 家全 ，
（． １ 郑州大学 数学系 ， 南 郑 州 ４ ０ ５ ； ． 阳大学 基础部 ， 河 ５０ ２ ２ 洛 河南 洛 阳 ４ １２ ） ７ ０ ３
摘 要 ： 于 一 个 一 维 Ｄｒｅ方 程 组 的 周 期 边 值 问 题 进 行 了研 究 ， 通 过 预 解 式 获 得 了 与 之 相 联 系 的 一 个 积 分 对 ｉ ａ 先 算 子 ， 后 运 用 泛 函分 析 方 法 证 明 了它 为 全 连续 自伴 算 子 ， 而 获 得 了原 问题 的特 征 展 开 定 理 。 然 从 关 键 词 ： ｉ ｃ 程 组 ； 期 边 界 条 件 ； 征 函数 ； 征 展 开 ； 征值 问题 Ｄｒ 方 ａ 周 特 特 特 中 图分 类 号 ： １５ ３ Ｏ ７ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
其 中Ｙ
＝一 ＋ （。 ０
一 ） 。
记 Ｈ０叮 １ ，］＝｛ （） （ Ｉ （ （）ＥＬ（ ，）。 ｒ （ ）） ） ２０叮 ）其中内积定义为 ｒ
（ ）ｇ ） ，（ ）＝Ｊ［ ｇ（ （） ： ） ｄ （） 。 ）＋ ｇ（ ］ｘ
令 ＝ （ （ ， （ ） 。 ） ： ） 和 ＝ （ （ ， （ ） 别 为满 足 以下初值 条件 的 （ ） 。 ） ： ） 分 Ｉ 的解
。
显然 它们 构成 方 程 （ ） 基 本 解 组 。令 Ｙ ＝ （ 。 ｙ （ ） ＝ ｃ （ Ｉ的 Ｙ （ ），： ） ）＋ｃ ） 且 Ｙ （ ） ＝ ： （ ， 。０ Ｙ （ ，：０ ＝Ｙ （ ， 有 以下方 程组 。 ） Ｙ （ ） ： ） 则
采 用 了泛 函方法 ， 先通 过予 解式 获得 了与之相 关 的一个 积分算 子 ， 后 证 明该 积分算 子 为紧 的且 是 自伴 然 的 ， 后获 得 了原 问题 的特征展 开定 理 。 最
１ 预 解 式
原 问题 可用算 子语 言叙 述 。考 虑原 方程 的矩 阵形式
Ｌ ＝Ａ ， ｙ ｙ ｔ ｆ ０ 叮） ．（ ， ｒ （） １
命题 １
立。
为 对称算 子 。
证 明 （ｆ ｇ Ｌ ， ）一（ ’ｇ （ｒ ｇ （ｒ （ ） 。０ （ｒ ｇ （ｒ （ ） ：０ 厂 Ｌ ）＝ 叮） 。 叮）一 ０ ｇ （ ）一 叮） ： 叮）＋ ０ ｇ （ ）＝０ 所证 成 ， 由对 称算 子 的性 质 ， 得下 述推 论 。 立
基 金项 目 ： 南 省 自然科 学基 金 项 目 （ ３ １ １３ ０ 河 ０ １０ ０ ０ ） 作者简介 ： 李 镇 （ ９ ３一） 男 ， １７ ， 河南 开 封人 ， 士 ． 硕
收 稿 日期 ：０ ６—１ ２０ １—１ ８
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第 ３期
又设 Ｃ 驯： ， ］ 由满足 以下 条件 的 ０仃 ， ）组成 ： （） （ （ １ ） ）绝对 连续 ； ２ Ｌ （ ）ｆ Ｌ （ ， ；３ （ ） ＝ （ （ ）＝ （ｒ 。 （ ）ｆ ｘ ｔ ０ 订） （ ） ０ 竹） ０ 叮） ．
记 和 生 成 的算子 为 ， 的特 征值 即为上 面提 出的原 问题 。
程 的反 散射 问题 。此后 ， 文献 ［ ， ］ 到非 自伴 Ｄｒｃ算 子 的特 征展 开 及 常 型 谱 分解 。但 Ｄ ｒｃ方程 相 ５６ 得 ｉ ａ ｉ ａ
关 的 内容 非 常丰 富 ， 断有新 的 问题 提 出。 不
分 析一维 Ｄｒｃ 程组 的周 期边 值 问题 ｉ 方 ａ
ｒ ， ＋ｇ ｘ ｒ —ｐ ｘ ｒ 一， ｌ （ ） ｌ （ ） ２＝Ａ， ， ２
Ｕ ＾ － －Ｊ 刖 － ▲ 胃 ‘ —
Ｄ ｒｃ 程是 量子 力学 中 的重要 方程 ， ｉ 方 ａ 被众 多学 者所 研 究过 。文 献 ［ ， ］ 究 了有 限 区 间上 具 有齐 １２ 研 次线 性边 界 条件 的特征 值 问题 。文献 ［ ］ 得 了上述 问题 的特 征值 的迹 公式 。文 献 ［ ］ ３获 ４ 研究 了 Ｄ ｒｃ ｉ 方 ａ
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第２ ８卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ６月
河 南 科 技 大 学 学 报 ：自 然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ： ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ａ ｆＨｅ ａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ ｙ Ｓ Ｓ
李
镇 等 ： 维 Ｄｒｃ 程 组 的 周 期 边 界 条 件 下 的特 征 值 问题 一 ｉ 方 ａ
・８ ・ ９
推论 １
的 特征值 必为 实 数 ， 于不 同特 征值 的特 征 向量 正交 。 属
（ ） ＝Ｉ ：０ ＝０， （ ）＝０， （ ） ＝Ｉ ０ ， （） 。０ ：０ （） ２
ｒ 。 订 。 Ｏ ］。＋［ （ ［ （ ）一 （ ） ｃ 。 ）一 。０ ］：：０ （）ｃ
【 （ ）一 （） ｃ ＋［ （ ［ 订 ：０ ］。 ： ： ）一 （ ）ｃ ：０ ］：：０

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边界条件带特征参数的Dirac问题的迹

边界条件带特征参数的Dirac问题的迹


子 ， 特征值 的个数 是不 确定 的 ， 其 当特 征值 有 无 数 多 时 ，
Ａ 不 一 定 收敛 ， 能 找 出 ， 若 使
（ 一 Ａ
）收敛 ， 称它 为微 分 算 子 的 正 则 迹 ， 称 迹 。迹 对 于 研 究 微 分 算 子 的结 构 、 问 题 都 有 重 要 应 则 简 反
基 金 项 目 ： 南 省 教 育厅 自然科 学 基金 项 目 （０ ７ ０ ０ 河 ２０ １０ １ ） １ 作者 简 介 ： 黄 华 （ ９２一） 女 ， １８ 。 河南 新 乡人 ， 士 生 ． 硕
收 稿 日期 ：０ ８— ６— ０ ２０ ０ ２
・
７ ・ ４
河 南 科 技 大 学 学 报 ：自 然 科 学 版
２０ ０ ８芷
其 （ ）¨ 中 ） ÷ ｄ ㈤ 一［ｓ ， ） ｐ） ］ ｓ ｐ） ㈤］ 一［ｓ ） （＋ （一
Ｋ ＝ ｏ ） 一ｃ ） ＋ｓ ） ｓ ｌ （ ） ｓ ）－ｏ ） ａａ ） ） （ ） ￣ｓ ） ｉ ｄ （ （ ｓ （ ＝￣ ） ） ￣ ） ） ｃ ） Ｂ）ｉ ｓ ）０（ ¨）ｉｎ ） 十 ｉ ） ＋ 。 ） （一ｃ ）（Ｂ） ｉ ｉｎ ０ ÷ ｓ ） １ （ Ａ）０ （ （ （ ０
，
它 的边值 问题构 成 Ｄｒｃ特征 值 问题 ， 于 自伴边 条 件下 的特 征值 问题 已在 文献 ［ ］ ｉ ａ 对 １ 中进 行 了详尽 的讨
论， 文献 ［ ］ ７ 获得 了非 自伴线 性边 条件 下 的特征值 的迹公 式 。
本文采 用 留数方 法 获 得 了下述 问题 的迹公 式
用 ¨－］ ７。
Ｄｒ ｉ ｃ方 程 是 量 子 力 学 中 的 基 本 方 程 之 一 ， 的 形 式 之 一 如 下 ａ 它
辛算法数值求解一维薛定谔方程特征值

辛算法数值求解一维薛定谔方程特征值


（ 6） （ 7）
d i 决定， 对于辛块龙格库塔格式的性质是由公式 （ 5 ） 的系数 c i ， 格式要保持辛结构， 系数必须满足辛条件 c i A ij + d j a ij － c i d j = 0 ，i， j = 1， …， s． ［9 ］ 几种常见格式系数 ： 二步二阶系数 1 c0 = 0 ，c2 = 1 ，d1 = d2 = ． 2 三步三阶系数 c1 = d1 = 四步四阶系数 c1 = c4 = α / 2 ，c2 = c3 = （ α + β） / 2 ，d1 = d3 = α，d2 = β，d4 = 0 α = 四阶六步系数 c1 = 9 + 3 ·3 3 + 3 3 3 － 3 ·3 3 － 3 3 ，c1 = ，c1 = c3 ，c4 = c3 ，c5 = c2 ，c1 = c6 ， 48 24
（ 5）
其中 f （ ψ， x） = －
s s
H H （ ψ， x） ，g（ φ） = （ φ） ， x x
i i －1
Байду номын сангаас
Ci =
a ij ，D i = ∑ A ij （ i ∑ j =1 j =1
= 1， …， s） ，a ij = c j ，A ij = d j ，C i =
c j ，D i = ∑ d j ． ∑ j =1 j =1
1 2 2 1 2 1 2 1 2
（ 8）
9 + 3 ·3 3 + 3 3 3 － 3 ·3 3 － 3 3 ，c1 = ，c1 = c3 ， 24 12
1 2 2 1 2
1
2
1
2
9 － 3 ·3 3 － 4 ·3 3 3 + 33 6 + 3 ·3 3 － 3 3 ， d2 = ， d3 = ． 30 6 30
《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》范文

《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》范文

《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类具有广泛应用的微分问题，它在物理、工程和数学领域都有重要的应用。

其中，特征值的求解是Sturm-Liouville问题研究的核心内容之一。

当问题中存在不连续性或边界条件依赖特征参数时，特征值的求解变得更加复杂。

本文将探讨一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题的特征值的渐近估计问题。

二、问题描述考虑一类具有不连续性和边界条件依赖特征参数的Sturm-Liouville问题。

该问题可以描述为：给定一个依赖于特征参数的多项式边界条件，以及一个不连续的微分方程，求该问题的特征值及其对应的特征函数。

三、特征值的渐近估计针对这类问题，我们首先需要了解特征值的渐近行为。

渐近估计是一种常用的数学方法，用于估计特征值在特定条件下的近似值。

对于不连续的Sturm-Liouville问题，我们可以通过分析微分方程的解以及边界条件的性质，来得到特征值的渐近估计。

在估计过程中，我们需要考虑以下几个方面：1. 微分方程的解的性质：了解微分方程的解在各个区域的性质，如解的连续性、可导性等。

2. 边界条件的影响：分析边界条件对特征值的影响，特别是当边界条件依赖于特征参数时，需要仔细考虑这种依赖关系对特征值的影响。

3. 渐近方法的应用：根据微分方程的解的性质和边界条件的影响，选择合适的渐近方法进行估计。

常用的渐近方法包括WKB方法、匹配渐近法等。

四、具体估计方法针对一类边界条件依赖特征参数的多项式不连续Sturm-Liouville问题，我们可以采用以下具体的渐近估计方法：1. 区域分割：将问题所在的区域划分为若干个子区域，使得在每个子区域内，微分方程的形式较为简单。

这样可以更好地分析每个子区域的解的性质。

2. 匹配渐近法：在每个子区域内，利用已知的渐近方法得到解的近似表达式。

决定一个Dirac方程特征值集的整函数的讨论

决定一个Dirac方程特征值集的整函数的讨论

－
，
） 一 ｃｓ ｏ（
） ＋１ ｌ ） Ⅳ（
） ＋
，
Ａ）＋ｏ （
） ，
其中， （）＝Ｌ （ ｄ ＋ ｘ （ 一 ｐｓ ＋（ ］ （ ＝ ［（ 一（ ］ ＇ ÷Ｊ ｓ ｓ Ａ； ｓ ７ ） Ａ ）＝ ［（ ｒ ）， ｓ 一 ｐｓ ｒ ）； ） ｓ ） ） ｓ
Ｊ ０
迹的研究已积累了大量文献 ， 是大多结果都是对局部方程局部边界条件而得到的．９ １ ， 但 １８ 年 李梦如用文献 ［］ ４ 的方法 ， 在文献 ［ ］ ５ 中得到了带有非局部边界条件的 ｓ 算子的迹公式． —Ｌ 关于带有非局部边界条件 Ｄ— ｉ ｒｃ算 子 的迹公 式 的讨论 ， 献 ［ ］ ａ 文 ６ 中已讨 论 了一种 情况 ． 文 主要初 步研 究 下述 问题 决定 特征值 的整 函数 ： 本
（『 ）一Ｊ （） （）ｘ＝ １， Ａ ｄ
㈩ ，＋ ￣ ２ｓｄ Ｂ （）ｓ
－
所 以 ， 函数 （ ）关 于 Ａ的渐 近估计 式 如下 ： 整 Ａ
（ Ａ） ：ｓ （ （ ） ｓｎ 叼（ ｉ 叼 ）＋ ｎ 丌 ｉ（ 订）一 ｃ ｓ 叼（ ） Ｂ （ ） ｓ （ （ ）＋Ｂ（ ）一 。 （ 耵） ｓ ｄ ） 。 耵） ＋
［ ］ Ｌｖａ Ｓｒ ｊ Ｓ Ｉ ｒ ｕｔｎ ｏ ｐｃ ａＴｅｒ， ｅａｊｎ Ｄｆｒ ｔｌ ｐｒ ｅ［ ． ｈｄ ｌ ｄＡ ｅ ｃｎ ａ — ３ ｅｉｎ Ｍ，ａ ｓ ｎ ． ｎ ｏ ｃｏ ｅｔ ｌ ｈｏ Ｓｌｄ ｉ ｉ ｅ ｉ ｅ ｔ Ｍ］Ｒ ｏｅｓ ｎ ：ｍ ｒ ａ ｔ ｔ Ｂ ｇａ Ｉ ｔ ｄ ｉ ｔ Ｓ ｒ ｙ ｆ ｏ ｔ ｆ ｎａ Ｏ ａ ｒ ｅ Ｉａ ｉ Ｍ ｈ
第２ ３卷 第 ３期 ２１ ０ １年 ９月
河 南工程 学院学报 （自然科 学版 ）