高二数学3月月考试题 理 2

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（ ） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（ ） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（ ）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（ ）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（ ） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（ ）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（ ） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（ ）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（ ） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______． 四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ． （Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学 次命题兼审校：丽水中学 审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ， 所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ． 在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈． 因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=， 则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ， 作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ， 解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =， 又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅， 即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+， 又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+． 则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）． （Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ， 由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥， 又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥． （Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°． 作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ， 所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥， 所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角． 在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=． 所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =． （Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=， 而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−， 所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−． （2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =， 所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上． 综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++， 则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−， 则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++， 所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=， 所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． 所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅． （Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+， 所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥， 又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−， 所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−， 则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ， 所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ， 则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++， 又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =． 同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =． 因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=． 把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞． （Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ， 则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=， 所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+， 因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++， 而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−． 因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=， 把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。

2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}|24A x x =-≤≤，{}|2,B x x n n ==∈N ，则A B = （）A ．{}2,0,2,4-B ．{}2,4C ．{}24x x ≤≤D ．{}0,2,4【答案】D【分析】{}0,2,4,6,8,B = ，再计算交集得到答案.【详解】{}0,2,4,6,8,B = ，∴{}0,2,4A B = .故选：D.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】C【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+= ．故选：C ．4．已知数列{}n a 是等差数列，且237820a a a a +=--，则5a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.【详解】因为237820a a a a +=--，所以()()283720a a a a +++=，5420a =，解得55a =.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.5．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P BA =∣（）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣，故选：A6．已知随机变量(,)X B n p ，且()4,()2E X D X ==，则(1)P X ==（）A ．312B ．412C ．512D ．612【答案】C【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出,n p 的值，进而可求.【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：()()()412E X np D X np p ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则1718851181(1)2222P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b<c<a C ．c<a<b D ．c b a<<【答案】C【详解】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>，2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.8．关于函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞.下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,-∞-+∞ 【答案】D【解析】根据函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x e x -=∈-∞+∞，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，又t y e =在(,0]-∞单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t ∈-∞可得(0,1]y ∈，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<<故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对复合函数的单调性的判断，并由此应用到求值域和解不等式.二、多选题9．已知抛物线2:4x yΓ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（）A ．点F 坐标为(1,0)B ．抛物线Γ的准线方程为1y =-C ．线段MN 长为4D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【解析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确.【详解】由抛物线2:4x yΓ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确.故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()33sin2cos222f x x x =+，则下列选项正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 的最大值为3D ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称【答案】CD【分析】利用三角函数辅助角公式化简可得()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求得周期，判断A ；结合正弦函数的最值判断C ；结合正弦函数的对称性判断B ，D.【详解】由题意得函数()33πsin2cos23sin 2226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；由于πππ33sin 203362f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；由于()π3sin 2,R 6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故max ()3f x =，故C 正确；由于πππ3sin 23666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为函数最值，则曲线()y f x =关于直线π6x =对称，故D 正确，故选：CD.11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A ．共有60种不同的坐法B ．空位不相邻的坐法有72种C ．空位相邻的坐法有24种D ．两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ，3554360A =⨯⨯=，故A 正确；对于B ，相当于先排好这3个人有33A 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有24C 种插法，234336C A =，故B 错误；对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，134324C A =，故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有123318C A =种，故D 正确；故选：ACD.12．设函数()e ln xf x x=，则下列说法正确的是()A ．()f x 定义域是()()0,11,+∞ B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点【答案】ABC【分析】直接根据函数解析式即可判断A 、B ；求f (x )的导数，利用导数即可研究函数的单调性、极值点，由此即可判断C 、D.【详解】对A 选项，()e ln xf x x =需满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，∴()e ln xf x x=的定义域为()()0,11,+∞ ，故A 正确；对B 选项，由()e ln xf x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，∴()f x 在()0,1上的图像都在x 轴的下方，故B 正确；对C 选项，()21e ln (ln )x x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭='，令()1ln g x x x =-，∵()2110g x x x '=+>，∴()g x 在()0,∞+单调递增，∵()12ln 202g =->，∴x ＞2时，g (x )＞0，()0f x ¢>，∴()f x 存在单调递增区间，故C 正确；对D 选项，由B 可知，()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方；当x ＞1时，∵g (x )在()0,∞+单调递增，且()11ln1101g =-=-<，()12ln 202g =->，∴存在唯一的()01,2x ∈使g (x )＝0，即()00f x '=，当()00,x x ∈时，g (x )＜0，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，g (x )＞0，()0f x ¢>，()f x 单调递增，∴f (x )只有一个极小值点，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．若向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，且a b ∥ ，则x =___________.【答案】13【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x .【详解】因为向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，a b ∥ ，所以()()53221x x -=-，解得：x =13.故答案为：1314．41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为__________．【答案】2【分析】根据二项式定理求出4(1)x +通项，再求2x 项的系数.【详解】因44411(1)(1)(1)(1)x x x x x-+=+-+，只需要求4(1)x +的展开式中含23,x x 项的系数．又4(1)x +的展开式的通项为14C r rr T x +=，则含23,x x 项的系数分别是2443C 62⨯==，34C 4=，()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344C C 642-=-=.故答案为：2.15．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程.某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为396πcm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是__________3cm .【答案】36π【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高和母线长，利用轴截面面积求得珠子的半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的高为cm h ，则21π696π,83h h ⋅⋅=∴=，故圆锥的母线长为228610(cm)l =+=，作圆锥轴截面和其内切圆，此时珠子的体积最大，设内切圆的半径为r ，则()11128101012,3(cm)22r r ⨯⨯=⨯++⨯∴=，故该珠子的体积最大值是33)4π336π(cm 3⋅=，故答案为：36π四、双空题16．已知函数()()221x f e x x x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】10x y +-=(],0-∞【解析】（1）求出()0f '，可得出所求切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用参变量分离法得出()f x a x≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()f xg x x=，利用导数求出函数()g x 在区间()g x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()()221x e x f x x =-+ ，()()()()2221221x x x f x e x x e x e x '∴=-++-=-，所以()01f '=-，又因为()01f =，所以切线方程为1y x =-+，即10x y +-=；（2）由题可得：()≥f x a x在()0,∞+恒成立，设()()12xe g xf x x x x⎛⎫=+- ⎝=⎪⎭，则()()()2211x e x xx x g -+'=，因为0x >，所以当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()g x 有最小值()10g =，所以0a ≤.故答案为：10x y +-=；(],0-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且236,1,a a a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n b =11n n a a +，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-(2)n T =31+n n 【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.(2)求得n b =1311()3231n n --+，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）由53535S a ==，得37a =，由236,1,a a a +成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -⋅+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-；（2）n b =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+，所以123n n T b b b b =++++= 11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+=31+n n ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①()3cos sin a b C b C -=，②()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=这两个条件中任选一个，并解答：（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，3b =，求ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）3B π=；（2）312.【分析】（1）若选①：根据正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，化简成3cos sin sin sin B C B C =，即可得解；若选②：由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-，结合余弦定理即可求解；（2）结合（1）利用余弦定理求出13ac =，即可得到三角形面积.【详解】（1）若选①：因为()3cos sin a b C b C -=，由正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，即()3sin sin cos sin sin B C B C B C +-=⎡⎤⎣⎦，3cos sin sin sin B C B C =，又因为B ，()0,C π∈，所tan 3B =，即3B π=若选②：()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-化简得：222a c b ac +-=，又由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得1cos 2B =，又因为()0,B π∈，得3B π=·（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π∴()223b a c ac =+-，又2a c +=，3b =，代入得13ac =，所以13sin 212S ac B ==.19．在如图所示几何体中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AB CD ∥，AF BE ∥，AB AD ⊥，AB AF ⊥，且平面ABCD ⊥平面ABEF ．已知2==AB AF ，1AD CD BE ===．(1)证明：BC FC ⊥；(2)求直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）由面面垂直的性质得到AF ⊥平面ABCD ，即可得到BC AF ⊥，再连接AC ，即可得到BC AC ⊥，从而得到BC ⊥平面AFC ，即可得证；（2）建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，又AB AF ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC AF ⊥，连接AC ，在梯形ABCD 中，由2AB =，1AD =，1CD =，AD AB ⊥，所以45DCA BAC ∠=∠=︒，所以45CBA ∠=︒，所以BC AC ⊥，因为BC AC ⊥，BC AF ⊥，,AC AF ⊂平面AFC ，AC AF A ⋂=，所以BC ⊥平面AFC ，因为FC ⊂平面AFC ，所以BC FC ⊥（2）解：分别以AB 、AF 、AD 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()1,0,1C ，()0,2,0F ，()2,1,0E ，所以()1,0,1BC =- ，()0,1,0BE = ，()2,1,0EF =- ，设平面BEC 的法向量为(),,n x y z = ，平面BEC 与直线EF 所成的角为θ，则00n BE y n BC x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，则1z =，0y =，所以()1,0,1n = ，所以()2222210sin 52111n EF n EFθ⋅-===⋅-+⋅+ ，所以直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值为105；20．2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30,35)，第二组[35,40)，第三组[40,45)，第四组[45,50)，第五组[50,55)，第六组[55,60]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求实数a 的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.036a =（2）①310p =②见解析【分析】（1）根据频率和为1列方程，解方程求得a 的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：（1）直方图中的组距为5，可得0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，得0.036a =.（2）从直方图中可得第四组的人数为0.04520040⨯⨯=（人），第五组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），第六组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率111433310310C C C p C ⋅⋅==；②ξ的可能取值为0，1，2，3，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，ξ的分布列为ξ0123P 1612310130()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (0，3)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，1432y x =±+.【分析】（1）点()2,1代入椭圆方程，得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，解出a ，b ，进而得出方程.（2）分两种情况讨论，斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，斜率存在时设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，结合韦达定理和2PB PA = ，分析斜率，进而写出方程.【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，由以上两式解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，所以设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，1221212k x x k +=-+①，1221412x x k =+②△=(12k )2﹣4×14×(1+2k 2)>0，274k >，设所求直线与椭圆相交两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知条件2PB PA = 可得x 2=2x 1③，综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意，所以所求直线方程为：1432y x =±+.【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线和椭圆相交问题，属于中档题.22．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域和导数()1f x a x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析()f x '在()0,∞+上导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数()y f x =有两个零点，则0a >且有10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，知函数()y f x =在()0,∞+内单调递增；②当0a >时，由()0f x ¢>，即10a x ->得10x a<<；由()0f x '<，即10a x-<得1x a >.所以，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.因此，当0a ≤时，()y f x =在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减；（Ⅱ）当0a ≤时，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =最多一个零点，不合乎题意，舍去；当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，则11ln1ln10f aa a⎛⎫=-=-->⎪⎝⎭，即ln1a<-，解得10ae<<.因此，实数a的取值范围是1 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。

河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A． a B． a C． a D． a参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．2. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A.考点：导数的几何意义3. 若集合，，则是A．B．C．D．参考答案：B略4. 设，记，若则（）A． B．- C． D．参考答案：B5. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略7. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．参考答案：D8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9. 对于幂函数，若，则，大小关系是（）A． B．C． D．无法确定参考答案：A10. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：C∵是偶函数，，∴，∵，∴∵在上减函数，∴，∴或∴不等式的解集为或，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为＿＿＿＿.参考答案：12. 若x 2dx=9，则常数T的值为 ．参考答案：3【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．13. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为 ▲ ．参考答案：14. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．参考答案： 336 略15. 设变量满足约束条件则的最大值为________参考答案：4 16. 若在展开式中x 3的系数为－80，则a = ．参考答案：－2；17. 已知，且是第二象限角，则____________参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

天津塘沽区第一中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的单调减区间是（）A. （0，1）B. （1，+∞）C. （-∞，1）D. （-1，1）参考答案：A.令，解得，故减区间为：(0,1).故选A.2. 在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）A．3 B．7 C．10 D．11参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求．【解答】解：设公差为d，则，解得，a1=﹣2，d=3，∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10．故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题．3. 执行如图所示的程序框图，则输出结果s的值为（）A．﹣B．﹣1 C．D．0参考答案：B【考点】程序框图．【专题】转化思想；转化法；算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，∵跳出循环的n值为2016，∴输出S=cos+cos+…+cos，∵cos+cos +cos +cos+cos +cos=cos+cos +cos﹣cos﹣cos﹣cos =0，∴S=cos+cosπ+cos=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程判断算法的功能是关键．4. 已知正方体棱长为，则正方体内切球表面积为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 已知向量a = ( –2, 5, –4 ), b = (6, 0 , –3 ) , 则< a , b >的值等于参考答案：略6. 过椭圆上一点H 作圆x 2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y 轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1 D．参考答案：D【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S==×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．7. 等比数列{a n}中，a4=4，则a2?a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：C【考点】等比数列．【分析】由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2?a6【解答】解：a2?a6=a42=16故选C．8. 一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先求出三次都摸到蓝球的概率，再用1减去此概率，即为所求．【解答】解：试验共进行三次，由于次摸到蓝球的概率都是，则三次都摸到蓝球的概率是=，故至少摸到一次红球的概率是1﹣=，故选：B．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．9. 正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是（）参考答案：C略10. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A. 甲、乙可以知道对方的成绩B. 甲、乙可以知道自己的成绩C. 乙可以知道四人的成绩D. 甲可以知道四人的成绩参考答案：B【分析】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好，可得丁和甲也是一个优秀，一个良好，然后经过推理、论证即可得结论.【详解】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩；由于丁和甲也是一个优秀，一个良好，所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩．综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩．故选B．【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数与直线相切于点，若对任意，不等式恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为________参考答案：{4}【详解】函数与直线相切于点，可得方程，，可得方程，联立方程组解得，，所以，由得，则，化简可得，由此可得,所有满足条件的实数组成的集合为.所以本题答案为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用分离参数的方法，属于中档题.12. 已知实数满足约束条件，则的最小值是________参考答案：8略13. 关于曲线C：，给出下列说法：①关于坐标轴对称； ②关于点对称； ③关于直线对称； ④是封闭图形，面积大于．则其中正确说法的序号是______注：把你认为正确的序号都填上参考答案：14. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是．参考答案：15. 设数列的前n 项和，则的值为参考答案：1516. 已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程是____________________.参考答案：3x+2y=4 17. 复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于第_____象限参考答案：2 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

1 / 3中学2012-2013学年第一学期高二数学月考试题一、 选择题 （ 本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的表格中．）1、若a 与b 是异面直线，且直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 ( ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交2、下列说法中正确的是（ ）Ａ平行于同一直线的两个平面平行； Ｂ垂直于同一直线的两个平面平行； Ｃ平行于同一平面的两条直线平行； Ｄ垂直于同一平面的两个平面平行． 3、对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.梯形的直观图可能不是梯形C.正方形的直观图为平行四边形D.正三角形的直观图一定是等腰三角形4、如图，一个空间几何体的直观图的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边等1，那么这个几何体的体积为 （ ）A.1 B.21 C.31 D.615、圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是 （ ） A ．22a π B ．24a π C ．2aπ D ．23aπ6、设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、△ABC 是边长为1的正三角形，那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''∆的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．86 D ．166 8、设正方体的表面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 （ ）A ．π343cmB ．π63cmC ．π383cm D ．π3323cm 9、如右图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 （ ） Ａ．π Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ．3+π10、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折后连结BD ，构成三棱锥D-ABC,若棱BD 的长为22a ．则此时三棱锥D-ABC 的体积是（ ） A ．122a 3 B ．123a 3C ．246a 3D ．61a 311、在ABC ∆中，0120,5.1,2=∠==ABC BC AB （如下图），若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A.29π B.27π C.25π D.23π12、正四棱锥S —ABCD A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为 ( )A 、34πB 、3πC 、 32πD 、38π二、填空题（共4题，各4分，共16分） 13、一个底面直径．．和高．都是4的圆柱的侧面积为． 14、圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为060，则它的侧面积为__________________． 15、已知△ABC 为直角三角形，且090=∠ACB ，AB=10，点P 是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC ，且P Ｏ⊥平面ABC ，Ｏ为垂足，则ＯＣ=__________________．16、若3223===⊥BC AB PA ABCD ABCD PA ，，是矩形，若，且平面，则俯视图左视图正视图正视图 侧视图 俯视图2 / 3CABMPCABMPA BD P --_________三、解答题（共4题，共36分）17、(本题满分9分) 在三棱锥V —ABC 中，VA=VB=AC=BC=2，AB=32，VC=1，求二面角V —AB —C 的大小．18、（本小题满分9分）三棱锥ABC P -中，平面⊥PBC 平面ABC ，PBC ∆是边长为a 的正三角形，90=∠ACB ， 30=∠BAC ，M 是BC 的中点．（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点M 到平面PCA 的距离；19、(本题满分9分) 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：(Ⅰ)PA ∥平面BDE ；(Ⅱ)平面PAC ⊥平面BDE ．20、(本题满分9分) 如图,在三棱锥S-ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ，且△SAC 是正三角形,O 是AC 的中点，D 是AB 的中点．(Ⅰ) 求证：ＯＤ//平面ＳＢＣ； (Ⅱ) 求证:SO ⊥AB .中学2012-2013学年第一学期 高二数学月考试题答题卡一、 选择题 本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的表格中． 二、填空题请将答案填写在横线上．（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、16π14、π2 15、5 16、3三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，每小题9分，共36分）． 17、(本题满分9分)解：取AB 的中点O ，连接VO ，CO-----------1分因为△V AB 为等腰三角形 ∴VO ⊥AB---------1分 又因为△CAB 为等腰三角形 ∴CO ⊥AB------------1分则∠VOC 为二面角V —AB —C 的平面角-------1分 ∵AB=32，∴AO=3------- 1分 又V A=2则在R t △VOA 中，VO=1------------1分同理可求：CO=1---------------1分 又已知VC=1 则△VOC 为等边三角形，∴∠VOC=060-------------------------------1分 ∴二面角V —AB —C 为060.------------------------------------------1分 18、(本题满分9分)（1）（2）PAC M ACM P V V --=得a h 43=即为M 到平面PAC 的距离题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBCDACDABCDACBAOS3 / 319、(本题满分9分)证明：（Ⅰ）连结在△P ∵O 是∴OE 分又∵分 P A ⊄分 ∴P A 分 （Ⅱ）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ．-------------------------------------------------1分 又∵AC ⊥BD ，且AC PO ＝O ，∴BD ⊥平面P AC ．-----------------------------------------1分 而BD ⊂平面BDE ，----------------------------------------1分 ∴平面P AC ⊥平面BDE ．---------------------------------------1分 20、(本题满分9分)(Ⅰ)证明: ∵O 是AC 的中点，D 是AB 的中点∴OD//BC---------------------------------------------------2分又⊂BC 平面SCB------------------------------------------1分OD ⊄平面SCB-------------------------------------------------1分 ∴ＯＤ//平面ＳＢＣ-------------------------------1分 (Ⅱ)证明:SAC ∆是正三角形, O 是AC 的中点，∴SO AC ⊥----------------------------------------------1分又∵平面SAC ⊥平面ABC∴SO ACB ⊥平面------------------------------------2分 ∴SO AB ⊥----------------------------------------------1分CBA O SD。

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．函数的导数是（ ）()cos 2f x x =A ．B ．C ．D ．2cos 2x 2cos 2x-2sin 2x2sin 2x-D【分析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】令，则.2u x =cos y u =(cos )()(sin )sin .x u x y y u u x u x '''=⋅=⋅=-=-''2222故选：D2．函数f (x )＝ex －ex ，x ∈的单调递增区间是（ ）R A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D【分析】求得，令，即可求得单调增区间.()f x '()0f x '>【详解】由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故的单调增区间为.()f x ()1,+∞故选：D.本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.3．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，312++物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ）A ．8种B ．12种C ．15种D ．20种B【分析】先求得物理､历史两科中选择1科的选法，再求得政治､地理､化学､生物四科中选择2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案.【详解】解：由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法，122C =政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，246C =所以学生不同的选科方案共有种.2612⨯=故选：B4．已知函数f (x )可导，且满足，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导0(3)l (m2i 3)x f f x x ∆→-+∆=∆数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以()()()()()3333limlim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆.()32f '=-故选：B.5．已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数()2f x x =1x =()e xg x a ==a A BCD．B【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数()2f x x =1x =图象的切线，设出切点即可求解.()e xg x a =【详解】由，得，则，()2f x x =()2f x x'=()12f '=又，所以函数的图象在处的切线为，即.(1)1f =()2f x x =1x =12(1)y x -=-21y x =-设与函数的图象相切于点,21y x =-()e x g x a =00(,)x y 由，可得e ()x g x a '=0000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选B.本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，25C 看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方254!240C ⨯=案，故选：C.本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最x t =2(),()ln f x x g x x ==,M N MN 小时的值为tA ．1B ．CD 12D【详解】由题，不妨令，则，令2ln MN x x=-(0)x >2()ln h x x x =-1'()2h x x x =-解得时，，当时，，所'()0h x =x x ∈'()0h x <)x ∈+∞'()0h x >以当时，达到最小．即．x =MN t =8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则()f x ()0+∞，()*()k f x y k x =∈N ()0+∞，称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的()f x k 2()ln f x m x x x =+-1m 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A【分析】由题知在上为增函数，故令()ln f x mx x x x =+-()0+∞，，进而在上恒成立，()ln ,0mg x x x x x =+->()2221'10m x x m g x x x x --=-+-=≥()0+∞，即在上恒成立，再求函数最值即可．2m x x ≤-()0+∞，()2,0y x x x =-∈+∞，【详解】解：因为函数为“阶比增函数”，2()ln f x m x x x =+-1所以函数在上为增函数，()ln f x mx x x x =+-()0+∞，所以令，()ln ,0mg x x x x x =+->故在上恒成立，()2221'10m x x mg x x x x --=-+-=≥()0+∞，所以在上恒成立，2m x x ≤-()0+∞，由于，()22111,0244y x x x x ⎛⎫=-=--≥-∈+∞ ⎪⎝⎭，所以.()2min14m x x ≤-=-故实数的取值范围是m 1,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦故选：A 二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．函数在处取得最小值B ．是函数的极值点()y f x =4x =-0x =()y f x =C ．在区间上单调递增D ．在处切线的斜率大于零()y f x =(4,1)-()y f x =1x =ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，(,4)x ∈-∞-()0f x '<(4,)x ∈-+∞，()0f x '≥函数在上单调递减，在上单调递增，且故C 正确；∴()y f x =(,4)-∞-(4,)-+∞易知函数在处取得最小值，故正确；()y f x =4x =-A 在上单调递增，故不是函数的极值点，故B 不正确； (4,)-+∞0x =()y f x =函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D 正确.()y f x =1x =∴故选：ACD ．10．函数的一个零点在区间内，则实数a 的可能取值是（ ）2()2x f x ax =--(1,2)A ．0B ．1C ．2D ．3BC【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定()22x f x a x =--理可得，从而可得结果.()()120f f <【详解】因为函数在定义域上单调递增，22x y y x ==-、{}0x x ≠所以函数在上单调递增，()22x f x a x =--{}0x x ≠由函数的一个零点在区间内，()22x f x a x =--()1,2得，()()()()12(22)(41)30f f a a a a ⨯=----=-⨯-<解得,0<<3a 故选：BC11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24BC【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，②个位数为或，然后根024据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，②十位为，③十位为，然后根012据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A 不正确；124444348A A =⨯⨯=对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，则有种，0244312A =⨯=②个位数为或，则有种，24A A A =⨯⨯=11123323318所以在组成的三位数中，偶数的个数为，故B 正确；121830+=对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，则有种，0244312A =⨯=②十位为，则有种，123326A =⨯=③十位为，则有种,222212A =⨯=所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为， 故C 正确，D 不正确.126220++=故选：BC.12．已知函数有两个互异的极值点，下列32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()1212,x x x x <说话正确的是（ ）A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．时，在区间上单调递减0a >()f x 12(,)x x D ．时，为极大值，为极小值0a <1()f x 2()f x ABC求导，根据有两个互异的极值点逐项验证.2()32f x ax bx c '=++()f x ()1212,x x x x <【详解】因为函数，32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠所以，2()32f x ax bx c '=++因为有两个互异的极值点，()f x ()1212,x x x x <所以，故A 正确；()()22212430b ac b ac ∆=-=->所以若有三个零点则，故B 正确；()f x 12()()0f x f x <当时，开口向上，则时，，所以区0a >2()32f x ax bx c '=++12(,)x x x ∈()0f x '<()f x 间上单调递减，故C 正确；12(,)x x 当时，当或时，，当时，，所以为极0a <1x x <2x x >()0f x '<12x x x <<()0f x '>1()f x小值，为极大值，故D 错误；2()f x 故选：ABC本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知，则________．34m m C C =21889m m m C C C --++=120【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质m 递推关系及组合数公式即可求解11m m m n n nC C C -+=+【详解】由，得，解得.34mmC C=!!!()!!()!m m m m =--33447m =所以.562188988997677910120m m m C C C C C C C C C --++=++==+=故答案为.12014．若函数的极值点为，则__________．()e xf x x =0x x =()0f x =1e -1e--【分析】根据求导公式和运算法则可得，结合极值点的定义求出()e e x xf x x ='+，进而求出即可.01x =-(1)f -【详解】由题意得，，所以，()e x f x x =()e e x x f x x ='+因为是函数的极值点，0x x =()f x 所以，即，0000()e e 0x x f x x '=+=00e (1)0x x +=解得，易得－1是极小值点，所以.01x =-01()(1)e f x f =-=-故答案为.1e-15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为____________．120【分析】根据题意，先排好7个空座位，由于空座位是相同的，形成6个空位是符合条件的，再将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可.【详解】解：10个座位中，除了甲、乙、丙3人的座位，还有7个座位，形成6个空位，所以只需将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可，故有（种）.36654120A =´´=所以每人左右两边都有空位的坐法种数为.120故120四、双空题16．己知函数，若，且，则实数k 的取值范231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩n m >()()f n f m k ==围为_______，设，则t 的取值范围为______________．t n m =- 04k <≤171,12⎤⎥⎦【分析】画出函数图象，由图象得出k 的取值范围，用表示出，结合二次函数的n m 性质求得的取值范围.t n m =-【详解】画出图象如下图所示，()fx 当时，，令，解得1x =(1)3114f =⨯+=()2140x x -=>x =因为，()()f n f m k ==由图象可知，；04k <≤由得，，且()(),n m f n f m >=2311m n+=-223n m -=1n <所以，(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭t，当取得最小值为.2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭n =t212133-⨯+=所以的取值范围是.t 171,12⎤-⎥⎦故；.04k <≤171,12⎤⎥⎦五、解答题17．已知函数．2ln y x x =(1)求这个函数的图象在处的切线方程；1x =(2)若过点的直线l 与这个函数图象相切，求l 的方程．(0,0)(1)；1y x =-(2).1e y x=-【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜()y f x =(1)f '(1)0f =式方程即可求出切线方程；(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标求直线斜率公式分别求出切2000(,ln )x x x 线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即10e -=x 可得出结果.【详解】(1)令，则，()y f x =2()ln f x x x =函数的定义域为，，()f x (0,)+∞()2ln f x x x x '=+所以，又，(1)2ln111f '=+=(1)0f =所以函数在处的切线方程为；1x =1y x =-(2)设切点为，2000(,ln )x x x 由(1)知，，0000()2ln f x x x x '=+又直线l 的斜率为，200000ln ln l x x k x x x ==有，解得，0002ln x x x +00ln x x =10e -=x 所以，100ln e l k x x -==-所以直线l 的方程为.1e y x=-18．(1)若，求正整数；33210n n A A =n (2)已知，求.56711710n n nC C C -=8n C (1)8(2)28【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；()()()()221221012n n n n n n --=--（2）利用组合数公式可得，即求.223420n n -+=【详解】(1)由得，33210n n A A =，又，()()()()221221012n n n n n n --=--*3,N n n ≥∈∴，即，()()22152n n -=-8n =∴正整数为8.n (2)由得，56711710n n nC C C -=，()()()!5!!6!7!7!5!6!107!n n n n n n --⨯--=⨯∴即，()()6761660n n n ----=223420n n -+=解得或，又，2n =21n =05n ≤≤∴，2n =∴.88228n C C ==19．新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，x 需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，()C x (万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口()2123C x x x=+()36ln 17e C x x x x =++-罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售()p x x =收入固定成本流动成本)--（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？（1）；（2）当月产量约为万件时，所获月利润最大，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩3e 最大利润为8万元.（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分时和两种07x <<7x ≥情况，得到关于的分段函数关系式；()p x x （2）当时，根据二次函数求最大值的方法求的最大值，当时，根07x <<()p x 7x ≥据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则万件口罩销售收入为万元.x 6x 依题意得，当时，，07x <<()22116254533p x x x x x x =---=-+-当时，，7x ≥()33661712l ln 5n x e e p x x x x x x ⎛⎫=-++--=--⎪⎝⎭∴，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，07x <<()()21673p x x =--+∴当时，的最大值为(万元)，6x =()p x ()67p =当时，，∴，7x ≥()3ln 12x e p x x =--()33221e e xp x x x x -'=-+=∴当时，单调递增，当，单调递减，37x e ≤<()p x 3x e ≥()p x ∴当时，取最大值(万元)，3x e =()p x ()3312ln 18p e e=--=∵，∴当时，取得最大值8万元，87>3x e =()p x 当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.3e 本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.20．设函数．()()1ln 0f x ax x a x=+>（1）当时，求的极值；1a =()f x（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．()f x ax ()0,∞+a （1）有极小值，没有极大值；（2）．()11f =20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数1a =极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.a 试题解析：（1）由已知，当时，，∴，1a =()1ln f x x x x =+()21ln 1f x x x +-'=()312f x x x +'=>'∴在上单调递增，且，()f x '()0,+∞()10f '=，随变化如下表：()f x '()f x x x()0,11()1,+∞()f x '-+()f x ↘极小值↗∴有极小值，没有极大值． ()f x ()11f =（2）（方法一）由题可得恒成立，()211ln a x x -≤当时，上式恒成立；x e ≥当时，，又，故0x e <<()211ln a x x ≤-0a >()211ln x x a≥-令，则， 令，()()21ln h x x x =-()()12ln h x x x =-'()0h x '=x =∴当 时， ，0x <<()0h x '>x e <<()0h x '<∴，()(max 12eh x he ==-=∴，解得：，∴的取值范围是． 12ea ≥20a e <≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法二）由题可得， 设，则，()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->()21ln g x a x x ='-∵，∴在上单调递增，，，0a >()g x '()0,+∞()110g '=-<12110a ag e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭∴使得，则， 101,a x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=2001ln a x x =由知，且时， ，时， ，0a >01x >00x x <<()0g x '<0x x >()0g x '>∴，∴，∴∴，()()00min 002ln 10ln x g x g x x x -==≥01ln 2x ≥0x ≥2a e ≤∴的取值范围是．a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法三）由题可得恒成立，()21ln 0f x a ax a xx -=+-≥令，则， ()21ln h x a x a x =+-()h x'=∴时， ，0x<<()0h x '<x >，∴，()0h x '>()min 20h x a a ==≥∴，解得：，∴的取值范围是． 2ln 1a ≥2a e ≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦21．如图，从左到右共有5个空格.（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？（1）36个；（2）48种；（3）16800种.【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，12C 13C 共有个五位奇数.11323336C C A =（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，共有种涂色方案.43248⨯=（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，37C 在5个位置全排列有种方法；35754200C A =7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，227522C C A 在5个位置全排列有种方法；2257552212600C C A A =所以共有种方法.42001260016800+=22．已知函数．323()22f x x ax b=-+(1)讨论的单调性；()f x (2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出,a b ()f x [0,1]1-1a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．(1)当时，)在上单调递增，在上单调递减；0a >()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，在单调递增.0a =()f x (),-∞+∞当时，)在上单调递增，在上单调递减.0a <()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)或0,1a b ==-8,13a b ==【分析】（1）由，得出，求出的两根，比较根的大小并分类讨论，()f x ()'f x ()0f x '=进而求出函数的单调性；()f x （2）利用（1）中的单调区间讨论在上的最值，最终确定参数的值.()f x ()f x []0,1,a b 【详解】(1)由，得.323()22f x x ax b =-+()2()6332f x x ax x x a '=-=-令，即，解得或.()0f x '=()320x x a -=0x =2a x =若，则当时，；0a >(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则在上恒成立，0a =2()60f x x '=≥R 所以在单调递增.()f x (),-∞+∞若，则当时，；0a <(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)满足题设条件的存在.,a b 当时，由（1）知，在单调递增，0a ≤()f x []0,1所以在区间的最小值为，最大值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 1b =-3212a b -+=0,1a b ==-当即时，由（1）知，在单调递减，12a≥2a ≥()f x []0,1所以在区间的最大值为，最小值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 3212a b -+=-1b =8,13a b ==(ii)当即时，由（1）知，012a<<02a <<)在上单调递减，在上单调递增.()f x 0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，取得极小值即为的最小值，2ax =()f x ()f x 3233()222228a a a a f a b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为或.()f x ()0f b =()3122f a b =-+若，，则矛盾.318a b -+=-1b =a =02a <<若，则或，与矛盾318a b -+=-3212a b -+=a =a =-0a =02a <<综上，当或时，在区间的最小值为且最大值为.0,1a b ==-8,13a b ==()f x [0,1]1-1。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。

桃江一中2021-2021学年高二第一次月考数学试题本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

时 量：120分钟 总 分：150分一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分〕1、锐角△ABC 的面积为23，BC =4，CA =3，那么角C 的大小为〔 〕A 、75°B 、60°C 、45°D 、30°2、在数列{}n a 中，1a ＝2，1221=-+n n a a ，那么101a 的值是〔 〕A 、49B 、50C 、51D 、523、等差数列{}n a 中，48732＝a a a a +++，那么＝9S 〔 〕A 、2B 、3C 、5D 、94、〔理〕二次不等式12++bx ax ＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-311＜x＜x ｜那么b a ·的值是〔 〕 A 、— 6 B 、6 C 、— 5 D 、5〔文〕在△ABC 中，假设︒=60＜A ，︒=45＜B ，BC=23，那么AC =〔 〕A 、34B 、32C 、3D 、23 5、在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，那么A 的取值范围是〔 〕A 、]60π，（B 、），ππ6[C 、]30π，（D 、），ππ3[ 6、〔理〕在等比数列{}n a 中，其前n 项和13-n n S ＝，那么=+⋯⋯++22221n a a a 〔 〕A 、19-nB 、）（1921-n C 、13-n D 、）（1321-n 〔文〕等比数列{}n a 中，1··321=a a a ，44=a ，那么=+⋯⋯+++n a a a a 2642〔 〕A 、12-nB 、314-nC 、541n ）（--D 、321n ）（-- 7、△ABC 的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin 2sin sin 222）（）（-=-，那么角C 的大小为〔 〕 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°8、假设数列{}n a 的前n 项和＝n S 323-n a ，那么n a ＝〔 〕A 、）（122++n nB 、n 23⨯C 、13+nD 、n 32⨯二、填空题：〔本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分〕9、△ABC 中，︒===3022，A ，b a ，那么＝B 。

山东省济南市第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线的斜率为A. B. C. D.参考答案：A2. 图中的图象所表示的函数解析式是（）A. B.C. D.参考答案：B3. 买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（）A．前者贵 B．后者贵 C．一样 D．不能确定参考答案：A 解析：设郁金香x元／枝，丁香y元／枝，则，∴由不等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。

4. 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件②若、为两个事件，则③若事件两两互斥，则④若事件满足则是对立事件.其中错误命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：D5. 设表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )A.⊥，若⊥，则∥；B.β，是在内的射影，若⊥，则⊥；C.β，若⊥则⊥；D.，，若∥，则∥；参考答案：C略6. 正方体AC1中，点P、Q分别为棱A1B1、DD1的中点，则PQ与AC1所成的角为( )A．30o B．45o C．60o D．90o参考答案：D略7. 用“辗转相除法”求得333和481的最大公约数是（）A．3 B．9 C．37 D．51参考答案：C【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】转化思想；算法和程序框图．【分析】利用“辗转相除法”即可得出．【解答】解：481=333×1+148，333=148×2+37，148=37×4．∴333和481的最大公约数是37．故选：C．【点评】本题考查了“辗转相除法”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知椭圆，则椭圆的焦距长为（）(A). 1 (B). 2 (C). (D). 参考答案：D略9. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故V A ﹣BEF为定值．D正确；故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知＝2，＝3，＝4…，若＝6，(a，t为互质的正整数)，由以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.参考答案：41根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为，所以当n＝6时，，.12. 若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则的最小值为．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由题意可知圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by ﹣2=0上，可得a+b=1，而=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by ﹣2=0即是圆的直径所在的直线方程∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上∴2a+2b﹣2=0即a+b=1∵=（）（a+b）==3+2∴的最小值故答案为：【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换13. 用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做次减法.参考答案：414. 设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换．将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到．例如，当时，，此时位于中的第4个位置．（1）当时，位于中的第个位置；（2）当时，位于中的第个位置．参考答案：（1）6；（2）15. 已知直线曲线相切则 .参考答案：16. 已知 -3+2 i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，（p、q∈R），则p+q=________;参考答案：3817. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为__________（用数字作答）．参考答案：0.027恰有人被治愈的概率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．
为了了解中国人均GDP x （单位：万元）和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z
（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据(),,(1,2,,10)i i i
x y z i =L 绘制了
散点图，并得到回归方程ˆ7.540.33z x =+，ˆ 2.880.41y x =-，对应的相关系数分别为1
r ，2r ，则（ ）
A ．人均
GDP 和女性平均受教育年限正相关
B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C ．22
12
r r <D ．未来三年总和生育率将继续降低
10．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2
四、解答题
17．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
征后，计划用()
ln
=+作为月销售量y关于产品研发投资额
y bx a
根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测。

北京师范大学附属实验中学2021-2022学年度高二年级第二学期数学月考试卷行政班级 教学班级 姓名 学号 分数一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上）1．在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy ）,则yx∆∆为( )A.12x x ∆++∆B.12x x ∆--∆C.2x +∆D. 12x x+∆-∆ 2．设X则q 等于( )A ．1B ．1±2 C ．1－2D ．1＋23．函数sin(3)4y x π=+的导数为( )A. cos(3)4x π+B. 3cos(3)4x π+C.-cos(3)4x π+D. 3sin(3)4x π+4. 在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）A ．1321B ．1141C ．1021D ．105．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A. 1220 B. 2755 C. 27220 D. 21256. 设()()221122,,,XN Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是( ) A.()()21P Y P Y μμ≥≥≥ B. ()()21P X P X σσ≤≤≤C.对任意正数t, ()()P X t P Y t ≤≥≤D.对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥7．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．-e C.1e D ．1e-8．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--9．函数的导函数为，对任意的，都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A.)3(ln 2)2(ln 3f f >B.)3(ln 2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定 10．数列{}n a 满足：对所有*n N ∈且3n ≥，*,i j N ∃∈，使得(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称数{}n a 是“F 数列”.现有以下四个数列：①{}n ；②{}2n；③(){}lg 1n n +⎡⎤⎣⎦；④1122n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎛+-⎪⎢⎥- ⎬ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎭；其中是“F 数列”的有（ ） A ．①④ B ．①③④ C ．②③ D ．①②二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 曲线x x y 1+=在点)25,2(处的切线斜率是_________。

高二数学第一次月考试题一、选择题：（每小题4分，共40分）． 1. 下列命题正确的是A ． 经过三点确定一个平面.B ． 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.C ． 经过一条直线和一个点确定一个平面.D ． 四边形确定一个平面.2. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是A.平行B. 相交C. 异面D. A 、B 、C 均有可能 3. 如果直线a ∥平面α,那么直线a 与平面α内的A. 任意一条直线不相交B.一条直线不相交C. 无数条直线不相交D.两条直线不相交4.如图所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）5.不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ 其中假命题有：（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个6.若直线a 与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线A. 只有一条B. 有无数条C. 是平面α的所有直线D. 不存在7.设 P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，而且点 P 到△ABC 各边的距离也相等，那么△ABC 是（ ） A ．是任意三角形 B. 是等边三角形C. 是等腰直角三角形D. 是非等腰直角三角形 8．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A3：3 B 2：3 C3：2 D 3：19.若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）A 3：2B 2：1C 4：3D 5：310．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）． 11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与A 1B 是异面直线的棱有_______条。

商南县高级中学2012～2013学年度第二学期第一次月考高二数学（理）试题（时间：120分钟；总分：150分）命题人：陈 洁一、选择题（每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时， 反设正确的是（ ）A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角至多有一个大于60度;C.假设三内角都大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度;2.某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立3. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为( )A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+4.与直线042=+-y x 平行且与抛物线2x y =相切的直线方程是（ ）A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5. 若函数)(3x x a y -=的减区间为)33,33(-，则a 的范围是( ) A ．0>a B ．01<<-a C ． 1->a D ． 1<<-a 16.已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f 等于 ( ) A ．2 B ．0 C ．-2 D ．4-7. 如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A.13(,)x xB.24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x8.用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ） A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 9. 已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<< Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<< Ｄ．2212a b ab +<<10. 如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指， ...，一直数到2013时，对应的指头是:( ) A.大母指； B.食指； C.小指； D.无名指。

2022年辽宁省葫芦岛市南票中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C2. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B． C．D．参考答案：B略3. 长、宽、高分别为4、3、的长方体的外接球的体积为（）A. 3B.C.D. 9参考答案：B4. 若抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.参考答案：A5. 若f（x）=，e＜b＜a，则（）A．f（a）＞f（b）B．f（a）=f（b）C．f（a）＜f（b）D．f（a）f（b）＞1参考答案：C 【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∵e＜b＜a，∴f（a）＜f（b），故选：C．【点评】本题考查利用导数确定函数的单调性，考查学生的计算能力，正确确定函数的单调性是关键．6. 、分别是定义在R上的奇函数与偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.参考答案：A略7. 将八位数135（8）化为二进制数为（）Ａ1110101（2）Ｂ1010101（2）Ｃ1011101（2）Ｄ1111001（2）参考答案：C略8. 关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③参考答案：C【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．9. 已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（)A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用参数分离法进行转化,构造函数求出函数的最值即可得到结论.【详解】解:由,得:令,当时，当时，在递增,在递减,的最大值是,故所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，关键是利用参数分离法，构造函数转化为求最值问题.10. 若三点共线则的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A 解析：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正实数x，y满足xy=9，则x+9y取得最小值时x= ，y= ．参考答案：9,1.【考点】基本不等式．【分析】由条件，运用基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到所求最小值时x，y的值．【解答】解：由正实数x，y满足xy=9，可得x+9y≥2=6=6×3=18，当且仅当x=9y，即x=9，y=1时，取得最小值18．故答案为：9，1．12. 设过点的直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于A、B两点，点与点P 关于轴对称，O点为坐标原点，若且则P点的轨迹方程是_________.参考答案：略13. 一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率为________.参考答案：【分析】3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由次独立重复试验的概率计算即可。

2023-2024学年江苏省南京市高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则满足2na n≤的正整数n 的集合为（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2,3D ．{}1,2,4【正确答案】B【分析】已知n S 求n a 分情况讨论，得到数列通项公式，再通过代入n 值验证不等式即可.【详解】根据21n n S a =-可得，当1n =时，1121S a =-，即11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则()11122n n n a n N --*=⨯=∈，故不等式2na n≤，即22n n -≤，验证可得1,2,3,4n =.故选：B.2．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数学期望()E X 是（）A ．115B ．125C ．135D ．145【正确答案】A【分析】本题需要“取到有两种不同颜色的球”，则既有可能是取三次（2白1其他颜色或者2黑1其他颜色），也有可能是取两次（1白1其他颜色或1黑1其他颜色或1红1其他颜色），通过上述计算出它们的概率，再算出它们的期望．【详解】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为23、，()21211354545P X ==⨯+⨯=，()()42135P X P X ==-==，所以()411123555E X =⨯+⨯=，所以随机变量X 的数字期望()E X 是115，故选A本题考查的是概率以及期望，计算概率时首先要明白题目所给的限制条件，再根据条件得出满足条件的几种可能，再依次计算出概率．3．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．70B ．70-C ．56D ．56-【正确答案】A【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】根据题意，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()8821881C 1C r r rr r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有()44581C 70T =-=；即81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．设袋子中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，今从中任取5个球，令X =“任取的5个球中红球的个数”，则()2P X ==（）A ．821B ．623C ．1021D ．1331【正确答案】C【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.【详解】()2346510C C 102C 21P X ===.故选：C.5．已知随机变量服从正态分布N (3，4)，则()21E ξ+与()21D ξ+的值分别为（）A ．13，4B ．13，8C ．7，8D ．7，16【正确答案】D【分析】由期望和方差的性质公式可得答案.【详解】由已知得()3E ξ=，()4D ξ=故()()21217E E ξξ+=+=，()()21416D D ξξ+==.故选：D6．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种【正确答案】A【详解】试题分析：根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A 43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32A 42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选A ．计数原理的应用．7．在三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，若点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，则O 到平面ABC 的距离为（）A B C D 【正确答案】B【分析】由条件可将三棱锥补成一个正方体，三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的中心，由正方体性质求O 到平面ABC 的距离.【详解】因为三棱锥-P ABC 中，三条棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，故可将三棱锥补成一个边长为2的正方体，如图：因为点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，所以O 为三棱锥-P ABC 的外接球的球心，又三棱锥-P ABC 的外接球的球心即为正方体的外接球的球心，即正方体的中心，所以O 为正方体的中心，所以222222223OP =++=3OP ，连接DP ，交平面ABC 与点H ，因为AB PE ⊥，AB PC ⊥，PE PC P = ，,PE PC ⊂平面PEC ，所以AB ⊥平面PEC ，PD ⊂平面PEC ，所以AB PD ⊥，同理可证AC PD ⊥，又AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，所以PH ⊥平面ABC ，所以13P ABC ABCV SPH -=，又13P ABC C ABP ABPV V SCP --==，所以ABCABPSPH SCP =，又23ABCS=2ABP S =△，2CP =，所以322PH =⨯，所以233PH =，又3OP =所以33OH =，所以O 到平面ABC 的距离为33.故选：B.8．在正项等比数列{}n a 中，24a =，416a =，满足21231m m a a a a a += ，则m =（）A ．4B ．3C ．5D ．8【正确答案】A根据等比数列的公比为正数，利用24,a a 的关系求得公比q 的值，进而得到通项公式，然后代入已知等式123m a a a a =21m a +，得到关于m 的指数方程，求解即得.【详解】由题意得公比2q ==，首项21422a a q ===，∴111222n n nn a a q --==⨯=，由21231m m a a a a a += ，()(1)12212331 (2)2222222m m m mm++++++=== 可得(1)2(1)222m m m ++=，解得4m =,故选：A.本题考查等比数列的通项公式的运用，求得通项公式是关键，将通项公式代入已知等式，对左边各项的积按照同底数的幂的乘法运算，结合等差数列的求和公式化简，是解决此题的一个小难点.二、多选题9．已知事件A ，B ，C ，且()0.5P A =，()0.3P B =，则下列结论正确的是（）A ．如果()1P ABC = ，那么()0.2P C =B ．如果A 与B 互斥，那么()0.8P A B = ，()0P AB =C ．如果B A ⊆，那么()0.5P A B = ，()0.6P B A =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.65P A B = ，()0.35P A B ⋅=【正确答案】BCD【分析】通过举例说明选项A 错误，通过计算说明选项BCD 正确.【详解】A.设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，设A =球的编号是偶数，B =球的编号是1,2,3，C =球的编号是奇数，满足()1P A B C = ，但是()0.5P C =，所以该选项错误；B.如果A 与B 互斥，那么()()()0.8P A B P A P B =+= ，()0P AB =，所以该选项正确；C.如果B A ⊆，那么()()0.5P A B P A == ，()P B A =()0.30.6()0.5P AB P A ==，所以该选项正确；D.如果A 与B 相互独立，那么()()()()0.50.30.50.3P A B P A P B P AB =+-=+-⨯ 0.65=，()P A B ⋅(()0.50.70.35P A P B ==⨯=.所以该选项正确.故选：BCD10．（多选）已知()0nx a⎛> ⎝的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中各偶数项的二项式系数和为512B ．展开式中第5项和第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含4x 的项的系数为210【正确答案】AD【分析】根据二项式系数公式可求得n ，令x ＝1可求得a ，再根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可.【详解】由题意知28C C n n =，∴n ＝10，∴10n x x⎛⎛= ⎝⎝，令x ＝1，则()1010121024a +==，∴a ＝1.对于A ，展开式中各偶数项的二项式系数和为10125122⨯=，故A 正确；对于B ，∵n ＝10，∴展开式中共有11项，中间项为第6项，该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B 错误；对于C ，展开式的通项为()310102211010C C 010,rr r rr r T xxxr r ---+=⋅≤≤⋅⋅=∈N ，令31002r -=，得203r =∉Z ，故展开式中不存在常数项，故C 错误；对于D ，令31042r -=，得r ＝4，故展开式中含4x 的项的系数为410C 210=，故D 正确.故选：AD.11．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B ABBC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=--，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACES︒=⨯=.设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE 的距离为AF n d n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．化简：()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++= ______.【正确答案】np由11=k k n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++ ，再由二项式定理可得答案.【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===----- ，∴()()()1231223312131n n n n nnn n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++ ()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p---------+-+-++ ()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣ 1[(1)]n np p p -=-+11n np -=⋅np=故np本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.14．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 夹角的余弦值为4，SA 与圆锥底面所成角为60 ，若SAB △的面积为2，则该圆锥的体积为___________.【正确答案】π3【分析】利用2SABS =可求得母线长，进而确定圆锥底面圆半径和高，代入圆锥体积公式即可.【详解】由题意知：cos 4ASB ∠=，1sin 4ASB ∴∠=，211sin 228SABSSA SB ASB SA ∴=⋅∠==，解得：4SA =，1cos60422OA SA ∴==⨯= ，sin 604SO SA ===∴圆锥体积211ππ433V OA SO =⋅⋅=⨯⨯.故答案为15．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.【正确答案】775【分析】由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A 恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法，当分成1，1，3时，有3510C =种情况，当分成1，2，2时，有12541152C C =种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有3325150A =种情况.A 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有3224421142C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种），因此所求概率14715075P ==.故775四、双空题16．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n 次，则当n ＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n ＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.【正确答案】516##0.或25【分析】根据独立重复试验的概率公式求n ＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.【详解】设第n 次移动时向左移动的概率为12，事件n ＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，所以事件n ＝6时质子位于原点的概率为3336115C 12216P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎝⎭,事件第25m +次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在25m +次移动中向右移了5m +次，所以第25m +次移动后质子位于5对应点处的概率25251C2m m m P ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()25251C2m m m f m ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()()()()2512725!1!6!16C 4441C !5!27!2627m m m m f m m m m m m f m m m m m m ++++++++==⋅=+++++，令()()11f m f m >+可得()()()()16412627m m m m ++>++，化简可得224282442642m m m m ++>++，所以9m >，N m *∈，所以()()()1011f f f m >>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅令()()11f m f m <+可得9m <，N m *∈，所以(9)(8)(1)f f f >>⋅⋅⋅>，又(9)10154=1(10)2425f f ⨯=⨯，所以m=9或m =10，即23n =或25n =时，质子位于5对应点处的概率最大.故516；23或25.五、解答题17．已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.()1a <（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}13A x x =-<<；（2）3a ≤-.【分析】（1）解分式不等式411x >+即可得到答案.（2）首先解不等式得到{}2B x a x a =-<<-，根据题意得到A B ⊆，从而得到1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++，所以()()130x x +-<，所以13x -<<，故{}13A x x =-<<；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，因为1a <，所以{}2B x a x a =-<<-.由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.所以1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-.18．一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为32.【分析】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，求出()P A ，()P AB ，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意X 服从二项分布，X 的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A =“第一次取到红球”，事件B =“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，()37215656P A ⨯∴==，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，()656P AB ∴=，()()()27P BA P B A P A ∴==∣;（2）由题可知白球个数13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()()331311130,1C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33233313112C ,3C 2828P X P X ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X0123P18383818所以X 的数学期望为.()13313012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，且60ABC ∠= ，2AB =，3AD =，PA ⊥平面ABCD ，13BM BC =．(1)点N 在棱PD 上，且13PN ND =，求证：PB 平面AMN ；(2)若异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为4，求平面PAM 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，可知OBMODA △△，得到13BO OD =，进而得到ON PB ∥，即可证明；（2）ABM 中，由余弦定理和勾股定理可得AM AD ⊥，再以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式表达出异面直线AB 与PD 所成角的余弦值，进而求出点P 的坐标，再利用空间向量解决二面角问题即可.【详解】（1）作出点N ，并连接AN ，MN ，AM ，BD ，且BD 交AM 于点O ，连接ON ，在平行四边形ABCD 中，BC AD ∥，则13BO BM OD AD ==，又因为13PN ND =，所以PN BOND OD=，则有ON PB ∥，ON ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ，所以PB平面AMN ．（2）在ABM 中，2AB =，1BM =，60ABM ∠= ，则AM ==有2224BM AM AB +==，于是得90AMB ∠= ，即AM BC ⊥，AM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AM ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，)1,0B-，()0,3,0D ，设()0,0,P a ，0a >，有)1,0AB =- ，()0,3,DP a =-，因异面直线AB 与PDcos,4AB DP〈=〉=，解得a=(0,DP=-，)1,0DC AB==-，设平面PCD的法向量(),,n x y z=r，则·30·0n DP yn DC y⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，令1x=，得()n= ，取平面PAM的法向量()0,1,0m=，设平面PAM与平面PCD所成锐二面角为θ，则cos cos,13m nm nm nθ⋅=〈〉==，所以平面PAM与平面PCD13．20．某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值μ（结果保留整数）﹔(2)若此次知识竞赛得分()2~,14X Nμ，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．参考数据：()0.6827P Xμσμσ-≤≤+≈，()220.9545P Xμσμσ-≤≤+≈，()33P Xμσμσ-+≈≤≤0.9973．【正确答案】(1)第75百分位数约为76分，平均值为65分(2)数学期望为1.1814次．【分析】（1）根据百分位数和平均数的计算即可求解，（2）根据正态分布的对称性可求概率，进而得分布列.【详解】（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，则所以()701681090.75401040x -++++⨯=，解得76x ≈（分），352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）．所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；（2）设随机变量Y 表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y 的可能取值为1，2，3，由已知及（1）得，()2~65,14X N ，()()()10.68271790.8413522P Y P X P X μσ===+≈+=≤≤，()()()0.95450.68272799320.13592P Y P X P X μσμσ-==<=+<+≈=≤≤，()()()393210.841350.13590.02275P Y P X P X μσ==>=>+≈--=，其分布列为Y 123P0.841350.13590.02275所以()10.8413520.135930.02275 1.1814E Y =⨯+⨯+⨯=．所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AC A B ⊥，O 是BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：AC BC ⊥；（2）若1111,2AO AC BC A B ====，求二面角1B BC A --的大小.【正确答案】（1）证明见解析；（2）56π.【分析】（1）先证1A O AC ⊥再结合1AC A B ⊥，即可证明AC ⊥平面1A BO ，则可证AC BC⊥（2）以O 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，分别求解平面11BB C C 和ABC 的法向量，利用夹角向量公式即可求解．【详解】解：（1）因为1A O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A O AC ⊥.又因为1AC A B ⊥，111A B AO A ⋂=，1A B ⊂平面1A BO ，1A O ⊂平面1A BO ，所以AC ⊥平面1A BO ，又因为BC ⊂平面1A BO ，所以AC BC ⊥；（2）以O 为坐标原点，与CA 平行的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O，1,0)A -，(0,1,0)B ，1(0,0,1)A .所以(0,1,0)OB =，(AB =-uu u r，1(0,0,1)OA = ，于是4AB =.由111ABC A B C -是三棱台，所以11//AB A B .又因为112A B =所以111(2A B AB ==.所以1111(OB OA A B =+=.设平面11BB C C 的法向量(,,)n x y z =，由100n OB n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩取1x =，则0y =，z =n =.因为1OA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为1(0,0,1)OA =.所以111cos,2||⋅<>==⋅n OAn OAn OA，因为二面角1B BC A--为钝二面角，所以二面角1B BC A--的大小是56π．方法点睛：求二面角常用方法：(1)几何法：二面角的大小常用它的平面来度量；(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角．22．已知正四面体ABCD的棱长为3cm.(1)已知点E是CD的中点，点P在ABC的内部及边界上运动，且满足//EP平面ABD，试求点P的轨迹；(2)有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率.【正确答案】(1)点P的轨迹为线段QM(2)727【分析】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据面面平行判定定理证明平面QEM∥平面ABD，即可得出点P的轨迹；（2）先求出所有等可能基本事件总数4381=，共走了四条棱，分别算出第一条棱有几种选择，第二条棱有几种选择，第三条棱有几种选择，再根据分步计数原理即可求解.【详解】（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，所以EQ∥AD，EQ⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，所以EQ∥平面AB D.同理可得：MQ∥平面AB D.因为EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，所以平面QEM∥平面ABD，所以得到点P的轨迹为线段QM.（2）由题意可得：小虫爬了12cm，并且恰好回到A点，所以小虫共走过了4条棱，因为每次走某条棱均有3种选择，所以所有等可能基本事件总数为4381=.当小虫走第1条棱时，有3种选择，即AB，AC，AD，不妨设小虫走了AB，然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD，若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择.所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能.所以所求的概率为217 8127=.方法点睛：（1）证明面面平行时，先证明两条相交线平行同一个平面是关键，线面平行的证明常用的方法有：中位线，平行四边形性质等；（2）古典概型的概率，求出基本事件是关键，再逐个分析所有符合条件要求的情况，分类还是分步要充分考虑清楚，要做到不重不漏.。

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二下册3月月考数学模拟试题A 卷一、单选题1．54886599A A A A +=-（）A ．58B ．527C ．49D ．12【正确答案】B【分析】用排列数公式展开，约分化简即可求解．【详解】54886599A A 876548765415A A 9876549876594927+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+===-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-.故选：B.2．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（）A ．3396C C B ．3396A A C ．33396333C C C AD ．333963A A A 【正确答案】C【分析】利用组合数平均分组法即可.【详解】解析：由于三组之间没有区别，且是平均分组，故共有33396333C C C A 种分组方法，故选：C ．3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为A ．10B ．15C ．20D ．24【正确答案】A将问题等价转化为将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内，进而求得结果.【详解】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.4．若随机变量()2~2,X N σ，且()50.7P X ≤=，那么()1P X ≤-=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【正确答案】B【分析】由题意可得()5P X >，根据()()15P X P X ≤-=>即可求得．【详解】由()50.7P X ≤=，得()50.3P X >=，由题意，正态曲线关于2x =对称，所以()()150.3P X P X ≤-=>=，故选：B ．5．已知随机变量X 的分布列如下表，若1()3E X =，则()D X =（）X1-01Pab12A ．13B ．23C ．59D ．79【正确答案】C【分析】由期望公式可得16a =，结合分布列的性质有13b =，再应用方差公式求()D X .【详解】由题设，11()23E X a =-+=，即16a =，则11123b a =--=，而2222111()(1)0162323E X =⨯-+⨯+⨯=，所以322211215()[()]()[()]3399i i D X X E X E X E X ==-=-=-=∑.故选：C6．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”的个数为（）A ．55B ．59C ．66D ．71【正确答案】D【分析】根据和为10的无重复的四个数字的可能情况进行分类讨论，由此求得不同的方法总数.【详解】记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有33A ＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有222A ＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有233A ＝12(种)情形；第三组中4，5分别排在首位共有233A ＝12(种)情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有333A ＝18(种)情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有333A ＝18(种)情形．依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).故选：D7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小【正确答案】C【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,XH n ，可得出2nEX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,XH n ，其中()336k n k n C C P X k C -==，其中Nk ∈，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==.故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ.故()111211222n P n n ξ+===+++，随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小；()()()211111422D P P n ξξξ⎡⎤=-===-⎣⎦+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C.本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.8．现准备将8本相同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲、乙两个班级每个班级至少2本，其它班级允许1本也没有，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．70种C ．82种D ．92种【正确答案】B【分析】根据题意，可将8本相同的书看成是相同的元素首先要满足甲、乙两个班至少2本书，可以先分给甲、乙两个班各2本书，余下的4本书任意分给五个班，分4种情况讨论分配方案，①4本书都给一个班，②4本书按1、3分成两份或按2、2分成两份给2个班，③4本书按1、1、2分成三份分给三个班，④4本书按1、1、1、1分成4份分给4个班，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案【详解】根据题意，8本相同的书是相同的元素，首先要满足甲、乙两个班至少2本书，可以先分给甲、乙两个班各2本书，余下的4本书任意分给五个班，分4种情况讨论：①、当4本书都给一个班时，有5种结果，②、4本书按1、3分成两份或按2、2分成两份给2个班，有225530A C +=种结果，③、当4本书按1、1、2分成三份时分给三个班时，有1254C C 30=种结果，④、4本书按1、1、1、1分成4份分给4个班，有455C =种结果所以不同的分配方案有5+30+30+5=70种结果故选：B本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意相同的书是相同的元素,属于中档题.二、多选题9．已知双曲线的方程为2216416y x -=，则（）A ．渐近线方程为12y x=±B．焦距为CD ．焦点到渐近线的距离为8【正确答案】BC【分析】A 选项，先判断出双曲线焦点在y 轴上，利用公式求出渐近线方程；B选项，求出c =，得到焦距；C 选项，根据离心率公式求出答案；D 选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】2216416y x -=焦点在y 轴上，故渐近线方程为2a y x x b =±=±，A 错误；2641680c =+=，故c =，故焦距为B 正确；离心率为c a ==C 正确；焦点坐标为(0,±，故焦点到渐近线2y x =±4=，D 错误.故选：BC10．已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 也可能为等差数列C ．若1q >，则{}n a 为递增数列D ．若13n n S r -=+，则13r =-【正确答案】ABD 【分析】由已知可得1n na q a +=，利用等比数列的定义可判断A ；当1q =时可判断B ；当10a <时{}n a 为递减数列可判断C ；分别求出1a ，2a ，3a 再由2213a a a =求出r 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，公比为q ，所以1n na q a +=，对与A ：令1n n b a =，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===是常数，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故选项A 正确；对于B ：若1q =，则{}n a 各项都相等，所以{}n a 是公差为0的等差数列，所以选项B 正确；对于C ：数列{}n a 是等比数列，公比为q ，则11n n a a q -=⋅，若1q >，10a <，则{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；对于D ：若13n n S r -=+，则111a S r ==+，2213(1)2a S S r r =-=+-+=，()332936a S S r r =-=+-+=；由{}n a 是等比数列，得2213a a a =，即()461r =+，解得13r =-，故选项D 正确；故选：ABD ．11．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，以下命题正确的是（）A ．函数()y f x =在4x =-处取得最小值B ．0x =是函数()y f x =的极值点C ．()y f x =在区间(4,1)-上单调递增D ．()y f x =在1x =处切线的斜率大于零【正确答案】ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当(,4)x ∈-∞-时，()0f x '<，在(4,)x ∈-+∞时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在(,4)-∞-上单调递减，在(4,)-+∞上单调递增，且故C 正确；易知函数()y f x =在4x =-处取得最小值，故A 正确；在(4,)-+∞上单调递增，故0x =不是函数()y f x =的极值点，故B 不正确； 函数()y f x =在1x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 正确.故选：ACD ．12．对于189x ⎛- ⎝展开式，下面结论正确的是（）A ．第9，10项的二项式系数最大B ．常数项为1218C C ．展开式中所有项系数之和为18263⎛⎫⎪⎝⎭D ．展开式中有理项的二项式系数和为172【正确答案】BCD【分析】对于A ：运用二项式系数的性质可求得结果；对于B ，写出二项式展开式通项，令x 上方的指数幂为0，即可求得常数项；对于C ，令1x =即可；对于D ，先求出展开式中的所有有理项，再将相应的二项式系数加起来即可.【详解】二项式189x ⎛⎝展开式的第1r +项()31818182118181C 99C 3r rr rrr r r T x x---+⎛⎛⎫==⨯-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝对于A ：由二项式系数的性质可知：对二项式系数18C r中，当9r =时，取得最大值，此时第10项对应的二项式系数最大，所以A 错误；对于B ：令31802r -=，则12r =，所以常数项为：12181********181********C 9C C 33-⎛⎫⨯-⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ：在原式中令1x =，则展开式中所有项系数之和是1818126933⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D ：由018318Z 2Nr r r ≤≤⎧⎪⎪-∈⎨⎪∈⎪⎩，可知r 可取0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，因此相应有理项的二项式系数和为：024*******18181818C C C C 22-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==，所以D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．【正确答案】0.785【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.【详解】记A 为事件“植物没有枯萎”，W 为事件“邻居记得给植物浇水”，则根据题意，知()0.9P W =，()0.1P W =，()0.2P A W =，()0.85P A W =，因此()()()()()0.850.90.20.10.785P A P A W P W P A W P W =+=⨯+⨯=．故0.785．14．已知事件A ，B 满足()()P A P A =，()0.3P B =，()0.4P B A =，则()|P B A =______.【正确答案】0.2##15【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】因为A A 、互为对立事件且()()P A P A =，所以()()0.5P A P A ==，()()()()()()0.5|||0.50.30.4P B P B A P B P B A P A P A A =⨯⨯=++=，所以()|0.2P B A =.故答案为.0.215．已知随机变量X 的分布列为X 1234P0.20.3α0.1则()27D X +=______．【正确答案】3.36【分析】利用分布列的性质求出α，然后求解期望与方差即可．【详解】解：由题意可得0.20.30.11α+++=，解得0.4α=，∴()10.220.330.440.1 2.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴()()()()()22221 2.40.22 2.40.33 2.40.44 2.40.10.84D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，∴()()227240.84 3.36D X D X +=⋅=⨯=．故3.36．16．用六种不同的颜色给如图所示的几何体的各个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，则不同的染色方法种数为______．【正确答案】8520【分析】分用6种、5种、4种、3种颜色三种情况讨论，先染A ，B ，C 再染D ，E ，F ，由分步乘法计算原理求每一种情况的染色方法数，再求和即可求解.【详解】第一类：若6种颜色都用上，共66A 720=种；第二类：若用其中5种颜色，首先选出5种颜色，方法有56C 种．先染A ，B ，C ，方法有35A 种，再染D ，E ，F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种染法，故此时染色方法共有532653C A A 24320⨯⨯⨯=种；第三类：若用其中4种颜色，首先选出4种颜色，方法有46C 种．先染A ，B ，C ，方法有34A 种，再染D ，E ，F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种染法，故此时染色方法共有4364C A 333240⨯⨯⨯=种；第四类：若用其中3种颜色，首先选出3种颜色，方法有36C 种．先染A ，B ，C ，方法有33A 种，再染D ，E ，F 方法有2种，故此时染色方法共有3363C A 2240⨯⨯=种；综上可知：不同的染色方法共有720432032402408520+++=种，故答案为.8520四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n S a n =+-.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()()31323log 1log 1...log 1n n b a a a =-+-++-，1=n nc b .求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+【分析】（1）由已知条件可得132n n a a -=-，给等式两边同时减1得，()1311n n a a -=--，从而可证得数列{}1n a -是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得13nn a -=，从而可求出(1)2n n n b +=，所以()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项求和的方法可求得n T .【详解】解：（1）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =，当2n ≥时，()113132n n S a n --=+--，则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，即132n n a a -=-，∴()1311n n a a -=--，∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列.（2）由（Ⅰ）得13nn a -=，∴()()()()313231log 1log 1...log 1123 (2)n n n n b a a a n +=-+-++-=++++=，∴()1211211n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴111111221 (22334)11n n T n n ⎛⎫=-+-+-++-=⎪++⎝⎭.此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18．已知n⎝⎭的展开式中，第七项与第五项的二项式系数相等．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．【正确答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）252815360T x-=【分析】(Ⅰ)由条件有64n n C C =可得10n =，再由展开式的通项公式()10221102010,r r r r r T C x x r r N --+=≤≤∈可得答案.（Ⅱ）设第1r T +项的系数最大,则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩,解出7r =，得出答案.【详解】(Ⅰ)由题意，n ⎝⎭的展开式中第七项与第五项的二项式系数相等.所以64n n C C =，解得：10n =所以()10221102010,rr r r r T C x x r r N --+=≤≤∈.要求展开式中的有理项的项，则令1052r Z -∈所以0,2,4,6,8,10r =，所有有理项的项数为6项.(Ⅱ)设第1r T +项的系数最大.则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩，即211112101r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得：192233r ≤≤，又r N ∈，且7r =.所以展开式中的系数最大的项为25257722810215360T C x x --==.本题考查二项式展开式中的有理项和系数最大值的项，属于中档题.19．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)设甲公司答对题数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差；(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【正确答案】(1)115；(2)分布列见解析，数学期望为2，方差为25；(3)甲公司竞标成功的可能性更大.【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.（2）求出X 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A ，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有12211123424233366C C C C 2221()C ()(1)(1)C 33C 315P A =⨯-+⨯-=，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是115.（2）设甲公司答对题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，()()()122130424242333666C C C C C C 1311,2,3C 5C 5C 5P X P X P X =========，则X 的分布列为：X123P 153515期望()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，方差()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.（3）设乙公司答对题数为Y ，则Y 的取值分别为0,1,2,3，312311212(0)(),(1)C ()327339P Y P Y =====⨯⨯=，223321428(2)C (),(3)()339327P Y P Y ==⨯⨯====，则Y 的分布列为：Y0123P 1272949827期望()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，显然()()()(),E X E Y D X D Y =<，所以甲公司竞标成功的可能性更大.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点G是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【正确答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出G 点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值．【详解】（1）因为12GF F △的周长为6+所以226a c +=+，即3a c +=+又离心率c e a ==a =3c =，2223b a c =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y +=消去y 并整理得()2221484120k x kmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k -⋅=+，()121222214m y y k x x m k +=++=+，∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++ ，得2282,1414km m G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+，点O 到直线AB 的距离为d =，12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为124S d AB m x x m =⋅=-=3=故平行四边形OAGB 的面积为定值为关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题．21．已知函数()ln ,a f x x a x=+∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1x ≥时，若关于x 的不等式()2f x x a ≤-恒成立，试求a 的取值范围．【正确答案】(1)()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞(2)1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()1ln 0f x x x x =+>，()'22111x f x x x x -=-=，所以()f x 在区间()()()'0,1,0,f x f x <递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增.所以()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.（2）1,()2,ln 2a x f x x a x x a x ≥≤-+≤-，2ln 12x x x a x-≤+恒成立.构造函数()()2ln 112x g x x x x x-≥+=，()113g =，()()()2''22ln 11,1912x x g x g x --==+，构造函数()()22ln 11h x x x x =--≥，()()()2'212114140x x x h x x x x x +--=-==>，所以()h x 在[)1,+∞上递增，()110h =>，所以()'0g x >在[)1,+∞上成立，所以()()113g x g ≥=，所以13a ≤，即a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略:A 为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min ．策略:B 选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min ．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A ，选对的概率为0.8，采用策略B ，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．第12题：如果采用策略A ，选对的概率为0.7，采用策略B ，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10min ，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略B 、第12题采用策略A ，设此次考试他第11题和第12题总得分为X ，求X 的分布列．(2)小明考前设计了以下两种方案：方案1：第11题采用策略B ，第12题采用策略A ；方案2：第11题和第12题均采用策略B ．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．【正确答案】(1)分布列见解析(2)赞成小明的方案1，理由见解析【分析】（1）分析可知随机变量X 的可能取值有0、2、4、5、7，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列；（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.【详解】（1）解：设事件1B 为“第11题得0分”，2B 为“第11题得2分”，3B 为“第11题得5分”，1A 为“第12题得2分”，2A 为“第12题得0分”，所以()10.1P B =，()20.5P B =，()30.4P B =，()10.7P A =，()20.3P A =．由题意可知X 的可能取值为0、2、4、5、7，()()()()121200.03P X P B A P B P A ====，()()()()()()1122112220.22P X P B A B A P B PA PB P A ==+=+=，()()()()212140.35P X P B A P B P A ====，()()()()323250.12P X P B A P B P A ====，()()()()313170.28P X P B A P B P A ====，所以X 的分布列为：X02457P 0.030.220.350.120.28（2）解：设随机变量Y 为第11题采用策略B 的得分，1Z 为第12题采用策略A 的得分，2Z 为第12题采用策略B 的得分．Y 的分布列为Y025P 0.10.50.4E Y=⨯+⨯+⨯=．所以()00.120.550.43Z的分布列为1Z021P0.30.7E Z=⨯+⨯=.所以()100.320.7 1.4Z的分布列为2Z0252P0.10.60.3E Z=⨯+⨯+⨯=.所以()200.120.650.3 2.7+=（分），若采用方案1，两题总得分均值为3 1.4 4.4+=（分），若采用方案2，两题总得分均值为3 2.7 5.7但方案2因时间超过10min，后面的题得分少2分，相当于得分均值为3.7分．>，所以我赞成小明的方案1．因为4.4 3.7。

高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。

一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （ ）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则 ， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得 ，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得 ，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （ ）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（ ）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（ ）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以 ， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为 （ ）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。

2016-2017学年度第二学期第二次月考高二数学理科试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知复数zi=（）2016（i为虚数单位），则z=（）A.1B.-1C.iD.-i2.已知集合A={2，3，4}，B={x|2x＜16}，则A∩B=（）A.∅B.{2}C.{2，3，4}D.{2，3}3.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A.16B.17C.18D.194.已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A.（-1，+∞）B.[-1，+∞）C.（3，+∞）D.[3，+∞）5.在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A.f（x）=x-1，g（x）=B.f（x）=|x+1|，g（x）=C.f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈ZD.f（x）=x，g（x）=6.如表为某公司员工工作年限x（年）与平均月薪y（千元）对照表．已知y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A.回归直线一定过点（4.5，3.5）B.工作年限与平均月薪呈正相关C.t的取值是3.5D.工作年限每增加1年，工资平均提高700元7.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（）A. B. C. D.8.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A.4B.C.D.-110.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．已知图中x=0.018，则由直观图估算出中位数（精确到0.1）的值为（）A.75.5B.75.2C.75.1D.75.311.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则f（-1）与f（a2-2a+3）的大小关系是（）A.f（-1）≥f（a2-2a+3）B.f（-1）≤f（a2-2a+3）C.f（-1）＞f（a2-2a+3）D.f（-1）＜f（a2-2a+3）12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（）A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.D.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数，若，则m= ______ ．14.下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是 ______ ．（写出所有不正确命题的序号）15.观察下列等式：，，，…，由以上等式得= ______ ．16.在平面直角坐标系内任取一个点P（x，y）满足，则点P落在曲线y=与直线x=2，y=2围成的阴影区域（如图所示）内的概率为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.（12分）已知集合A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}．（1）当a=2时，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．18. （12分）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[-2，2]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；19.（12分）第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至21日在巴西里约热内卢举行，为了选拔某个项目的奥运会参赛队员，共举行5次达标测试，选手如果通过2次达标测试即可参加里约奥运会，不用参加其余的测试，而每个选手最多只能参加5次测试，假设某个选手每次通过测试的概率都是，每次测试通过与是相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（1）求该选手能够参加本届奥运会的概率；（2）记该选手参加测试的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．20.（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：独立性检验临界值表：21.（12分）已知函数f（x）=x2-3x+lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，都有恒成立，求实数k的取值范围．22.(10分)在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（I）求直角坐标下圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P（l，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的值．高二第二次月考理数答案1.D2.D3.C4.C5.B6.C7.D8.B9.D 10.B 11.D 12.A13.14.①②15.=16.17.解：（1）当a=2时，B={x|x≤-1}，又A={x|x＜-3或x≥2}，全集为R，∴∁R A={x|-3≤x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|-3≤x＜2}∩{x|x≤-1}={x|-3≤x≤-1}；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∵A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}，∴a-3＜-3，即a＜0，则当A∩B=B时，实数a的取值范围是a＜0．18.解：（1）当a=-1时，f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，∵1∈[-2，2]，∴f min（x）=2，f max（x）=f（-2）=11；（2）∵函数f（x）=x2+2ax+3的对称轴为x=-a，∴-a≤-2或-a≥2，即a≤-2或a≥2．（3）由（2）知，g（a）=，则其值域为（-∞，3]．19.解：（1）记“该选手能够参加本届奥运会”为事件A，其对立事件为，P（）==，∴P（A）=1-P（A）=1-=．（2）该选手参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，P（X=2）=（）2=，P（X=3）=，P（X=4）==，由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，当X=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过，∴P（X=5）==．∴X的分布列为：X 2 3 4 5PE（X）==．20.解：（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为；乙班样本化学成绩前十的平均分为；甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳．（2）样本中成绩6（0分）以下的学生中甲班有4人，记为：a，b，c，d，乙班有2人，记为：1，2．则从a，b，c，d，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，一共有15个基本事件，设A表示“这2人来自不同班级”有如下：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，一共有8个基本事件，所以．（3）根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．21.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x-3+=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，1）1 （1，+∞）f′（x）+ 0 - 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x=时，函数f（x）取得极大值为--ln2，当x=1时，函数f（x）取得极小值为-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，不妨设x1＞x2＞1，则f（x1）-f（x2）＞0，所以原不等式等价于f（x1）-f（x2）＞kx1-kx2，即f（x1）-kx1＞f（x2）-kx2，令h（x）=f（x）-kx=x2-（3+k）x+lnx，则原不等式等价于h（x）在（1，+∞）上单调递增，即等价于h′（x）=2x-（3+k）+≥0在（1，+∞）上恒成立，也等价于3+k≤2x+在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=2x+，x∈（1，+∞），因为g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，所以g（x）＞g（1）=3，即g（x）min=3，所以3+k≤3，k≤0，故得所求实数k的取值范围为（-∞，0]．22.解：（I）圆C的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为x2+（y-3）2=9．（II）直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的方程可得：t2-7=0，解得t1=，t2=-．∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=2．【解析】1. 解：=，∴zi=（）2016=（-i）2016=[（-i）4]504=1，∴．故选：D．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2. 解：由题意得，B={x|2x＜16}={x|x＜4}，又A={2，3，4}，则A∩B={2，3}，故选：D．由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出A∩B．本题考查交集及其运算，以及指数函数的性质，属于基础题．3. 解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，∴系统抽样的分段间隔为=25，设第一部分随机抽取一个号码为x，则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18．故选C．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．4. 解：A=[-1，3]，B=（-∞，a）；∵A⊆B；∴a＞3；∴a的取值范围为（3，+∞）．故选：C．解出集合A，集合B也给出了，根据A⊆B即可写出实数a的取值范围．考查解一元二次不等式，描述法表示集合，子集的概念，也可借助数轴求解．5. 解：A中的2个函数f（x）=x-1与g（x）=的定义域不同，故不是同一个函数．B中的2个函数f（x）=|x+1|与g（x）=具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的2个函数f（x）=x+1，x∈R与g（x）=x+1，x∈Z的定义域不同，故不是同一个函数．D中的2个函数f（x）=x，g（x）=的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数．综上，A、C、D中的2个函数不是同一个函数，只有B中的2个函数才是同一个函数，故选 B．根据题意，逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系．本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系．相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．6. 解：由已知中的数据可得：=（3+4+5+6）÷4=4.5，=（2.5+t+4+4.5）÷4=，∵数据中心点（，）一定在回归直线上∴=0.7×4.5+0.35解得：t=3，故C错误；故=3.5，回归直线一定过点（4.5，3.5），ABD正确；故选：C．根据已知表中数据，可计算出数据中心点（，）的坐标，根据数据中心点一定在回归直线上，将（，）的坐标代入回归直线方程y=0.7x+0.35，解方程可得t的值，从而得到答案．本题考查的知识点是线性回归方程，其中数据中心点（，）一定在回归直线上是解答本题的关键．7. 解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的总事件数是从10张奖券中抽5张共有C105种方法，至少有1人中奖的对立事件是没有人中奖，也就是从7张没有奖的中抽5张，共有C75，∴由对立事件的公式得到P=1-=1-=，故选D．由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件数是从10张奖券中抽5张共有C105种方法，至少有1人中奖的对立事件是没有人中奖，也就是从7张没有奖的中抽5张，共有C75．本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．8. 解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的∴三人中恰有两人合格的概率+=故选B．本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和．本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有的情况，这里的数字比较多，容易出错．9. 解：第一次运行得：S=-1，i=2，满足i＜6，则继续运行第二次运行得：S=，i=3，满足i＜6，则继续运行第三次运行得：S=，i=4，满足i＜6，则继续运行第四次运行得：S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行第五次运行得：S=-1，i=6，不满足i＜6，则停止运行输出S=-1，故选D．根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可．本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10. 解：根据频率分布直方图，得；（0.006×2+0.01）×10=0.22＜0.5，0.22+0.054×10=0.76＞0.5，所以中位数应在[70，80）内，可设为x，则（x-70）×0.054+0.22=0.5，解得x≈75.2．故选：B．根据频率分布直方图，利用中位数两侧的频率相等，列出方程求出中位数的值．本题考查了利用频率分布直方图求中位数的应用问题，解题时要熟练掌握直方图的基本性质，是基础题．11. 解：a2-2a+3=（a-1）2+2≥2，f（-1）=f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，可得：f（-1）＜f（a2-2a+3）．故选：D．直接利用函数的单调性，推出不等式求解即可．本题考查函数的单调性的应用，函数是奇偶性的应用，考查计算能力．12. 解：从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，且列队服务，基本事件总数n=（+）=720，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m==120，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p==．故选：C．先求出基本事件总数n=（+）=720，再求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m==120，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．13. 解：⇔或解得m=或m=-1故答案为或-1由于函数f（x）为分段函数，故方程可转化为不等式组，分别解得方程的解即可本题主要考查了分段函数的用法，函数与方程间的关系，简单的对数方程和指数方程的解法，属基础题14. 解：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④；由充分必要条件的判定方法结合举例判断③．本题考查命题的真假判断与应用，考查了逆命题、否命题和逆否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是中档题．15. 解：由题意可知，得=，故答案为：根据题意，由每个等式的左边的变化规律，以及右边式子的变化规律，可得答案．本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16. 解：S阴影=2×（2-）-dx=3-lnx|=3-（ln2-ln）=3-ln4S正方形=4，则点P落在曲线y=与直线x=2，y=2围成的阴影区域（如图所示）内的概率为，故答案为：根据定积分求出阴影部分的面积，结合几何概型求出事件的概率即可．本题考查定积分的求法以及几何概型问题，是一道中档题．17.（1）将a的值代入确定出集合B，由全集R求出A的补集，即可确定出A补集与B的交集；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，根据A与B列出关于a的不等式，即可确定出a的范围．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.（1）代入，由配方法求函数的最值；（2）f（x）在区间[-2，2]上是单调函数，则对称轴在区间外；（3）由（2）中的单调性可直接写出g（a），再求分段函数的值域．本题综合考查了二次函数的最值，单调区间及分段函数的值域，属于中档题．19.（1）记“该选手能够参加本届奥运会”为事件A，其对立事件为，利用对立事件概率计算公式能求出该选手能够参加本届奥运会的概率．（2）该选手参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20. 解：（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为；乙班样本化学成绩前十的平均分为；甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳．（2）样本中成绩6（0分）以下的学生中甲班有4人，记为：a，b，c，d，乙班有2人，记为：1，2．则从a，b，c，d，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，一共有15个基本事件，设A表示“这2人来自不同班级”有如下：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，一共有8个基本事件，所以．（3）根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．（1）根据茎叶图计算甲、乙两班化学成绩前10名学生的平均分即可；（2）确定基本事件的个数，即可求出这2人来自不同班级的概率；（3）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．本题考查了计算平均数与独立性检验的应用问题，考查概率的计算，解题时应根据列联表求出观测值，对照临界值表得出结论，是基础题目．21.（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）不妨设x1＞x2＞1，原不等式等价于f（x1）-f（x2）＞kx1-kx2，令h（x）=f（x）-kx=x2-（3+k）x+lnx，问题等价于h′（x）=2x-（3+k）+≥0在（1，+∞）上恒成立，得到3+k≤2x+在（1，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．22.（I）圆C的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，配方可得标准方程．（II）直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的方程可得：t2-7=0，解得t1，t2．利用|PA|+|PB|=|t1-t2|，即可得出．本题考查了直线的参数方程及其应用、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。