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4-3A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】 f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |，所以周期为π，对f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |，所以为偶函数，故选C. 【答案】 C2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. 【答案】 D3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．2 【解析】 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 【答案】 D4．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 分析三角函数图象，根据最小值求k ，再求最大值． 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．0，1] B.⎣⎡⎦⎤12，1 C ．－1，2] D ．0，2]【解析】 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2.∵cos 2x ∈－1，1]，∴y ∈0，1]． 【答案】 A6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．【解析】 由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．【答案】 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.【答案】 28．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．【解析】 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4， 即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0，1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.【答案】 39．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解析】 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值． 【解析】 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3cosπ3＝32. 方法二：区间⎣⎡⎦⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎡⎦⎤23，2， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤23，2上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3sinπ6＝32. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22 C.32 D.6＋24【解析】 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，1，且|φ|<π2. 代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.【答案】 A12．(2016·池州月考)已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm 等于( )A.332 B. 3C ．－233 D.33【解析】 由x ＝π3是函数f (x )图象的对称轴易得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴－n ＝2m sin2π3－n cos 2π3， ∴－n ＝3m ＋n 2，∴3m ＝－32n ，∴n m ＝－233.【答案】 C13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______．【解析】 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．【答案】 ⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 14．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是________． 【解析】 对于①，令x ＝－512π， 则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－512π＝0， 因此⎝⎛⎭⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题； 对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，②为真命题； 对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.【答案】 ①②15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈－2a ，a ]．∴f (x )∈b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
4-8A组专项基础训练(时间：45分钟)1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°【解析】如图，点B在点A的南偏东30°.【答案】C2．(2016·合肥三检)如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A ．30 mB ．60 mC ．30 3 mD ．40 3 m 【解析】 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝20 6 m.过点A 作AN ⊥CD 于点N ， 易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°. 在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3 m ，在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 【答案】 B3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km【解析】 ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032 m.∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km. 【答案】 B4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【解析】 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ， 所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 【答案】 B5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里 【解析】 如图所示，易知，在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．【答案】 A6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是____________．【解析】 如图，依题意有甲楼的高度为 AB ＝20·tan 60°＝203(米)， 又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 【答案】 203米，4033米7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150 m.【答案】1508．如图，在四边形ABCD花圃中，已知AD⊥CD，AD＝10 m，AB＝14 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________m.【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.【答案】8 29．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．【解析】 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，所以∠ACB ＝30°. 又AB ＝100 m ，由正弦定理，得100sin 30°＝BCsin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin （90°＋θ），解得cos θ＝3－1.因此，山对于地平面的斜度的余弦值为3－1.10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．【解析】 如图所示，根据题意可知 AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇， 则AB ＝21t ，BC ＝9t ， 在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°， 所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为________．【解析】 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°， 整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3. 【答案】 3或2 312．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.【解析】 先利用正弦定理求出BC ，再在Rt △BCD 中求CD . 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 【答案】 100 613．(2016·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________．【解析】 设航速为v n mile/h在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得：82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.【答案】 32 n mile/h14．(2016·郑州模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.【解析】 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°.又AB ＝200 m ，∴AC ＝40033 m. 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2，∴CD ＝13AC ＝4003 m. 【答案】4003 15．(2016·江西南昌模拟)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35， 所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040 m. 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500 m. 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．。
4-6A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2015·乌鲁木齐诊断测试三)已知sin 2α＝－2425，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45C ．－35D ．－45【解析】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴cos α<0，sin α>0， 且|cos α|>|sin α|，又(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－2425＝125， ∴sin α＋cos α＝－15， 同理可得sin α－cos α＝75，∴sin α＝35，故选A. 【答案】 A2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225 B ．－225C.425 D ．－425【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α ＝sin αcosπ4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 【答案】 A3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( ) A.π4 B.3π4C.π3D.π6【解析】 tan A ＝tan π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.又A 为△ABC 的内角．故A ＝π4. 【答案】 A4．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210C.3210D.7210【解析】 由tan α＋1tan α＝103 得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos 2α＝－45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 【答案】 A5．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118C.79D ．－1 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 【答案】 B6．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．【解析】 利用三角恒等变换，化为正弦型函数再求解．f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时， f (x )取得最小值为32－22＝3－22. 【答案】 π 3－227．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________． 【解析】 方法一：因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率． 又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二：y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x ≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝⎛⎭⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号 即函数的最小值为 3.【答案】 3 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 【解析】 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 【答案】 －459．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．【解析】 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】 (1)由题设知：f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)由题设知：1013＝f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， 即sin α＝513，cos β＝35， 又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1213，sin β＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2016·邯郸期末联考)cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于( ) A.14 B.18C.116D.132【解析】 原式＝sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 【答案】 C12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3【解析】 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D. 【答案】 D13．sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝24，则sin 2α＝________． 【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝24， ∴sin α＋cos α＝12， (sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 【答案】 －3414．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12. 15．(2015·安徽合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 【解析】 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
第1页（共31页）2017年全国统一高考数学试卷（理科） （全国新课标III） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ） A． B． C． D．2 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
5．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=第2页（共31页）
x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（ ） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（ ） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x+π）的一个零点为x= D．f（x）在（，π）单调递减 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B． C． D． 9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则
