第四章 数值计算

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计算实习报告5
∂u 1 ∂ 2u ∂t − 4 ∂x 2 = 0 u x = 0 = 0, u x =1 = 40 u t = 0 = 400 x (1 − x ) 取 时 间 间 隔 ∆ t = 0.01， h = 0.1, 给 出 差 分 格 式 计 算 t = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 和1时 的 温 度 值 并 和 精 确 解 比 较
+1 +1 ⇒ u n +1 − λ (u n+1 − 2u n +1 + u n−1 ) = u n j j j j j
⇒ v n +1 − 2λ (cos kh − 1)v n +1 = v n ⇒ (1 + 4λ sin 2 kh / 2)v n +1 = v n ⇒v
13:12
n +1
1 n = v 2 1 + 4λ sin kh / 2
11
差分方程
L 记∆t = τ , ∆x = h = J u n = u( x j , tn ), f jn = f ( x j , tn ), g j = g ( x j ) j u
n +1 j
−u
n j
h 略去小量，得到差分方程 U n +1 − U n j j
13:12
τ
−a
2
u
n j +1
13:12 22
算法的收敛性和稳定性
假 设 初 边 值 的 解 u ( x , t ) 在 区 域 R (0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ t ≤ T )上 存 在 、 连 续 ， 且 具 有 连 续 偏 导 ∂ 2u ∂ 4u ∆t 1 2 数 2 , 4 ,则当 λ = a ≤ 时，差分 2 ∂t ∂x (∆x) 2 方程的解U 收敛到原初始问题的解u,并且是 稳定的。

n
使得u 0

i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1

1k [1x1

n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk

A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk

u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226

0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T


0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0

1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而

数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。

202119电气工程第一章matlab基础第二章matlab基本语法第三章数组及矩阵运算第四章数值计算第五章符号运算第六章matlab计算结果可视化第七章matlab在系统仿真中的应用第八章matlab在信号处理中的应用202119电气工程通过本课程学习使学生掌握利用matlab进行数值计算的基本方法熟悉matlab编程环境语言语法程序结构编程及调试技术掌握matlab中m文件m函数编写方法及调试技术matlab的绘图和图形控制函数等内容上机练习matlab数值解算方法具备上机操作的技能学习matlab在电气工程学科中的建模与分析方法为后续专业课程学习奠定基础
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GUI 2019/5/8
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MATLAB命令窗口
MATLAB语句形式 >>变量＝表达式；
当A是标量时： x b A
当A是非奇异矩阵时： x A1b
当A是行数大于列数的满秩阵时，
称超定方程组或矛盾方程组： x ( AT A)1 AT b
当A的列数大于行数时，有无数解。
MATLAB只用一条指令: x=A\b。
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MATLAB简介
例：绘制二元函数曲面：
z
y
பைடு நூலகம்
1 x2 y2
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1.4 MATLAB常用命令
1.5 MATLAB两种工作方式