山东省乐陵市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.3直线与圆锥曲线的位置关系(1)学案(无答案)2_1

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
1-3 2 ≠ 0,
= (-6 2k)2 + 36(1-3 2 ) = 36(1- 2 ) > 0,
1
3
故 k2≠ 且 k 2<1.①
6 2k
-9
1-3
1-32
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
2,x1x2=
.
由·>2 得 x1x2+y1y2>2.
直线与圆锥曲线的位置关系
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1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
(1)代数法,把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得出关于 x 的
方程 Ax2+Bx+C=0,若圆锥曲线是双曲线或是抛物线,当 A=0 时,表示直线与
双曲线的渐近线或抛物线的轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判
别式为 Δ.(ⅰ)若 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交;(ⅱ)若 Δ=0 时,直线与圆锥曲
截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲
线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差
法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直
平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否
为正数.
4.圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思
B. -∞,-
2
2
∪
2
,+
2
∞
C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞)
D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)
)
【答案】D
4

山东省乐陵市第一中学2015届高三数学 第2周 直线与圆锥曲线学案【学习目标】圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想.圆锥曲线中的最值、定点、定值问题.【知识梳理】1.直线与圆锥曲线的位置关系曲线C ：(,)0f x y =，直线:0l Ax By C ++=0(,)0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩ 消去y 得20ax bx c ++=（1）0a ≠ 设20ax bx c ++=的判别式为∆○10∆> ⇔直线与圆锥曲线____________________○20∆= ⇔直线与圆锥曲线____________________○30∆< ⇔直线与圆锥曲线____________________ （2）0,0a b =≠，0(,)0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩ 消去y 得0bx c += 此方程必有一解，则直线与曲线相交，且只有一个交点.此时，若曲线C 为双曲线，直线与其渐近线_______________，若曲线C 为抛物线，直线与抛物线的对称轴____________________.2.弦长设斜率为k 的直线与圆锥曲线C 交于,A B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ， 则AB = 特殊的：抛物线的焦点弦长1222,sin p AB x x p AB θθ=++=为弦所在直线的倾斜角.3.弦中点 遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.分别写出以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线的斜率k （1）椭圆：k = （2）双曲线：k =（3）抛物线：k =在使用“根与系数的关系”时，要注意条件_______________.【基础自测】1.直线1 y kx k=-+与椭圆22194x y+=的位置关系是____________2.22k若无论为何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x-y=1总有公共点，则的取值范围是_______ _______【合作交流】1.椭圆的短轴长为22，(,0)F c，0c>，10(,0)A cc-且2OF FA=u u u r u u u r，过A的直线交椭圆于,P Q（1）求椭圆方程及离心率（2）OP OQ⊥，求直线PQ的方程2.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为22.直线(1)y k x=-与椭圆交于不同的两点,M N.（1）求椭圆的方程；（2）当AMN∆的面积为103时，求k的值.【归纳总结】【检测】1.过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）.1A 条 .2B 条 .3C 条 .4D 条2.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM MB =u u u u r u u u r ，则p =__________3.已知双曲线2213y x -=上存在两点,M N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线218y x =上，则实数m 的值为__________ 4.直线y x m =+与椭圆交于,A B 两点，当m 变化时，求AB 的最大值.5.离心率为55的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1x ky =+与C 交于相异两点,M N ，且319OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ，求k .。

y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.

直线
直线是二维空间中的一维图形，表示 两点之间所有点的集合。
位置关系的分类与定义
相交
当直线与圆锥曲线至少有一个交点时，称为 相交。
相切
当直线与圆锥曲线仅有一个交点时，称为相 切。
相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，称为相离。
02 直线与圆锥曲线相交的位 置关系
直线与圆锥曲线交点个数的问题
01 直线与圆锥曲线可能有一个、两个或无交点。 02 判断交点个数需要利用代数方法，如判别式法。 03 交点个数与直线的斜率和圆锥曲线的类型有关。
离点距离的计算
离点距离是指离点到直线或圆锥曲线的 某一点的距离，可以通过坐标计算得到。
计算方法为使用两点间距离公式，即 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
根据具体问题，可以选择不同的点 作为计算离点距离的基准点，如直 线的交点、圆锥曲线的顶点等。
05 直线与圆锥曲线位置关系 的几何意义
几何问题的求解方法
代数法
通过代数运算和方程求解的方法，求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
解析几何法
利用解析几何的基本原理和方法，通过代数运算和方程求解的方法， 求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
几何直观法
通过观察和想象，利用几何图形的性质和特点，直接求解几何问题。
06 直线与圆锥曲线位置关系 的实际应用
几何图形的构造与解释
直线与圆锥曲线相交
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线相切； 当直线与圆锥曲线有两个交点时，表示直线与圆锥曲线相交。
直线与圆锥曲线相切
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线 相切。
直线与圆锥曲线相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，表示直线与圆锥曲线相离。