3.1 最小错误概率的Bayes决策
1.用先验概率决策
假设某个工厂生产两种尺寸和外形都相同的螺钉, 一种是铁的,一种是铜的,两种产品混在一起,要求 对它们进行自动分类。
设 铁的类别状态用 1 表示;
铜的类别状态用 2 表示;
因为事先类别状态是不确定的,所以 1,2 是随
机变量。假设铁螺钉有7万个,铜螺钉有3万个,
12 22 21 11 即所谓对称损失函数的情况,二者一致。
(2)一般的多类问题中,在0-1损失函数的情况 时,即
( i
|
j
)
0, 1,
i j i j,i, j 1, 2,
,c
条件风险为:
c
R(i | X ) (i | j )P( j | X ) j 1
P( j | X ) 1 P(i | X ) ji
则根据Bayes法则,后验概率
P j 就| X 是
P j
|
X
pX
|j Pj
pX
c
式中, p X p X | i P i
i 1
这时决策与上述二类一维模式相似:
如果 Pi | X pj | X 对于一切 i j成立,则决策 i 。
3.2 最小风险的Bayes决策
1 决策错误的损失与风险 对于两类别决策,存在两种可能的分类错误:
或:
如果 (21 11)P 1 | X (12 22 )P 2 | X ,
则判定 1 为真正的状态;否则 2 为真正的状态。
上式与最小错误概率的Bayes决策比较,有何不同? 在后验概率上分别乘以一个损失差作为比例因子。
最小风险的Bayes决策和最小错误概率的Bayes 决策的关系:
(1)在二类问题中,若有