当前位置：文档之家 › 高中数学圆锥曲线的性质对比与知识点梳理

高中数学圆锥曲线的性质对比与知识点梳理

  • 格式：doc
  • 大小：730.14 KB
  • 文档页数：10

- 1 - 高 考 数 学圆锥曲 线部分知 识点梳理 一、方 程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点{0),(0),(002001yxfyxf方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是

2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D,-2E); ③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在

圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2020b)-(ya)-(x。 （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线

定义 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（02．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的点的轨迹. - 2 -

轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.

图形 方 程 标准

方程 12222byax(ba>0) 12222

bya

x

(a>0,b>0) pxy22

参数方程 为离心角）参数(sincosbyax 为离心角）参数(

tansecby

ax 

ptyptx22

2

(t为参数)

范围 ─axa，─byb |x|  a，yR x0 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x轴

焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) )0,2(pF

准 线 x=±ca2 准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±ca2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距 2c （c=22ba） 2c （c=22ba）

离心率 )10(eace )1(eace e=1 - 3 -

【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与

222

2

byax

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax. 【备注2】抛物线： （1）抛物线2y=2px(p>0)的焦点坐标是(2p,0)，准线方程x=-2p ，开口向右；抛物线2y=-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p,0)，

准线方程x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p)，准线方程y=-2p ，开口向上； 抛物线2x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2p），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离02xpMF （3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （4）已知过抛物线2y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长

AB=21xx+p或2sin2pAB(α为直线AB的倾斜角)，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径).

五、坐标的变换： （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是),(''yx.

设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 kyyhxx''或 kyyhxx'' 叫做平移(或移轴)公式. （4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： - 4 -

方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 22h)-(xa+22k)-(y

b=1 (±c+h,k) x=±ca2+h x=h

y=k

22h)-(xb+22k)-(y

a =1 (h,±c+k) y=±ca2+k x=h

y=k

双曲线 22h)-(xa-22k)-(y

b=1 (±c+h,k) x=±ca2+k x=h

y=k

22k)-(ya-22h)-(x

b=1 (h,±c+h) y=±ca2+k x=h

y=k

抛物线 (y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论： 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.

6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab. 7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb. 8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc ,2(,0)Fc00(,)Mxy). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、

合集下载

高中数学-圆锥曲线知识点

高中数学-圆锥曲线知识点

高中数学-圆锥曲线知识点解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。

其中，圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一，下面将介绍椭圆和双曲线的知识点。

一、椭圆1、定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之和（大于│F1F2│）为常数的点的轨迹。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距。

注：2a＞│F1F2│非常重要，因为当2a＝│F1F2│时，其轨迹为线段F1F2；当2a＜│F1F2│时，其轨迹不存在。

2、标准方程、图形和性质：椭圆的标准方程为│MF1│+│MF2│=2a(a＞0)，其中M为椭圆上任一点。

椭圆的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。

椭圆的离心率e＝(＜e＜1)，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。

二、双曲线1、定义：双曲线是平面内与两定点F1、F2的距离之差（小于│F1F2│）为常数的点的轨迹。

其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做双曲线的焦距。

2、标准方程、图形和性质：双曲线的标准方程为│MF1│-│MF2│=2a(a＞0)，其中M为双曲线上任一点。

双曲线的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定双曲线的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。

双曲线的离心率e＞1，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。

以上是解析几何中椭圆和双曲线的基本知识点，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用解析几何。

双曲线是一种与两个定点和一个常数有关的点的轨迹，其轨迹上满足两个定点到该点距离之差的绝对值小于定点之间距离的常数。

这两个定点分别称为双曲线的焦点，该常数为双曲线的焦距。

对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F1和F2的距离之差的绝对值减去焦距的结果为常数2a。

圆锥曲线知识梳理

圆锥曲线知识梳理

2 a 的椭圆；以 F1 (c,0), F2 (c,0) 为 2．请你用尺规作出以 F 1 (c,0), F2 (c,0) 为焦点，长轴长为
焦点，实轴长为 2 a 的双曲线；以 F (
； x2 （2）已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一 3 个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是 （3）设 F1，F2 是椭圆 ；
；若圆 P 过点 B 且与圆 A 外切，则动圆圆心 P 的轨迹方程为 若圆 P 与圆 A 外切且与直线 x 1 相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程为 。
x a cos ( 是参数） y b sin
P 的轨迹为 注：满足 | PF 1 | | PF 2 | 2a(a c) 的动点
高三复习知识梳理之十二： 圆锥曲线 一．重点知识： 本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程及标准方程表示的圆锥曲线的几何性 质，直线与圆锥曲线的位置关系。本章的难点：求圆锥曲线的方程及利用几何性质和直线与圆锥 曲线的位置关系研究综合问题。 本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到 了很好的体现和充分的展示 ,尤其是在最近几年的高考试题中 ,平面向量与解析几何的融合 ,提高 了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通 过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值 25 分左右。主要呈现以下几个特点： 1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基本知识及基本技能、基本方法，常以选 择题与填空题的形式出现； 2．直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新 颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的 灵活程度； 3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探 究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度； 4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题， 但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。 （一）曲线与方程：
高中数学圆锥曲线知识点

高中数学圆锥曲线知识点

高中数学圆锥曲线知识点高中数学圆锥曲线知识点圆锥曲线，在高考中一直作为压轴大题的形式出现，其实圆锥曲线很简单，那么从哪些地方下手才能轻松学好圆锥曲线呢？下面是店铺整理的高中数学圆锥曲线知识点，欢迎阅读！圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它是从圆锥上截出来的。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到了圆；把平面渐渐倾斜，得到了椭圆；当平面倾斜到"和且仅和"圆锥的一条母线平行时，得到了抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一边，以圆锥顶点做对称圆锥，则可得到双曲线。

在高中的学习中，平面解析几何研究的两个主要问题，一个是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；而另一个就是通过方程，研究平面曲线的性质。

那么接下来，我们就就着这两个问题来说啦~（一）曲线与方程首先第一个问题，我们想到的就是曲线与方程的这部分内容了。

在学习圆锥曲线这部分内容之前，我们最早接触到的就是曲线与方程这部分内容。

在这部分呢，我们要注意到的是几种常见求轨迹方程的方法。

在这里呢，简单的说一下，一共有四种方法：1、直接法由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的`方程，这种方法叫直接法。

2、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法。

这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。

3、相关点法若动点P（x，y）随已知曲线上的点Q（x0，y0）的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。

这种方法称为相关点法（或代换法）。

4、待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求（二）椭圆，双曲线，抛物线这部分就可以研究第二个问题了呢。

高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学圆锥曲线知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED −−半径是2422FE D −+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。