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《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1定义 平面内到两定点 F 「F 2的距离的和等于常数 2a(2^|F^2)的点P 的轨迹叫做椭 圆•若2a = F ,F 2，点P 的轨迹是线段F I F 2・若0 ：：： 2a ：：： F ,F 2，点P 不存在•2 2务 与=1(a b 0)，两焦点为 R (_c,0), F 2(c,0). a b2 2=1(a b ■ 0)，两焦点为 F i (0,_c), F 2(0,C ).其中 a 2"2 cla b3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴 .椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为2a ，短轴长为2b ，椭圆的焦点在长轴上•2 2若椭圆的标准方程为 务•与=1(a b ■ 0)，则- a 空x 空a, -b 曲乞b ； a b2 2若椭圆的标准方程为=1(a b 0)，则-b 辽x 乞b,-a y 乞a .a 2b 2二、双曲线1定义 平面内到两定点 F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a(0 ：：： 2a ：：：R F ?)的点的轨迹叫做双曲线.若2^|F 1F 2，点P 的轨迹是两条射线.若2^|F 1F 2，点P 不存在.2 22 标准方程 务—£=1(a ■ 0,b0)，两焦点为 F 1(-c,0), F 2(C ,0).a b2 2令…占二“ 0,b 0)，两焦点为 F 1 (0^c ), F 2(0, c ).其中 c 2 二 a 2 b 2. a b3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心 双曲线的顶点有两个 A 1, A 2，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，双曲线的焦点在实轴上2 2J 壬-1(a 0,b 0)，则 x 乞-a 或x — a, y R ；a b2-牛=1(a 0,b 0)，则 y — -a 或 y — a, x R .b 22标准方程 若双曲线的标准方程为 若双曲线的标准方程为2a4渐近线双曲线的渐进线是它的重要几何特征， 每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线, 组渐进线却对应无数条双曲线 .2 2 2 2与双曲线 笃-与 "(a 0,b ■ 0)共渐进线的双曲线可表示为笃-笃二a ba b定要“消元后的方程的二次项系数=0”和“ .0”同时成5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线2 2 2 2等轴双曲线的标准方程为 笃一爲=1(a . 0)或爲-笃=1(a .0).a aa a等轴双曲线的渐近线方程为 y= x .6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 2 2 2如：笃-Xr =1(a 0,b - 0)的共轭双曲线为 Xr =1(a 0,b - 0)，它们的焦点到 a b b ax 禾廿y = _ a三、抛物线1定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线l(F 不在I 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线•定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线• 2标准方程(1) y 2=2px(p>0)，焦点为(#,0)，准线方程为x =—号，抛物线张口向右.⑵ y 2- -2px(p0)，焦点为(-号,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向左•⑶x 2=2py(p0)，焦点为 硝) ，准线方程为y = 一号，抛物线张口向上.⑷X 2 = -2 py (p 0)，焦点为 (0,诗) ，准线方程为y 二号，抛物线张口向下. 其中p 表示焦点到准线的距离. 3几何性质2 2 双曲线x y2-.2ab2 2yx 2.2 a b=1( a 0, b 0)有两条渐近线y=1( a 0, b 0)有两条渐近线y a a x 和yx .即b b 2 2 x y=02■ 2ab22yx2.2ab但对于同直线与双曲线有两个交点的条件,原点的距离相等，因而在以原点为圆心,..a 2 b 2为半径的圆上•且它们的渐近线都是双曲线抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为『=2px(p .0)或y = _2px(p ■ 0),则对称轴是x 轴，若方程为x 2 =2py(p . 0)或x 2 =_2py(p 0)，则对称轴是y 轴.若抛物线方程为 2y = 2 px( p . 0)，则 x _ 0, y R . 若抛物线方程为 2y - -2 px( p - 0)，则 x _ 0, y R . 若抛物线方程为 x = 2 py( p . 0)，则 y _ 0,x R .若抛物线方程为 x = -2py (p 0)，则 y _ 0, x R .圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 21已知椭圆 笃•与 "(a b 0)的两焦点为Fj-cQEgO)，P(x 0,y 0)为椭圆上一a b点，则 PF 」=J(x ° +c)2 +y ； = J(x ° +c)2 +b 2(1 —爭)ms 丿 丿cx 0 cx 0因为 一a 乞 x 0 乞 a ， -c 0 _ c,0 ：：： a -c 0a c ，aa所以 PF^-cx°+a .同理，PF 2 =2a — PF,| =a —绝.aa2 2已知双曲线 务-占-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为Fj-cQ), F 2(C ,0) ,P(x 0,y 0)为a b双曲线上一点，则PF 1， PF 2 = 也—aaa2 22椭圆 J 七=1(a b 0)的两焦点为F I ,F 2，P 为椭圆上一点，若• F 1PF 2 7，则 a bb 2 sin ： ’ 2 丄 b tan 1 cos ： 2解：根据椭圆的定义可得 PR + PF 2 =2a ①c X 。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1定义 平面内到两定点F 1,F 2的距离的和等于常 数2a(2a • F I F 2)的点P 的轨迹叫做椭圆.若2a =日F ?，点 P 的轨迹是线段RF 2.若0 2a 证，点P 不存在.2 2 ____________________________________________2标准方程 笃書l(a b O)，两焦点为a bF !(-C ,0),F 2(C ,0).3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴•椭圆是中心 对称图形，对称中心是椭圆的中心•椭圆的顶点有四个，长轴长为2a ，短轴长为2b ， 椭圆的焦点在长轴上•、 亠 2 2若椭圆的标准方程为与占"(a b • 0)，贝Va b-a三a, —b 三 y ；、 , 2 2若椭圆的标准方程为占討"(a b • 0)，贝Va b-b _x_b, -a -y - a.二、双曲线2 2 ______________________________________■y r £ =1(a b 0)，两焦点为a bF,0, _c), F 2(0,C ). 中 a 2二 b 2c 2.1定义平面内到两定点E,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0 2a F,F2)的点的轨迹叫做双曲线若2a=F i F z|，点P的轨迹是两条射线.若2a>|RF2 ,点P 不存在•2标准方程笃-爲=Ka 0，b 0），两焦点为 a b2 2 ______________________________________________F'-cOFGO）.笃一与=1（a 0,b 0），两焦点为F1（0^c）,F2（0,c）.其中 a bc2 =a2 +b2■3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个AA，实轴长为2a，虚轴长为2b，双曲线的焦点在实轴上.2 2若双曲线的标准方程为务一％=1（a 0,b 0），则a bx _ -a或x _ a, y R ；若双曲线的标准方程为N-写=Ka 0,b 0），则a by 兰—a或y Ka, x w R .4渐近线双曲线务-占T（a 0，b 0）有两条渐近线y=b x和y二一 5a b a a2 2 __________________________________________双曲线^~2 -^-2=1(a 0，b 0)有两条渐近线y =^x和y —bxa bbb双曲线的渐进线是它的重要几何特征， 每一双曲 线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐 进线却对应无数条双曲线.2 2笃—^Ja 0,b 0）共渐进线的双曲线可表a b_2 2示为笃（，0）・a b直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数-0 ”和“0”同时成立 5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做 等轴双曲线.2 2等轴双曲线的标准方程为丄2壬十0）或a ax2=1(a 0).a等轴双曲线的渐近线方程为y -x .6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲 线互为共轭双曲线.如：弓丄"(a Qb .O)的共轭双曲线为 a b与双曲线 2y 2 a 22 2占-笃“(a 0,b 0)，它们的焦点到原点的距离相等，ba因而在以原点为圆心，a2b2为半径的圆上.且它们的渐近线都是y=b x禾廿y = -Bx.a a三、抛物线1定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2标准方程(1) y2=2px(p 0)，焦点为(f,0)，准线方程为x七，抛物线张口向右.⑵y2=~2px(p>0)，焦点为(-号，0)，准线方程为X = ^ , 抛物线张口向左.(3) x2 =2py(p 0)，焦点为(0申，准线方程为y七，抛物线张口向上.⑷x2=-2py(p>0)，焦点为(喀)，准线方程为y聲，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离. 3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为 y 2=2px(p 0)或y 2=—2px(p ■ 0)，则对称轴是x轴，若方程 为x 2=2py(p 0)或x 2=—2py(p 0)，则对称轴是y 轴.若抛物线方程为y 2=2px(p 0)，则x_0,y R . 若抛物线方程为y 2- -2px(p 0)，则x _ 0, y R .若抛物线方程为x^2py(p 0)，则y_0,x R . 若抛物线方程为x 2=—2py(p 0)，则y_0,x R .圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 2 _______________________________________1已知椭圆务 la b 0)的两焦点为F I(-C ,0),F 2(C ,0)，a bP(x °,y °)为椭 圆 上PF i |=J (x ° +c)2+y ：=阻 +c)2+b 2(1—予)因为 一 a 岂x 0岂a ， — c 乞竺空c,0 ：： a — c 乞些 a 乞a c ，aa?占八a)cx°aCX°a所以|PF^c^+a.同理,acx0 PF2 =2a- Ph =a-—0a '2 2已知双曲线冷一爲"（a 0,b .0）的左、右焦点分别为a bFZOEc,。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在考试中，这些结论可能会出现，因此了解这些结论是非常重要的。
1. 椭圆的定义：椭圆是由到两个点的距离之和等于定值的点构成的集合。
这两个点称为椭圆的焦点。
2. 抛物线的定义：抛物线是由所有距离一个定点（焦点）和一个定直线（准线）相等的点所组成的集合。
3. 双曲线的定义：双曲线是由所有到两个焦点距离之差等于定值的点所组成的集合。
4. 椭圆的中心：如果椭圆的两条直径相互垂直，且长度相等，则该椭圆的中心就是两条直径的交点。
5. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两条直径中，长的那条被称为长轴，短的那条被称为短轴。
6. 双曲线的渐近线：双曲线的两条曲线臂在无限远处趋近于两条互相垂直的直线，这两条直线被称为双曲线的渐近线。
7. 双曲线的顶点：双曲线的两条曲线臂在无限远处相交的点被称为双曲线的顶点。
8. 抛物线的顶点：抛物线曲线的最高点或最低点被称为抛物线的顶点。
9. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是指椭圆焦点之间的距离与椭圆长轴的一半之比。
离心率的取值范围在0和1之间。
10. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是指双曲线焦点之间的距离与双曲线的距离其中一条渐近线的距离之差的一半之比。
离心率的取值范围大于1。
11. 抛物线的离心率：抛物线的离心率是指抛物线焦点到直线距离的比值和相对于该直线到抛物线顶点距离的比值之和。
离心率的值
为1。
这些结论是来自圆锥曲线的基本定义。
要在考试中成功完成相关问题，深入理解这些结论是非常重要的。
高考数学：圆锥曲线相关结论汇总_知识点总结
导读：如何能快速提高数学成绩?查字典数学网小编认为：熟悉解题小结论，启迪解题思路，探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易错点的产生，对提高数学成绩将会有立竿见影的效果。
在高中数学中，圆锥曲线占据难题的一席之地，题目一般比较难，但对于选择填空来说，记住一些结论有利于解题。
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高考数学圆锥曲线知识点总结高考数学里啊，圆锥曲线可是个让不少同学头疼的“大怪兽”。
但别怕，咱们今天就来好好把它“解剖”一下，把它的知识点都理清楚！先来说说椭圆。
椭圆就像是被压扁了的圆，它的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
打个比方，想象一下你在操场上跑步，有两个固定的杆子，你跑的路线使得你到这两个杆子的距离加起来总是不变的，这跑出来的轨迹可能就是个椭圆。
椭圆的标准方程有两种形式，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时则是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
这里的 a 和 b 都有特别的含义，a 表示椭圆长半轴的长度，b 表示短半轴的长度。
而且还有个关键的关系\（c^2 ＝ a^2 b^2\），其中 c 是椭圆的半焦距。
再来说说双曲线。
双曲线长得有点像两个背靠背的抛物线，它的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
比如说，你想象有两个机器人，一个在前面跑，一个在后面追，它们之间的距离差始终不变，那它们跑的轨迹可能就是双曲线。
双曲线的标准方程也有两种，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
同样有\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
然后是抛物线。
抛物线就像一个抛出去的物体的轨迹。
它的定义是平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
比如你拿着喷壶浇水，水喷出来形成的曲线就可能是抛物线。
抛物线的标准方程也有多种，比如\（y^2 ＝ 2px\）、＼（y^2 ＝－2px\）、＼（x^2 ＝ 2py\）、＼（x^2 ＝－2py\），这里的 p 表示焦点到准线的距离。
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
1 / 24圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，2 / 24即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.3 / 2411. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过000(,)P x y 22221x y a b+=0P 的椭圆的切线方程是.00221x x y ya b +=6. 若在椭圆外 ，则过000(,)P x y 22221x y a b+=Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是. 00221x x y ya b+=7. 椭圆 (a ＞b ＞0)的左右焦点22221x y a b+=分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面12F PF γ∠=积为.122tan 2F PF S b γ∆=8. 椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公22221x y a b+=式：,( , 10||MF a ex =+20||MF a ex =-1(,0)F c -).2(,0)F c 00(,)M x y 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴22221x y a b+=的弦，M 为AB 的中点，则),(00y x ，22OM AB b k k a ⋅=-即。
202y a x b K AB -=双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若在双曲线（a ＞000(,)P x y 22221x y a b-=0,b ＞0）上，则过的双曲线的切0P线方程是.00221x x y ya b-=6. 若在双曲线（a ＞000(,)P x y 22221x y a b-=0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是. 00221x x y ya b-=7. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左22221x y a b-=右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线12F PF γ∠=的焦点角形的面积为.122t 2F PF S b co γ∆=8. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦22221x ya b -=半径公式：( ,1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，00(,)M x y ,.10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，00(,)M x y ,10||MF ex a =-+20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则，0202y a x b K K ABOM =⋅即。
圆锥曲线必背的经典结论1. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.4. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.5. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.1. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.3. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.4. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。
第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。
两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。
（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。
⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。
方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:· 的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。
则应连接M与左焦点F'，由|MF'|+|MP|+|PF|≥|PF'|+|PF|=2a,当P,M,F'在同一条直线上时距离最小.最小距离为2a-|MF'|.二、⑴椭圆的标准方程：(略)⑸P（x1，y1）为椭圆上任点则焦半径（椭圆上任一点与焦点之间的线段长）为：|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex2；⑺从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会经过另一个焦点。
(8)离心率的求解可根据具体情况对相关线段整体设置,也可以进行坐标设置.对应小题题例:⑴当m+n<0时,求椭圆离心率的取值范围;⑵求证:直线AB与⊙P不相切.(09新乡一模21题) 解析:设点F,B,C的坐标分别为F(-c,0),B(0,b),C(1,0)⑵证明:假设相切,则点B必为切点,而k AB=b,⒊设F1,F2为椭圆上的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点的连线所成的角为90°,A.1:5B.1:3C.1:2D.1:1⒋已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则离心率的取值范围A. B.2 C. D.3 A此类题的解题思路不外乎是依据第一或第二定义进行整体设置或根据参数方程进行坐标设置,本题就可以进行依据第一定义整体设置:过B作BB'⊥l,则BF:BB'=1:,又BF=AB/2, 故BB':AB=1:.∠ABB'=45°,又F到l的距离为1,所以AF=.此为法一;法二:设l交x轴为D,则FD=1,FA=3FB,故点F的横坐标为4/3,则右求出其纵坐标为1/3,并可求出A的纵坐标为1,所以FA=.A.[0,3]B.[2,3)C.[0,2)D.[0,4]⒏已知A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足⒐满足条件+=6的动点轨迹为C,若曲线C上三点到点(0,4)解析:由题中条件知曲线C为一条在(-3,0)到(3,0)的线段,此等比数列的三项的最短与最长分别为4和5,而其比为公比q的平方.A.cB.b C .a D.不确定C(10年湖北八校联考)如图,由已知,Rt△OAM∽Rt△OFB,OA:OB=OM:OF→OB·OM=OA·OF=a2,故ON=a.11.已知F是橢圓C 的一個焦點, B是短軸的一個端點,線段BF 的延長線交C於點D.析:法一,依題意知點D 坐標為,由點D在曲線上,故滿足法二：过点B及点D分别向其准线作垂线，垂足为B'，D'依题意得：例⒈已知椭圆的两个焦点分别为F1（0。
-1），F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线，⑴求椭圆的方程；⑵若点P在椭圆上，设| |-||=m（m≥1），试用m表示·；解：（本题第一问主要是考查椭圆的几个参量之间的关系，第二问主要考查椭圆的基本定义及向量介入的有关运算；第三问主要考查平面几何的有关知识如三角形任意两边之差小于第三边，但在椭圆中若是椭圆上任意一点与两个焦点之间的连线所构成的三角形则是这点与两焦点连线所在的边之差小于等于第三边，同时也考查了相关函数的单调性。
）即m≤2，所以m∈[1，2]过椭圆的右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线炮大圆于第一象限办点A，OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线。
⑴证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；解：⑴由题设条件知：Rt△OFA∽Rt△OBF∴直线BF与y轴的交点. ∴直线BF与y轴交点为（0，a）点为M（0,a）→（b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 ④由③消去x整理得：（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 ⑤注意到：a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2例⒊已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1,且过右焦点F交椭圆于A,B两点，+ 与=（3，-1)共线。
⑴求椭圆的离心率：⑵设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R）由+=（x1+x2，y1+y2）,=（3，1）且+与共线得：3（y1+y2-2c）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c。
⑵由⑴知a2=3b2∴椭圆方程为：x2+3y2=3b2，设=（x，y）由已知（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）又x21+3y21=3b2x22+3y22=3b2代入①得λ2+μ2=1故所求为定值。
双曲线:一、概念：第一定义：到两定点F1（-c，0）、F2（c，0）的距离差为定值2a（小于两定点的距离）的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。
引申定义：⒈与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的双曲线的一支;⒉过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。
⒊圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。
圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点)间的距离为焦距长。
二、⒈标准方程：(略)三、相关运算：注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点⒉焦半径公式：P（x0，y0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。
|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a若点P在左支上时,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.A.内切B.外切C.内切或外切D.外切或相交⒋在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。
如直线y=kx+m，若焦点在x轴上的⒌如果在进行直线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为x=my+c的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若是求的范围，a<m<b，则所求的直线的斜率为1/b<k<1/a，这一点务必注意。
⒎在焦点三角形中,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线,则垂足H的轨迹为圆,其方程为x2+y2=a2,(本题证明可延长F1H 交PF2于M点）,依题意知PF1=PM故PM-PF2=F2M=2a,即点M是以F2为圆心2a为半径的的圆即：(x-c)2+y2=4a。
⒏相关点与双曲线只有一个交点的直线条数:在双曲线外部与双曲线只有一个交点的直线条数有2条;在双曲线上时,与双曲线只有一个交点的直线条数为3条;在双曲线外部:在直线与双曲线之间(如渐近线与双曲线一支之间且位于x 由上方)由于过该点平行于渐近线的与双曲线只有一个交点,但要与双曲线相切只有让该直线的斜率大于正斜率的渐近线故只有与右支相切,同理与双曲线相切的直线也只有与右支相切,所以共有四条.⒐已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左右顶点分别是A,B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,试确定三个角之间的关系.⒑双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即d≥c-a.离之和最小.其主要方法:过点P作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点.A. B.2 C. D. C右准线l:x=1/2,|AF|=3,过F作直线交双曲线右支于P,Q两点,延长PB交右准线l于M点。
⑴求双曲线的方程；⑵若·=-17，求△PBQ的面积S；⑶若=λ，（λ≠0,λ≠-1),问是否存在实数μ=f（λ）的左右焦点，使得=μ,若存在，求出μ=f（λ）表达式，否则说明理由⑶（题中=λ及所求μ=f（λ）其实都是两点P，Q之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系）注：在求解与证明与圆锥曲线相关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成x=my+n的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的m与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。
对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。
例⒉（成都市07第二次毕业诊断性测试22）如图,与抛物线x2=-4y相切于A（-4,-4）的（理）求⑴中切点T到直线PQ的距离的最小值；抛物线一、概念：平面内与定点F的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。
定点为焦点,定直线为准线;与圆锥曲线的第二定义:到一定点与一定直线的距离比为定值(1)的点的轨迹.即离心率为1.注意:不能把抛物线看成双曲线的一支,它们是有本质区别的:当抛物线上的点趋于无穷大时,曲线上点的切线趋近于和对称轴平行;而双曲线上的切线趋近于与渐近线平行.e:设AB的中点为M,过M作MM'⊥l,连结AM',BM',M'F.则AM'平分∠A'AB,BM'平分∠ABB', ∠AM'B=90°,M'F⊥AMB(△M'B'B≌△M'FB).故以AB为直径的圆必与准线相切。
