高考试题分类汇编(全国课标卷) 题型14 圆锥曲线的有关性质

A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.

第2节 双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程1.（2013江西理14）抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点，若ABF △为等边三角形，则p = ．2.(2013陕西理11） 双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于 . 3．（2013广东理7）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ ）.A ． 2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 4.（2014 天津理 5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）. A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 5.（2014 广东理 4）若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（ ）.A.焦距相等B.实半轴长相等C. 虚半轴长相等D.离心率相等6.（2014 北京理 11）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.7.（2015福建理3）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E上，且13PF =，则2PF =（ ）.A ．11B ．9C ．5D ．37．解析 由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，得29PF =．故选B ．8.（2015广东理7）已知双曲线:C 22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）.A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -=8．解析 因为所求双曲线的右焦点为()25,0F ，且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，所以2229b c a =-=，所以所求双曲线方程为221169x y -=.故选C ．9.（2015天津理6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）.A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=9．解析 双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线方程为by x a =±，由点(2在渐近线上，所以2b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y=准线方程x =所以c =2a =，b =22143x y -=.故选D. 10.（2016江苏3）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ． 10. 解析 ，故焦距为．11.（2016全国乙理5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是（ ）.xOy 22173x y -=c=2c =222213x y m n m n-=+-4nA. B. C. D.11. A 解析 由表示双曲线，则， 得，所以焦距，得，因此.故选A.12.（2016天津理6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）.A.B. C. D. 12. D 解析 根据对称性，不妨设在第一象限，，联立，得.所以，得. 故双曲线的方程为.故选D. 13.（2016北京理13）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为，则_______________.13. 解析 可得双曲线C 的渐近线方程为，所以.再由正方形的边长为，得其对角线的长，所以，解得.14.（2017北京理9）若双曲线221y x m-=，则实数m =_________.14. 解析=2m =. 15.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）.()1,3-(-()0,3(222213x y m n m n-=+-()()2230m n m n +->223mn m -<<244c m ===1m =±13n -<<()2224=10y b bx ->A B C D ABCD 2b 22443=1y x -22344=1y x -2244=1y x -2224=11x y -A (),A A A x y 2242x y b y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩2b A ⎛⎫⎪⎭216422A A b b x y b =⋅=+212b =2224=11x y -()2222:10,0x y C a b a b -=>>OABC OA OC B OABC 2a =2y x =±a b =OABC2OB=222a b +=2a =A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 15.解析 由题意得a b =，41c=--，所以4c =.又因为22216c a b =+=，所以28a =，28b =，则双曲线方程为22188x y-=.故选B. 16.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x=，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）. A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=16．解析因为双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +== ②由①,②，解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=.故选B.17.（2018天津7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( ).(A)221412x y -= (B) 221124x y -= (C) 22139x y -= (D) 22193x y -= 17.解析 设双曲线的右焦点坐标为()(),00F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.故选C. 18.（2018浙江2）双曲线的焦点坐标是（ ）.A ．(，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0)，(0)D ．(0，−2)，(0，2)18.解析 因为23a =，21b =，所以2224c a b =+=，2c =，且焦点在x 轴上，所以焦点坐标()()2,0,2,0-.故选B.题型117 双曲线的渐近线1.（2013江苏3）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 2．（2013四川理6）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） A.12C.1 3. (2013福建理3）双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）.A. 52B.54C. 552D.5544.（2014 新课标1理4）已知F 是双曲线C ：()2230x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）.A.B.3C.D. 3m5.（2014 山东理 10）已知0,0a b >>,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C ，则2C 的渐近线方程为（ ）. A.0x += 0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=221 3=x y -6.（2014 北京理 11）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.7.（2015安徽理4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）.A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -=7. 解析 由题可得选项A ，C 的渐近线方程都为2y x =±，但选项A 的焦点在x 轴上． 故选C ．8.（2015北京理10）已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a = .8. 解析 依题意，双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为x y a=±，则1a-=3a =. 9.（2015江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点．若 点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 9. 解析 找到P 到直线10x y -+=的最小距离（或取不到），该值即为实数c 的最大值．由双曲线221x y -=的渐近线为0x y ±=，易知10x y -+=与0x y -=平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数c 的最大值为2d ==． 10.（2015四川理5）过双曲线2213y x -=的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两 条渐近线于,A B 两点，则AB =（ ）.A.B.C. 6D.10. 解析 由题意可得1a =，b =2c =.所以渐近线的方程为y =.将2x =代入渐近线方程，得y =±.则AB =.故选D.11.（2015浙江理9）双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 11. 解析因为c ==2y x =±. 12.（2015重庆理10）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）.A.()()1,00,1-UB. ()(),11,-∞-+∞UC.()(0UD. ()-∞∞U，+12. 解析 根据题意知点D 一定在x 轴上，所以点到直线BC 的距离为DF ，由图知2BF AF DF =g，)42b a DF a=g，又因为DF a <+所以4DF a =<+122<a b ，所以11b a -<<，根据实际情况0≠b ，所以()()1,00,1ba∈-U ．故选A ． 13.（2016上海理21（1））双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.若的倾斜角为，是等边三角形，求双2221y x b-=()0b >1F 2F l 2F A B l 2π1F AB △曲线的渐近线方程；13.解析（1）由已知，，不妨取，则，由题意，又，所以，即，解得因此渐近线方程为．14.（2017江苏08）在平面直角坐标系xOy中，双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q，其焦点是12,F F，则四边形12F PF Q的面积是．14.解析双曲线的渐近线方程为3y x=±，而右准线为32x=，所以3,22P⎛⎫⎪⎝⎭，3,22Q⎛⎫-⎪⎝⎭，从而1214222F PF QS⎛=⨯⨯⨯=⎝⎭．故填15.（2017山东理14）.在平面直角坐标系xOy中，双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的右支与焦点为F的抛物线()220x py p=>交于,A B两点，若4AF BF OF+=，则该双曲线的渐近线方程为.15. 解析设()(),,,A B B BA x yB x y，由题意得||||4222A B A Bp p pAF BF y y y y p+=+++=⨯⇒+=.又22222222221202x ya y pb y a ba bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A Bpby y pa+==a⇒=，从而双曲线的渐近线方程为y x=.16.（2018全国2卷理科5）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>方程为（）.A．y=B．y=C．y x=D．y x=()1F)2F x=2y b=122F F A=12F F=22F A b=2=()()42223443220b b b b--=+-=b=y=16.A 解析 由离心率ce a==得，c =.因为222c a b =+，所以b =，又渐近线方程为by x a=±，所以y =.故选A. 17.（2018上海2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 17.解析 由题意知：24a =，21b =，所以渐近线方程12b y x x a =±=±. 18.（2018全国III 卷理科11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为（ ）. AB ．2C D18.解析 由双曲线的方程知，一条渐近线的方程为b y x a =，则2tan b POF a∠=，2sin bPOF c∠=，2cos a POF c∠=，22cos OP OF POF a=∠=，所以点()222cos ,sin ,a ab P a POF a POF c c ⎛⎫∠∠= ⎪⎝⎭.又1PF =，即2216PF OP =，所以2226a ab c a c c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得42230c a c -=，223c a =，所以离心率ce a==故选C. 2019年19（2019全国III 理10）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．19. 解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，渐近线方程为：2y x =±，不妨设点P 在第一象限，可得tan POF ∠=，P ，所以PFO △的面积为：13326224⨯⨯=．故选A ． 20.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .20. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±．题型118 双曲线离心率的值及取值范围1．(2013湖南理14）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C上一点，若126,PF PF a += 且12PF F △的最小内角为30o，则C 的离心率为___. 2.（2013浙江理9）如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 A. 2 B. 3C.23D.263．（2013湖北理5）已知π04θ<<，则双曲线1:C 1sin cos 2222=-θθy x 与2:C 1tan sin sin 22222=-θθθx y的（ ）.A ． 实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等4.（2014 重庆理 8）设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）.A.43 B. 53 C. 94D. 3 5.（2014 湖北理 9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）.C.3D.2 6.（2014 浙江理 14）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210x y a b a b-=>>两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是__________.7.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）．A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 7．解析 由题意，2222221222()()()()()()a b a m b m b b m m b a e e a a m a a m a a m +++++--=-=++++， 当a b >时，22120e e -<，12e e <；当a b >时，22120e e ->，12e e >.故选D.命题意图 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法8.（2015湖南理13）设F 是双曲线2222:1x y C a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .8. 解析 根据对称性，不妨设)0,(c F ，短轴端点为),0(b ，从而可知点)2,(b c -在双曲线上，所以5142222==⇒=-ace b b a c .9.（2015全国II 理11）已知,A B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABC △为 等腰三角形，且顶角为120︒，则的离心率为（ ）．B.2 C. D. 9. 解析 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，由AB BM =，120ABM ︒∠=，则过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，BN a =，MN =，故点M的坐标为(2)M a ， 代入双曲线方程可得2222a b a c ==-，即有222c a =，所以ce a==故选D ． 命题意图 在圆锥曲线的考查中，双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质可以求解.本题中要充分利用顶角为120︒的等腰三角形的性质求解.10.(2015山东理15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:100x y C a b a b -=>>，的渐近 线与抛物线()22:20C x py p =>交于点O A B ，，. 若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .10.解析 由题意，可设OA 所在直线方程为by x a=，则OB 所在直线方程为by x a=-， 联立22b y x ax py⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而抛物线的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭为ABC △的垂心， 所以1OB AFk k =-g ，所以2222120pb pb a pb a a-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，所以2254b a =， 所以222c e a ==22222914a b b a a +=+=，所以32e =． 11.（2016山东理13）已知双曲线，若矩形的四个顶点在:E 22221x y a b-=()0,0a b >>ABCDE上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.11. 解析 由题意，，又因为，则，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为. 12.（2016全国甲理11）已知，是双曲线E ：的左，右焦点，点M 在E 上，与轴垂直，，则E 的离心率为（ ）.B.D.2 12. A 解析 离心率，因为，所以故选A ． 13.（2016四川理19）已知数列的首项为， 为数列的前项和，，其中， .（1）若，，成等差数列，求的通项公式；(2)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：. 13.解析 （1）由已知得，，，两式相减得到，.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.从而.由，，成等差数列，可得，即，则.又，所以.所以.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率 . AB CD E 23AB BC =E 22BCc =23AB BC =3AB c =3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭E 22221x y a b-=2222914c c a b -=2c b a =+22E 2ce a==1F 2F 22221x y a b-=1MF x 211sin 3MF F ∠=32122122F F c c e a a MF MF ===-1221190sin 3MF F MF F ∠=∠=o，，1MF x =，23MF x =，12F F =e ={}n a 1n S {}n a n 11n n S qS +=+0a >*n ∈N 22a 3a 22a +n a 2221ny x a -=n e 253e =121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>11n n S qS +=+211n n S qS ++=+21n n a qa ++=1n …211S qS =+21a qa =1n n a qa +=1n …{}n a 1q 1=n n a q -22a 3a 2+2a 322=32a a +22=32q q +()()2120q+q -=0q >=2q ()1*2n n a n N -=?1n n a q -=2221ny x a -=n e =由，解得. 因为.于是，故.14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）.A．2 BC D14．解析取渐近线by xa=，化成一般式0bx ay-=，圆心()20，到直线的距离为=，得224c a=，24e=，2e=．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若60MAN∠=o，则C的离心率为________.15. 解析如图所示，OA a=，AN AM b==.因为60MAN∠=o，所以AP=，OP=tanAPOPθ==.又因为tan baθ=，所以ba=，解得223a b=，则e==.253e=43q=()()21211+k kq q-->()1*kq k->∈N112111nnnqe e e q qq--++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+=-1231433n nne e e--++⋅⋅⋅+>16.（2018全国III 卷理科11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为（ ）. AB ．2CD16.解析 由双曲线的方程知，一条渐近线的方程为b y x a =，则2tan b POF a∠=，2sin bPOF c∠=，2cos a POF c∠=，22cos OP OF POF a=∠=，所以点()222cos ,sin ,a ab P a POF a POF c c ⎛⎫∠∠= ⎪⎝⎭.又1PF =，即2216PF OP =，所以2226a ab c a c c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得42230c a c -=，223c a =，所以离心率ce a==故选C. 17. （2018江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是 ▲ ．17.解析 双曲线的渐近线为0bx ay ±=，右焦点(,0)F c 到渐近线的距离2bc b c ===，所以离心率2c e a ======18. （2018北京理14）已知椭圆2222:1x y M a b +=，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 . 18.解析 设正六边形边长为t ；根据椭圆的定义)21a t =，22c t =，1ce a==椭圆.双曲线的渐近线方程为y =，b a =2c e a=双曲线.2019年19.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为____________．19.解析 如图所示，因为1F A AB =uuu r uu u r,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AO BF P，212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，所以1290F BF ∠=︒， 且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===. 由212AO BF P得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =， 因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，即渐近线的斜率为3，也即3ba=， 所以2212b e a=+=. 20.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．520．A 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224c a c -=，即222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则122OP a OF ===，c e a ==故选A ．21．（2019浙江2）渐近线方程为±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．221．解析 根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以c =，则该双曲线的离心率为ce a==C ． 22.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.2 22.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（AB ==4=，即2b a =，所以c ==，所以双曲线的离心率为ce a==故选D ．题型119 双曲线的焦点三角形1.（2014 大纲理 9）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F ，2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）.A ．14B ．13C ．4D ．3。

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。

2011-2017新课标(文科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空[2011新课标]4．椭圆的离心率为〔 D 〕A．B．CD[解析]cea===2228111162，be ea=-=-=∴=，故选D.[2011新课标]9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为〔 C 〕A．18B．24C．36D．48[解析]易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.[2012新课标]4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为〔C〕A．12B．23C．34D．45[解析]∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.[2012新课标]10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=C的实轴长为〔〕A．．4D．8[解析]由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=∵||AB=∴a=2，∴C的实轴长为4，故选C.[2013新课标1]4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)，则C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x[解析]∵e=∴ca=2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。

[2013新课标1]8. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(C)．A．2 B．．．4[解析]利用|PF|＝Px=可得x P＝∴y P＝±∴S△POF＝12|OF|·|y P|＝221168x y+=1312∆[2013新课标2]5. 设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为(D ) A ．6 B ． 13 C ． 12D ．3[解析]如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||2PF x F F c ==3x =， 而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴3c e a ===[2013新课标2]10. 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为(C)．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝(x -1)或y ＝ -(x -1)C ．y ＝ 3(x -1)或y ＝ -3(x -1)D ．y ＝ 2(x -1)或y ＝ -2(x -1)[解析]由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x ＝－1，当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线， 垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t ＞0)，|BN|＝|BF|＝t ，|BK|＝x ，而|GF|＝2， 在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t=+， 解得x ＝2t ，则cos ∠NBK＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k ＝tan 60°y 1)x －． 当直线l 的斜率小于0时，如图所示， 同理可得直线方程为y＝1)x －，故选C.[2014新课标1]〔4〕已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a 〔 D 〕 A. 2 B.26C. 25D. 1 [解析]2=，解得1a =，选D. [2014新课标2]10. 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =〔 C 〕 〔A 〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕[2014新课标2]12. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值X 围是〔 A 〕〔A 〕[]1,1-〔B 〕1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，〔C〕⎡⎣〔D 〕22⎡-⎢⎣⎦，[2015新课标1]〔5〕已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=〔B 〕 〔A 〕3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕12[2015新课标1]16. 已知F 是双曲线C ：x 2-82y=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A 〔0,66〕.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为12√6[2015新课标2]15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程x 24-y 2=1。