【中考数学专题提优训练】1--数轴实数的运算代数式的化简与求值

提分专练(一)实数混合运算与代数式的化简求值|类型1| 实数的混合运算1.[2019·成都]计算:2-2+-2sin60°+|-|.2.[2019·南充]计算:- 2 2-1-220+sin45°+2-1.3.[2019·长沙改编]计算:|-3|+(π-2019)0-2sin 0°+-1.-3-(32)0-4cos 0°+.4.[2019·德阳]计算:-2+2|类型2| 整式的化简求值5.[2019·无锡]计算:(x+1)2-(x2-x).6.[2019·江西]计算:(a+1)(a-1)-(a-2)2.7.[2019·衡阳]先化简,再求值:(x+2)(x-2)+x(1-x),其中x=-1.|类型3| 分式的化简求值8.[2019·聊城] 先化简,再求值:- -÷2- 2 2 ,其中a=-2.9.[2019·株洲] 先化简,再求值:2 2·1--2 ,其中x=2,y= 2.10.[2019·眉山] 先化简,再求值: - - -2÷2 2-2 2,其中x 满足x 2-2x-2=0.11.[2019·达州]化简代数式:--÷2-,再从不等式组-2 - ①6 0 ②的解集中取一个合适的整数值代入,求出代数式的值.|类型4| 与二次根式有关的计算12.[2019·湖州]计算:2×(1-2)+.13.[2019·陕西]计算:(-)×(-6)+|2-1|+(5-2π)0.14.[2019·恩施州]先化简,再求值:22·1+-÷22-,其中x=25-1.15.[2019·凉山州]先化简,再求值:1-24422-÷2-,其中a,b满足(a-2)2+=0.参考答案1.解:2-2+-2sin60°+|- |= 4+2-2× 2+ =4. 2.解:原式= 2-1-1+ 22+2=2 2.3.解:原式=3+1-1+3=6.4.解:原式=3+8-1-4× 2+2=3+8-1-2 +2 =10.5.解:(x+1)2-(x 2-x )=x 2+2x+1-x 2+x=3x+1. 6.解:原式=a 2-12-(a-2)2=a 2-1-(a 2-4a+4) =a 2-1-a 2+4a-4 =4a-5.7.解:原式=x 2-4+x-x 2=x-4. 当x=-1时,原式=-1-4=-5. 8.解:- -÷2-2 2= - -÷ 2-2 = - -÷2 2 -2 = - -÷ 2-2= - -· 22-= - -· 2-= - 2=- 2= - -2=-2, 当a=- 2时,原式=-2- 2=-2 2=-2÷2=-2×2=-4.9.解:2 2·1--2 =2· -- 2 =2· -2= -2= 2 -2 =2 -2=. 当x=2,y= 2时,原式= 2. 10.解:原式=- - -2·22 -=2 -·22 -=2.由题意得:x 2=2x+2,代入得:原式= 2 2=2. 11.解:解不等式①,得x ≤ 解不等式②,得x>-3,∴不等式组的解集为-3<x ≤ .- -÷ 2- = - - - · 2-=- - -·-=3(x+1)-(x-1) =3x+3-x+1 =2x+4. ∵x ≠0 x ≠±1,∴当x 取-2时,原式=2×(-2)+4=0.12.解:原式=2-2 2+2 2=2.13.解:(- )×(- 6)+| 2-1|+(5-2π)0= + 2-1+1 =3 2+ 2 =4 2.14.解:22·1+-÷22-=2·2-·-2=.当x=25-1时,原式=25-=5 0.15.解:1-24422-÷2-=1-22-·-2=1-2=--2=-2.∵a,b满足(a-2)2+=0,∴a-2=0,b+1=0,∴a=2,b=-1.当a=2,b=-1时,原式=-2=2.提分专练(二)解方程(组)与不等式(组) |类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:2 5 ①-2- ②2.[2019·常州]解方程组2- ①- ②3.已知关于x,y的方程组522- 2-的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程4.解方程:x2+2x=3.5.[2019·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.6.先化简,再求值:(x-1)÷2-1,其中x 为方程x 2+3x+2=0的根.7.当x 满足条件 -2-4-4 时,求出方程x 2-2x-4=0的根.8.[2019·毕节] 先化简,再求值:2 2-4--2÷2 4 4,其中a 是方程a 2+a-6=0的解.|类型3| 解分式方程9.[2019·绵阳] 解分式方程: - -2+2=2-.10.解方程: - -2= 2 -4-1.11.[2019·泰州] 解分式方程:- +4 -2=1.|类型4| 解一元一次不等式(组)12.解不等式:2(x-6)+4≤ x-5,并将它的解集在数轴上表示出来.图T2-113.[2019·湖州]解不等式-22≤2 并把它的解集表示在数轴上.14.[2019·北京]解不等式组:-2215.[2019·宁夏]解不等式组:-- 5 ①-5-2②参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为22.解:①+②得:3x=6,∴x=2.将x=2代入①,得y=-1,∴2 -3.解:52 ①2- 2- ②①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18, 解得y=-2a+4,∴原方程组的解是2 -2 4∵x>0,y>0,∴20 ⑤-240 ⑥由⑤得a>-2,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-2<a<2.4.解:x1=-3,x2=1.5.解:移项,得3x2-2x=2, 配方,得3x-2=,解得x1=,x2=-.6.解:原式=(x-1)÷2- -=(x- ·-=-x-1. 由x 2+3x+2=0,得x 1=-1,x 2=-2.当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去. 当x=-2时,原式=1. 7.解:由 -2 -4-4 解得2<x<4.解方程x 2-2x-4=0,得x 1=1+ 5,x 2=1- 5.∵2< 5<3,∴3<1+ 5<4,符合题意;-2<1- 5<-1,不符合题意,舍去. ∴x=1+ 5.8.解:2 2-4--2÷ 2 4 4= 2 2 -2 - 2 -2 2 ÷ 2 4 4=2 - 2 2 -2· 2 2=2 ,由a 2+a-6=0,得(a+3)(a-2)=0, 解得a=-3或a=2,∵ 2 0-2 0 0∴a ≠±2且a ≠0 ∴a=-3,当a=-3时,原式=2 =- 2-= .9.解:方程两边同时乘以x-2,得x-1+2(x-2)=-3, 去括号,得x-1+2x-4=-3, 移项,得x+2x=2,合并同类项,系数化为1,得x=2, 经检验,x=2是原分式方程的解, 故原分式方程的解为x=2.10.解:化为整式方程得2-2x=x-2x+4, 解得x=-2,经检验x=-2是分式方程的解. 11.解:去分母,得(x+1)2-4=x 2-1, 去括号,得x 2+2x+1-4=x 2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.12.解:2(x-6)+4≤ x-5,2x-12+4≤ x-5,-x≤x≥-3.解集在数轴上表示如图所示:13.解:不等式的两边同乘以2,得3x-2≤4移项,合并同类项,得3x≤6解得x≤2.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:14.解:不等式3(x+1)>x-1的解集为x>-2;>2x的解集为x<3.不等式2∴原不等式组的解集为-2<x<3.15.解:由不等式①得x-3x+ ≥5x-3x≥5-3,-2x≥2x≤-1;由不等式②得2(x-3)-10<5(x+1),2x-6-10<5x+5,2x-5x<5+6+10,-3x<21,x>-7.∴原不等式组的解集为-7<x≤-1.提分专练(三)一次函数与反比例函数的综合|类型1| 一次函数与反比例函数的综合1.[2019·襄阳]如图T3-1,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(-4,1)和点B(m,-4).(1)求双曲线和直线的解析式;(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.图T3-1x+4的图象交于2.[2019·贵港]如图T3-2,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-2A和B(6,n)两点.(1)求k和n的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.图T3-23.[2019·枣庄]如图T3-3,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0 的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0 的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.图T3-34.[2019·宜宾]如图T3-4,已知反比例函数y=(m≠0 的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b 的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.图T3-45.[2019·广安]如图T3-5,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.(1)求函数y=和y=kx+b的解析式.(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内,求反比例函数y=的图象上一点P,使得S△POC=9.图T3-56.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.4(1)求k的值.(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数.②若区域W内恰有4个整点,结合图象,求b的取值范围.|类型2| 反比例函数的实际应用7.[2019·乐山]某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜,图T3-6是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y与时间x 0≤x≤24 的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10℃,蔬菜会受到伤害,问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?图T3-6参考答案1.解:(1)∵双曲线y 1=经过点A (-4,1), ∴k=-4×1=-4,∴双曲线的解析式为y 1=-4. ∵双曲线y 1=-4经过点B (m ,-4), ∴-4m=-4,∴m=1,∴B (1,-4).∵直线y 2=ax+b 经过点A (-4,1)和点B (1,-4),∴ -4 -4 解得 - -∴直线的解析式为y 2=-x-3.(2)AB=5 2,y 1>y 2时,x 的取值范围是-4<x<0或x>1.提示:由两点间距离坐标公式得AB= -4- 24 2=5 2.在图象中找出双曲线在直线上方的部分,确定这部分x 的取值范围是-4<x<0或x>1. 2.解:(1)把B (6,n )代入一次函数y=-2x+4中,可得n=-2×6+4=1,所以B 点的坐标为(6,1).又B 在反比例函数y=(x>0)的图象上, 所以k=xy=1×6=6, 所以k 的值为6,n 的值为1.(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=6. 当x=2时,y=62=3;当x=6时,y=66=1,由函数图象可知,当2≤x ≤6时函数值y 的取值范围是 ≤y ≤ . 3.解:(1)∵OB=2OA=3OD=12,∴OA=6,OB=12,OD=4,∴A (6,0),B (0,12),点D 的横坐标为-4,把点A ,点B 的坐标代入y=kx+b 得0=6k+b ,b=12,∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.点C 与点D 的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C 的纵坐标为20,即C (-4,20),∴20=-4,n=-80,∴反比例函数的解析式为y=- 0.(2)由y=-2x+12和y=- 0得-2x+12=- 0, 解得x 1=-4,x 2=10,∴E (10,-8),∴△CDE 的面积为2×20×(10+4)=140.(3)由图象可得-4≤x<0或x ≥ 0.4.解:(1)∵反比例函数y=(m ≠0 的图象经过点(1,4), ∴4=,解得m=4,故反比例函数的表达式为y=4.∵Q (-4,n )在反比例函数的图象上, ∴n=4-4=-1,∴Q (-4,-1).∵一次函数y=-x+b 的图象过点Q (-4,-1), ∴-1=4+b ,解得b=-5,∴一次函数的表达式为y=-x-5. (2)由题意可得: 4- -5解得-4 -或- -4∴P (-1,-4).在一次函数y=-x-5中, 令y=0,得-x-5=0, 解得x=-5,故A (-5,0).∴S △OPQ =S △OPA -S △OAQ = 2×5×4-2×5×1=7.5.5.解:(1)∵点A (4,2)在反比例函数y=的图象上,∴m=4×2=8,∴反比例函数的解析式为y=. ∵点B 在y 轴的负半轴上,且OB=6, ∴点B 的坐标为(0,-6),把A (4,2)和B (0,-6)代入y=kx+b 中,得:4 2 -6 解得 2-6∴一次函数的解析式为y=2x-6.(2)设点P 的坐标为n ,(n>0). 在直线y=2x-6上,当y=0时,x=3,∴点C 的坐标为(3,0),即OC=3, ∴S △POC =2OC ·y P =2×3×=9,解得n=4,∴点P 的坐标为4,6,故当S △POC =9时,在第一象限内,反比例函数y=的图象上点P 的坐标为4,6.6.解:(1)∵函数y=(x>0)的图象经过点A (4,1),∴1=4,解得k=4.(2)①如图所示:由图可知区域W 内的整点个数有3个:(1,0),(2,0),(3,0).②由①可知,当直线BC 过点(4,0)时,b=-1;当直线BC 过点(5,0)时,54+b=0,b=-54.此时,区域W内的整点个数有4个:(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).结合函数图象知-54≤b<-1. 当直线BC 过点(1,2)时,4+b=2,b=4. 当直线BC 过点(1,3)时,4+b=3,b=4.此时,区域W 内的整点个数有4个:(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).结合函数图象知 4<b ≤ 4. 综上,-54≤b<-1或4<b ≤4.7.解:(1)设线段AB的解析式为y=k1x+b(k1≠0 0≤x≤5 .∵线段AB过(0,10),(2,14),∴2 4 解得2∴线段AB的解析式为y=2x+ 0 0≤x≤5 .∵B在线段AB上,当x=5时,y=20,∴点B的坐标为(5,20).∴线段BC的解析式为y=20 5≤x≤ 0 .设双曲线CD段的解析式为y=2(k2≠0 0≤x≤24 ∵点C在线段BC上,∴点C的坐标为(10,20).又∵点C在双曲线y=2上,∴k2=200.∴双曲线CD段的解析式为y=200 0≤x≤24 .故y=2 0 05 20 5 0 200 024(2)由(1)知,恒温系统设定的恒定温度为20℃.(3)把y=10代入y=200中,解得x=20,∴20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.提分专练(四)二次函数小综合|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.[2019·南京]已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?|类型2| 二次函数与直线的综合2.[2019·苏州]如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C 为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.图T4-1|类型3| 二次函数与三角形的综合x+c(a≠0 的图象与y轴交于点A(0,4), 3.[2019·枣庄]如图T4-2①,已知二次函数y=ax2+2与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.x+c的表达式;(1)请直接写出二次函数y=ax2+2(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;(4)如图②,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN 面积最大时,求点N的坐标.图T4-2|类型4| 二次函数与平行四边形的综合4.[2019·恩施]如图T4-3,已知抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)P为坐标平面内一点,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.图T4-3|类型5| 二次函数与相似三角形的综合5.[2019·青海]如图T4-4,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.图T4-4(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t的函数关系式;(3)条件同(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.参考答案1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x 1=1,x 2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+ ≠ 即m ≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m 为何值,该函数的图象与x 轴总有公共点. (2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y 轴交点的纵坐标是2m+6. 当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方. 2.解:(1)由x 2-4=0解得x 1=2,x 2=-2.∵点A 位于点B 的左侧, ∴A (-2,0).∵直线y=x+m 经过点A , ∴-2+m=0, ∴m=2,∴D (0,2). ∴AD= 2 2=2 2.(2)∵新抛物线经过点D (0,2),∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x 2+bx+2, ∴y=x 2+bx+2=x+22+2-24.∵直线CC'平行于直线AD ,并且经过点C (0,-4), ∴直线CC'的函数表达式为y=x-4. ∴2-24=-2-4,整理得b 2-2b-24=0,解得b 1=-4,b 2=6.∴新抛物线对应的函数表达式为y=x 2-4x+2或y=x 2+6x+2.3.[解析] (1)根据待定系数法即可求得;(2)根据抛物线的表达式求得B 的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB 2=20,AC 2=80,BC=10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形;(3)分别以A ,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与x 轴交于三个点,由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点,即可求得点N 的坐标;(4)设点N 的坐标为(n ,0),则BN=n+2,过M 点作MD ⊥x 轴于点D ,根据三角形相似对应边成比例求得MD=25(n+2),然后根据S △AMN =S △ABN -S △BMN 得出关于n 的二次函数,根据函数表达式求解即可.解:(1)∵二次函数y=ax 2+2x+c 的图象与y 轴交于点A (0,4),与x 轴交于点B ,C ,点C 坐标为(8,0),∴ 4 64 2 0解得 -4 4∴抛物线表达式为y=- 4x 2+2x+4.(2)△ABC 是直角三角形.理由: 令y=0,则-4x 2+2x+4=0,解得x 1=8,x 2=-2,∴点B 的坐标为(-2,0).由已知可得,在Rt △ABO 中,AB 2=BO 2+AO 2=22+42=20, 在Rt △AOC 中,AC 2=AO 2+CO 2=42+82=80, 又∵BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC 中,AB 2+AC 2=20+80=102=BC 2, ∴△ABC 是直角三角形.(3)∵A (0,4),C (8,0),∴AC= 42 2=4 5.①以A 为圆心,以AC 长为半径作圆,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(-8,0);②以C 为圆心,以AC 长为半径作圆,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(8-4 5,0)或(8+4 5,0); ③作AC 的垂直平分线,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(3,0).综上,若点N 在x 轴上运动,当以点A ,N ,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点N 的坐标分别为(-8,0),(8-4 5,0),(3,0),(8+4 5,0).(4)设点N 的坐标为(n ,0),则BN=n+2,过M 点作MD ⊥x 轴于点D ,∴MD ∥OA , ∴△BMD ∽△BAO ,∴ =. ∵MN ∥AC , ∴ =, ∴ =. ∵OA=4,BC=10,BN=n+2, ∴MD=25(n+2). ∵S △AMN =S △ABN -S △BMN= 2BN ·OA-2BN ·MD =2(n+2)×4-2×25(n+2)2=- 5(n-3)2+5,∴当△AMN 面积最大时,N 点坐标为(3,0).4.解:(1)∵OC=2,OB=3,∴C (0,2),B (3,0).设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+2, 将A (-1,0),B (3,0)代入得2 0 2 0解得-24∴抛物线的解析式为y=-2x 2+4x+2.(2)∵D 为抛物线y=-2x 2+4x+2的顶点,∴D 1,. ∵C (0,2),B (3,0),∴①当四边形DCBP 1为平行四边形时,BP 1可由CD 平移得到,由点C 到点D 横坐标加1个单位,纵坐标加2个单位,得P 14,2;②当四边形DP 2CB 为平行四边形时,CP 2可由BD 平移得到,由点B 到点D 横坐标减2个单位,纵坐标加个单位,得P2-2, 4;③当四边形CP3BD 为平行四边形时,BP3可由DC平移得到,由点D到点C横坐标减1个单位,纵坐标减2个单位,得P32 -2.综上所述,当P的坐标为-2 4或2 -2或4 2时,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形.5.解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入解析式y=ax2+bx+c得,-00 2 解得-242∴抛物线的解析式为y=-2x2+4x+2.(2)连接AP,BP,∵P t,-2t2+4t+2,∴PD=-2t2+4t+2,又AB=4,∴S△ABP=2×4×-2t2+4t+2=-4t2+t+4(0<t<3).(3)①当△BOC∽△PDO时,=,∴2=-2242,3t=2-2t2+4t+2,4t2+t-12=0.∴t1=--(舍去),t2=-.∴P-,-6.②当△BOC∽△ODP时,=,∴2-2242=,2t=3-2t2+4t+2, t2-t-3=0.∴t1=-2(舍去),t2=2,∴P2,.综上所述,点P的坐标为-,-6或2,.提分专练(五)以全等三角形为背景的中档计算与证明|类型1| 全等三角形与等腰三角形结合1.[2019·镇江]如图T5-1,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若∠BAE= 0° 则∠ADC= °.图T5-12.[2019·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42° 求∠BDE的度数.图T5-23.[2019·嘉兴]已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.图T5-34.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-4|类型2| 全等三角形与直角三角形结合5.如图T5-5,在△ABC中,∠C= 0° AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B= 0° CD=1,求BD的长.图T5-5|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形结合6.已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD= 0° D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-67.如图T5-7,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD= 0° AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-78.问题:如图T5-8①,在Rt△ABC中,∠BAC= 0° AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转 0°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为.探索:如图T5-8②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.应用:如图T5-8③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.图T5-8参考答案1.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACF.在△ABE和△ACF中,∠∠∴△ABE≌△ACF.(2)75.2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.又∵在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.∠∠在△AEC和△BED中,∠∠∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°∴∠C=∠EDC=6 °∴∠BDE=∠C=6 °.3.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC= 0°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ∴∠ACB=∠DCE= 0°-2×50°= 0°AC=BC,DC=EC.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∠∠∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°∴∠ADC= 0°-∠CDE= 0°∴∠BEC= 0°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°∴∠AEB=∠BEC-∠CED= 0°-50°= 0°.5.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C= 0°∴∠ACD=∠AED= 0°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B= 0° ∠DEB= 0°∴BD=2DE=2.6.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∠ACB=∠ECD= 0°∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE= 0°∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,∠∠∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°= 0°∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.7.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC= 0°∴∠ABC=∠ACB=45° ∴∠ABF= 5°∵∠BCD= 0°∴∠ACD= 5°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,在△ABF和△ACD中,∠∠∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC,∵∠BAC= 0°∴∠EAB=∠BAC= 0°∴∠EAF=∠BAD,在△AEF和△ABD中,∠∠∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.8.解:问题:BC=EC+DC.∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC= 0°.又∵AD⊥AE,∴∠EAD= 0°.∴∠EAD-∠CAD=∠BAC-∠CAD.∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AE=AD,∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE,∴BC=EC+DC.探索:线段AD,BD,CD之间满足的关系是BD2+CD2=2AD2.证明:如图①,连接CE.∵∠BAC=∠BAD+∠DAC= 0°AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∵∠DAE=∠CAE+∠DAC= 0°∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,∠∠∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°.∴∠BCE=∠ACB+∠ACE= 0°.∴BD⊥CE.∵∠EAD= 0° AE=AD,∴ED=2AD.在Rt△ECD中,ED2=CE2+CD2,∴BD2+CD2=2AD2.应用:如图②,作AE⊥AD于点A,交DC的延长线于点E,连接BE.∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45° ∠EAD= 0°∴∠BAC= 0° AB=AC,AE=AD.∴ED=2AD.由“探索”的证明可知,BE=CD,BE⊥CD.在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2.∴2AD2=BD2-CD2.∵BD=9,CD=3,∴2AD2=92-32=72.∴AD=6(负值舍去).提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算与证明|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2019·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.[2019·通辽]如图T6-2,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.图T6-3(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2019·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD= 0° E为AD的中点,连接BE.图T6-4(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.5.[2019·南宁]如图T6-5,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.图T6-5(1)求证:▱ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2019·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.图T6-6(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.7.[2019·遵义]如图T6-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF= 0° OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T6-78.[2019·北京]如图T6-8,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.图T6-8(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°∵∠CDE= 0°∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB.(2)四边形ADCF是矩形.证明:∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴AF=BD,∴BD=CD,即AD是△ABC的中线,又∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC= 0°.∴四边形ADCF是矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE= 0°∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD= 0° AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,2∴∠ADB= 0° ∴∠DAC=∠BAD= 0° ∠ADC=2∠ADB=60°.2∴∠ACD= 0°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD= 0°又∵BE=DF ,∴△AEB ≌△AFD (ASA). ∴AB=AD ,∴四边形ABCD 是菱形.(2)如图,连接BD 交AC 于点O.由(1)知四边形ABCD 是菱形,AC=6,∴AC ⊥BD ,AO=OC= 2AC=2×6=3, ∵AB=5,AO=3,∴在Rt △AOB 中,BO= 2- 2= 52- 2=4, ∴BD=2BO=8,∴S ▱ABCD =2AC ·BD=2×6×8=24.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABD=45° ∠ADB=45° AB=AD. ∴∠ABE=∠ADF= 5°.又∵BE=DF ,∴△ABE ≌△ADF (SAS). (2)四边形AECF 是菱形. 理由:连接AC 交BD 于点O ,图略. 则AC ⊥BD ,OA=OC ,OB=OD. 又∵BE=DF ,∴OE=OF ,∴四边形AECF 是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD 中,AC=BD ,OA=2AC ,OB=OD=2BD ,所以OA=OB=OD ,因为AC ⊥BD ,所以∠AOB=∠AOD= 0° 所以∠OAD=∠OBA=45° 所以∠OAM=∠OBN ,又因为∠EOF= 0° 所以∠AOM=∠BON ,所以△AOM ≌△BON ,所以OM=ON.(2)如图,过点O 作OP ⊥AB 于P ,所以∠OPA= 0° ∠OPA=∠MAE ,因为E 为OM 中点,所以OE=ME ,又因为∠AEM=∠PEO ,所以△AEM ≌△PEO ,所以AE=EP ,因为OA=OB ,OP ⊥AB ,所以AP=BP=2AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45° 所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE=22=5,所以OM=2OE=25,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=2OM=2 0.8.解:(1)证明:连接DF,如图:∵点A关于直线DE的对称点为F,∴DA=DF,∠DFE=∠A= 0°.∴∠DFG= 0°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG= 0°.又∵DG=DG,∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).∴GF=GC.(2)如图,在AD上取点P,使AP=AE,连接PE,则BE=DP.由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC= 0° 得2∠2+2∠3= 0°∴∠EDH=45°.又∵EH⊥DE,∴△DEH是等腰直角三角形.∴DE=EH.∵∠1+∠AED=∠5+∠AED= 0°∴∠1=∠5.∴△DPE≌△EBH(SAS).∴PE=BH.∵△PAE是等腰直角三角形,从而PE=2AE.∴BH=2AE.提分专练(七)切线的性质与判定|类型1| 切线的性质1.[2019·沈阳]如图T7-1,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.图T7-1(1)若∠ADE=25° 求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.2.[2019·随州]如图T7-2,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=45,求MC的长.。

专题提升(二) 代数式的化简与求值类型之一 整式的化简与求值 【经典母题】已知x ＋y ＝3，xy ＝1，你能求出x 2＋y 2的值吗？(x －y)2呢？ 解：x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝32－2×1＝7； (x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝32－4×1＝5.【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b)2＋(a －b)2＝2(a 2＋b 2)，(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab ，a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ，在四个量a ＋b ，a －b ，ab 和a 2＋b 2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量． 【中考变形】1．已知(m －n)2＝8，(m ＋n)2＝2，则m 2＋n 2的值为 ( C )A ．10B ．6C ．5D ．32．已知实数a 满足a －1a ＝3，则a 2＋1a2的值为__11__.【解析】 将a －1a ＝3两边平方，可得a 2－2＋1a 2＝9，即a 2＋1a 2＝11.3．[2019·重庆B 卷]计算：(x ＋y)2－x(2y －x)． 解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.4．[2019·漳州]先化简(a ＋1)(a －1)＋a(1－a)－a ，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a 的取值有什么关系(不必说明理由)? 解：原式＝a 2－1＋a －a 2－a ＝－1. 故该代数式的值与a 的取值没有关系． 【中考预测】先化简，再求值：(a －b)2＋a(2b －a)，其中a ＝－12，b ＝3.解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2. 当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9.类型之二 分式的化简与求值 【经典母题】计算：(1)a b －b a －a 2＋b2ab；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a；(2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x＝2x ＋8.【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简； (4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别． 【中考变形】1．[2019·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －12．[2019·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x ，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23.【中考预测】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2. 类型之三 二次根式的化简与求值 【经典母题】已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值． 解：∵a＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1， ∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b)2－3ab ＝(23)2－3＝9.【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．【中考变形】1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为 ( C )A ．9B ．±3C ．3D ．52．[2019·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1. 解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－aba ＋b ，当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24.3．[2019·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷y x －2y，其中x ＝22，y ＝ 2.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷y x －2y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷y x －2y＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y.当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋b a （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12.解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋bab ，∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1， ∴原式＝ 5.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交☉O于点D，连接CD.若∠A=30°，PC=6,则CD的长为()A B C．3 D．2．在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点是( )A.点DB.点CC.点BD.点A3．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC，下列判断正确的有（）①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④EC；A.1个B.2个C.3个D.4个4．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，1 2AO DOBO CO==，则容器的内径是( )A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm5．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m 、n 上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）A.35°B.30°C.25°D.55°6．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（ ） A.20元B.42元C.44元D.46元7．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）A.B.C. D.8．如图，在Rt ABC ∆中，BM 平分ABC ∠交AC 于点M ，过点M 作//MN AB 交BC 于点N ，且MN 平分BMC ∠，若1CN =，则AB 的长为( )A ．4B ．C ．D ．69．如图，矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BD 交AF 于H ，，且tan ∠AH 的长为（ ）A ．3B ．C ．10D ．510．如图，在△ABC 中，AC 和BC 的垂直平分线l 1和l 2分别交AB 于点D 、E ，若AD ＝3，DE ＝4，EB ＝5，则S △ABC 等于( )A ．36B ．24C ．18D ．1211．2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34200000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34200000用科学记数法表示为( ) A ．80.34210⨯B ．73.4210⨯C ．83.4210⨯D ．634.210⨯12．若一元二次方程26-0x kx +=的一个根是2x =，则原方程的另一个根是（ ） A ．3x = B ．3x =-C ．4x =D ．4x =-二、填空题13．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为__．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5，则EF 的长为________．15．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，延长BC 到点D ，则∠ACD ＝______°.16．化简(21++的结果为_____.17．﹣12018﹣1)0＝_____．18．如图，直线l 1与l 2相交于点O ，OM ⊥l 1，若α＝52°，则β的度数是_____度．三、解答题19．已知：点D 是△ABC 边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E 、F ． （1）若∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，求证：△BFD ≌△CED ． （2）若∠B+∠C ＝90°，求证：四边形AEDF 是矩形．20．计算：0）﹣121．（1（﹣1）2﹣20190 （2）化简：（a+2）2﹣a （a ﹣3）22．如图，ABC ∆的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.（1）在图1中画出AB 边上的中线CD ； （2）在图2中画出ABEF Y ，使得ABEFABC SS ∆=.23．九年级(1)班和(2)班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔. (1)若从报名的4名学生中随机选出1名，则所选的这名学生是女生的概率是____；(2)若从报名的4名学生中随机选出2名，用画树状图或列表的方法写出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率.24．某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收150元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印刷费，不收制版费．设在同一家印刷厂一次印制数量为x 份(x 为正整数)． (1)根据题意，填写下表：(2)在印刷品数量大于800份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？ 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与直线3y =x 32-交于点(0,3)C -，直线3y =x 32-与x 轴交于点D ． (1)求该抛物线的解析式．(2)点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当PCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标． (3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l上存在使sin BEO∠最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．2 714．515．8016．317．018．38三、解答题19．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△BFD≌△CED；（2）由三角形内角和定理可得∠A＝90°，由三个角是直角的四边形是矩形可判定四边形AEDF是矩形．【详解】（1）∵点D是△ABC边BC上的中点∴BD＝CD又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F∴∠BFD＝∠DEC＝90°∵BD＝CD，∠BFD＝∠DEC，BF＝CE∴△BFD≌△CED（SAS）（2）∵∠B+∠C＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A＝90°∵∠BFD ＝∠DEC ＝90° ∴∠A ＝∠BFD ＝∠DEC ＝90° ∴四边形AEDF 是矩形. 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练运用矩形的判定是本题的关键．20【解析】 【分析】将原式中每一项分别化为11+再进行化简． 【详解】解：原式＝11+= 【点睛】本题考查实数的运算；熟练掌握运算性质，绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．21．（1）（2）7a+4． 【解析】 【分析】（1）先算二次根式、平方、零指数幂，再算加减法即可求解； （2）先算完全平方公式、单项式乘多项式，再合并同类项即可求解． 【详解】（120(1)2019--11=-=；（2）2(2)(3)a a a +--22443a a a a =++-+＝7a+4． 【点睛】考查了实数的运算，关键是熟练掌握二次根式、平方、零指数幂、完全平方公式、单项式乘多项式，合并同类项的计算法则．22．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质得出AB 的中点，进而得出答案．（2）利用矩形的性质得出AC 、BC 的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等. 【详解】（1）如图所示：CD 即为所求.（2）【点睛】本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键． 23．(1)12；(2)13. 【解析】 【分析】(1)直接利用概率公式计算即得.(2)先画出树状图，得出共有12种等可能的结果，选出的2名学生来自同一个班级的结果有4种 ，然后利用概率公式计算即得. 【详解】(1)一共有4名同学，其中两个为女生，故女生的概率为=12(2)解：画树状图如图.∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生来自同一个班级的结果有4种， ∴这2名学生来自同一个班级的概率为412=13. 【点睛】此题考查列表法与树状图法，概率公式 ，解题关键在于利用概率公式进行计算24．(1)160，25，170，50，x+150，2.5x ；(2)当800x >时，有0y <，选择甲印刷厂更合算． 【解析】 【分析】（1）根据两家印刷厂的收费标准分别计算即可；（2）设在甲印刷制收费1y 元，在乙印刷厂印制收费2y 元，1y 与2y 的差为y 元．可得出y 关于x 的解析式，先求出两家印刷厂收费相等时x 的值，再根据一次函数的性质解答即可. 【详解】 填表如下：(2)设在甲印刷制收费1y 元，在乙印刷厂印制收费2y 元，1y 与2y 的差为y 元． 则()150 2.5y x x =+-，即 1.5150y x =-+． 当0y =时，即 1.51500x -+=，得100x =．∴当100x =时，选择这两家印刷厂一样合算两家印刷厂． ∵ 1.50-<，∴y 随x 的增大而减小．∴当800x >时，有0y <，选择甲印刷厂更合算． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.25．（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣815）；（3）点E 的坐标为（﹣2，2，﹣）. 【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x+2）（x-4）=a （x 2-2x-8），即可求解； （2）由S △PCD =S △PDO +S △PCO -S △OCD ，即可求解；（3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x+2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8）， 即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38，则函数的表达式为：233384y x x =--； （2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），连接OP ，设点P （x ，233384x x --）， S △PCD ＝S △PDO +S △PCO ﹣S △OCD ＝22133113272(3)323(3)2842288x x x x ⨯-+++⨯⨯-⨯⨯=--+， ∵﹣38＜0，∴S △PCD 有最大值， 此时点P （3，﹣815）； （3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，过圆心F 作HF ⊥x 轴于点H ，则OH ＝12OB ＝2＝OA ，OF ＝EF ＝4，∴HF ＝E 的坐标为（﹣2，﹣）；同样当点E 在x 轴的上方时，其坐标为（﹣2，）；故点E 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识，三角函数等，其中（3），正确确定点E 的位置，是本题的难点．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣42．统计数据显示，2018年绍兴市进出口贸易总额达2200亿元，其中2200亿元用科学记数法表示为（）A．2.2×103元B．22×108元C．2.2×1011元D．0.22×1012元3．下列命题是真命题的是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．在实数﹣2，|﹣2|，(﹣2)0，0中，最大的数是( )A．﹣2 B．|﹣2| C．(﹣2)0D．05．一元二次方程﹣x2+2x＝﹣1的两个实数根为α，β，则α+β+α•β的值为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣16．给出下列各式：①（﹣2）0＝1；②（a+b）2＝a2+b2；③（﹣3ab3）2＝9a2b6；④-21-3⎛⎫⎪⎝⎭＝9，其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④7．若数组2，2，x，3，4的平均数为3，则这组数中的（）A．x=3 B．中位数为3 C．众数为3 D．中位数为x8．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF∥BC，EF与AB、CD分别相交于点E、F，则△DOF的面积与△BOA的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：169．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C,分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD、CD,得到的四边形ABCD是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形10．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．下列计算正确的是（ ） A ．2242a a a ⋅=B ．236()a a -=-C ．222363a a a -=D ．22(2)4a a -=-12．如图直线y ＝mx 与双曲线y=kx交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝15，E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处，点P 是线段CB 延长线上的动点，连接PA ，若△PAF 是等腰三角形，则PB 的长为____．14．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，根据如图所反映的规律，猜想第n 个图形中火柴棒的根数是_____（n 是正整数且n≥1）．15．（3分）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．16．已知：Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，将△AMN 沿直线MN 折叠，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上，当△PNC 为直角三角形时，PN 的长为_____．17．一元二次方程x2-2x=0的解是_______.18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为_____．三、解答题19．今有鸡兔同笼，上有二十八头，下有七十八足．问鸡兔各几何？试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．20．随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且只选其中一种你最喜欢的付款方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．22．先化简，再求值22122()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足x2+x﹣1＝0．23．某校九（1）班开展数学活动，李明和张华两位同学合作用测角仪测量学校旗杆的高度，李明站在B 点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，张华站在D（D点在直线FB上）测得旗杆顶端E点仰角为15°，已知李明和张华相距（BD）30米，李明的身高（AB）1.6米，张华的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）24．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝时，求圆中阴影部分的周长．25．某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？(2)若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6或9或12.5． 14．3n+1 15．x≥1． 16．209或20717．120,2x x == 18．13124π-三、解答题19．鸡有17只，兔有11只． 【解析】 【分析】设鸡有x 只，兔有y 只，根据鸡和兔共有28只头和78条腿，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设鸡有x 只，兔有y 只，依题意，得：282478x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1711x y =⎧⎨=⎩．答：鸡有17只，兔有11只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．(1) 200；72°；(2)见解析；（3）13【解析】 【分析】（1）用选用“微信”、“支付宝”、“银行卡”的人数总和除以它们所占的百分比得到调查的总人数；用选用支付宝的人数的百分比乘以360度得到在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数；（2）分别计算出选用微信、银行卡的人数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种付款方式的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】解：（1）（50+45+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200， 所以这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数＝360°×40200＝72°；故答案为200；90°；（2）如图，使用微信支付的人数：200×30%＝60（人）使用银行卡支付的人数：200×15%＝30（人），（3）画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一种付款方式的结果数为3，所以两人恰好选择同一种付款方式的概率＝39＝13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（1）详见解析；（2）当DE＝12BC时，四边形BECF是正方形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BF=CE，DE=DF，推出四边形BECF是平行四边形，得到四边形BECF是菱形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）解：当DE＝12BC时，四边形BECF是正方形，理由：∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF 是平行四边形， ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴四边形BECF 是菱形， ∵DE ＝12BC ，DE ＝DF ＝12EF ， ∴EF ＝BC ，∴四边形BECF 是正方形 【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 22．21xx-,1. 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案. 【详解】解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x---=-+210x x +﹣＝， 21x x ∴＝﹣， ∴原式＝1， 【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题关键. 23．旗杆的高EF 为12.9米. 【解析】 【分析】过点A 作AM ⊥EF 于M ，过点C 作CN ⊥EF 于N ，则MN=0.15m ．由李明站在B 点测得旗杆顶端E 点的仰角为45°，可得△AEM 是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME ，设AM=ME=xm ，则CN=（x+30）m ，EN=（x-0.15）m ．在Rt △CEN 中，由tan ∠ECN=ENCN，代入CN 、EN 解方程求出x 的值，继而可求得旗杆的高EF ． 【详解】过点A 作AM ⊥EF 于M ，过点C 作CN ⊥EF 于N ， ∵AB=1.6，CD=1.75， ∴MN=0.15m ， ∵∠EAM=45°， ∴AM=ME ， 设AM=ME=xm ，则CN=（x+30）m ，EN=（x-0.15）m ， ∵∠ECN=15°，∴tan ∠ECN=EN CN =0.1530x x -+， 即0.1530x x -+≈0.27，解得：x≈11.3，则EF=EM+MF≈11.3+1.6=12.9（m ），答：旗杆的高EF 为12.9米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．24．（1）①BC ＝BD ；②OF ∥BC ；③∠BCD ＝∠A ；④△BCE ∽△OAF ；⑤BC 2＝BE•AB；⑥BC 2＝CE 2+BE 2；⑦△ABC 是直角三角形；⑧△BCD 是等腰三角形；（2）周长为43π【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，平行线判定，相似三角形的性质与判定等知识即可得出答案. （2）根据弧长公式即可求出答案. 【详解】解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC ＝BD ；②OF ∥BC ；③∠BCD ＝∠A ；④△BCE ∽△OAF ；⑤BC 2＝BE•AB； ⑥BC 2＝CE 2+BE 2；⑦△ABC 是直角三角形；⑧△BCD 是等腰三角形．（2）∵CD ＝，∴CE ∵∠D ＝∠A ＝30°，∴AC ＝AB ＝4， ∴120241803AC ππ⨯== ，∴周长为：43π【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，需要学生灵活运用所学知识.25．(1)甲工厂每天可以加工生产30件新产品，乙工厂每天可以加工生产20件新产品；(2)至少应安排甲工厂加工生产12天．【解析】【分析】（1）设乙工厂每天可以加工生产x件新产品，则甲工厂每天可以加工生产1.5x件新产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲工厂加工生产m天，则安排乙工厂加工生产（28-1.5m）天，根据总费用=3×甲工厂加工生产的天数+2.4×乙工厂加工生产的天数结合总成本不超过60万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】(1)设乙工厂每天可以加工生产x件新产品，则甲工厂每天可以加工生产1.5x件新产品，依题意，得：24024041.5x x-=，解得：x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．答：甲工厂每天可以加工生产30件新产品，乙工厂每天可以加工生产20件新产品．(2)设安排甲工厂加工生产m天，则安排乙工厂加工生产(28﹣1.5m)天，依题意，得：3m+2.4(28﹣1.5m)≤60，解得：m≥12．答：至少应安排甲工厂加工生产12天．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．。

2018 初三中考数学复习 实数的运算与代数式的化简 专项训练题1. 在实数0，π，227，2，－9中，无理数的个数为( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列运算结果为正数的是( A ) A ．(－3)2 B ．－3÷2 C ．0×(－2 017) D ．2－33．下列运算正确的是( C )A ．a 0＝0B ．a 2＋a 3＝a 5C ．a 2·a －1＝a D.1a ＋1b ＝1a ＋b4. 近似数5.0×102精确到( C )A ．十分位B ．个位C ．十位D ．百位5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a －b ）2的结果是( A )A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b6．下列计算正确的是( D )A.x 2y 2＝x y (y≠0) B ．xy 2÷12y＝2xy(y≠0) C ．2x ＋3y ＝5xy (x≥0，y ≥0) D ．(xy 3)2＝x 2y 67．计算(x ＋1)(x ＋2)的结果为( B )A ．x 2＋2B ．x 2＋3x ＋2C ．x 2＋3x ＋3D ．x 2＋2x ＋28．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( A )A ．－4和－3之间B ．3和4之间C ．－5和－4之间D ．4和5之间9．已知x ＋1x ＝3，则下列三个等式：①x 2＋1x 2＝7；②x－1x＝5；③2x 2－6x ＝－2中，正确的个数有( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10. 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是( B )A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．Φ44.98D ．Φ45.0111．使12n 是整数的最小正整数n ＝__3__．12．已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a ＋b__>__0.(填“>”“<”或“＝”)13．我们规定“⊗”的意义是：当a>b 时，a ⊗b ＝a ＋b ；当a≤b 时，a ⊗b ＝a －b ，其他运算符号意义不变，按上述规定(3⊗1)－(3⊗2)＝__3__.14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、图②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__ab__(用含a ，b 的代数式表示)．15．如图所示，已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，且C 在B 的右侧．点A ，B 表示的数分别是1，3若BC ＝2AB ，则点C 表示的数是___7___．16．计算：|－2|＋3－8－(－1)2 017.解：原式＝2－2＋1＝1.17计算：2 0170－|1－2|＋(13)－1＋2cos45°. 解：原式＝1－2＋1＋3＋2×22＝5－2＋2＝5. 18．计算：(x －y)2－(x －2y)(x ＋y)．解：原式＝－xy ＋3y 2.19. 化简：(x －5＋16x ＋3)÷x －1x 2－9. 解：原式＝x 2－4x ＋3.20．化简x 2－2x ＋1x 2－1÷(x －1x ＋1－x ＋1)． 解：x 2－2x ＋1x 2－1÷(x －1x ＋1－x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷x －1－（x －1）（x ＋1）x ＋1＝x －1x ＋1·x ＋1x －1－x 2＋1＝x －1－x （x －1）＝－1x.。

专题一 数与式中考要求：实数：借助数轴理解相反数、倒数、绝对值的意义及性质;掌握实数的分类、大小比较及混合运算;会用科学记数法、有效数字、精确度确定一个数的近似值;能用有理数估计一个无理数的大致范围.代数式：了解整式、分式、二次根式、最简二次根式的概念及意义; 会用提公因式法、公式法对整式进行因式分解; 理解平方根、算术平方根、立方根的意义及其性质; 根据整式、分式、二次根式的运算法则进行化简、求值.考查方式：本专题内容在中考中涉及数轴、相反数、绝对值等概念，多以填空题、选择题的形式出现. 科学记数法、近似数和有效数字往往与生产生活及科技领域中的实际问题相联系，具有较强的应用性，是中考的热点. 关于代数式的概念与运算，往往是单独命题，试题以填空题、选择题及计算题的形式出现，试题难度为中、低档. 试题设计有的带有开放探索性，覆盖面广，常常以大容量、小综合的形式考查灵活运用知识的能力.备考策略：1. 夯实基础，理清考点.2. 对课本中的典型和重点题目做变式、延伸.3. 注意一些跨学科的常识，加强学科整合.4. 关注中考的新题型.5. 关注课程标准中新增的目标.6. 探究性试题的复习步骤:（1）纯数字的规律探索.（2）结合平面图形探索规律.（3）结合空间图形探索规律，（4）探索规律方法的总结.第1课时 实数的概念课时核心问题：数系的扩张及实数相关概念的理解应用. 聚焦考点☆温习理解一、实数1. 有理数： ，它包括 、 .2. 无理数： .3. 实数及分类：注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如π23+等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等. 二、绝对值一个数的绝对值指的是表示.几何意义：一般地，数轴上表示叫做数a 的绝对值，记作|a |.代数意义：（1）正数的绝对值是 ；（2）负数的绝对值是 ；（3）零的绝对值是 .也可以写成：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩.说明：（1）|a |≥0，即|a |是一个非负数；（2）|a |概念中蕴含分类讨论思想；（3）“| |”有括号的作用.三、相反数叫做互为相反数. 零的相反数是零.从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0, 反之也成立.四、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab ＝1，反之亦成立. 倒数等于本身的数是1和1-. 零没有倒数.五、平方根如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 正数a的平方根记作“”.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.1.(0) ||(0)a aaa a⎧==⎨-<⎩≥.2.与2的联系：3.0)<0)aa>=⎩.六、立方根如果一个数的立方等于a, 那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.注意：（1）=，说明三次根号内的负号可以移到根号外面；（2）＝3.典例解析考点一、实数的分类【例1】下列实数是无理数的是（）.B. 1C. 0D.1-听课记录：【举一反三】1.下列四个实数中，是无理数的是（）.A. 0B. 3-D.3112. 下列选项中，属于无理数的是（）.A. 2B. πC. 32D. 2-3. 下列各数：227，π，cos60︒，0，，其中无理数的个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 4考点二、绝对值【例2】|2|-等于（）.A. 2B. 2-C.12D.12-听课记录：【举一反三】2的绝对值是（）.A. ±2B. 2C. 12D. 2-考点三、相反数【例3】5的相反数是（）.A. 5B. 5-C. 15D.15-听课记录：【举一反三】1. 2014的相反数是（）.A. 2014B. 2014-C.12014D.12014-2.15-的相反数是（）.A. 15B.15-C. 5D. 5-考点四、倒数【例4】12-的倒数是（）.A. B.C. D. 听课记录：【举一反三】1. 12的倒数是（）.A. 2B. 2-C. 12D. 12- 2. 14-的倒数是（ ）. A. －4B. 4C. 14D. 14- 考点五、平方根【例5】得（ ）.A. 100B. 10C.D. 10± 听课记录：【举一反三】1. 一个数的算术平方根是2，则这个数是 .2. 的平方根是 .3. 若2y =，则()y x y +＝ .4. 若实数x , y 满足|4|0x -=，则以x , y 的值为等腰三角形的周长为 .5. 若1a <1-= .6. 2210b b ++=，则221||a b a +-= .7. 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 .第2课时 实数的计算课时核心问题：实数的灵活运算.聚焦考点☆温习理解一、实数大小的比较1. 数轴：规定了、、的直线叫做数轴. （画数轴时要注意上述三要素缺一不可）解题时要真正掌握数形结合思想，理解实数与数轴上的点是一一对应的，并且能灵活运用.2. 实数大小比较的几种常见方法.（1）数轴比较：数轴上的点所表示的数在右边的总比左边的大；（2）求差比较：设a, b为实数，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.（3）求商比较：设a, b为两正实数，有a＞1⇔a＞b；ba＜1⇔a＜b；ba＝1⇔a＝b.b（4）绝对值比较法：设a, b为两负实数，则a a b>⇔<.b（5）平方比较法：设a，b为两负实数，则22a b a b >⇔<.二、科学计数法和近似数1. 有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字.2. 科学计数法：把一个数写成10n a ±⨯的形式，其中110a <≤，n 是整数，这种计数法叫做科学计数法.三、实数的运算1. 加法交换律：a b b a +=+.2. 加法结合律：()()a b c a b c ++=++.3. 乘法交换律：ab ba =.4. 乘法结合律：()()ab c a bc =.5. 乘法对加法的分配律：()a b c ab ac +=+.6. 实数的运算顺序：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的. 典例解析考点一、实数的大小比较【例1】下列各数中，最大的数是（ ）.A. 0B. 2C.2-D.12- 听课记录：【举一反三】1. 下列各数中，最小的数是（）.A. 0B. 1 3C.13- D.3-2. 在数1,0,1,2--中，最小的数是（）.A. 1B. 0C. 1-D. 2-考点二、科学计数法与近似值【例2】“着力扩大投资，突破重点项目建设”是遵义经济社会发展的主要任务之一．据统计，遵义市2014年全社会固定资产投资达1762亿元，“1762亿”这个数用科学计数法表示为（）.A. 1762×108B. 1.762×1010C. 1.762×1011D. 1.762×1012听课记录：【举一反三】1. 据统计，2015年河南省旅游业总收入达到3875.5亿元. 若将“3875.5亿”用科学计数法表示为3.8755×10n，则n等于（）.A. 10B. 11C. 12D. 132. 将6.18×10－3化为小数是（ ）.A. 0.000618B. 0.00618C. 0.0618D. 0.6183. 20140000用科学计数法表示（保留3位有效数字）为 .考点三、实数的运算【例3】计算：201(π2014)sin 6023-⎛⎫+-+︒ ⎪⎝⎭．听课记录：【举一反三】1. 计算：2(2)(3)2-+-⨯．2. 2014(1)2sin 45--︒+-3. 计算：1011)23-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．第3课时整 式 课时核心问题：整式的相关概念及运算.聚焦考点☆温习理解一、单项式1. 代数式.用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 单独的一个数或一个字母也是代数式.2. 单项式.只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示. 例如，2143a b -就是错误的，应写成2133a b -. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如325a b c -是6次单项式.二、多项式1. 多项式.几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数为多项式的次数.统称为整式.用数值代替代数式中的字母，按照代数式指出的运算计算出的代数式的结果，叫做求代数式的值.注意：（1）求代数式的值，一般先化简再代入.（2）求代数式的值，有时求不出具体字母的值，此时需要利用技巧“整体”代入求值.2. 同类项.所含 ，并且 的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项.3. 去括号法则：（1）括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都.（2）括号前是“－”，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都.三、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项.1. 幂的运算法则：（1）同底数幂相乘：m n m n⋅=(m, n都是整数，a≠0).a a a+（2）幂的乘方：()m n mn=(m, n都是整数，a≠0).a a（3）积的乘方：=⋅(n是整数，a≠0, b≠0).()n n nab a b（4）同底数幂相除：m n m n÷=(m, n都是整数，a≠0).a a a-2. 整式乘法.（1）单项式与单项式相乘，把作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. （2）单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb.（3）多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.3. 乘法公式.（1）平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.（2）完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．4. 整式的除法：（1）单项式除以单项式：法则：（2）多项式除以单项式：法则：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式.（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项.（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式.（6）011(0),(0,)p pa a a a p a -=≠=≠为正数. （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 单项式除以多项式是不能这么计算的. 典例解析考点一、整式的加减运算【例1】下列计算正确的是（ ）.A. 2x －x ＝xB. 326a a a ⋅=C. (a －b )2＝a 2－b 2D. (a ＋b )(a －b )＝a 2＋b 2听课记录：【举一反三】已知x 2－2＝y ，则x (x －3y )＋y (3x －1)－2的值是（）. A.2- B. 0C. 2D. 4考点二、同类项的概念及合并同类项【例2】下列各式中，与2a 是同类项的是（ ）.A. 3aB. 2abC. 23a -D. a 2b听课记录：【举一反三】下列运算正确的是（ ）.A. 2323a a a +=B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a =考点三、幂的运算【例3】下列运算正确的是（ ）.A. 33a a a ⋅=B. 33()ab a b =C. 326()a a =D. 842a a a ÷=听课记录：【举一反三】1. 计算：2()ab 的结果是（ ）.A. 2abB. a 2bC. a 2b 2D. ab 22. 计算：63m m ⋅的结果是（ ）.A. m 18B. m 9C. m 3D. m 2考点四、整式的乘除法.【例4】计算：23(2)()a a ⋅-=.A. 312a -B. 36a -C. 12a 3D. 6a 2【例5】计算：2x (3x 2＋1)，正确的结果是（）. A. 5x 3＋2x B. 6x 3＋1C. 6x 3＋2xD. 6x 2＋2x听课记录：【举一反三】1. 下列计算正确的是（ ）.A. 4416x x x ⋅=B. 325()a a =C. 236()ab ab =D. 23a a a +=2. 下列运算正确的是（ ）. A. 2323a a a += B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a = 考点五、整式的混合运算及求值【例6】先化简，再求值：2(3)()()a a b a b a a b -++--，其中11,2a b ==-. 听课记录：【举一反三】1. 下列计算中，正确的是（ ）.A. 235a b ab +=B. 326(3)6a a =C. 623a a a ÷=D. 32a a a -+=-2. 下列运算正确的是（ ）. A. (m ＋n )2＝m 2＋n 2B. (x 3)2＝x 5C. 5x －2x ＝3D. (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 23. 下列计算正确的是（ ）.A. (2a 2)4＝8a 6B. a 3＋a ＝a 4C. a 2÷a ＝aD. (a －b )2＝a 2－b 24. 化简：2()()()2a b a b a b ab ++-+-.5. 化简：2(1)2(1)a a ++-.6. 已知x (x ＋3)＝1，求代数式2x 2＋6x －5的值为 ．7. 先化简，再求值：(x ＋1)(2x －1)－(x －3)2，其中2x =-.。