代数式的化简与求值

2019-2020年七年级上册代数式的化简求值问题典型例题（含答案）一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值例2．x =-2时，代数式的值为8，求当x =2时，代数式的值。

分析： 因为当x=-2时， 得到，所以146822235-=--=++c b a当x=2时，=206)14(622235-=--=-++c b a例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 整体代人，代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4． 已知，求的值.分析：解法一（整体代人）：由 得所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

第十讲代数式的化简与求值趣题引路】如图10-1所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点" + b + c + 〃 + *(e+ /" + &+力)</ + Z> + c + J- i(e + / + g + 〃)解答如下：-a=d + h + e , b=a + c+ f , J + 宀, d=a + c + h.3 3 3 32(a + b + c + d) + (e + f + g +力)/• a+b+e= ------------------ --------------------- .3设a+b+c+cl=/n, e+f+g+h=n ・• a. , . 2m + n■ ■ a+b+c+d= -----3. 2/n + n..m= ---------- ,3m=n.即a+b+c+d=e+f+g+h ・知识拓展】1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，苴中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.2.对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：（1）因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；（2）运算律，适当运用运算律，也有助于化简；（3）换元、配方、待定系数法、倒数法等；（4）有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.例1已知x=4-d,求"f—X+lh+T的值. x— 8x + 15处的数字的平均数，则代数式a + h + c + cl + ^(e+ f + f* + h)a + h + c + d --(e+ f + g+h)3 32m - n 32 3m一n2m -m 3 3-------- x --------- =—2 3m - m 4应填扌.图10-1解析：由已知得(x—4尸=3,即A2—8x+13=0.所以兀** - 6A?— 2f +1 8A' + 23 _ x2 (x"— 8x + 13) + 2x(才—8x +13) + (A*~— 8x + 13) + 10 _ 10 _、F x2-8x + 15 (X2-8X +13)+2 込—…点评：本题使用了整体代换的作法.例2已知A+Y+Z=3. (^),求匕上空学二遊二岀£2竺凹的值. (x-6/f+(y-t/f+(z-6/f解析：分式的分子、分母是轮换对称形式，可考虑用换元法.解：由x+y+z=3e 得(x—a)(y—a)(z~a)=0.设x—“=〃】, y—a=n> z~a—p>贝0 m+n+p=0・•••" = — (〃？+〃)・•『i 弋—mn + n P + m P —mn + P(m + n) —nm一(m + n)2_ -m2一mn一n2_1八m2 + n2 + p2 nf + n2 + p2 nr + n2 + (m + n)2 2(nr + mn + n2) 2 *点评：实际上，本例有巧妙的解法，将〃?+”+" = 0两边平方，得加2 + "2+卩2=一2(”山+ " + 〃初，.・.mn + np + mp _1m2 +n2 + 2 "例 3 已知" + i = + 求（“ + 〃）（/+、）（「+ “）的值.c b a abc解析：对于分式等式，如岀现两个（或两个）以上的等于号，可设为一个字母为h解：设c^b-c =a-b + c = -a + b + c=k cb aa + b-c = ck,① < a —b +c = bk 9 (^)-a + b + c = ak・③① + ②+③，得：R("+b+e)="+b+c・当“+b+e0 时，k=l,此时a+b=2c,“+c=2b, b+c=2a・.(a + h)(b + c)(c + a) _ 2a ■ 21} ■ 2cabc abc当“+〃+c=0 时♦“ + b= —Ct a + c= —b,〃+c= —a.・・.原式=(-“)•(如p)=_l.abc点评：注意本例须按a+h+c等于零和不等于零两种情况进行讨论.例4 已知“+b+c=l, a2-\-b2+c2=2. a3+b3+c3=39求(1) “be 的值;(2) a4+b4-^c4的值. 解析：•••以+胪+5=2, ：•(“+b+c)2—2(ab+be+ca)=2.A ab-¥bc~i rca = ——•2又•••帀+沪+"=3,(“+b+c)(</2+b2-\-c2— ab—be—ca) + 3abc=3 ・:.1x(2+ —)+3“bc=3・2:.abc=-,即"c的值为丄.6 6又•: a4+沪+c4=(a2+护+c2)2—2(crb2+b2c2+c2a2)=4 —2[(ab+be+ca)2—2abc{a + 方+c)]=4—2(丄4 cl ix 25—2x- xl)=—・6 6•••/+戸+疋的值为色.6点评：这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场：第一次提价的百分率为"，第二次提价的百分率为b：乙商场：两次提价的百分率都是⑺(">0, 2 b>0);丙商场：第一次提价的百分率为几第二次提价的百分率为"，则提价最多的商场是( )A.甲B.乙C•.丙 D.不能确定解析用代数式表示三个商场提价后的价格，再比较大小.解：(1)甲商场两次提价后，价格为(l+“)(l+b)=l+“+b+“b.(2)乙商场两次提价后，价格为(1 + 口)(1 + 口)=1+(“+坊+(口)2：2 2 2(3)丙商场两次提价后，价格为(1+")(1+“)=/+"+b+“b.因为(爭)2 —“b>0,所以(字)2>“b.故乙商场两次提价后，价格最髙.选B.例2已知非零实数“、b、c满足0+护+以=1, “(J.+J_)+b(丄+ b + c(丄+丄)=一3,求a+b+c的 b c a c a b 值.解析：因为ubc^O,在已知的第二个等式两边同乘以“be,得"2(c+b)+b2(c+")+c2(“+")= —3"bc, 即ab(a+/?)+bc(b-\-c)4-ac(a+c) + 3abc=0.将&历c 拆开为ubc+abc+ubc,可得ab(“+b+c)+bc(a+b+ c)+ac(a+/?+c)=0・于是(a+b+c)(ab+he+ac)=0.所以a+h+c=0或ab+bc+ac=0.若ab+bc+ac=O.由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2cd^2bc+2cic= 1 得“+b+c=±l ・ \ 所以“+"+c的值可能为6 — 1 >1.中考真题欣赏例1 （2003年陕西中考题）先化简，再求值:皆胃L岳，其中眉存—x + 1 (x2+1)(A+ l)(x-l) x-3 _ x-1 x-3 _ 2 尿 = - : 一 = — =0+1 (x + 1) A +1x + 1 x + 1 x + 1解析:当x= 73 + 1时，原式== 4一2逅.V3+2例2 （重庆市）阅读下而材料：在计算3+5+7+9+11 + 13+15+17+19+21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的左值.具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式5= 必+巴二12xd计算它们的和.（公式中的〃表示数的个数，“表示第一个数的值，〃表示这个相差的泄值）, 2那么3+5+7+9+11 + 13+15 + 17+19+21 = 10x3+巴” x2=120・2用上而的知识解决下列问题：为保护长江，减少水上流失，我市某县决泄对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地.由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统汁数据•假设坡荒地全部种上树后，不再有水上流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.解析:1997 年减少了24 000-22 400=1 600.m年减少了1 200+400x(/?/-1 996)・1 200+1 600+…+ 1 200+400(加一1 996)=25 200.令n=m—\ 995»得必1200 + 盲_><400一1)=400x HX3+———-=25200. 2 ..・.％ +竺匸—6326n+n(n-1)=126n：+5n-126=0.m 二9,血二一14 (舍去).m=1995+9=2004.••• 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木°竞赛样题展示例1 (2003年“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将苴排列成前多后少的梯形队阵(排数>3),且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A. 1种B.2种C. 4种D. 0种解析设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k, k+1, lc+2,…，k+ (n-l),由题意可知如+ 答丄= 100,即〃[2« + (“-1)] = 200.因为k, n都是正整数，且n$3,所以n<2k+ (n-l),且n与2k+ (n-l)的奇偶性不同。

代数式化简求值的三种考法类型一、整体代入求值【答案】【分析】根据一元一次方程的解的定义，将3x =代入2mx n −=，得出32n m −=−，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵3x =是关于x 的一元一次方程2mx n −=的解， ∴32m n −=，即32n m −=− ∴265n m −+=()()2352251n m −+=⨯−+=，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，整体代入解题的关键． 例2.已知代数式232a b −+的值为4，则代数式 2628b a −+的值为（ ） A ．4 B ．8−C ．12D ．4−【答案】A【分析】由代数式232a b −+的值为4，可知23a b −的值，再观察题中的两个代数式23a b −和2628b a −+，可以发现226282(3)8b a a b −+=−−+，代入即可求解．【详解】解：∵代数式232a b −+的值为4，∴2324a b −+=，即232a b −=，∴2628b a −+22(3)8a b =−−+228=−⨯+4=，故选：A ．【点睛】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．例3.已知535y ax bx cx =++−，当3x =时，7y =，那么3x =−时，y =（ ） A ．－3 B ．－7 C ．－17 D ．7【答案】C【分析】把3x =，7y =代入计算得5333312a b c ++=，然后把3x =−代入原式化简，利用整体代入法即可得到答案.【详解】解：∵535y ax bx cx =++−中，当3x =时，7y =，∴5333357a b c ++−=， ∴5333312a b c ++=，把3x =−代入535y ax bx cx =++−，得 533335y b c a =−−−−， 53(333)5a b c =−++−125=−− 17=−；故选择：C.【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是利用整体代入法进行解题.【分析】根据绝对值的性质，求出,a b 可能取得值，根据0a b −<确定,a b 的值，再代数求值． 【详解】解：5a =，18b −=，5a ∴=±，18b −=±， 5a ∴=±，9b =或7−， 0a b −<Q ，∴当5a =，9b =时，5914a b +=+=；当5a =−，9b =时，594a b +=−+=． 故a b +的值为4或14．【点睛】本题考查了绝对值与代数式求值，解决本题的关键在于根据绝对值的性质求出,a b 的值，然后分情况讨论．【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则，将括号展开，再将2a b −=，5ab =代入进行计算即可． 【详解】解：()()()444416416a b ab a b ab a b −+=+−−=+−−，∵2a b −=，5ab =， ∴原式5421619=−⨯−=−．故答案为：19−．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式，把前面一个多项式的每一项分别乘以后面一个多项式的每一项． 【变式训练3】已知a +b =2ab ，那么232a ab ba ab b++−+＝（ ）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】B【详解】解：∵2a b ab +=，∴232a ab b a ab b ++−+＝2()3a b ab a b ab +++−＝2232ab ab ab ab ⨯+−＝43ab ab ab +＝7abab ＝7，故选：B ．类型二、特殊值法代入求值例1.已知关于x 的多项式4323ax bx cx dx e ++++，其中a ，b ，c ，d 为互不相等的整数． (1)若4abcd =，求+++a b c d 的值；(2)在（1）的条件下，当1x =时，这个多项式的值为27，求e 的值；(3)在（1）、（2）条件下，若=1x −时，这个多项式4323ax bx cx dx e ++++的值是14，求a c +的值． 【答案】(1)0 (2)3e = (3) 6.5−【分析】（1）由a b c d 、、、是互不相等的整数，4abcd =可得这四个数由1−，1，2−，2组成，再进行计算即可得到答案；（2）把1x =代入432327ax bx cx dx e ++++=，即可求出e 的值；（3）把=1x −代入432314ax bx cx dx e ++++=，再根据0a b c d +++=，即可求出a c +的值．【详解】（1）解：4abcd =，且a b c d 、、、是互不相等的整数， ∴a b c d 、、、为1−，1，2−，2，0a b c d ∴+++=；（2）解：当1x =时，4323ax bx cx dx e ++++ 43231111a b c d e =⨯+⨯+⨯+⨯+ 3a b c d e =++++ 30e =+27=，3e ∴=；（3）解：当=1x −时，4323ax bx cx dx e ++++()()()()43231111a b c d e =⨯−+⨯−+⨯−+⨯−+3a b c d e =−+−+14=，13a b c d ∴−+−=−， 0a b c d +++=， 6.5a c ∴+=−．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出a b c d 、、、这四个数以及a b c d 、、、之间的关系．【变式训练1】已知()20211232021012320211x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，则20212020201920181a a a a a −+−+⋅⋅⋅+的值为 ．【答案】1【分析】分别令=1x −、0x =代入，求得对应代数式的值，求解即可．【详解】解：令=1x −，则()202101232020202110x a a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅−=+，令0x =，则()2021011x a +==，∴2021202020192018100a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+−=， ∴2021202020192018101a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+==．故答案为：1．【点睛】此题考查了求代数式的值，解题的关键是给x 赋值，得到对应代数式的值． 【变式训练2】若()665432654321021x a x a x a x a x a x a x a −=++++++，则5310a a a a ++−=______． 【答案】365−【详解】解：令x=0，代入等式中得到：()61−=a ，∴0=1a ， 令x=1，代入等式中得到：65432101①=++++++a a a a a a a ， 令x=-1，代入等式中得到：66543210(3)②−−−−=+++a a a a a a a ，将①式减去②式，得到：65311(3)2()−−+=+a a a ，∴536113)3642(−+=+=−a a a ，∴53103641365++−=−−=−a a a a ， 故答案为：365−．【变式训练3】特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：432432106a x a x a x a x a x ++++=，则（1）取0x =时，直接可以得到00a =；（2）取1x =时，可以得到432106a a a a a ++++=； （3）取1x =−时，可以得到432106a a a a a −+−+=−；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到4222a a +020+=a ，结合（1）00a =的结论，从而得出420a a +=．请类比上例，解决下面的问题：已知654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x −+−+−+−+−+−+=．求：(1)0a 的值；(2) 6543210++++++a a a a a a a 的值； (3) 642a a a ++的值． 【答案】(1)4；(2)8；(3)0 【解析】(1)解：当1x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴0414a =⨯=；(2)解：当2x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+；(3)解：当2x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+①；当0x =时， ∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x−+−+−+−+−+−+=，∴65432100+−++=−−a a a a a a a ②；用①+②得：406282222++=+a a a a ，∴642040a a a a ++=−=． 类型三、降幂思想求值例．若2230x x −+=，则3227122020x x x −++=_____； 【答案】2029【详解】解：∵2230x x −+=, ∴223x x −=−,∴3227122020x x x −++=x(2x2-4x -3x+12)+2020=x[2(x2-2x)-3x+12]+2020= x[2×（-3）-3x+12]+2020=x(-3x+6)+2020=-3(x2-2x)+2020=-3×（-3）+2020=9+2020=2029 故答案为：2029．【分析】根据已知得到2232022x x −=，再将所求式子变形为()()22232320222020x x x x x x =−+−−−，整体代入计算即可．【详解】解：∵22320220x x −−=， ∴2232022x x −=， ∴32220252020x x x −−−322232*********x x x x x =−+−−−()()22232320222020x x x x x x =−+−−−2022202220222020x x =+−−2=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 【变式训练2】如果2233x x −+的值为5，则2695x x −−的值为______． 【答案】1【详解】∵22335x x −+=，∴2232x x −=∴2695x x −−()23235x x =−−325=⨯−1=，故答案为：1． 【变式训练3】已知21x x +=，求43222023x x x x +−−+的值． 【答案】2022【分析】把所求式子变形成含已知的代数式，结合整体代入的思想解答即可．【详解】解：∵21x x +=， ∴43222023x x x x +−−+()22222023x x x x x =+−−+2222023x x x =−−+ 22023x x =−−+()22023x x =−++12023=−+2022=．【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法，正确变形，灵活应用整体思想是解题的关键． 【变式训练4】已知210x x −−=，则3222021x x −++的值是______． 【答案】2022【详解】解：∵210x x −−=，∴230x x x −−=， ∴32210x x −+−=，∴3221x x −+=，∴3222021120212022x x −++=+=，故答案为：2022．课后训练1.已知2|1|(2)0x y −++=，a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，求32()()33x y ab c d +−−++的值． 【答案】-2 【详解】解：()2120x y −++=，()21020x y −≥+≥，.10x ∴−=，20y += 1x ∴=，2y =−因为a 与b 互为倒数，所以1ab = 因为c 与d 互为相反数，所以0c d += ∴原式()()()321213c d =−−−++()311=−−=-2．2．已知23a bc +=，222b bc −=−．则22543a b bc +−的值是（ ） A ．23− B ．7C ．13D ．23【答案】B【分析】将所求式子变形为()()22542a bc b bc ++−，再整体代入计算．【详解】解：∵23a bc +=，222b bc −=−， ∴22543a b bc +−225548a bc b bc =+−+()()22254a bc b bc =+−+()5342=⨯+⨯−158=−7=故选B ．【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的灵活运用． 3．已知21a a +=，那么3222023a a ++的值是（ ） A ．2021 B ．2022 C ．2023 D ．2024【答案】D【分析】先将3a 降次为2a a −+，然后代入代数式，再根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵21a a +=，∴21a a =−+，则32a a a =−+，∴3222023a a ++2222023a a a =−+++ 22023a a =++12023=+2024=，故选：D ．【点睛】本题考查了已知代数式的值求代数式的值，解决本题的关键是要将未知代数式进行降幂．【分析】根据2330a a −−=得出233a a ∴−=，然后整体代入求解；【详解】2330a a −−=Q ，233a a ∴−=，∴()222021262320212320212015a a a a −+=−−+=−⨯+=，故答案为：2015．【点睛】本题考查了求代数式的值，根据已有的等式整体代入求值是解题的关键．【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，得到0m n +=，2c 与d 互为倒数得到21c d ⋅=，b 是最大的负整数得1b =-，代入求值．【详解】解：由题意可知，互为相反数的两个数的和为零，得到0m n +=，2c 与d 互为倒数得到21c d ⋅=，b 是最大的负整数得1b =-，故原式20200(11)=−−．0=．故答案为：0．【点睛】本题考查相反数的性质，倒数的性质以及最大的负整数，熟练掌握知识点是解题的关键．【答案】【分析】先把1x =代入531ax bx cx +++，可得a b c ++的值,再把1x =−代入531ax bx cx +++得1a b c −−−+,变形后再次把a b c ++的值代入计算即可．【详解】把1x =代入531ax bx cx +++得，12023a b c +++=∴2022a b c ++=，再把1x =−代入531ax bx cx +++得()11a b c a b c −−−+=−+++20221=−+ 2021=−．【点睛】此题考查代数式求值，解题关键在于把x 的值代入和整体思想的应用．【答案】（1）37；17；（2）2n+【分析】（1）根据题意代入求值即可；（2）分别计算1(),()f n f n 的值，找到规律再求解【详解】（1）()2263661637f ==+； 221114417114f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）22222111(),()1111n n f n f n n n n ===+++1()()1f n f n \+=∴()()()()1111231231f f f f f f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1111231231f f f f f f n f n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦11122n n =+⨯=+．【点睛】本题考查了代数式求值，分式的计算，理解题意，找到1()()1f n f n +=是解题的关键．【答案】【分析】把2x x +当整体代入求值，通过两次代入即可得出最后结果．【详解】解：230+−=x x ，23∴+=x x ，32225x x x +−+ 32225x x x x =++−+()2225x x x x x =++−+23x x +=，∴原式2325x x x =+−+25x x =++ 35=+8=，故答案为：8．【点睛】本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需代入的整体是解题的关键．9.已知24a +=，()214b −=，且0ab <，则a b +=______．【答案】1或－3【详解】∵24a +=，()214b −=，∴a+2=±4，b−1=±2，∴a=2或a=−6，b=3或b=−1；∵0ab <，∴a=2，b=−1或a=−6，b=3，当a=2，b=−1时，则2(1)1a b +=+−=；当a=−6，b=3时，则633a b +=−+=−；故答案为：1或－3．。

代数式的化简求值问题典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。

另：观察代数式 bcbc ac ac ab ab c c b b a a +++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。

有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________． 例8． 将正奇数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25根据上面规律，2007应在A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k n2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．A B D C E FO 1 7 2 8 3 9 4 10 511 6 12 26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …和绝对值有关的问题(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

代数式的化简与求值1、代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与之母连接而成的式子。

单独的一个数字或字母也是代数式。

2列代数式： x y x y 例一：为一个两位数，为一个三位数，把放在的右边组成一个五位数， 则这个五位数可以表示为：分析：x 放在y 的右边，即将y 变成了一个五位数，可表示为100y.3.代入求值法：2210.2510204m n m n mn mn =-=-++=例二：当，时，代数式 分析：先将原式变形为5(24)mn m n ++，再代入数字计算。

4.化简求值法：203,,0,0,,111111,20a b c a b c a b c abc x a b cy a b c x xy y b c c a a b ++==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例三：已知实数满足且 求的值。

分析：由题知a ,b,c 中有两负一正，即x=-1,而y 经过化简为-3.5.关系式法： 113232,454a ab b a b a ab b-++==-+-例四：已知则 分析：找出a ,b 的关系，将其带入所求代数式。

112,,2.2a b a b ab a b ab a b ab +++===+=精典练习：1.1,130,1,13x y ax by x y ax by ==-+-==-=+-=已知时，那么当时，代数式222292.417;340,m m x nx x mx m n x x=+==+=+=当时，代数式当时，代数式则2222221998199920003.0,0,0,199819992000x y z x y z y z xyz x y z+---=-=≠=-+已知且那么()()()2727114.0.2,0.040.16724a b a b b a a b =-=--++-+=当时，代数式73()()()323232245.356122231125x x x x x x x x x =--+---+-+-++=当时，代数式6.,32520,3234x y z x y z x y z ==-+=-+-=若且则7.3,5,a b c a b c a a b c ++===+-已知则22238.310,2521a a a a a-+=--+=+已知则243219.,6151073a a a a a +=+++=已知则2110.,23252a b a ab b ==-+=时，代数式123211.3,2x xy y x y x xy y+--==--1已知则()2200621112.2110,a b a b ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若则13214437321942xy a b c x y a b ca b a b a b ++=++--=+=-、已知，求的值。

复习资料六代数式的化简与求值代数式是用基本运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子，用数值代替代数式里的字母，按照代数式所给出的运算法则计算出结果，叫做代数式的值，因此代数式的值是由所含字母的取值确定的，并随字母取值的变化而变化。

值得注意的是, 代数式中的字母取值时，不能使代数式没有意义。

代数式的值，一般将字母所取的值直接代入计算便可得到。

但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到代数变形、消元、设参数等数学方法。

1、已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的理数，求代数式3223-+-的值。

x x y xy y3105132、已知x=5时。

代数式25++的值。

ax bxax bx+-的值是10。

求x=5时，代数式253、已知a+b=1,求代数式33++的值。

a ab b34、已知代数式3ax bx c ++，x=0时值为2，x=3时值为1。

求x=-3时，代数式的值。

5、若2310x x --=，求代数式3223118x x x --+的值。

6、已知2,1a b b c -=-=，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值。

7、已知a 、b 、c 为有理数，且满足28,16.a b c ab =-=-求a 、b 、c 的值。

8、已知12x x +=求（1）232311,(2)x x x x++。

9、已知2116 aa a =++，试求2421aa a++的值。

作业见教材。

第10讲 代数式的化简和求值1．用数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算计算出的结果，就叫代数式的值．经常利用代数式的值进行比较，推断代数式所反映的规律．2．在求代数式的值时，我们经常先将代数式化简，再代人数值计算，从而达到简化计算的目的，在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等．3．值得注意的是，代数式中的字母在取值时，不能使代数式没有意义，题1 设++++=-2233445.)12(x a x a x a x a x s s .01a x a +求：(1)543210a a a a a +++++α的值(2)543210a a a a a a -+-+-的值；（3)420a a ++α的值：根据恒等式的性质，可以取x 的特殊值，即可求值．解 (1)当x=1时，等式左边,1)112(5=-⨯=等式右边,012345a a a a a a +++++=故++++3210a a a a ①.154=+a a(2)当1-=x 时，等式左边=[]51-1-2）（⨯ =,243-等式右边.012345a a a a a a +-+-+-= ②.243543210-=-+-+-∴a a a a a a(3)由①十②，得.242222420-=++a a a.121420-=++∴a a a用“赋值法”解决这类问题是行之有效的．读一题，练3题，练就解题高手1-1．当x-2时，代数式13+-bx ax 的值等于-17，那么当1-=x 时，代数式53123--bx ax 的值等于 ．1-2．某同学求代数式+++++56789678910x x x x x ,12345234++++x x x x 当1-=x 时的值时，该生由于将式子中某一项前的“+”号误看成“一”号，算得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号？1-3．已知,357e dx cx bx ax y ++++=其中e d c b a ,,,,为常数，当2=x 时，;23=y 当2-=x 时，=y.35-那么P 的值为( )．6.-A 6.B 12.-C 12.D题2 若,ac z c b y b a x -=-=-求z y x ++的值对于连等式我们常设它们的比值为k ，或用其中一个表示常数的字母把其他的未知数表示出来， 解 设,k ac z c b y b a x =-=-=-则),(),(),(a c k z c b k y b a k x -=-=-=即.,,ka kc z kc kb y kb ka x -=-=-=.0=++∴z y x抓住题设的特征：根据连比的形式用“比值法”的思想方法，把连比化成几个等式，从而获得问题的解决方法．读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知,y x z z x y z y x +=+=+求⋅+xy x 2-2．（第11届希望杯数学竞赛试题）已知,9=++r q P 且,222xyz r zx y q yz x P -=-=-则⋅++++z y x rz qy Px 等于 ( )．A.9 B ．10 C 8 D ．7 2-3．（第11届希望杯数学竞赛试题）已知多项式+22x 68232-+--y x y xy 可以分解为)2(m y x ++ )2(n y x +-的形式，那么1123-+n m 的值是题3 同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整，甲商场：第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场：两次提价的百分率都是);0,0(2>>+b a b a 丙商场：第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a.则哪个商场提价最多？说明理由。

代数式求值的几种方法代数式是由变量、运算符和常数组成的数学表达式。

求代数式的值，即是将给定的变量赋予特定的值，并计算表达式的结果。

以下是几种常见的代数式求值方法：1.代数式的替换法：该方法适用于所给代数式具有较少变量的情况。

将代数式中的每个变量替换为其对应的值，然后按照运算符优先级依次计算，最终得到结果。

2.代数式的展开法：对于含有括号的代数式，可以使用展开法进行求值。

根据分配律和结合律，将括号内的表达式逐步展开，并按照运算符优先级计算，最终得到结果。

3.代数式的因式分解法：对于含有多个项的代数式，可以尝试使用因式分解法进行求值。

将代数式分解为多个因式的乘积，然后逐个计算每个因式的值，最后将各个因式的值相乘得到结果。

4.代数式的化简法：若代数式中含有一些常见的代数式化简规则，可以利用这些规则简化代数式，并求得最终结果。

例如，合并同类项、化简分数、约分等。

5.代数式的求和法：对于含有求和符号的代数式，例如累加求和式，可以通过逐步迭代求和的方式，将其中的变量替换为特定的数值，并将每次迭代的结果相加，最终得到总和。

6.代数式的数学软件求解法：在现代数学中，有许多数学软件可以用来求解代数式的值，例如MATLAB、Mathematica等。

通过输入代数式，并赋予特定的数值，这些软件可以自动计算代数式的值。

7.代数式的数值逼近法：对于一些复杂的代数式，往往难以通过简单的替换和化简求得精确值。

此时，可以采用数值逼近的方法，通过迭代等数值计算方法，逼近代数式的值。

以上是几种常见的代数式求值方法，不同的方法适用于不同的情况。

在实际应用中，可以根据具体的代数式和求解的要求选择最合适的方法。

【代数式求值的常用方法】代数式求值方法一、化简代入法化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常见、最基本的方法。

先化简，再求值：，其中a=2，b=3。

解：原式。

当a=2，b=3时，原式=－2ab=－223=－12。

二、整体代入求值法整体代入法是将已知条件不作任何变换变形，作为一个整体代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法。

若x2+x+1=0，试求x4+2022年x2+2022年x+2022年的值。

解：∵x4+2022年x2+2022年x+2022年=x4－x+2022年x2+2022年x+2022年+1=x(x-1)(x2+x+1)+2022年(x2+x+1)+1又x2+x+1=0，∴x4+2022年x2+2022年x+2022年=1三、利用非负数的性质求值若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用“若几个非负数的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值。

目前，经常出现的非负数有、、等。

若和互为相反数，则（ab）2+3=____。

解：由题意知，，则2a+4=0且3b－6=0，解得a=－2，b=2。

因为ab=22=4，所以（ab）2+3=42+3=19，故填19。

四、常值代换求值法常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值。

已知ab=2，求的值。

解：把ab=2代入，得===1五、赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法。

在赋值时，要注意取值范围。

请将式子化简后，再从0、1、2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x的值代入求值。

解：原式。

依题意，只要x≠1就行，当x=0时，原式x+2=2；或当x=2时，原式x+2=4。

六、倒数求值法倒数法是指将已知条件或待求的代数式做倒数变形，从而达到求出代数式的值的一种方法。

已知，求的值。

解：由已知，得，所以，，则。

专题七 代数式的化简求值复习要点：1、用代数式表示的数量关系：（1）和差： 如，甲比乙多5个，则表示为“甲=乙+5”（2）积： “甲是乙的···，则为甲=···×乙”如： 甲是乙的2倍：甲=2×乙 甲是乙的21：甲=21×乙 甲是乙的20%：甲=20%×乙 甲比乙多20%：甲=（1+20%）×乙（3）组合： 甲比乙的2倍多5个，则甲=2×乙+52、单项式和多项式：（1）单项式和多项式都是整式。

如x 1、2（x —y)都不是单项式，x 1+y1不是多项式。

（2）单项式： A 、单项式是 乘积 形式的整式。

如：a 、32、2x 2y 等。

B 、单项式的系数：单项式前面的 数字因数 。

如—xy 的系数是—1。

C 、单项式的次数：单项式中 各个字母的指数和 。

如25x 2y 3z 的次数为2+3+1=6 E 、同类项： 字母相同 ， 相同 字母的指数也分别 相同 的几个单项式就是同类项。

注意：所有的数都是同类项F 、合并同类项： 系数： 加减 ，字母部分： 不变 。

（3）多项式：A 、单项式是几个单项式 加减 的形式。

B 、多项式的次数：多项式中， 次数最高 的项的次数就是多项式的次数。

如：2x 3y 3—x 4y+4x 2y 2—6中，各项次数依次是3+3、4+1、2+2，则多项式的次数是6 注意：（1）多项式的项必须包括前面的符号。

如2x 3y 3—x 4y+4x 2y 2—6的项数是4项，次数是6，5次项是—x 4y ，常数项是—6，6次项的系数是2.（2）多项式中，各个项交换位置时，必须包括前面的符号。

如：2x 2y —3xy 2+4x 2y —xy 2+4=(2x 2y+4x 2y)+(—3xy 2—xy 2)+4.3、会用整体代入法求值。

例1、x=—2时，635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，635-++cx bx ax 的值。

代数式求值的十种常用方法在代数中，求解代数式的值是一种常见的操作。

下面列举了十种常用的方法来求值代数式。

1.代入：将代数式中的变量替换为具体的数值，然后进行计算。

例如，求解代数式3x+5y，当x=2，y=3时，代入计算为3*2+5*3=6+15=212.简化：将代数式中的项进行合并和化简，以得到一个更简化的代数式。

例如，代数式3x+2x可以简化为5x。

3.展开：将代数式中的括号展开，然后进行计算。

例如，代数式3(x+2)可以展开为3x+64.因式分解：将代数式进行因式分解，以得到更简化的形式。

例如，代数式2x+4y可以因式分解为2(x+2y)。

5.消元法：将代数式中的一些项相互抵消，以简化计算。

例如，代数式2x+3x可以通过消元法简化为5x。

6.合并同类项：将代数式中的相同项进行合并，以简化计算。

例如，代数式2x+3x可以合并同类项得到5x。

7.增量法：逐步增加变量的值，计算每一步的代数式的值，以找到代数式的值的变化规律。

例如，通过增量法可以计算出代数式2x的值随着x的增加而增加。

8.拆项法：将代数式拆分为更小的部分，然后进行计算。

例如，代数式2x+3y可以拆分为2x和3y分别计算，然后再求和。

9.定律法：根据代数的运算规律，利用各种定律进行计算。

例如，根据分配律可以求解代数式2(x+y)。

10.辅助变量法：引入一个辅助变量，将代数式转化为其他更容易求解的形式。

例如，引入辅助变量t，然后通过计算代数式x+t来求解代数式x+y。

这些方法可以单独使用或结合使用，具体使用哪种方法取决于具体的代数式和计算需求。

不同的方法在不同的情况下可能有不同的优势，因此学习和熟练掌握这些方法可以提高求值代数式的效率和准确性。

中考专项练习代数式的化简与求值1、会用代数式表示实际问题中的数量关系，能解代数式求值问题。

2、代数式求值的一般步骤：〔1〕代入相应字母的数值；〔2〕计算。

3、理解整式、单项式、多项式的概念，知道单项式的系数、次数以及多项式的项数、次数。

4、掌握求代数式的值的一般方法：〔1〕直接代入法；〔2〕消元代入法；〔3〕整体代入法；〔4〕比例系数法〔设k法〕；〔5〕特殊值法。

5、对于一些新型的题目，要注意观察、分析，注意数形结合、分类讨论思想、转化思想、配方、换元邓数学思想方法在计算、变形中的应用。

考点一：代数式的表示考点二：代数式的求值与应用例2、A＝2x²﹢3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x²﹢xy﹣1，且3A﹢6B的值与x 无关，那么y的值为。

变式训练：假设2x﹢3y＝2019，那么代数式2〔3x﹣2y〕﹣〔x﹣y〕﹢〔﹣x﹢9y〕的值为。

考点三：代数式中的找规律〔1〕根据上面的规律，写出〔a﹢b〕5的展开式；〔2〕利用上面的规律计算：25﹣5×24﹢10×23﹣10×22﹢5×2﹣1 。

变式训练：把黑色棋子按如下图的规律摆放，那么第n个图应摆放的棋子数为。

考点四：降次法和整体代入法例3、〔1〕m²﹢m﹣1＝0，求m³﹢2m²﹢2019的值。

〔2〕假设a²﹢5ab﹣b²＝0，那么ba −ab的值为。

变式训练：1、x²﹢3x﹣1＝0，那么x³﹢5x²﹢5x﹢18＝。

2、1a +a=3，那么aa2+7a+1＝。

例4、x＝√3﹢1，那么代数式(x+1)2−4(x+1)+4的值为。

例5、假设(2x−1)5=a+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2017x2017，那么a0+a2+a4+⋯+a2016的值为。

1、合并同类项的方法：；2、是单项式，单项式的次数是；是多项式，x³﹢5x²﹢5x﹢18是次项式。

中考重点代数式的化简与计算中考代数问题的化简与计算代数是中考数学中的重要内容，其中涉及到的代数式的化简与计算在考试中占有很大的比重。

掌握这一部分知识不仅可以提高解题速度，还能有效提高考试分数。

本文将介绍中考重点代数式的化简与计算方法。

一、代数式的化简1. 因式分解因式分解是化简代数式的常用方法之一。

通过将代数式中的因式进行分解，可以使式子更加简洁明了。

常见的因式分解方式有如下几种：（1）提公因式：将代数式中可以提取的公因式提出来，例如：8x + 4y 可以因式分解为 4(2x + y)。

（2）平方差公式：如 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

（3）完全平方公式：如 a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

（4）差的平方公式：如 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2。

（5）二次差式：如 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

通过掌握以上因式分解的方法，并结合题目中的具体情况进行运用，可以有效地化简代数式。

2. 合并同类项合并同类项也是化简代数式的常见方法之一。

代数式中的同类项是指具有相同的字母和相同的指数的项。

通过将同类项合并在一起，可以化简代数式。

例如：3x + 5x 可以合并为 8x。

二、代数式的计算在中考中，代数式的计算同样是需要掌握的重点内容。

常见的代数式计算包括以下几种：1. 代数式的求值代数式的求值是指将代数式中的字母用具体的数值进行替换，并计算得出结果。

例如，计算表达式 2x + 5 在 x = 3 时的值，只需将 x 替换为 3，得到 2 * 3 + 5 = 11。

2. 代数式的加减乘除代数式的加减乘除运算与常见的数学运算相似，需要根据题目中的要求进行相应的计算。

例如，计算 2x + 3y 的值，在给出具体的 x 和 y 的数值后，将 x 和 y 的数值代入表达式中，并进行相应的加法运算。

3. 简化分式简化分式主要是化简分子和分母的公约数。