中考数学全效复习：专题提升(2) 代数式的化简与求值

代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零变式练习：已知3=+y x ，2=xy ，求22y x +的值.利用“整体思想”求代数式的值例2．x =－2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x =2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a变式练习：1.已知当2018=x 时，代数式524=++c bx ax ，当2018-=x 时，代数式__________24=++c bx ax2.已知5=x 时，代数式52-+bx ax 的值是10，求5-=x 时，代数式52++bx ax 的值是多少？例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.分析：观察两个代数式的系数变式练习：1.已知87322=++y x ，则___________9642=++y x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.分析：解法一（整体代人）：由012=-+a a 得 023=-+a a a 所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

代数式的化简整式的化简求值3),1()2)(2(:,:1=----x x x x x 其中在求值先化简例81,1412:,:1=--+a a a a 其中）（）（再求值先化简变式分式的化简求值1,2923442:,:2222=--÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--a a a a a a a a 其中再求值先化简例2||,212223:,:22=++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x x x 其中再求值先化简变式含二次根式的化简求值12,6212341:,:32+=++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x 其中再求值先化简例12,12,112:,:322+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-b a a b b a b ab a 其中再求值先化简变式中考演练2,21:,:12=++-a a a a 其中）（）（再求值先化简2),42(2)1)(1()3(:,:22-=+--+-+a a a a a 其中再求值先化简3,441113:,:322=-++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a a a a a 其中再求值先化简2020,1121:,:422+=-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x x y y x y y x 其中再求值先化简1,2,1835:,:5222222==+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+b a ab b a a b b b a b a 其中再求值先化简002230cos 245tan 4,2444222:,:6+=--÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+x x x x x x x x x 其中再求值先化简的值代入求值为，中选一个合适的数作，再从再求值先化简x x x x x x x x 4,32,14424442:,,7222---÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--入求值中选一个合适的整数代再从再求值先化简40,382373:,:82≤≤--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x的整数解中选取的值从不等式组其中再求值先化简⎩⎨⎧<-≤-++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+51211,1211:,:9222x x x x x x x x01)2(,,22,:10222222=++-+--÷-+-b a b a ba a ab a b a b ab a 满足其中再求值先化简参考答案例1 -1 变式1 2例241 变式2 2例3 2 变式3 1 中考演练1: 52: 13: 53 4： 20205: 256： 332 7： 18: 25 9： -210: -1。

代数式的计算与化简一. 代数式的计算与化简代数式在数学中扮演着重要的角色，它可以用来表示数学问题中的关系和规律。

在数学中，我们经常需要对代数式进行计算和化简，以便更好地理解和解决问题。

本文将介绍代数式的计算和化简的方法和技巧。

1. 代数式的计算代数式的计算是指根据已知的规则和运算法则对代数式中的数值和符号进行计算。

常见的代数式计算包括四则运算（加减乘除）和指数运算。

例如，对于代数式3x + 4y - 2z，我们可以根据加减法的运算法则将x、y和z的系数进行合并，得到简化后的代数式3x + 4y - 2z。

在进行代数式的计算时，我们需要注意运算符的优先级和结合性。

一般来说，先进行括号中的计算，然后按照指数、乘法和除法、加法和减法的顺序进行计算。

2. 代数式的化简代数式的化简是指通过变换和合并代数式中的项或因式，使其更加简化和易于理解。

化简代数式可以帮助我们更好地理解问题和推导解决方案。

在进行代数式的化简时，我们可以利用一些常见的化简公式和技巧。

下面是一些常见的代数式化简方法：- 合并同类项：将代数式中的相同项合并，例如将3x + 2x合并为5x。

- 分配律：将一个因式乘到括号内的每一项上，例如将3(x + 2)展开为3x + 6。

- 因式分解：将代数式根据因式分解的规则进行拆分，例如将x^2 -4分解为(x + 2)(x - 2)。

- 提取公因式：将代数式中的公因式提取出来，例如将2x + 4y提取公因式得到2(x + 2y)。

- 合并同底数的指数：将同底数的指数相加或相减，例如将x^2 *x^3 = x^5。

通过运用这些方法和技巧，我们可以将复杂的代数式化简为简洁而易于理解的形式，从而更好地解决问题。

二. 代数式的应用举例代数式的计算和化简在实际问题中具有广泛的应用。

下面通过两个具体的例子来说明代数式的应用。

1. 例子一：面积计算假设一个正方形的边长为x，我们想要计算该正方形的面积。

根据正方形的定义，正方形的面积等于边长的平方。

中考数学复习技巧如何巧妙运用代数式化简代数式化简是中考数学中重要的一部分内容，也是很多学生觉得困惑的一个环节。

事实上，只要掌握了一些巧妙的技巧，化简代数式就能够得心应手。

本文将分享一些中考数学复习技巧，帮助你巧妙运用代数式化简。

1. 代数式化简技巧之合并同类项合并同类项是化简代数式的基础步骤。

将具有相同的字母指数的项进行合并，即可简化代数式。

例如，对于以下代数式：3x + 2x + 5x - 4x可以先合并同类项得到：6x + 5x最后化简为：11x2. 代数式化简技巧之提取公因数提取公因数也是化简代数式的常用技巧。

当代数式中多个项拥有相同的公因数时，可以将这个公因数提取出来。

例如，对于以下代数式：3x^2 + 6x + 9xy可以提取公因数3得到：3(x^2 + 2x + 3y)3. 代数式化简技巧之因式分解因式分解也是化简代数式常用的方法之一。

对于某些代数式，我们可以将其分解为其他较为简单的乘积形式。

例如，对于以下代数式：2x^2 + 6x + 4可以使用因式分解得到：2(x^2 + 3x + 2)进一步可以分解为：2(x + 1)(x + 2)4. 代数式化简技巧之移项合并在一些复杂的代数式中，可以通过移项合并的方式使得化简更加简洁。

通过将代数式中的项进行移动，将同类项放在一起，可以更清楚地观察代数式的结构从而运用前面所述的化简技巧。

例如，对于以下代数式：2x + 3y - 4x + 6y可以通过移项合并得到：-2x + 9y5. 代数式化简技巧之去括号代数式中的括号往往给人以复杂的感觉，但是掌握一些技巧后，可以迅速去掉括号并进行化简。

通过运用分配律和结合律，我们可以将括号内的项与括号外的项相乘或相加，从而简化代数式。

例如，对于以下代数式：(2x + 3)(x + 4)可以运用分配律展开括号得到：2x^2 + 11x + 126. 代数式化简技巧之指数法则在复习代数式化简中，我们也需要掌握一些指数的基本法则。

考点1：代数式的概念与求值1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。

求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。

【例1】（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A ．8n m （元）B ．8n m （元）C ．8m n （元）D ．8m n（元）【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；【详解】∵m 千克的售价为n 元，∴1千克商品售价为n m，∴8千克商品的售价为8n m （元）；故选A．专题02 代数式【例2】（2021·内蒙古中考真题）若1x =+，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D．3-【答案】C 【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=+-+=．故选：C【例3】（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12n n +．有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【详解】设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，∵先提价30%，再降价30%，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．【详解】解：∵x =3＜4∴把x =3代入1(4)y x x =-£，解得：312y =-=，∴y 值为2，故答案为：2．3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11´个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22´个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33´个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =´=´´第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =´=´´第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =´=´´第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =´=´´…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+g 故答案为：2n 2+2n ．考点2：整式相关概念1．单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.2．多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.3．整式：单项式与多项式统称整式.4．同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.【例4】（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______．【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：∵单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，∴2m =4，n +2=-2m +7，解得：m =2，n =1，则m +n =2+1=3．故答案是：3．【例5】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ）A ．21n n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决．【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...，∴第n 个单项式为21n n a +，故选：A ．【例6】已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ．【答案】17【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【详解】解：∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0，解得：m ＝﹣3，∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17．故答案为：17．1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数1．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23a b 的同类项是（）A ．32a b B ．232a b C ．2a b D ．3ab 【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B2．关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ）A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【答案】B【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；故选：B ．3．若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ．【答案】0【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可．【解答】解：根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9，解得：m ＝﹣1，n ＝1，则m +n ＝﹣1+1＝0．故答案为：0．考点3：整式的运算1．幂的运算性质：（1）同底数幂相乘底数不变，指数相加. 即：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是整数).（2）幂的乘方底数不变，指数相乘. 即：(a m )n ＝a mn (m ，n 都是整数).（3）积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：(ab )n ＝a n b n (n 为整数).（4）同底数幂相除底数不变，指数相减. 即：a m ÷a n ＝a m -n (a ≠0，m,n 都为整数).（5）a 0=1(a ≠0), a -n =a1 (a ≠0).2．整式的运算：（1）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项.（2）整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m (a +b +c )=ma +mb +mc ；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m +n )(a +b )=ma +mb +na +nb .（3）整式的除法：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.3．乘法公式：（1）平方差公式:(a ＋b )(a -b )＝a 2-b 2.（2）完全平方公式:(a ±b )2＝a 2±2ab +b 2.（3）常用恒等变换:a 2＋b 2＝(a ＋b )2-2ab=(a -b )2＋2ab ；(a -b )2＝(a ＋b )2-4ab.【例7】（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ×=D ．22(1)1a a -=-【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意；B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意；C 、23a a a ×=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意；故选：C ．【例8】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（）A ．22a a -=B ．()2211a a -=-C ．632a a a ¸=D ．326(2)4a a =【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误；B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误；C ：63633a a a a -¸==，故C 错误；D ：()()2232332622·44a a a a ´===．故选：D【例9】（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（）A ．325a b ab+=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-=【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；C ，合并同类项后2787a a a a +=¹，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：()24a a -×的结果是（）A ．8a B ．6a C ．8a -D ．6a -【答案】B 【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式24246a a a a +=×==．2．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．()32622a a =C ．623a a a ¸=D ．325a a a ×=【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：()32628a a =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -¸==，故选项C 错误；选项D ：33522a a a a +×==，故选项D 正确；故选：D ．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、，正确，故该选项符合题意；B 、,错误，故该选项不合题意；C 、，错误，故该选项不合题意；D 、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．考点4：整式化简求值【例10】（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．4=±()2234636m n m n =24833a a a ×=33xy x y -=4=±()2234639m n m n =24633a a a ×=3xy 3x ()()212(2)x x x +++-1x =1x =【详解】解：原式，，将代入得：原式．1．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．【详解】解：原式===，当x =-1时，原式==-22．2．（2020•凉山州）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x=【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x 的值代入计算可得答案．【详解】原式＝4x 2﹣9﹣（x 2+4x +4）+4x +12＝4x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣4+4x +12＝3x 2﹣1，当x原式＝3×2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．考点5：因式分解因式分解的步骤：(概括为“一提，二套，三检查”)（1）先运用提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ).（2）再套公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )，a 2±2ab +b 2=(a ±b )2(乘法公式的逆运算).（3）最后检查：分解因式是否彻底，要求必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.22214x x x =+++-25x =+1x =2157=´+=2(21)(21)(23)x x x +---1x =-2241(4129)x x x ---+22414129x x x --+-1210x -()12110´--【例11】（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【例12】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【例13】（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．【答案】49【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．【详解】∵a ＝7﹣3b ，∴a +3b ＝7，∴a 2+6ab +9b 2＝（a +3b ）2＝72＝49，故答案为：49．本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。

代数式化简求值方法一：先化简，再代入例1：1. 化简求值：()2222252342ab a b ab ab a b --+-，其中3a =-，12b =． 【答案】24ab ，3-．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()2222252342ab a b ab ab a b --+- 2222252342ab a b ab ab a b =-+-+24ab =，当3a =-，12b =时， 原式()214332⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变：1－12. 先化简，再求值：()()23223232324xy y x y x y y xy y +---++-，其中2x =，3y =-．【答案】xy 2+y 3，9．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2(xy 2+3y 3−x 2y )−(−2x 2y +y 3+xy 2)−4y 3=2xy 2+6y 3-2x 2y +2x 2y -y 3-xy 2-4y 3=xy 2+y 3，当x =2，y =-3时，原式=()()2322339⨯⨯-+-=．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1－2 3. 先化简，再求值：()22222333a ab a ab ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，其中6a =-，23b =. 【答案】232a ab ++,26【解析】【分析】先对整式去括号、合并同类项，再将6a =-，23b =代入求值即可． 【详解】解：()222222223346332323a ab a ab a ab a ab a ab ⎛⎫+-+-=+--+=++ ⎪⎝⎭， 当6a =-，23b =时， 原式()()22636236122263=-+⨯-⨯+=-+= 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是熟练运用整式的运算法则. 变式1－34. 先化简，再求值：221122y x y x y x xy y ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中x ，y =1﹣．【答案】x y x y-+ 【解析】【分析】先将括号里的通分得()()()()x y x y x y x y +---+，再将2222y x xy y -+分母用完全平方式转化，再将除法转化成乘法，进行化简，化简之后将x ，y 的值代入求解即可.【详解】解：原式=()()()()()2·2x y x y x y x y x y y+----+=()()·2x y x y x y x y y -+-++=x y x y -+ ；当x ，y =1时，原式（ . 方法二：赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围． 例25. 请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．【答案】2x +；当0x =时，原式值为2或当2x =时，原式值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件确定x 的值，再代入计算即可. 【详解】解：原式(1)(1)11111x x x x x x +-+⎛⎫=⋅+ ⎪-++⎝⎭ 2(1)21x x x x +=+⋅=++． 依题意，只要1x ≠就行，当0x =时，原式=22x +=或当2x =时，原式=24x ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键. 变式2－16. 先化简，2211(1)x x x-+÷，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值 【答案】x x 1-，x=2时，原式=2. 【解析】【分析】本题可先把分式化简，再将x 的值代入求解；为了使原分式有意义，x 取1，-1和0以外的任何数． 【详解】原式=()2x 1x x (x 1)x 1+⨯+- =x x 1- x=2时，原式=2.【点睛】本题需注意的是：化简后代入的数不能使分母的值为0，变式2－27. 先化简，再求值：2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 【答案】3x x -；-2 【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】解：原式23(1)1(3)3x x x x x x x --=⋅=---， 当x 2=时，原式2223==--． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．方法三：先变形，再整体代入从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学学习中有很广泛的应用，整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体．不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子． ①变换条件后，整体代入求值例318. 已知2410x x -=+，求43228481x x x x +--+的值．【答案】 1.-【解析】【分析】由2410x x -=+可得232214,4,41,x x x x x x x =-=-+=再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可. 【详解】解： 2410x x -=+，232214,4,41,x x x x x x x ∴=-=-+=∴ 43228481x x x x +--+()()22221484481x x x x x =-+---+ 22221632832481x x x x x x =-++---+24163x x =--+()2443x x =-++43 1.=-+=-【点睛】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.变式3－1－19. 已知212a a -+=，则222a a a a+--的值为________． 【答案】1【解析】 【分析】由已知可知21a a -=，则21a a -=-，代入即可求值．【详解】解：212a a -+=，21a a ∴-=，则21a a -=-，2222111a a a a ∴+-=-=-． 故答案为1．【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出21a a -=和21a a -=-，考查了整体代入的思想．变式3－1－2 10. 116a b +=，求312a ab b a ab b-+++的值． 【答案】16【解析】【分析】结合题意，根据分式加法的性质，得6a b ab +=；再根据分式性质计算，即可得到答案． 【详解】∵116a b+= ∴6a b ab+= ∴6a b ab += ∴312a ab b a ab b -+++3=12a b ab a b ab +-++63=612ab ab ab ab -+318ab ab = 16=． 【点睛】本题考查了分式、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握分式、代数式的性质，从而完成求解．②变换结论后，整体代入求值例3.211. 如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭ 2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()m m n m n m n m m n =⋅+-=+- 1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式3－2－112. 已知2xy =-，3x y +=，求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化简，然后把xy ，x y +分别作为一个整体代入求出整式的值．【详解】(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-310(5223)xy y x xy y x =++--+3105223xy y x xy y x =++--+5310232x x y y xy xy =++-+-88x y xy =++8()x y xy =++．把2xy =-，3x y +=代入得，原式83(2)24222=⨯+-=-=．【点睛】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．变式3－2－213. 已知12x x -=，则221x x +的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据完全平方公式得到214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，据此求解即可． 【详解】解：∵12x x -=， ∴214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即41222=+-x x ， ∴2216x x +=， 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．③变换条件和结论后，整体代入求值例3.314. 若2250a ab b +-=，则b a a b-的值为______． 【答案】5【解析】 【详解】∵2250a ab b +-=，∴225b a ab -=，∴b a a b -=22b a ab -=5ab ab =5， 故答案为5．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确地对所给的式子进行变形是解决此题的关键.变式3－3－115. 已知x 2﹣3x+1＝0，求x 221x +的值． 【答案】7【解析】 【分析】先将等式两边同时除以x ，并整理可得x 1x+=3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：∵x 2﹣3x+1＝0，∴x ﹣31x +=0， ∴x 1x+=3， ∴x 221x +=（x 1x+）2﹣2＝32﹣2＝7． 【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．变式3－3－216. 先化简，再求值（1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b --，其中a，b 满足a+b，12=0， 【答案】原式=1a b+=2 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】，1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b-- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+ 由a+b ﹣12=0，得到a+b=12， 则原式=112=2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方法四：隐含条件求值法先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例417. 若单项式23m a b --与12n b a +是同类项，求代数式()222332m mn n n --++的值． 【答案】0【解析】【分析】先通过3ab -与ba 是同类项这一条件，将m 、n 的值求出，然后再化简求值式后求值．【详解】∵23m a b --与12n b a +是同类项，∴2211m n -=⎧⎨+=⎩， 解得：00m n =⎧⎨=⎩∴()222332m mn n n --++ 223m mn n =+-0300=+⨯-0=．【点睛】本题考查了整式运算、代数式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握同类项、代数式的性质，从而完成求解．变式4－118. 已知2|2|(1)0a b -++=，求()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦的值． 【答案】34【解析】【分析】先通过已知式2|2(1)0a b -++=∣， 求出a 、b 的值，因为绝对值式和平方式都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们均为0，再去括号，合并同类项把原式化简，最后代入求值即可.【详解】解：∵2|2|(1)0a b -++=，又∵|2|0-≥a ，2(1)0b +≥，∴2010a b -=⎧⎨+=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．， ∴()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦ 222544ab ab a b =+-2294ab a b =-．当2a =，1b =-时，原式2292(1)42(1)=⨯⨯--⨯⨯-1816=+34=．【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算，化简求值，掌握去括号，合并同类项是解题的关键.变式4－219.|83|b -互为相反数，则2127ab ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】37【解析】【分析】直接利用非负数的性质进而得出1﹣3a ＝0，8b ﹣3＝0，求出a ，b 的值，再代入所求代数式中即可求出答案．|83|0b -=，0≥，830b -≥∴130a -=，830b -=， ∴13a =，38b =， ∴222112727827371338ab ⎛⎫ ⎪⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⨯⎝⎭． 故答案为37．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题时利用了绝对值和二次根式的非负性，也利用了互为相反数的两个数的和为0这个结论．方法五：利用“无关”求值或说理方法总结要说明一个代数式值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 例520. 有这样一道题：计算2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，其中12x =-，2y =．甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？【答案】见解析．【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222213823333535x x xy y x xy y =--++++ 2y =，结果与x 的取值无关，故甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，但他计算的结果也是正确的．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式5－121. 已知2231A x xy y =++-，2B x xy =-．（1）若2A B -的值与y 的值无关，求x 的值．（2）若3A mB x --的值与x 的值无关，求y 的值．【答案】（1）x 的值为1-；（2）y 的值为1．【解析】【分析】（1）将A ，B 代入A -2B ，再去括号，再由题意可得10x +=，求解即可； （2）将A ，B 代入A −mB −3x ，再去括号，再由题意可得20m -=，30y my +-=，求解即可；【详解】解：（1）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，∴A -2B=（2231x xy y ++-）-2（2x xy -）=2223122x xy y x xy ++--+331xy y =+-()311x y =+-，∵A -2B 的值与y 的值无关，∴10x +=，∴1x =-；∴x 的值为1-；（2）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，=（2231x xy y ++-）-m （2x xy -）−3x=222313x xy y mx mxy x ++--+-()()22331m x y my x y =-++-+-∵A −mB −3x 的值与x 的值无关，∴20m -=，30y my +-=，∴2m =，1y =；∴y 的值为1．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． 变式5－222. 已知多项式2233x mx nx x -++-+值与x 的取值无关，求()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦的值．【答案】2.【解析】【分析】对多项式2233x mx nx x -++-+进行变形为(3)(1)3n x m x -+-+，根据多项式的值与x 的取值无关，则令30n -=，10m -=，求出m 、n 的值，然后代入()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦进行计算即可.【详解】2233x mx nx x -++-+解：原式(3)(1)3n x m x =-+-+因为与x 的取值无关所以：30n -=3n =10m -=1m =()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦32332mn m mn m mn =-+--2323mn m m =--当1m =，3n =时原式23213311=⨯⨯-⨯-6312=--=【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.方法六：配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．例623. 已知a 2，b 2，2a ，4b ，5，0，求2a 2，4b ，3的值．【答案】7，【解析】【详解】试题分析：利用交换律凑出完全平方公式，求出a,b 的值，再代入目标整式求值.试题解析：解：因为a 2+b 2+2a -4b +5=0，，，a 2+2a +1，+，b 2-4b +4，=0,即（a +1，2+，b -2，2=0，，a +1=0且b -2=0，，a =-1且b =2，，原式=2×，-1，2+4×2-3=7，变式6－224. 已知2228170x x y y -+++=，求2()x y +的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法将2228170x x y y -+++=变为22(1)(4)0x y -++=，根据非负数的性质得到1,4==-x y ，最后求出答案．【详解】解：∵2228170x x y y -+++=∴22(21)(816)0x x y y -++++=，∴22(1)(4)0x y -++=∴10,40x y -=+=，∴1,4==-x y ，∴22()(14)9x y +=-=．【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．方法七：平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号．例725. 已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y 的值等于________． 【答案】112【解析】【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：222()4x y xy x y +-，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.【详解】解：因为7x y +=，12xy =， 所以2222211()y x x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222()47412112144x y xy x y +--⨯===， 又因为x y <，所以110x y->， 所以11112x y -=， 故答案为：112． 【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键. 变式7－126. 已知13x x +=，则1x x-的值是________．【答案】【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出221x x +的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值． 【详解】解：由13x x +=，得到219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217x x +=， ∴2221125x x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，∴1x x-=故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．变式7－227. 若22212,60a b c a b c ++=++=，求ab ac bc ++的值【答案】42【解析】【分析】根据题意先将式子a ＋b ＋c ＝12进行完全平方后展开可得式子2222()144,222a b c a b b ab a c c c +++++=++=结合22260,a b c ++=求出ab ＋ac ＋bc 的值．【详解】根据题意可得：2222()144222a c b ac a b c c b b a +++++=+=+， 将22260a b c ++=代入式子可得2()60144222ab a a b c c bc +++=++=， 则42ab ac bc +=+故答案为42．【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于结合实际运用完全平方公式． 方法八：特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．例828. 若3230123)x a a x a x a x =+++，则()()220213a a a a +-+的值为【答案】1【解析】【分析】把1x =代入已知计算得到301231)a a a a +++=；把1x =-代入已知计算得到301231)a a a a -+-=+；再利用平方差公式即可求解．【详解】解：由3230123)x a a x a x a x =+++，若令1x =，则301231)a a a a +++=；若令1x =-，则301231)a a a a -+-=+，所以()()220213a a a a +-+ ()()02130213a a a a a a a a =++++--331)1)=31)]=1=．故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．变式8－129. 已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==， ∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++ 2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1． 方法九：设参法遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 例930. 已知234x y z ==，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】2629【解析】 【分析】先根据234xy z ==设出(0)234x y z k k ===≠，得到2x k =，3y k =，4z k =，然后代入分式求值即可． 【详解】解：设(0)234x y z k k ===≠， 则2x k =，3y k =，4z k =． ∴222xy yz zx x y z ++++ 22222261284916k k k k k k++=++ 2226262929k k ==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k ，得出x ，y ，z 与k 的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键．变式9－131. 若x y a b b z c c a==---，求x y z ++的值． 【答案】0【解析】 【分析】设===---x y z k a b b c c a，则()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，然后计算即可得到答案． 【详解】解：∵x y a b b z c c a ==---， 设===---x y z k a b b c c a， ∴()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，∴()()()x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=ka kb kb kc kc ka -+-+-=0；【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．变式9－232. 已知0347x y z ==≠，求3x y z y ++的值． 【答案】5【解析】【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：设347x y z k ===， 则x =3k ，y =4k ，z =7k ， ∴394754x y z k k k y k++++==． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x =3k ，y =4k ，z =7k 是解题关键．方法十：利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 直接用根与系数的关系求值例10.133. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，12c x x a⋅=根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为_____ 【答案】10【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：由题意知，12126,3b x x x x a+=-=-=， 所以()2222121221211212122(6)23103x x x x x x x x x x x x x x +-⋅+--⨯+====⋅⋅. 故答案为：10．变式10－1－134. 已知1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，则1211+x x 的值是（ ） A. 1 B. 12 C. 1- D. 12- 【答案】D【解析】 【分析】根据1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根得到12121,2x x x x +==-，再将1211+x x 变形为1212x x x x +，然后代入计算即可． 【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，∴12121,2x x x x +==- ∵12121211x xx x x x ++=， ∴121212111122x x x x x x ++===--， 选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则1212,b c x x x x a a+=-=，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．②构造一元二次方程，利用根与系数的关系求值．例10.235. 已知21a a -=，21b b -=，求a b b a+的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得a ，b 是方程210x x --=的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵21a a -=，21b b -=，即210a a --=，210b b --=， ∴a ，b 是方程210x x --=的两个根，∴1a b +=，1ab =-，∴2222()212(1)31a b a b a b ab b a ab ab ++--⨯-+====--． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为12x x 、，则有12b x x a +=-，12c x x a=． 变式10－2－136. 已知2430m m -+=，22310n n -+=，1mn ≠，求值221m n +． 【答案】5或13或10【解析】【分析】通过求解一元二次方程，并结合题意，得到m 和n 的值，再代入计算即可得到答案．【详解】∵2430m m -+=∴()()130m m --=∴1m =或3m =∵22310n n -+=∴()()2110n n --=∴12n =或1n = ∵1mn ≠ ∴当1m =时，12n =；当3m =时，12n =或1n = ∴2215m n +=或13或10． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．③根的含义和根与系数的关系结合使用求值例10.337. 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，求2211222584x x x x ++++的值．【答案】34 【解析】【分析】由1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，可得123x x +=，21131x x =-，22231x x =-，再把原式降次为：()12111x x ++，从而可得答案.【详解】解：∵1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根∴123x x +=，21131x x =-，22231x x =-∴221122112225846253184x x x x x x x x ++++=-++-++()1211133134x x =++=+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.变式10－3－238. 已知α、β是方程210x x --=的两个实根，求5325αβ+的值． 【答案】21 【解析】【分析】由方程的解与根与系数的关系可得：2210,10,+=11,ααββαβαβ--=--==-，再把5325αβ+降次为2255155ααββ++++，再变形，整体代入计算即可得到答案. 【详解】解： α、β是方程210x x --=的两个实根，2210,10,+=11,ααββαβαβ∴--=--==-， 22=+1,=+1,ααββ∴()()2532+5=2+1+5+1αβααββ∴32224255αααββ=++++()22214255ααααββ=+++++226455ααββ=+++ 2255155ααββ=++++()()25251αβαβαβ⎡⎤=+-+++⎣⎦()51251121.=⨯++⨯+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.方法十一：利用分式的基本性质求值例1139. 已知3x y =,求222223x xy y x xy y +--+的值.【答案】127【解析】【详解】试题分析：由3x y =可得：3x y =代入式子222223x xy y x xy y +--+中化简即可. 试题解析， ，3xy=, ， x =3y.∴()()()222222222232322312127733y y y y x xy y y x xy y y y y y y+⨯⨯-+-===-+-⨯+ . 例11－140. 先化简，再求值：2222m n m mn n +-+·(m，n)，其中mn，2.【答案】原式=2m nm n+-=5. 【解析】【详解】【试题分析】先将分母进行因式分解，再约分化简，最后代入即可.2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【试题解析】2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【方法点睛】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.方法十二：利用消元法求值若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 例1241. 如果2a b =，则2222a ab b a b -++= ( ) A.45B. 1C. 35D. 2【答案】C 【解析】【详解】由题意可知，2a b =，因此222222222224233455a ab b b b b b a b b b b -+-+===++，故选C 变式12－142. 若43a b =，则a bb-的值是（ ） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】【分析】由已知得到43a b =，再代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵43a b =， ∴43a b =， ∴4133b ba b b b --==， 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到43a b =再代入计算是解题的关键． 变式12－243. 已知2a c b d ==，求a b a +和c d c d -+值．【答案】32，13【解析】【分析】由2a cb d==可得2a b =，2c d =，再代入求值即可. 【详解】解：∵2a cb d ==，∴2a b =，2cd =．∴2322a b b b a b ++==， 2123c d d d c d d d --==++． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用含有一个字母的代数式表示另外一个字母是解题的关键.变式12－344. 若29a b c +=，25a b c -=，则22222223749a b c a b c ++=-+________． 【答案】2 【解析】【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a 、b 和c 的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．【详解】∵2925a b ca b c+=⎧⎨-=⎩，∴7a cb c=⎧⎨=⎩∴22222223749a b ca b c++=-+2222222(7)37(7)49c c cc c c++-+22108254cc==故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．方法十三：利用倒数法求值倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法．例1345. 已知21 13 xx=+，求241xx+的值．【答案】1 7【解析】【分析】由21 13 xx=+可得0x≠，再取倒数可得：213xx+=，即13xx+=，再求解原代数式的倒数242221112,xx xx x x+⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭从而可得答案.【详解】解：由21 13 xx=+知0x≠，所以213xx+=，即13xx+=．所以2422221112327xx xx x x+⎛⎫=+=+-=-=⎪⎝⎭．故241xx+的值为17．【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握222112x xx x⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是解题的关键. 变式13－146. 已知21315x x x =-+，求2421x x x ++的值． 【答案】163【解析】【分析】已知等式分子分母除以x 变形求出1x x +的值，两边平方求出221x x+的值，原式分子分母除以2x 变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由21315x x x =-+知0x ≠，∴2315x x x -+=，即135x x -+=． ∴18x x+=． ∴2164x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22162x x +=， ∴4222211162163x x x x x ++=++=+=．∴2421163x x x =++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式13－247. 若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为( )．A. 1B. －1C. -17 D. 15【答案】A 【解析】【详解】解:设234x x y += ，∵22347x x ++ 的值为14, ∴2174y =+,计算得出y=1, ∴2111681121x x ==+-⨯-.所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查了计算分式的值，设234x x y +=是解题关键，注意整体代入思想的运用.变式13－348. 已知14x x -=，则24251x x x =-+_______．【答案】113． 【解析】【分析】计算21()16x x-=，从而得到221+18x x =，然后先求原式的倒数，从而求解． 【详解】解：∵14x x-= ∴21()16x x-=221-2+16x x = ∴221+18x x = 42222551118513x x x x x --+=-==+∴24215113x x x =-+ 故答案为：113． 【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．总结：事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题．。

中考数学代数式的化简求值问题【方法归纳】是整式的化简求值问题，在2013-2022年中考中出现了6次，考查频率较高.1、对于整式的混合运算—化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．2、对于分式计算：分式的运算即是分式的化简，①从整体上把握，是先对个别分式进行约分，还是先对分式进行加减；②把分式的除法运算转化为乘法运算；③按顺序(先括号内，再乘除，后加减)进行运算；④分式加减时，一是不要遗漏分式的分母，二是注意分数线具有的括号作用．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）已知a2+2b2−1=0，求代数式(a−b)2+b(2a+b)的值．【答案】1【解析】【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．【详解】解：(a−b)2+b(2a+b)=a2−2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2，∵a2+2b2−1=0，∴a2+2b2=1，代入原式得：原式=1．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．【例2】（2022·北京·中考真题）已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．【答案】５【解析】【分析】先根据x2+2x−2=0，得出x2+2x=2，将x(x+2)+(x+1)2变形为2(x2+2x)+1，最后代入求值即可．【详解】解：∵x2+2x−2=0，∴x2+2x=2，∴x(x+2)+(x+1)2=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1=2(x2+2x)+1=2×2+1=5【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将x(x+2)+(x+1)2变形为2(x2+2x)+1，是解题的关键．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）已知x2−4x−1=0，求代数式(2x−3)2−(x+y)(x−y)−y2的值．【答案】12【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将x2−4x=1整体代入求值．【详解】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1．∴(2x−3)2−(x+y)(x−y)−y2=4x2−12x+9−x2+y2−y2=3x2−12x+9=3(x2−4x)+9=3×1+9=12．2．（2014·北京·中考真题）已知x−y=√3，求代数式(x+1)2−2x+y(y−2x)的值.【答案】4【解析】【分析】先利用完全平方公式以及整式的乘法将所给的式子化简，然后再进行处理，代入所给的数据即可．【详解】原式=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1，把x-y=√3代入，原式=3+1=4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了完全平方公式，单项式乘多项式以及因式分解的应用，掌握整体代入的方法是解题的关键．3．（2015·北京·中考真题）已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．【答案】7【解析】【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．【详解】解：3a(2a+1)−(2a+1)(2a−1)=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1∵2a2+3a−6=0∴2a2+3a+1=7∴原式=7．【点睛】本题考查整式的化简求值．4．（2020·北京·中考真题）已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．【答案】10x2−2x−4，-2【解析】【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把5x2−x−1= 0变形后，整体代入求值即可．【详解】解：原式=9x2−4+x2−2x=10x2−2x−4.∵5x2−x−1=0，∴5x2−x=1，∴10x2−2x=2，∴原式=2−4=−2．本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京房山·二模）已知2x2+3y2=2，求代数式(x+y)(x−y)+(x+2y)2−4xy的值．【答案】2【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式对所给代数式进行化简，再将2x2+3y2=2整体代入求解．【详解】解：原式=x2−y2+x2+4xy+4y2−4xy=2x2+3y2，∵2x2+3y2=2，∴原式=2x2+3y2=2．【点睛】本题考查利用平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简求值，难度较小，掌握整体代入思想是解题的关键．2．（2022·北京平谷·二模）已知m2−2m+5=0，求代数式(m−2)2+2(m+1)的值．【答案】1【解析】【分析】先根据已知等式可得m2−2m=−5，再利用完全平方公式、整式的加减运算法则求值即可得．【详解】解：由m2−2m+5=0得：m2−2m=−5，所以(m−2)2+2(m+1)=m2−4m+4+2m+2=m2−2m+6=−5+6=1．【点睛】本题考查了代数式求值、完全平方公式、整式的加减运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．3．（2022·北京北京·二模）已知2m2+5m−1=0，求代数式(m+3)2+m(m−1)的值．【解析】【分析】去括号，合并同类项化简代数式，再根据2m2+5m−1=0得2m2+5m=1代入原式即可求得答案．【详解】解：(m+3)2+m(m−1)=m2+6m+9+m2−m=2m2+5m+9，∵2m2+5m−1=0，∴2m2+5m=1，∴2m2+5m+9=1+9=10，∴原代数式的值为10．【点睛】本题考查了代数式的化简，正确化简代数式是解题的关键．4．（2022·北京丰台·二模）已知3a2+b2−2=0，求代数式(a+b)2+2a(a−b)的值．【答案】2【解析】【分析】先将3a2+b2−2=0变形，得出3a2+b2=2，再将原式利用完全平方公式和整式运算化简，即可求解．【详解】∵3a2+b2−2=0，∴3a2+b2=2，∴(a+b)2+2a(a−b)=a2+2ab+b2+2a2−2ab=3a2+b2=2．【点睛】本题考查了完全平方公式和整式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2022·北京顺义·二模）已知x2+3x−2=0，求代数式(2x+y)(2x−y)−2x(x−3)+y2的值．【答案】4【解析】【分析】由x2+3x−2=0，可得x2+3x=2，根据完全平方公式，单项式乘以多项式，然后合并同类项，代入x2+3x=2，即可求解．【详解】解：∵x2+3x−2=0，∴x2+3x=2，(2x+y)(2x−y)−2x(x−3)+y2=4x2−y2−2x2+6x+y2=2x2+6x=2(x2+3x)=2×2=4．【点睛】本题考查了整数的混合运算，整体代入是解题的关键．6．（2022·北京房山·二模）已知x2+x−2=0，求代数式(x+1)(x−1)+x(x+2)的值．【答案】3【解析】【分析】先化简代数式，然后将x2+x−2=0，代入求解即可求解．【详解】解：∵x2+x−2=0，∴(x+1)(x−1)+x(x+2)=x2−1+x2+2x=2x2+2x−1=2(x2+x)−1=2×2−1=3．【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的乘法是解题的关键．7．（2022·北京石景山·一模）已知m2−m=1，求代数式(2m+1)(2m−1)−m(m+3)的值．【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式、合并同类项，化简代数式即可求解．【详解】解：(2m+1)(2m−1)−m(m+3)=4m2−1−m2−3m=3(m2−m)−1∵m2−m=1∴原式=3×1−1=2【点睛】本题考查了代数式、整式加减、合并同类项、平方差公式等知识点，熟练的正确运算是解决问题的关键．8．（2022·北京大兴·一模）已知x2−2x−1=0，求(x+1)(x−1)+2x(x−3)的值．【答案】2【解析】【分析】根据题意可得x2−2x=1，化简式子，整体代入即可求解．【详解】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，∴(x+1)(x−1)+2x(x−3)=x2−1+2x2−6x=3x2−6x−1=3(x2−2x)−1=3×1−1=2．【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入的方法是解题的关键．9．（2022·北京一七一中一模）x−3x−1=0，求代数式x(3x−6)−(x+2)(x−2)的值.【答案】6【解析】【分析】将代数式化简，再提出二次项系数2，即可整体代换x2−3x的值．【详解】x(3x−6)−(x+2)(x−2)=3x2−6x−(x2−4)=2x2−6x+4=2(x2−3x)+4∵x2−3x−1=0，∴x2−3x=1，∴原式=2×1+4=6．【点睛】本题考查整式的化简求值和整体代换法．熟练掌握整式的化简计算和整体代换是解决本题的关键．10．（2022·北京平谷·一模）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣1）的值．【答案】−1【解析】【分析】(a−1)(a+1)+2(a−1)=a2+2a−3，由a2+2a−2=0可得a2+2a=2，整体代入求解即可．【详解】解：(a−1)(a+1)+2(a−1)=(a−1)(a+1+2)=(a−1)(a+3)=a2+2a−3∵a2+2a−2=0∴a2+2a=2∴原式=2−3=−1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于熟练掌握平方差公式及整体代入的思想．11．（2022·北京朝阳·一模）已知x2+x−3=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值．【答案】0【解析】【分析】根据整式的乘法对代数式进行化简，整体代入即可得到答案．【详解】解：(2x+3)(2x−3)−x(x−3)=(2x)2−32−(x2−3x)=4x2−9−x2+3x=3x2+3x−9=3(x2+x−3)∵x2+x−3=0∴原式=0即代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值为0．【点睛】本题考查整式的化简求值，根据整式的运算法则和乘法公式进行准确计算是解题的关键．12．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式a（3a﹣2）﹣b2﹣（a+b）（a﹣b）的值．【答案】6【解析】【分析】根据整式的混合运算将a(3a−2)−b2−(a+b)(a−b)化简即可得到2(a2−a)，再将a2−a−3=0变形为a2−a=3，最后整体代入求值即可．【详解】解：a(3a−2)−b2−(a+b)(a−b)=3a2−2a−b2−a2+b2=2(a2−a)．∵a2−a−3=0，即a2−a=3，∴2(a2−a)=2×3=6．【点睛】本题考查整式的混合运算和代数式求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．13．（2022·北京西城·一模）已知a2−2ab−7=0，求代数式(a+b)2−b(4a+b)+5的值．【答案】7【解析】【分析】先利用完全平方公式和整式的乘法运算法则化简，再把a2−2ab−7=0变形为a2−2ab= 7，然后再代入，即可求解．【详解】解：(a+b)2−b(4a+b)+5=a2+2ab+b2−4ab−b2+5=a2−2ab+5∵a2−2ab−7=0，∴a2−2ab=7，∴原式=7+5=12【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．14．（2022·北京通州·一模）已知a2−ab=1，求代数式(a−b)2+(a+b)(a−b)的值．【答案】2【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简，再把a2−ab=1变形整体代入即可求解．，【详解】解：(a−b)2+(a+b)(a−b)=a2-2ab+b2+a2-b2=2a2-2ab=2(a2-ab)∵a2−ab=1∴(a−b)2+(a+b)(a−b)=2(a2-ab)=2．【点睛】本题主要考查完全平方差公式、平方差公式的化简，去括号得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算求值，解题的关键是学会整体代入的思想解决问题．15．（2022·北京海淀·一模）已知m2−2mn−3=0，求代数式(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2的值．【答案】3【解析】【分析】将(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2化简得m2−2mn，再将m2−2mn−3=0变形m2−2mn=3代入即可．【详解】解：(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2=m2−2mn+n2+m2−n2−m2=m2−2mn，∵m2−2mn−3=0，∴m2−2mn=3，∴(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2=m2−2mn=3．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用．16．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知x2−4x−3=0，求(x−3)(x+3)−(x+2)2+ (xy)2÷y2的值．【答案】−10【解析】【分析】首先把整式进行化简，再把x2−4x=3代入，即可求得其值．【详解】解：∵x2−4x−3=0∴x2−4x=3∴(x−3)(x+3)−(x+2)2+(xy)2÷y2=x2−9−(x2+4x+4)+x2y2÷y2=x2−9−x2−4x−4+x2=x2−4x−13=3−13=−10【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，采用整体代入法是解决此类题的关键．17．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）已知x2+2x−1=0，求代数式(x+1)2+x(x+ 4)+(x−3)(x+3)的值．【答案】−5【解析】【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可．【详解】解：∵(x+1)2+x(x+4)+(x−3)(x+3)=x2+2x+1+x2+4x+x2−9=3x2+6x−8又x2+2x−1=0x2+2x=1∴原式=3(x2+2x)−8=3×1−8=−5【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式是解题的关键．18．（2022·北京朝阳·模拟预测）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2），其中a为方程2x2+4x﹣3＝0的解．【答案】2a2+4a+9，12【解析】【分析】直接利用乘法公式化简计算，进而把已知代入求出答案．【详解】解：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2）＝4a2+4a+1﹣2（a2﹣4）＝4a2+4a+1﹣2a2+8＝2a2+4a+9，∵a为方程2x2+4x﹣3＝0的解，∴2a2+4a＝3，∴原式＝3+9＝12．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．19．（2022·北京昌平·模拟预测）先化简，再求值：已知x−y=1，求(x+y)(x−y)+(y−1)2−x(x−2)的值．【答案】−2y+2x+1，3【解析】【分析】根据乘法公式与单项式乘以多项式法则展开合并同类项，然后整体代入x−y=1，求值即可．【详解】解：(x+y)(x−y)+(y−1)2−x(x−2)，=x2−y2+y2−2y+1−x2+2x，=−2y+2x+1，∵x−y=1，∴原式=2x−2y+1=2(x−y)+1=2×1+1=3．【点睛】本题考查多项式乘法化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则是解题关键．20．（2022·北京·北理工附中模拟预测）已知a2+2b2−1=0，求代数式(a−b)2+b(2a+b)的值．【答案】1【解析】【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．【详解】解：(a−b)2+b(2a+b)=a2−2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2，∵a2+2b2−1=0，∴a2+2b2=1，代入原式得：原式=1．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．21．（2022·北京西城·二模）已知x2+x−5=0，求代数式(1x +1x+1)⋅56x+3的值．【答案】53x2+3x ，13【解析】【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再由x2+x-5=0，变形为3x2+3x=15，最后整体代入化简式计算即可．【详解】解：(1x +1x+1)⋅56x+3=2x+1 x(x+1)⋅53(2x+1)=53x2+3x，∵x2+x-5=0，∴x2+x=5，∴3x2+3x=15，当3x2+3x=15时，原式=515=13，【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．22．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如果m2−4m−6=0，那么代数式(m2−m−4m+3+1)÷m+1m2−9的值．【答案】m2−4m+3，9【解析】【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据m2−4m−6=0可以得到m2−4m=6，然后整体代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：(m2−m−4m+3+1)÷m+1m2−9=m2−m−4+m+3m+3⋅(m+3)(m−3)m+1，=(m+1)(m−1)m+3⋅(m+3)(m−3)m+1，=(m −1)⋅(m −3)， =m 2−4m +3， ∵m 2−4m −6=0， ∴m 2−4m =6，∴原式=m 2−4m +3=6+3=9． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握整体思想的应用． 23．（2020·北京朝阳·模拟预测）先化简，再求值：(2x 2x+1−14x 2+2x)÷(1−4x +214x)，其中x ＝3． 【答案】−22x−1，25【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内，再根据分式的乘除法法则计算即可． 【详解】 原式=4x 2−12x(2x+1)÷4x−4x 2−14x=(2x+1)(2x−1)2x(2x+1)⋅4x −(2x−1)2=−22x−1．当x =3时，原式=−22×3−1=−25． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 24．（2022·北京·二模）先化简，再求值：(a 2a−b−2ab−b 2a−b)÷a−b ab，其中a =√3+1,b =√3−1．【答案】ab ，2 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可． 【详解】 解：原式=a 2−2ab+b 2a−b×ab a−b=ab (a−b )2(a−b )2=ab ，把a =√3+1,b =√3−1代入得：原式=(√3+1)(√3−1)=3−1=2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．25．（2021·北京门头沟·二模）已知：x−2y=0，求2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)的值．【答案】5【解析】【分析】先根据分式的乘法法则进行化简，再由x−2y=0得到x=2y，代入即可求解【详解】解：2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)=2x+y(x−y)2·(x−y)=2x+yx−y；当x−2y=0时，x=2y，原式=4y+y2y−y =5yy=5．【点睛】本题考查了分式的乘法运算与化简求值，正确进行分式的化简是解题关键．26．（2021·北京·一模）已知m+2n=√5，求代数式(4nm−2n +2)÷mm2−4n2的值．【答案】2√5【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【详解】解：原式=(4nm−2n +2m−4nm−2n)÷m2−4n22mm−2n×(m+2n)(m−2n)m=2(m+2n)，当m+2n=√5时，原式=2√5．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．27．（2020·北京东城·二模）已知a−2b=0，求代数式1−(1a+3b +6ba2−9b2)÷a+3ba2−6ab+9b2的值．【答案】6ba+3b ，65【解析】【分析】将代数式化简得到6ba+3b ，再根据题意a−2b=0，可得a=2b，用b表示a代入6ba+3b，即可得出答案．【详解】解：1−(1a+3b +6ba2−9b2)÷a+3ba2−6ab+9b2=1−[a −3b (a +3b)(a −3b)+6b (a +3b)(a −3b)]÷a +3b(a −3b)2=1−a −3b +6b (a +3b)(a −3b)⋅(a −3b)2a +3b=1−a −3ba +3b=6b a+3b．当a −2b =0，即a =2b 时， 原式=6b2b+3b =65． 【点睛】本题考查了分式化简求值的知识点， 熟练掌握分式化简，以及用b 表示a 代入化简的代数式是解题的关键．28．（2020·北京门头沟·一模）已知a ≠0，a +b ≠0且a −b =1，求代数式a 2−b 22a 2+2ab÷(a −2ab−b 2a)的值．【答案】12(a−b )，12． 【解析】 【分析】由题意根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】 解：a 2−b 22a 2+2ab÷(a −2ab−b 2a)=(a +b )(a −b )2a (a +b )÷(a 2a −2ab −b 2a )=(a +b )(a −b )2a (a +b )÷(a 2−2ab +b 2a)=(a +b )(a −b )2a (a +b )⋅a(a −b )2 =12(a −b )∵a −b =1， ∴ 原式=12(a−b )=12． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 29．（2020·北京·北理工附中三模）先化简：(x 2−2x+1x 2−x+x 2−4x 2+2x )÷x−4x，再从−1≤x ≤3的整数中选取一个你喜欢的x 的值代入求值．【答案】2x−3x−4，当x =−1时，原式=1 【解析】 【分析】先利用分式的基本性质和分式的混合运算顺序和法则对分式进行化简，然后从−1≤x ≤3的整数中选取合适的x 的值代入计算即可． 【详解】 原式=[(x−1)2x (x−1)+(x+2)(x−2)x (x+2)]⋅xx−4， =(x −1x +x −2x )⋅xx −4 =2x −3x ⋅xx −4 =2x −3x −4∵x ≠0,1,2， ∴当x =−1时，原式=2×(−1)−3−1−4=1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 30．（2020·北京·模拟预测）如果m 2+m −√2=0，求代数式(2m+1m 2+1)÷m+1m 3的值【答案】√2 【解析】 【分析】首先将代数式加以化简，然后根据题意进一步可知m 2+m =√2，最后整体代入计算即可. 【详解】 由题意得：(2m +1m 2+1)÷m +1m 3=(2m+1m 2+m 2m 2)×m 3m+1 =(m+1)2m 2×m 3m+1=m (m +1) =m 2+m ，又∵m 2+m −√2=0， ∴m 2+m =√2， ∴原式=m 2+m =√2. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关方法是解题关键.。

初中数学代数式化简求值题归类及解法
代数式化简求值是初中数学教学的一个重点和难点内容。

学生在解题时如果找不准解决问题的切入点、方法选取不当，往往事倍功半。

如何提高学习效率，顺利渡过难关，笔者就这一问题，进行了归类总结并探讨其解法，供同学们参考。

一. 已知条件不化简，所给代数式化简
a
a 的值，再代入化简后的分式中，运算过程相当繁琐，并且易错。

例2.
评注：本题属于二次根式混合运算中难度较大的题目。

在把所给代数式化简时，首先要弄清运算顺序，其次要正确使用二次根式的性质。

评注：本题是一道技巧性很强的题目，观察所给已知条件的特点，从已知条件入手，找准解决问题的突破口，化难为易，使解题过程简捷清晰。

三. 已知条件和所给代数式都要化简
例
） 整体代入的方法，就简单易行。

例5.
从而问题迎刃而解。

专题提升(二) 代数式的化简与求值类型之一 整式的化简与求值人教版八上P125复习题第8题)已知(x ＋y)2＝25,(x －y)2＝9,求xy 与x 2＋y 2的值．【思想方法】 完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b)2＋(a －b)2＝2(a 2＋b 2),(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab,a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab.在四个量a ＋b,a －b,ab 和a 2＋b 2中,知道其中任意的两个量,就可以求其余的两个量(整体代换)．1．已知(m －n)2＝8,(m ＋n)2＝2,则m 2＋n 2等于( )A ．10B ．6C ．5D ．3 2．[2019·宁波]先化简,再求值：(x －2)(x ＋2)－x(x －1),其中x ＝3.先化简,再求值：(x ＋1)2－(x ＋6)(x －6),其中x ＝－1.类型之二 分式的化简与求值人教版八上P159复习题第11(1)题)先化简,再求值：x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x －1·1－x 1＋x ,其中x ＝12.【思想方法】 先化简,然后再代入求值．1．[2019·烟台]先化简⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3－7x －3÷2x 2－8x x －3,再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．2．[2019·本溪]先化简,再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－4a 2－4a ＋4－12－a ÷2a 2－2a.其中a 满足a 2＋3a －2＝0.先化简,再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －1n ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2mn －5n m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2n ＋2n m ＋2,其中m ＋1＋(n －3)2＝0.类型之三 二次根式的化简与求值(人教版八下P15习题第6题)已知x ＝3＋1,y ＝3－1,求下列各式的值：(1)x 2＋2xy ＋y 2;(2)x 2－y 2.【思想方法】 在进行二次根式的化简求值时,常常用到整体思想,如把x ＋y,x －y,xy 当成整体进行代入．1．[2018·北京]如果a －b ＝23,那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22a －b ·a a －b 的值为( ) A. 3B ．2 3C ．3 3D ．4 32．已知m ＝1＋2,n ＝1－2,则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( )A ．9B ．±3C ．3D ．53．[2019·福建]先化简,再求值： (x －1)÷⎝⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ,其中x ＝2＋1.先化简,再求值：1a ＋b ＋1b ＋b aa ＋b ,其中a ＝5＋12,b ＝5－12.参考答案【教材母题】 xy ＝4,x 2＋y 2＝17【中考变形】1．C 2.x －4,－1【中考预测】 37＋2x,35【教材母题】 1－x1＋x ,13【中考变形】1.x ＋42x ,①当x ＝1时,原式＝52,②当x ＝2时,原式＝322.a 2＋3a 2,1【中考预测】 －m ＋2n 2mn ,56【教材母题】 (1)12 (2)4 3【中考变形】1．A 2.C3.xx －1,1＋22【中考预测】 a ＋b ab , 5关闭Word 文档返回原板块。

中考化简知识点总结化简是数学中一个非常重要的概念，在中考数学中也占据着相当大的比重。

化简的概念在不同的数学领域都有不同的应用，比如在代数、分式、方程、函数等诸多数学概念中都有化简的应用。

化简的本质是利用数学方法将一个复杂的数学式子或者问题简化成一个更加容易理解和处理的形式，通常是将式子的形式变得更加简洁、明了。

化简的过程往往需要运用一些基本的数学原理和方法，包括代数运算、分子分母的约分、因式分解等等。

下面我们就来总结一下中考化简的知识点。

一、代数式的化简1. 代数式的展开与因式分解代数式的展开与因式分解是化简的基本方法之一。

当一个代数式包含有括号的时候，我们可以通过展开（将括号内的项乘到外面的每一项里）来得到更简洁的表达式。

而当一个代数式包含有多项式相乘或者多项式的和时，我们可以通过因式分解（将一个多项式分解成多个整数倍的因式的和或者乘积）来得到更简单的形式。

2. 代数式的合并与化简当代数式包含有多个项的时候，我们可以通过合并同类项（即把具有相同字母和次数的项合并在一起）来得到更简单的形式。

比如将2x+3x变为5x；将3a^2b-4a^2b变为-a^2b 等等。

3. 代数式的提取公因式当代数式中包含有一些公因式时，我们可以通过提取公因式（即将这些公因式提取出来）来进行化简。

例如，将2x^2+6x提取公因式后得到2x(x+3)。

4. 代数式的约分当代数式中包含有分式的时候，我们可以通过分子分母的约分来进行化简。

比如，将分数2x/4约分后得到1/2x。

二、分式的化简1. 分式的通分当分式的分母不相同时，我们需要进行通分（即将分母化为相同的分母）。

通分的方法即是求出这些分母的最小公倍数，将所有分母都化为最小公倍数的倍数。

2. 分式的约分当分式的分子和分母有公因式时，我们可以进行分子分母的约分，化简成最简分式。

三、方程的化简1. 方程的合并和整理在解题过程中，我们常常会得到一些复杂的方程式。

这时，我们需要通过合并同类项，整理方程的形式，使之更加清晰明了，方便进行下一步的解题。

中考重点代数式的化简与计算中考代数问题的化简与计算代数是中考数学中的重要内容，其中涉及到的代数式的化简与计算在考试中占有很大的比重。

掌握这一部分知识不仅可以提高解题速度，还能有效提高考试分数。

本文将介绍中考重点代数式的化简与计算方法。

一、代数式的化简1. 因式分解因式分解是化简代数式的常用方法之一。

通过将代数式中的因式进行分解，可以使式子更加简洁明了。

常见的因式分解方式有如下几种：（1）提公因式：将代数式中可以提取的公因式提出来，例如：8x + 4y 可以因式分解为 4(2x + y)。

（2）平方差公式：如 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

（3）完全平方公式：如 a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

（4）差的平方公式：如 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2。

（5）二次差式：如 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

通过掌握以上因式分解的方法，并结合题目中的具体情况进行运用，可以有效地化简代数式。

2. 合并同类项合并同类项也是化简代数式的常见方法之一。

代数式中的同类项是指具有相同的字母和相同的指数的项。

通过将同类项合并在一起，可以化简代数式。

例如：3x + 5x 可以合并为 8x。

二、代数式的计算在中考中，代数式的计算同样是需要掌握的重点内容。

常见的代数式计算包括以下几种：1. 代数式的求值代数式的求值是指将代数式中的字母用具体的数值进行替换，并计算得出结果。

例如，计算表达式 2x + 5 在 x = 3 时的值，只需将 x 替换为 3，得到 2 * 3 + 5 = 11。

2. 代数式的加减乘除代数式的加减乘除运算与常见的数学运算相似，需要根据题目中的要求进行相应的计算。

例如，计算 2x + 3y 的值，在给出具体的 x 和 y 的数值后，将 x 和 y 的数值代入表达式中，并进行相应的加法运算。

3. 简化分式简化分式主要是化简分子和分母的公约数。

初中数学教案：代数式的化简与运算代数式的化简与运算一、引言数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力起着重要的作用。

而代数是数学中一个重要的分支，它包含了很多古老而有趣的问题和方法。

在初中阶段，学生开始接触代数式的化简与运算，这是他们在代数学习过程中必须掌握的基础知识。

本教案将围绕代数式的化简与运算展开具体内容，旨在帮助学生掌握代数式化简和运算规则。

二、代数式化简1. 什么是代数式代数式是由变量和常量以及运算符号组成的表达式。

例如：3x+2y、4a-7b等都属于代数式。

2. 代数式化简原则通过合理运用整合、集合、提取公因子等方法来使一个复杂表达式转换为更简单的形式。

3. 例题解析（1）将5(x+2)-3(2x+1)进行化简。

解：根据分配律，有：5x + 10 - 6x - 3 = -x + 7。

（2）对于(x+y)^2进行化简。

解：根据平方公式，有：(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2。

三、代数式的运算1. 代数式的加法与减法代数式的加法与减法可以通过合并同类项的方法进行运算。

同类项是具有相同变量幂次的代数式。

2. 例题解析（1）将3a+5b-7a-4b进行合并。

解：3a - 7a + 5b - 4b = -4a + b。

（2）对于(x^2+2xy-y^2)+(y-x)进行加法运算。

解：根据分配律和合并同类项，有：x^2+2xy-y^2+y-x = x^2-x+2xy-y^2+y = x^2+xy-y^2。

3. 代数式的乘法代数式的乘法涉及到变量间及变量与常量之间的乘积，并可利用分配律和乘积规则来化简。

4. 例题解析（1）将(a-b)(a+b)进行乘法运算。

解：根据乘积公式，有：(a-b)(a+b) = a*a-a*b+b*a-b*b = a^2 - b^2。

（2）对于(a+3)(a-4)+5，请计算结果。

解：利用乘积公式和分配律，有：(a+3)(a-4)+5 = a*a-a*4+3*a-12+5 = a^2 - a*4 + 3a - 7。

复习资料六代数式的化简与求值代数式是用基本运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子，用数值代替代数式里的字母，按照代数式所给出的运算法则计算出结果，叫做代数式的值，因此代数式的值是由所含字母的取值确定的，并随字母取值的变化而变化。

值得注意的是, 代数式中的字母取值时，不能使代数式没有意义。

代数式的值，一般将字母所取的值直接代入计算便可得到。

但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到代数变形、消元、设参数等数学方法。

1、已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的理数，求代数式3223-+-的值。

x x y xy y3105132、已知x=5时。

代数式25++的值。

ax bxax bx+-的值是10。

求x=5时，代数式253、已知a+b=1,求代数式33++的值。

a ab b34、已知代数式3ax bx c ++，x=0时值为2，x=3时值为1。

求x=-3时，代数式的值。

5、若2310x x --=，求代数式3223118x x x --+的值。

6、已知2,1a b b c -=-=，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值。

7、已知a 、b 、c 为有理数，且满足28,16.a b c ab =-=-求a 、b 、c 的值。

8、已知12x x +=求（1）232311,(2)x x x x++。

9、已知2116 aa a =++，试求2421aa a++的值。

作业见教材。

代数式的化简与求值1、会用代数式表示实际问题中的数量关系 ,能解代数式求值问题。

2、代数式求值的一般步骤：〔1〕代入相应字母的数值；〔2〕计算。

3、理解整式、单项式、多项式的概念 ,知道单项式的系数、次数以及多项式的项数、次数。

4、掌握求代数式的值的一般方法：〔1〕直接代入法；〔2〕消元代入法；〔3〕整体代入法；〔4〕比例系数法〔设k法〕；〔5〕特殊值法。

5、对于一些新型的题目 ,要注意观察、分析 ,注意数形结合、分类讨论思想、转化思想、配方、换元邓数学思想方法在计算、变形中的应用。

考点一：代数式的表示例1、在某种长途的收费方式如下：接通的第一分钟收费a元 ,之后的每一分钟收费b元。

如果某人打该长途被收费8元 ,那么此人打长途的时间是。

考点二：代数式的求值与应用例2、A＝2x²﹢3xy﹣2x﹣1 ,B＝﹣x²﹢xy﹣1 ,且3A﹢6B的值与x无关 ,那么y的值为。

变式训练：假设2x﹢3y＝2019 ,那么代数式2〔3x﹣2y〕﹣〔x﹣y〕﹢〔﹣x﹢9y〕的值为。

考点三：代数式中的找规律例3、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列 ,其中“杨辉三角〞就是一例。

如图 ,这个三角形的构造法那么：两腰上的数都是1 ,其余每个数均为其上方左右两数之和 ,它给出了〔a﹢b〕n〔n为正整数的展开式的系数规律。

例如 ,在三角形中第三行的三个数1 ,2 ,1 ,恰好对应〔a﹢b〕2＝a²﹢2ab﹢b²展开式中的系数；第四行的四个数1 ,3 ,3 ,1 ,恰好对应〔a﹢b〕3＝a³﹢3a²b﹢3ab²﹢b³展开式中的系数等等。

〔1〕根据上面的规律 ,写出〔a﹢b〕5的展开式；〔2〕利用上面的规律计算：25﹣5×24﹢10×23﹣10×22﹢5×2﹣1。

变式训练：把黑色棋子按如下列图的规律摆放 ,那么第n个图应摆放的棋子数为。