6.2抽样分布

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1 / 8 Ch 6 数理统计的基本概念

§6.1 基本概念

一、总体与样本

1、总体——研究对象的全体，记为X。

2、个体——构成总体的每一个对象，记为iX。

3、总体容量——总体中包含的个体的个数。

有限总体——容量有限；无限总体——容量无限。

为推断总体X的分布，从总体中抽取n个个体，则对应n个r.v.nXXX.....2,1

——来自于总体X的一个样本。

nXXX......,21的取值（（nxxx,.....,21）--观测结果）称为样本的观测值，简称为样本值，整个抽取过程称之为抽样。

抽取的目的是根据样本的取值情况推断总体情况，因此应尽可能的使抽取的样本能反映总体的状况，故要求抽取的样本具有以下性质：文档收集自网络，仅用于个人学习

⑴ 代表性：样本中每个r.v.iX与总体X具有相同的分布。文档收集自网络，仅用于个人学习

⑵ 独立性：nXXX......,21相互独立。——简单的随机抽样所得的样本称为简单的随机样本；若总体X的分布函数为F（x），则样本nXXX.....2,1的联合分布函数)().....,(121*ininxFxxxF。文档收集自网络，仅用于个人学习

若X为连续型，且d.f为f(x),且联合p.d.f为：)()....,(121*ininxfxxxf

若X为离散型，且分布律为：....2,1,)(kpxXPkk则联合分布律： 个人收集整理 仅供参考学习

2 / 8 iniiinniipppxXxXxXP....).....,(212211。...2,1.....3,2,1iniii

二、统计量

Def:不含有任何未知数的关于样本空本空间的函数称为统计量。

e.g.1 设总体X~),(2N，其中2,未知，（nXXX.....2,1）为取自总体X的一个样本，则：

niiniiXXnSXnX1221)(11,1均为统计量。

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第6章样本及抽样分布

6.1复习笔记

一、抽样分布

1．样本统计量

（1）常用的统计量（见表6-1-1）

表6-1-1常用统计量

2．经验分布函数

设x

1，x

2，…，

nx是总体F的一个容量为n的样本值，将x

1，x

2，…，x

n按从小到大的

顺序排列，记为(1)(2)()nxxx，则经验分布函数F

n（x）的观察值为

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(1)

n()(1)

()0,

(),1,2,,1

1.kk

nxx

k

Fxxxxkn

n

xx











，

，

，

格里汶科定理：∀x∈R，当n→∞时F

n（x）以概率1一致收敛于F（x），即

{limsup|()()|0}1

nnxPFxFx



3．常用统计量的分布（见表6-1-2）

表6-1-2三大分布

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4.正态总体的样本均值与样本方差的分布

①定理一

设X

1，X

2，…，X

n是来自正态总体2(,)N的样本，其样本均值和样本方差为

22

1111

,

1nn

ii

iiXXSXX

nn





a．2

2

2(1)

~(1)nS

n

b.2

~(,)XN

n

c．X与S2相互独立。

③定理二

设X

1，X

2，…，X

n是来自正态总体2(,)N的样本，X，S2分别是该样本的均值和方差，则有

~(1)nX

ttn

S



④定理三

设

112,,,

nXXX与

212,,,

nYYY是分别来自正态总体2

11(,)N和2

22(,)N的样

本，且两个样本相互独立。是样本方差，则

a．22

12

1222

12/

~(11)

/SS

FFnn

，

b．当222

12时

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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书

材料# 1 抽样分布

根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。

定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。

由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。

（一）样本均值的抽样分布

从单位数为N的总体中抽取样本容量为n的随机样本，在重复抽样的条件下共有nN个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNNCnNn个可能样本。对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()xs或或p，因此，样本均值是一个随机变量。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。

[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：

12341234xxxx

总体分布为均匀分布，如图6.1所示。

图6.1

总体均值：102.54X 0.1 0.2 0.25 0.3

1 2 3 y

0 x

材料# 2 总体方差：22()1.25xxn

若重复抽样，n=2 则共有2416个可能样本。具体列示如表5.1.1。

表6.1 可能的样本及其均值

每个样本被抽中的概率相同，均值为116

样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。

样本均值x抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。

如果总体分布是非正态分布，当x为大样本（30n）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x为小样本时，其分布不是正态分布。

下面再让我们来看看样本均值x抽样分布的特征：数学期望和方差。

设总体共有N个元素，其均值为，方差为2，从中抽取容量为n的样本。

E()xxX （6.1）

22xn（重复抽样） （6.2）

第6章统计量与抽样分布

§6.2 统计量与抽样分布(三)第6章数理统计基础

本节主要内容

§6.2统计量与抽样分布

6.2.1统计量

6.2.2抽样分布

6.2.3分位数§6.2 统计量与抽样分布

6.2.3分位数

在统计中，我们常常需要对给定P{X>x}，确定x取什么

值．由此确定的x是一个临界点，称为分位数(点).

【定义6.6】设X为随机变量,若对给定的(0,1)，存在

x满足P{X>x}=,

则称x为X的上分位数(点).

上分位数几何解释：

上分位数x右边阴影

部分曲边梯形的面积为

.§6.2 统计量与抽样分布

6.2.3分位数

在统计中，我们常常需要对给定P{X>x}，确定x取什么

值．由此确定的x是一个临界点，称为分位数(点).

【定义6.6】设X为随机变量,若对给定的(0,1)，存在

x满足P{X>x}=,

则称x为X的上分位数(点).

上分位数性质：

x是关于的减函数，

即增大时x减少

.§6.2 统计量与抽样分布

6.2.3分位数

常用分布的上分位数求法：

(1)设ZN(0,1)，记N(0，1)的上分位数为z，即有

P{Z> z} = .

由于(z

)=1–,

反查正态分布的分布函数表可求出z

【例】求z

0.025.

解：(z

0.025)=1-0.025=0.975

查表可得z

0.025=1.96

.§6.2 统计量与抽样分布

6.2.3分位数

常用分布的上分位数求法：

(1)设ZN(0,1)，记N(0，1)的上分位数为z，即有

P{Z> z} = .

由于(z

)=1–,

反查正态分布的分布函数表可求出z

由对称性得到：z

1-=–z

常用的标准正态分布的分位数：

0.0010.0050.010.0250.050.10

z3.0902.5762.3261.9601.6451.282§6.2 统计量与抽样分布

6.2.3分位数

(2)设2～2(n)，记2(n)的上分位数为