第六章样本及抽样分布
【基本要求】 1、理解总体、个体和样本的概念；
2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；
3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；
4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布—— 2 分布，t分布，
F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】 4 学时
【授课内容】
§6.0前言
前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一
门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；
而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的
一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来
选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理
统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§ 6.1随机样本
1
一、总体与样本
1.总体、个体
在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是
个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每
个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几
项数量指标 X ( 可以是向量 ) 和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中 X 是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X 的这样或那样的数值，因而这个数量指标X 是一个随机变量（或向量），而 X 的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标 X 可能取值的全体组成的集合等同起来。
定义 1：把研究对象的全体（通常为数量指标X 可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。
我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X 的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指
标 X 的分布，因此， X 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X 。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体
和无限总体。
例 1：考察一块试验田中小麦穗的重量：
X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x
2
对应的分布： F ( x) P{ x} 重量 x的麦穗数 1 ( t ) 2 dt ~ N ( , 2 ) 0 x
x
总麦穗数 2
例 2：考察一位射手的射击情况：
X=此射手反复地无限次射下去所有射击结果全
体；每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）
1射中
个体数量化 x
0未中
1 在总体中的比例p 为命中率
0 在总体中的比例1p 为非命中率
总体 X 由无数个 0，1 构成，其分布为两点分布B(1, p)P{ X 1} p, P{ X 0} 1p
2.样本与样本空间
为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。
抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。
一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的
性质。按照一定规则从总体X 中抽取的一组个体( X1 , X 2 ,, X n ) 称为总体的一个样本，显然，样
本为一随机向量。
为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n 次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了X 1 , X 2 ,, X n的分布相同，与总体
一样。②独立性： X1 , X 2 ,, X n相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本
( X 1 , X2 , , X n ) 称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，
无放回的抽样不能保证X 1 , X 2 ,, X n的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单
随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。
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对每一次观察都得到一组数据（ x1 , x2 , , x n），由于抽样是随机的，所以观察值（ x1, x2 ,, x n）
也是随机的。为此，给出如下定义：
定义 2: 设总体 X 的分布函数为F ( x)，若X1, X2,, X n是具有同一分布函数 F ( x) 的相互独立的随机变量，则称（X 1, X 2 , , X n）为从总体X中得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本。把它们的观察值（ x1 , x2 ,, x n）称为样本值。
定义 3: 把样本 ( X1, X2,, X n)的所有可能取值构成的集合称为样本空间,显然一个样本值
( x1, x2,, x n)是样本空间的一个点。
注：样本具有双重性，在理论上是随机变量，在具体问题中是数据。
二、样本的分布：
设总体 X 的分布函数为 F (x)，（X1, X2,, X n）是X的一个样本，则其联合分布函数为：
n
F * ( x1 ,x2 , , x n ) = F (x i ) 。
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例 3：设总体X ~ B(1, p) , ( X1 , X 2 , X n ) 为其一个简单随机样本，则样本空间
{( x1 , x2 , ,x n ) x i 0,1 ; i 1,2, ,n } ，因为P{ X x} p x(1 p)1 x，x 0,1
所以样本的联合分布列为：
P{ X1 x1 , X 2 x2 ,L , X n x n } P{ X1 x1} P{ X 2 x2} L P{ X n x n }
p x1 (1 p)1 x1 .p x2 (1p) 1 x2 p x n (1 p)1 x n x 0,1 i 1,2, , n
i
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