几种常用的分布 抽样分布

Poisson分布的特点
• 形态：
– 离散分布 – 只取决于 λ，λ 很小时分布很偏，当 λ 增加时，逐渐趋于对称。 – 在 x=λ 和 x=λ-1 处达到峰值，且有
P( x = λ )oisson 分布的总体均数与总体方差 相等，为 λ
Poisson分布的特点
λ = 500 × 0.0008 = 0.4
X ~ P (0.4)
0.4k −0.4 P = 1− ∑ e k =0 k !
5
Poisson分布的正态近似
λ 越小分布越偏，随着 λ → ∞ ，Poisson 分布也 渐近正态，X ~ N (λ , λ ) 。 一般当 λ ≥ 20 时， Poisson 分布进行连续性校正后可按正态分布处理。
医学参考值范围
(Reference Value Range) 一、基本概念
通常指正常人的解剖、生理、生化、免疫及组织 代谢产物的含量等各种数据的波动范围。主要目 的：用于临床疾病诊断。最常用的是95%参考值范 围。
确定95%参考值范围示意图
确定医学参考值范围
例3.9 估计某地健康成年女子的血红蛋白 的95%医学参考值范围
二项分布的Poisson近似
• 设 xi ~ B (n, π ) ，当 n → ∞ ，nπ → c 常数时，此时 xi 的 极限分布是以 c 为参数的 Poisson 分布。 π 越小， 近似越好 例：某地食管癌的发病率 π=8/10000，在当地随即 抽查 500 人，患者至少为 6 人的概率。 P ( X ≥ 6) = 1 − P ( X < 6)
n • 由于上式是二项式 [π + (1 − π )] 展开式中相应地含
π 的项，因此称该分布为二项分布。 • 从阳性率为 π 的总体中随机抽取大小为 n 的样本， 则出现阳性数为 x 的样本的分布为二项分布， 记作 x~B（n, π） 。

查费用
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。

(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布

68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)

2019/10/28
11
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/10/28
取r = 1，负二项分布等于 几何分布。其概率质量函数 为
几种常见的分布
2019/10/28
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系 大数定理、中心极限定理
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/10/28
4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
2019/10/28
5
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
2019/10/28
6
五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。

2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
4
一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
5
1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所 要研究的同类事物的全体，是所要说 明其数量特征的研究对象。按所研究 标志性质不同，分为变量总体和属性 总体，分别研究总体的数量特征和品 质特征。 构成总体的个别事物（基本单元 ）就是总体单位，也称个体。总体单 位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差； 不能计算、控制误差，无法说明调查结果 的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
15
2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体 中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将 其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特 点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结 果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试 验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每 次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复 试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位 数，n为样本容量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
16
2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分 布
第六章 抽样与抽样分布

例2
设X
~
N
(
,
2
),
Y
2
~
2 (n),且X ,Y相互独立,
试求 T X 的概率分布.
Yn
解 因为X ~ N(, 2),所以 X ~ N(0,1)
又Y
2
~
2 (n),且X ,Y独立,则
X
与Y
2
独立,
由定理得
T (X ) / X ~ t(n) (Y / 2) / n Y n
n
事实上，它们受到一个条件的约束：
Xi nX
i 1
n
i 1
Xi
X
1
n
(
i 1
Xi
nX )
1
0
0.
例1
设X1 ,
X 2 ,
,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
2
4
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
3. t 分布 定义 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 (n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X 服从自由度为 n Y /n
的 t 分布, 记为T ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t(n) 分布的概率密度函数为
2. 2分布（卡方分布）
定义、设 X1, X 2 ,L , X n 相互独立，同服从 N (0, 1)

(3) X与S2相互独立
(4) X ~ t(n 1)
Sn
已知， 2未知
(5) n ( Xi )2 ~ 2 (n)
i1
已知
LOGO
例1 设总体X 服从正态分布N (12, 2 ), 抽取容量为
25的样本,求样本均值X大于12.5的概率.如果(1)已
知 12；（2）未知，但已知样本方差S2 3.6.
n1 n2
服
从
F（n1,
n
）
2
分
布
.
LOGO
4.3.2 正态总体的抽样分布
由于要求具体抽样分布是困难的，有时甚至是不可 能的。正态总体的抽样分布有详尽的研究，本节主要 学习正态总体的抽样分布。
掌握正态分布、 2分布、t分布、F分布的一些结论
对于正态总体抽样分布的学习非常有用. 主要学习单个正态总体的抽样分布以及多个正态总
i1
于是P
10
i1
Xi 2
4
P
1 0.52
10 i1
Xi2
16
查表求02.10(10) 16.由此可得
P
10 i1
Xi
2
4
0.10.
(2) 由题设及定理4.3.2， 9S 2
0.52
10
P i1
(Xi
X )2
1
2.85
P
0.52
10 i1
查表得02.25(9) 11.4,由此可求得
n
n
该定理的证明由正态分布的性质3.1.10可得。
注意：当样本来自非正态总体时，若总体均值为,方差 为 样 本量2（充有分限大且时不，X为近零似）服，从由N中(心, 极)2.限定理可以证明当

P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
故
P
1 F
F1
1 (n, m)
,
由于 1 ~ F(m, n) F
因而
F1
1 (n,
m)
F
(m,
n)
例1 F0.95 (5,4) ? 0.6
解 查P.268表, 0.5 0.4
F0.05 (4,5) 5.19 0.3
0.2
F1
(n,
m)
x)
f (x1 ,, xn )dx1 dxn
n
i 1
X
2 i
x
1
(2 )n / 2
i 1
exp(
1 2
n
X
2 i
x
n i 1
xi2
)dx1 dxn
i 1
作 n元极坐标变换
x1 r cos1 cos2 cosn1 x2 r cos1 cos2 sin n1
x3 r c os1 cos2 sin n2
2
2
t e dt 令
t
nzm 2
v
2
n m z n m n 1 2 22
nm
2
(
n 2
)(
m 2
)
nz
2
m
nm 2
0
nm 1
2
t
nm
n2m2
zn 2
1
1
nm
2 n m
(
n 2
)(
m 2
)
nz
m
2
(
nm 2