常用的典型抽样分布法
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抽样与抽样分布在统计学中,抽样是一种常用的数据收集方法,通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时,我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性,从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足,从而产生较大的估计误差。
有时,有偏抽样也可以用于特定的研究目的,但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出,当样本容量足够大时,无论总体分布如何,样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下,样本方差的抽样分布呈右偏态,即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布,可以使用抽样分布的近似分布,如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例:1. 调查研究在进行调查研究时,我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法,我们可以将样本的调查结果推广到总体中,从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值,我们可以判断假设的合理性。
抽样方法与总体分布的估计●知识梳理1.简单随机抽样:一样地,设一个总体的个体数为N ,假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称如此的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情形,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.3.两种抽样方法的比较(略).4.总体:在数理统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体.5.频率分布:用样本估量总体,是研究统计问题的差不多思想方法,样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比,确实是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.能够用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.6.总体分布:从总体中抽取一个个体,确实是一次随机试验,从总体中抽取一个容量为n 的样本,确实是进行了n 次试验,试验连同所显现的结果叫随机事件,所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.●点击双基1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情形,从中抽查了100名运动员的年龄,就那个问题来说,下列说法正确的是A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是1002.一个总体中共有10个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本,则某特定个体入样的概率是A.310C 3B.89103⨯⨯C.103 D.101 3.一个容量为n 的样本,分成若干组,已知某数的频数和频率分别为40、0.125,则n 的值为 A.640 B.320 C.240 D.1604.某单位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的健康状况,需从他们中抽取一个容量为36的样本,在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________.那么分数在[100,110)中的频率和分数不满110分的累积频率分别是______________、_______(精确到0.01).●典例剖析【例1】 (2004年湖南,5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情形,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情形,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采纳的抽样方法依次是A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法【例2】 (2004年福建,15)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定假如在第1组随机抽取的号码为m ,那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同.若m =6,则在第7组中抽取的号码是___________.【例3】 把容量为100的某个样本数据分为10组,并填写频率分布表,若前七组的累积频率为0.79,而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列,则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图和累积频率分布图;(3)估量电子元件寿命在100~400 h 以内的概率; (4)估量电子元件寿命在400 h 以上的概率.剖析:通过本题可把握总体分布估量的各种方法和步骤. 解:(1)频率分布表如下:(2)频率分布直方图如下:100 200 300 400 500 600 寿命(h )寿命(h )1.000.800.600.400.20累(3)由累积频率分布图能够看出,寿命在100~400 h 内的电子元件显现的频率为0.65,因此我们估量电子元件寿命在100~400 h 内的概率为0.65.(4)由频率分布表可知,寿命在400 h 以上的电子元件显现的频率为0.20+0.15=0.35,故我们估量电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.评述:画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义. ●闯关训练 夯实基础1.(2004年江苏,6)某校为了了解学生的课外阅读情形,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时刻的数据,结果用下面的条形图表示,依照条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时刻为2015105人数(人)时间(h )0 0.5 1.0 1.5 2.0A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h 2.某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上的人,用分层抽样法从中抽取20人,各年龄段分别抽取的人数为A.7,5,8B.9,5,6C.6,5,9D.8,5,73.某单位共有N 个职工,要从N 个职工中采纳分层抽样法抽取n 个样本,已知该单位的某一部门有M 个职员,那么从这一部门中抽取的职工数为___________.4.下图是容量为100的样本的频率分布直方图,试依照图形中的数据填空:组距0.00.00.02样本数据(1)样本数据落在范畴[6,10)内的频率为___________; (2)样本数据落在范畴[10,14)内的频数为___________; (3)总体在范畴[2,6)内的概率约为___________.●思悟小结1.采纳什么抽样方法,要视情形来定:当总体中的个体较少时,一样可用随机抽样;当总体中的个体较多时,一样可用系统抽样;当总体由差异明显的几部分组成时,一样可用分层抽样.2.用样本估量总体,是研究统计问题的一个差不多思想方法.用样本估量总体,本节要紧研究在整体上用样本的频率分布估量总体的分布.教学点睛1.常用的抽样方法有三种:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,其中第一种是最简单、最差不多的抽样方法.三种抽样方法的共同点:差不多上等概率抽样,表达了抽样的公平性;三种抽样方法各有其特点和适用的范畴.2.总体分布反映了总体在各个范畴内取值的概率.当总体中所取不同数值比较少时,常用条形图表示相应样本的频率分布;否则,常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.3.系统抽样的步骤:(1)将总体中的个体随机编号;(2)将编号分段;(3)在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;(4)按照事先研究的规则抽取样本.4.分层抽样的步骤:(1)分层;(2)按比例确定每层抽取个体的个数;(3)各层抽样(方法能够不同);(4)汇合成样本.5.解决总体分布估量问题的一样程序如下:(1)先确定分组的组数(最大数据与最小数据之差除以组距得组数);(2)分别运算各组的频数及频率(频率=总数频数);(3)画出频率分布直方图,并作出相应的估量.6.条形图是用其高度表示取各值的频率;直方图是用图形面积的大小表示在各区间内取值的频率;累积频率分布图是一条折线,利用任意两端值的累积频率之差表示样本数据在这两点值之间的频率.。
常用抽样方法概率抽样(probability sampling):依据概率论原理,按照随机化原则从总体中抽取样本的方法。
特点:抽取的样本具有一定的代表性,可以通过样本推断总体特征,但操作较复杂,且费用较高。
非概率抽样(non-probability sampling)/非随机抽样:主要依据研究者的主观意愿、判断或是否方便等因素从总体中抽取样本的方法。
特点:是一种快速、简易且节省费用的数据收集方法。
但所抽取的样本代表性较差,一般不用来推断总体特征,多用于探索性研究。
一、单纯随机抽样(Simple sampling)1、概念:首先根据调查目的选定总体, 对总体中所有观察单位统一编号:1、2、3 …N, (N为总体中的观察单位总数 ),遵循随机原则,采用不放回抽取的方法,从总体中抽取 n 个观察单位组成样本,这种抽样方法称为单纯随机抽样。
2、特点:是一种等概率抽样方法;逐个进行抽取;不放回抽样。
3、单纯随机抽样的方法:抽签法、随机数字表法抽签法所产生的样本为何具有代表性?——摇匀使得每一个体被抽到的机会是相等的随机数字表法随机数字表:随机数字表中的每个数都是用随机方法产生的,这样的表称为随机数字表。
4、抽样误差大小的估计对于单纯随机抽样,样本均数与样本率的抽样误差,即标准误的计算公式见下表。
5、优缺点优点:抽样方法简单、易行。
缺点:当病例总数较大时,很难实施抽样,有时很难实现。
6、适用范围:总体个体数较少,抽取的样本容量也较小。
当群体中存在大量个体时,用简单的随机抽样方法进行抽样比较麻烦,可以用系统抽样方法进行抽样。
二、系统抽样(Systematic sampling)1、概念:将容量为N的总体按某一顺序编号(或按研究对象已有的顺序,如学生证号等 )并平均分成n个部分,每部分包含K个个体(K=N/n)。
首先从第一部分中随机抽取一个个体,依次用相等的间隔,机械地从每一部分中各抽取一个个体,共抽得n个个体组成样本,该抽样方法为系统抽样(等距抽样、机械抽样)。
常用的典型抽样分布法引言在统计学中,抽样是指从一个总体中选择一局部个体,以便对整体进行估计或推断。
常用的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
在进行抽样时,研究人员往往关心抽样分布,即根据抽样数据得到的统计量的分布情况。
本文将介绍常见的典型抽样分布法,包括t分布、F分布和χ²〔卡方〕分布。
1. t分布t分布是统计学中的一种概率分布,用于估计总体均值的分布情况。
它在样本容量较小或总体标准差未知的情况下使用。
t分布的形状取决于样本容量,随着样本容量增大,t分布逐渐接近于标准正态分布。
t分布的概率密度函数为:f(t) = Γ((v+1)/2) / (√(vπ) * Γ(v/2) * (1 +t²/v)^(v+1)/2)其中,v为自由度,表示样本容量减去1。
t分布的特点包括: - 期望值为0 - 方差为v/(v-2) (v>2时)t分布的应用: - 进行单样本均值检验 - 构建置信区间 - 进行配对样本均值检验 - 进行相关系数的检验等2. F分布F分布是一种常见的概率分布,用于比拟两个或多个总体方差是否具有显著差异。
F分布的形状取决于两个自由度参数,分子自由度记为n₁,分母自由度记为n₂。
F分布的概率密度函数为:f(x) = √((n₁ * x)^(n₁ * (n₂-2)) / (n₂^(n₁ * n₂) * (n₁ * x + n₂)^(n₁+n₂))) / [x * B(n₁/2, n₂/2)]其中,B(·)为贝塔函数。
F分布的特点包括: - 右偏态分布 - 期望值为(n₂/(n₂-2)) (n₂>2时) - 方差为(2 * n₂² * (n₁+n₂-2)) / (n₁ * (n₂-2)^2 * (n₂-4)) (n₂>4时) F分布的应用: - 进行方差分析 - 比拟两个组的方差是否具有显著差异3. χ²〔卡方〕分布χ²〔卡方〕分布是一种常见的概率分布,用于描述不同类别之间的差异性或相关性。