常用的典型抽样分布法
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抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
统计学抽样与抽样分布
查费用
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
第十六讲(数理统计中常用的分布、抽样分布定理)
2 1 2 2
3 n足够大 时， (n)近似服从• (n,2n) N
2
证
1设
2 (n) X i2
i 1
n
X i ~ N (0,1) i 1,2, , n
X 1 , X 2 , , X n
相互独立,
2 i
则 E ( X i ) 0, D( X i ) 1, E ( X ) 1
•2
P{ X z } 1
-z= z1-
例1 求
z0.05 , z0.025 , z0.005 , z0.95 .
解： P{ X 1.645} 0.05, P{ X 1.96} 0.05, P{ X 2.575} 0.005.
z0.05 1.645 , z0.025 1.96 , z0.005 2.575
0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1 n=20
-3
-1
1
2
3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t分布的性质： 1. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形， 1 t 2 2 再 由函数的性质有 lim f (t ) 2 e . n
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为 第 一自由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
若F~F(n1,n2)， F的概率密度为
( n1 n2 ) n n1 n21 1 n n 2 n ( n1 ) 2 ( y ) 1 n1 y 2 ( y ) ( 1 ) ( 2 ) 2 2 2 0
3 n足够大 时， (n)近似服从• (n,2n) N
2
证
1设
2 (n) X i2
i 1
n
X i ~ N (0,1) i 1,2, , n
X 1 , X 2 , , X n
相互独立,
2 i
则 E ( X i ) 0, D( X i ) 1, E ( X ) 1
•2
P{ X z } 1
-z= z1-
例1 求
z0.05 , z0.025 , z0.005 , z0.95 .
解： P{ X 1.645} 0.05, P{ X 1.96} 0.05, P{ X 2.575} 0.005.
z0.05 1.645 , z0.025 1.96 , z0.005 2.575
0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1 n=20
-3
-1
1
2
3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t分布的性质： 1. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形， 1 t 2 2 再 由函数的性质有 lim f (t ) 2 e . n
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为 第 一自由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
若F~F(n1,n2)， F的概率密度为
( n1 n2 ) n n1 n21 1 n n 2 n ( n1 ) 2 ( y ) 1 n1 y 2 ( y ) ( 1 ) ( 2 ) 2 2 2 0
随机抽样的常用的四种方法分析一览表
当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样
整群抽样是将总体中各个个体归并成若干个互不交叉、互不重复的集合，称之为群；然后以群为抽样单位随机抽取一部分群为样本的一种抽样方式。对中选群内的所有单元进行全面调查。确切地说，这种抽样组织形式应称为单级整群抽样
由于样本只是来自个别几个群，样品在总体中的分布很不均匀，因而代表性较差。由于工艺条件的变化，所抽样品很难代表整体
共同点
抽样过程中每个个体被抽到的概率是相同的
（1）抽样过程中每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个体被抽到的概率是相同的（2）都要先编号
各自 特点
从总体中逐一抽取
将总体均匀分成几部分，再按事先确定的规则在各部分抽取
1）将总体分成几层，再按层进行抽取；2）分层原则：层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠；3）分层抽样的样本是从每层内抽取若干个体构成
适用 范围（场合）
适用于总体中个体数较少，抽取的样本容量也较小的抽样类型。
在实际工作中，真正做到总体中的每个个体被抽到的机会完全一样是不容易的，这往往上由各种客观条件和主观心理等许多因素综合影响造成的
总体中的个体数较多，但在总体会发生周期性变化的场合，不宜使用这种抽样法
1）总体由差异明显的几部分组成
简单随机抽样simple random sampling常见的有抽签法、查随机数值表法
系统抽样systematic sampling（顺序抽样、等距抽样、机械抽样、SYS抽样）
分层抽样stratified sampling（分类抽样、类型抽样）
整群抽样是将总体中各个个体归并成若干个互不交叉、互不重复的集合，称之为群；然后以群为抽样单位随机抽取一部分群为样本的一种抽样方式。对中选群内的所有单元进行全面调查。确切地说，这种抽样组织形式应称为单级整群抽样
由于样本只是来自个别几个群，样品在总体中的分布很不均匀，因而代表性较差。由于工艺条件的变化，所抽样品很难代表整体
共同点
抽样过程中每个个体被抽到的概率是相同的
（1）抽样过程中每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个体被抽到的概率是相同的（2）都要先编号
各自 特点
从总体中逐一抽取
将总体均匀分成几部分，再按事先确定的规则在各部分抽取
1）将总体分成几层，再按层进行抽取；2）分层原则：层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠；3）分层抽样的样本是从每层内抽取若干个体构成
适用 范围（场合）
适用于总体中个体数较少，抽取的样本容量也较小的抽样类型。
在实际工作中，真正做到总体中的每个个体被抽到的机会完全一样是不容易的，这往往上由各种客观条件和主观心理等许多因素综合影响造成的
总体中的个体数较多，但在总体会发生周期性变化的场合，不宜使用这种抽样法
1）总体由差异明显的几部分组成
简单随机抽样simple random sampling常见的有抽签法、查随机数值表法
系统抽样systematic sampling（顺序抽样、等距抽样、机械抽样、SYS抽样）
分层抽样stratified sampling（分类抽样、类型抽样）
抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计●知识梳理1.简单随机抽样：一样地，设一个总体的个体数为N ，假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称如此的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情形，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.3.两种抽样方法的比较（略）.4.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.5.频率分布：用样本估量总体，是研究统计问题的差不多思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，确实是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.能够用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.6.总体分布：从总体中抽取一个个体，确实是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，确实是进行了n 次试验，试验连同所显现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.●点击双基1.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情形，从中抽查了100名运动员的年龄，就那个问题来说，下列说法正确的是A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是1002.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是A.310C 3B.89103⨯⨯C.103 D.101 3.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为 A.640 B.320 C.240 D.1604.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法中较合适的抽样方法是___________.那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是______________、_______（精确到0.01）.●典例剖析【例1】 （2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情形，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情形，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采纳的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法【例2】 （2004年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同.若m =6，则在第7组中抽取的号码是___________.【例3】 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）估量电子元件寿命在100～400 h 以内的概率； （4）估量电子元件寿命在400 h 以上的概率.剖析：通过本题可把握总体分布估量的各种方法和步骤. 解：（1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如下：100 200 300 400 500 600 寿命(h )寿命(h )1.000.800.600.400.20累（3）由累积频率分布图能够看出，寿命在100～400 h 内的电子元件显现的频率为0.65，因此我们估量电子元件寿命在100～400 h 内的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件显现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估量电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.评述：画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年江苏，6）某校为了了解学生的课外阅读情形，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时刻的数据，结果用下面的条形图表示，依照条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时刻为2015105人数(人)时间(h )0 0.5 1.0 1.5 2.0A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h 2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，73.某单位共有N 个职工，要从N 个职工中采纳分层抽样法抽取n 个样本，已知该单位的某一部门有M 个职员，那么从这一部门中抽取的职工数为___________.4.下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试依照图形中的数据填空：组距0.00.00.02样本数据（1）样本数据落在范畴［6，10）内的频率为___________； （2）样本数据落在范畴［10，14）内的频数为___________； （3）总体在范畴［2，6）内的概率约为___________.●思悟小结1.采纳什么抽样方法，要视情形来定：当总体中的个体较少时，一样可用随机抽样；当总体中的个体较多时，一样可用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一样可用分层抽样.2.用样本估量总体，是研究统计问题的一个差不多思想方法.用样本估量总体，本节要紧研究在整体上用样本的频率分布估量总体的分布.教学点睛1.常用的抽样方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，其中第一种是最简单、最差不多的抽样方法.三种抽样方法的共同点：差不多上等概率抽样，表达了抽样的公平性；三种抽样方法各有其特点和适用的范畴.2.总体分布反映了总体在各个范畴内取值的概率.当总体中所取不同数值比较少时，常用条形图表示相应样本的频率分布；否则，常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.3.系统抽样的步骤：（1）将总体中的个体随机编号；（2）将编号分段；（3）在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；（4）按照事先研究的规则抽取样本.4.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法能够不同）；（4）汇合成样本.5.解决总体分布估量问题的一样程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别运算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估量.6.条形图是用其高度表示取各值的频率；直方图是用图形面积的大小表示在各区间内取值的频率；累积频率分布图是一条折线，利用任意两端值的累积频率之差表示样本数据在这两点值之间的频率.。
常用抽样方法
常用抽样方法概率抽样（probability sampling）：依据概率论原理，按照随机化原则从总体中抽取样本的方法。
特点：抽取的样本具有一定的代表性，可以通过样本推断总体特征，但操作较复杂，且费用较高。
非概率抽样（non-probability sampling）/非随机抽样：主要依据研究者的主观意愿、判断或是否方便等因素从总体中抽取样本的方法。
特点：是一种快速、简易且节省费用的数据收集方法。
但所抽取的样本代表性较差，一般不用来推断总体特征，多用于探索性研究。
一、单纯随机抽样（Simple sampling）1、概念：首先根据调查目的选定总体, 对总体中所有观察单位统一编号：1、2、3 …N, (N为总体中的观察单位总数 )，遵循随机原则，采用不放回抽取的方法，从总体中抽取 n 个观察单位组成样本，这种抽样方法称为单纯随机抽样。
2、特点：是一种等概率抽样方法；逐个进行抽取；不放回抽样。
3、单纯随机抽样的方法：抽签法、随机数字表法抽签法所产生的样本为何具有代表性?——摇匀使得每一个体被抽到的机会是相等的随机数字表法随机数字表：随机数字表中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数字表。
4、抽样误差大小的估计对于单纯随机抽样，样本均数与样本率的抽样误差，即标准误的计算公式见下表。
5、优缺点优点：抽样方法简单、易行。
缺点:当病例总数较大时，很难实施抽样，有时很难实现。
6、适用范围：总体个体数较少，抽取的样本容量也较小。
当群体中存在大量个体时，用简单的随机抽样方法进行抽样比较麻烦，可以用系统抽样方法进行抽样。
二、系统抽样(Systematic sampling)1、概念：将容量为N的总体按某一顺序编号(或按研究对象已有的顺序，如学生证号等 )并平均分成n个部分，每部分包含K个个体（K=N/n）。
首先从第一部分中随机抽取一个个体，依次用相等的间隔，机械地从每一部分中各抽取一个个体，共抽得n个个体组成样本，该抽样方法为系统抽样（等距抽样、机械抽样）。
16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
0
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
常用的典型抽样分布法
常用的典型抽样分布法引言在统计学中，抽样是指从一个总体中选择一局部个体，以便对整体进行估计或推断。
常用的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
在进行抽样时，研究人员往往关心抽样分布，即根据抽样数据得到的统计量的分布情况。
本文将介绍常见的典型抽样分布法，包括t分布、F分布和χ²〔卡方〕分布。
1. t分布t分布是统计学中的一种概率分布，用于估计总体均值的分布情况。
它在样本容量较小或总体标准差未知的情况下使用。
t分布的形状取决于样本容量，随着样本容量增大，t分布逐渐接近于标准正态分布。
t分布的概率密度函数为：f(t) = Γ((v+1)/2) / (√(vπ) * Γ(v/2) * (1 +t²/v)^(v+1)/2)其中，v为自由度，表示样本容量减去1。
t分布的特点包括： - 期望值为0 - 方差为v/(v-2) (v>2时)t分布的应用： - 进行单样本均值检验 - 构建置信区间 - 进行配对样本均值检验 - 进行相关系数的检验等2. F分布F分布是一种常见的概率分布，用于比拟两个或多个总体方差是否具有显著差异。
F分布的形状取决于两个自由度参数，分子自由度记为n₁，分母自由度记为n₂。
F分布的概率密度函数为：f(x) = √((n₁ * x)^(n₁ * (n₂-2)) / (n₂^(n₁ * n₂) * (n₁ * x + n₂)^(n₁+n₂))) / [x * B(n₁/2, n₂/2)]其中，B(·)为贝塔函数。
F分布的特点包括： - 右偏态分布 - 期望值为(n₂/(n₂-2)) (n₂>2时) - 方差为(2 * n₂² * (n₁+n₂-2)) / (n₁ * (n₂-2)^2 * (n₂-4)) (n₂>4时) F分布的应用： - 进行方差分析 - 比拟两个组的方差是否具有显著差异3. χ²〔卡方〕分布χ²〔卡方〕分布是一种常见的概率分布，用于描述不同类别之间的差异性或相关性。
正态总体的常用抽样分布(2)
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1) ,
且 X 与 (n 1)S 2 相互独立，
2 /n
2
3
X / n
~
N (0, 1) ，(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，
且
X 2/n
与
(
n
1)
2
S
2
相互独立，
由 t 分布的定义,
T X 2/n
(n 1)S 2
2 (n 1)
S
2 X
和
SY2
为各自的样本方差,
则
F
S
2 X
SY2
2 1
2 2
~
F (n1
1, n2
1) .
证
(n1
1)
S
2 X
2 1
~
2(n1
1)，(n2
1)SY2
2 2
~ 2(n2 1)，
且
S
2 X
与
SY2
相互独立,
由F分布的定义可得结论.
18
小结
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S2
(4) U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
/
n1
2 2
/
n2
(5)
T
F
(X S
S
2 X
SY2
Y)
xy
（1
1
1
） 2~
t ( n1
n2
n1 n2
2
其
中
S
2 xy
(n1
1)S n1
1 2
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7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63
F 分布曲线下面积与概率
小结
• （1）随机变量、概率分布、抽样分布 是统计学推断的基础。
• （2） 二项分布描述二项分类变量两种 观察结果的出现规律。泊松分布是二项 分布的特例，常用于事件发生率很小， 样本含量很大的情况。
• （3）正态分布是其他分布的极限分布， 许多统计方法的理论基础。不少医学 现象也服从正态分布或近似服从正态 分布。
•
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2020 年11月1 7日星 期二1时 43分37 秒Tues day , November 17, 2020
•
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。2 0.11.17 2020年 11月17 日星期 二1时4 3分37 秒20.11. 17
谢谢大家！
•
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年11 月17日 上午1时 43分20 .11.172 0.11.17
•
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。202 0年11 月17日 星期二 上午1时 43分37 秒01:4 3:3720. 11.17
•
让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2 020年1 1月上 午1时43 分20.1 1.1701:43November 17, 2020
分布，且其均数为μ，标准差为 s
n
• 不论总体的分布形式如何，只要样本含
量n足够大时，样本均数的分布就近似正
态分布 ，此称为中心极限定理。 （下章通过抽样实验证实）
常用的三种抽样分布
• 一、 2 分布
• 二、t分布 • 三、F 分布
均为连续型随
机变量分布，分布 只与自由度，即样 本含量有关
χ2分布（chi-square distribution）
t 界值表
（P279，附表2）
问单侧t0.025,10 ?
f (t) ν=10的t分布图
✓ 举例：
t
1.812 -2.228
2.228
① 10，单 =0.05，t , t0.05,10 1.812 ，则有
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t 2, t0.05/ 2,10 2.228 ，则有
分母自由度
分子的自由度，υ1
υ2
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 25
• （4）检验统计量分布（或抽样分布）
包括：卡方分布，t分布，F分布等。 这些分布是卡方检验、t检验、方差分
析等假设检验的基础。
•
生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20. 11.1720 .11.17 Tuesday , November 17, 2020
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 1:43:37 01:43:3 701:43 11/17/2 020 1:43:37 AM
随机变量X N（m，s2）
Z X m s
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N (m,s 2 n)
Z X m
sn
标准正态分布
N（0，12）
Student t分布
t X m X m , v n 1 SS n SX
自由度：n-1
f(t)
ν─>∞(标准正态曲线)
ν=5
ν=1
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
常用的抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
•
这些年的努力就为了得到相应的回报 。2020 年11月1 7日星 期二1时 43分37 秒01:4 3:3717 November 2020
•
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。上午1 时43分 37秒上 午1时4 3分01:43:3720 .11.17
•
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.11. 1720.1 1.1701:4301:43 :3701:4 3:37No v-20
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05 t t 0.10/ 2,30 0.05,30
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
•
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20. 11.1701 :43:370 1:43No v-2017 -Nov-2 0
•
日复一日的努力只为成就美好的明天 。01:43:3701:4 3:3701:43Tues day , November 17, 2020
•
安全放在第一位，防微杜渐。20.11.17 20.11.1 701:43:3701:4 3:37No vember 17, 2020
纵高
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0
f
( 2)
1
2( / 2)
2
2
( / 21)
e2 / 2
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18
卡方值
5.99
χ2分布
f(χ2)
χ2
χ2分布曲线下的面积与概率
二、 t 分布(t-distribution)
( 2)
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Байду номын сангаас
t
图4-2 不同自由度下的t 分布图
t分布的特征
①以0为中心，左右对称的单峰分布；
②t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自
由度的大小有关。
自由度越小，则t值越分散，曲线越低平； 自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近Z分 布(标准正态分布)；当趋于∞时，t分布即 为Z分布。
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
S12 S22
F分布的概率密度函数
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
F 分布曲线下面积与概率
小结
• （1）随机变量、概率分布、抽样分布 是统计学推断的基础。
• （2） 二项分布描述二项分类变量两种 观察结果的出现规律。泊松分布是二项 分布的特例，常用于事件发生率很小， 样本含量很大的情况。
• （3）正态分布是其他分布的极限分布， 许多统计方法的理论基础。不少医学 现象也服从正态分布或近似服从正态 分布。
•
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2020 年11月1 7日星 期二1时 43分37 秒Tues day , November 17, 2020
•
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。2 0.11.17 2020年 11月17 日星期 二1时4 3分37 秒20.11. 17
谢谢大家！
•
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年11 月17日 上午1时 43分20 .11.172 0.11.17
•
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。202 0年11 月17日 星期二 上午1时 43分37 秒01:4 3:3720. 11.17
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分布，且其均数为μ，标准差为 s
n
• 不论总体的分布形式如何，只要样本含
量n足够大时，样本均数的分布就近似正
态分布 ，此称为中心极限定理。 （下章通过抽样实验证实）
常用的三种抽样分布
• 一、 2 分布
• 二、t分布 • 三、F 分布
均为连续型随
机变量分布，分布 只与自由度，即样 本含量有关
χ2分布（chi-square distribution）
t 界值表
（P279，附表2）
问单侧t0.025,10 ?
f (t) ν=10的t分布图
✓ 举例：
t
1.812 -2.228
2.228
① 10，单 =0.05，t , t0.05,10 1.812 ，则有
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t 2, t0.05/ 2,10 2.228 ，则有
分母自由度
分子的自由度，υ1
υ2
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 25
• （4）检验统计量分布（或抽样分布）
包括：卡方分布，t分布，F分布等。 这些分布是卡方检验、t检验、方差分
析等假设检验的基础。
•
生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20. 11.1720 .11.17 Tuesday , November 17, 2020
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 1:43:37 01:43:3 701:43 11/17/2 020 1:43:37 AM
随机变量X N（m，s2）
Z X m s
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N (m,s 2 n)
Z X m
sn
标准正态分布
N（0，12）
Student t分布
t X m X m , v n 1 SS n SX
自由度：n-1
f(t)
ν─>∞(标准正态曲线)
ν=5
ν=1
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
常用的抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
•
这些年的努力就为了得到相应的回报 。2020 年11月1 7日星 期二1时 43分37 秒01:4 3:3717 November 2020
•
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。上午1 时43分 37秒上 午1时4 3分01:43:3720 .11.17
•
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.11. 1720.1 1.1701:4301:43 :3701:4 3:37No v-20
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05 t t 0.10/ 2,30 0.05,30
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
•
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20. 11.1701 :43:370 1:43No v-2017 -Nov-2 0
•
日复一日的努力只为成就美好的明天 。01:43:3701:4 3:3701:43Tues day , November 17, 2020
•
安全放在第一位，防微杜渐。20.11.17 20.11.1 701:43:3701:4 3:37No vember 17, 2020
纵高
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0
f
( 2)
1
2( / 2)
2
2
( / 21)
e2 / 2
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18
卡方值
5.99
χ2分布
f(χ2)
χ2
χ2分布曲线下的面积与概率
二、 t 分布(t-distribution)
( 2)
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Байду номын сангаас
t
图4-2 不同自由度下的t 分布图
t分布的特征
①以0为中心，左右对称的单峰分布；
②t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自
由度的大小有关。
自由度越小，则t值越分散，曲线越低平； 自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近Z分 布(标准正态分布)；当趋于∞时，t分布即 为Z分布。
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
S12 S22
F分布的概率密度函数
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01