第四章固体物理

a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和：
作用方程
只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则
给出试探解
原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差 为k· a。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关 系, 即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
周期性边界条件下K取值很多，无数个。 但实际中可将格波K取值限制在一定范围内 （布里渊区，一个倒格矢G的大小）。
k与k＋G对应的格波是同一个格波！
k与k＋G对应的格波是同一个格波！
根据前面推导情况可知：

2 k n L
m
π a
o
π a
1)、是波矢k的周期性函数, 最小周期为2π/a（倒格矢G）
晶格振动的经典理论
一. 二. 三. 四. 五. 一维单原子链的晶格振动 一维双原子链的晶格振动 三维晶体中原子的振动 态密度函数 近似条件与使用范围
参考： 黄昆书 3.2－3.4节（p82-103） 3.8节（p132-137) Kittel 书 4.1 和 4.2两节
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点。
长波时 光学波【“ ＋”号支】振动情况:
光学波
u M2 v M1
相邻原子振动方向是
相反的。
它表明同一个初基晶胞中的两个原子每时每刻的振动位 相是相反的，而且是质心不动的，不同的初基晶胞有一个位 ika e 相差 。 在离子晶体中由于它们不断的反位相振动，电偶极距可 与电磁波耦合，这种振动模式可用光波来激发，故称之为光 学支振动模式，实际上它是简正模式中的一部分，而不是光 波，它可与光波耦合，但不要与光波混淆。
6. 从实验出发的力常量的推导
金属晶体中有效力的特点：力程很大，
原因：由于力的作用可以通过自由传导电子由一个离子 传递给另一个离子。 色散关系式 推广到p个最近邻的原子面的情形
为了求得Cp，将上式两边同时乘以cosrka（r为整数）， 并在k独立取值区间进行积分
利用了考虑函数奇偶性
除了p＝r项之外，其它情况下的积分均为零。请大家思考！ 得到面间力常数为
附 ： 推 导 过 程
同时半角公式，得(3)
短波极限时(1) 长波极限时（3）
一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是 q 的周 期函数，和一维单原子相同的讨论可知，q 取值范围也在第一 布里渊区（ ）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是 2a
2a
光学支
图中
带隙
称约化质量。
声学支
us
vs
us+1
取第s个红色原子为研究对象：
只考虑最近邻 原子的作用
2.色散关系
取试解
（ us ue i t ska） vs ve i (t ska )
展开此行列式可得：
得：
上式中取“ ＋” 号时，有较高频率称为光学支色散关系， 取“ －”号时，有较低频率称为声学支色散关系。
一维双原子 链晶体可作带 通滤波器.
/ a
/ a
极 端 情 况 1
长 波 极 限
长波极限时色散关系(ka<<1, 即λ>>a)
代入色散关系：
光学波：
声学波：
(接近于常数)
群 速：
)
长波极限下 声学波、光学波 两种原子各自振幅比
长波极限 时振幅比
由u.v的方程组,我们知道:
对光学波【“ ＋”号的一 支】: 当ka<<1时: 对声学波【“-”号的一支】:
Born－Karman 最早利用的周期性边界 条件既能使运动方程可解，又能使结果 符合实际晶体的测量结果呢？成为固体 理论的一个典范。
至目前为止，尚未找到其它边界条件可以获得与实 验更加符合的结果，所以周期性边界条件成为我们 处理的晶格振动唯一选项。
周期性边界条件并没有改变方程解的形 式，只是对解提出一定的条件，q 只可 取N个不同的值，每个q对应着一个格波。
(横波情形)
光学支原子振动
声学支原子振动
光学支
声学支
声 学 波 、 光 学 波 的 区 别
两支模式的区别在于：光学支模式是描写初基 晶胞中两个原子相对运动的振动模式，若这两个原 子组成一个分子，光学支模式实际上是分子振动模 式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况， 声学支模式代表同一初基晶胞中原子的整体运动。 若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学 支模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式 的色散关系类似于声波。但它不是声波。
是波矢k 的偶函数(-q)= (q)。 （称之为色散关系的反演对称性）
2
C aq sin m 2
两 极 端 情 况
qa<<1的条件下，利用级数展开，
得
3.k的取值限制 (周期性边界条件)
我们前面研究的对象是理想晶体（所以可借用 波函数来处理）,边界上与内部的原子是一样的,既 理想晶体不考虑晶体边界,没有边界效应。 对实际长为L的一维原子链,要作为理想晶体来 对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或 玻恩一卡曼边界条件).
运动形式(粒子性角度)：整体运动＋相对运动 所有运动形式都可以由这两种运动形式组合而成。 波函数角度：声学波 光学波

§2.一维双原子点阵的点阵振动
模型:一维无限长原子链，原子质量为M1和M2。同种原子间 距均为a，恢复力系数为c。
M1 us-1 vs-1 us
M2 vs us+1
可假设原子间的力常数是一样的 在简谐近似下，用最近邻近似，认为各原子之间是用同样 的弹簧联系起来的。
1.方程
M1 M2
us-1
vs-1
5.群速
若晶体中有一个扰动，有一个原子偏离了平衡 位置。由于原子间有相互作用，则这个扰动可以 看作是基本格波组成的波包的运动，波包的运动 vg 速度是格波的群速， d dk 。它是有一系列格 波叠加起来的波包的运动，波包中心所对应的速 度为群速度，它是介质中能量传输的速度。
vg d
F=-cx
简谐近似
描述2：能量角度
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位 移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能 展开成级数：
振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的 高次项，只保留到(r)2项---简谐近似。
第s-2个原子
第s-1个原子
第s个原子
第s+1个原子 第s+2个原子
Ae
i t s 1 ak
2 Ae
i wt sak

M 2 C[2 (cos ak i sin ak ) (cos aq i sin ak )] ak C (2 2 cos ak ) 4C sin 2
2
2.色散关系
由色散关系式可画图如下:
m

2π / a π / a
0
π/a
2π / a
一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播
0 max 的弹性波，高于 max 频率的弹性波被强烈
衰减。
m

2π / a π / a
0
π/a
2π / a
是波矢k的周期性函数, 周期为2π/a。（一个倒格矢）
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一 种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与 连续介质弹性波的重大区别。
注 意： 勿 混 淆
k的取值：
K的周期(倒格矢)： G
2 n L 2
a
n
一个布里渊区 (周期)中拥有 的k的数目：
布里渊区中的k值数目＝晶体中初基晶胞的数目。对长为L的 一维原子链中的独立的简正模式数等于晶体中的原子数。
长波时声学波【“-”号支】振动情况:
u / v 1
声学波
这表明ka<<1时，同一初基晶胞中两个原子每时每刻是同 位相运动 （振动之比为1），而且连同质心一起作整体运 动。不同初基晶胞之间的振动有一个相因子 e ika ，初基晶 胞的整体运动存在着类似声波的色散关系ω=vk，有类似 声波的性质，故称之为声学支模式。它不是声波。
1. 一维单原子点阵的振动
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为M。
第s-2个原子 第s-1个原子 第s个原子 第s+1个原子 第s+2个原子
a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
简谐近似 描述1: 力的角度
这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。 这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓 简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种 振动的位移与力之间是满足线性关系的。
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过
Dulong-Petit 定律
认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
dk
由于：
对k微商可得：
如图：
a、长波极限(
).
两 种 极 端 情 况
色散关系:
在长波近似的情况下， 晶体可视为连续介质， 格波可视为弹性波。

m
q
弹性波
2π a
π a
o
πa
2π a
b、短波极限下
两 种 极 端 情 况
它表明当格波的波长比点阵常数大的多时,可 以把格波当作连续介质中的弹性波处理（色散关 系是线性的）。也就是说可以把晶体看作连续介 质，当λ >>a时，点阵的分立性就显示不出来， 传播时感觉不到分立性，若波长缩短，分立结构 的特性对格波的影响就逐渐显露出来，色散关系 / 的线性关系就要改变，当λ =2a时，k=a ，正处 在布里渊区边界，发生了Bragg反射。
2)、k移动一个周期（G）对位移的影响来自根据前面推导情况可知：
是波矢k的周期性函数, 最小周期为2π/a（倒格矢G）
可以一个周期内的k值代表所有允许存在的k是情况。

m
π a
o
π a
将特定取法的一个周期称为布里渊区。 (简约/第一布里渊区)
1 4a
4 2 a 5
由蓝线所代表的波不能给出比 黑线更多的信息。为了表示这个 运动，只需要大于2a的波长。
所谓周期性边界条件是把实际晶体看作是无 限的,要求运动方程的解以晶体的长度L=Na为周期, 即要求:
这个边界条件的意思是相当于将晶体的首位相接构成一 个园环,第0个原子与第N个原子重合。
周 期 性 边 界 条 件
即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，在周期 性边界条件下，格波的波矢只能取一系列分立值。
第四章（声子Ⅰ）点阵振动
第四章 晶格振动
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 单原子结构基元情况下的晶格振动 基元中含有两个原子的情况 弹性波的量子化 声子动量 声子引起的非弹性散射
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射 发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框 架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而 它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或 离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在 固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振 动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体 性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介 电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相 互作用等等。
将试探解代入振
动方程得振动频率:
色散关系 (晶格振动谱) 推导略
代入试探解:
u s i Ae
2
.
i t sak
推 导 过 程
Ae
n MA 2 e it sak M x C Ae
i t sak

i t s 1 ak