《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.

答案：0.3

解：

即

所以

9.0)(1)()(ABPABPBAP.

2． 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.

答案：

解答：

由)2(4)1(XPXP知eee22

即0122解得1，故

3． 设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.

答案：

解答：设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则

因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy

故

另解在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy

所以

4． 设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.

答案：2，-4{min(,)1}1ePXY

解答：

2(1)1(1)PXPXee，故2

41e.

5． 设总体X的概率密度为

其它,0,10,)1()(xxxf1.

nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

答案：

解答：

似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为 $1111lnniixn.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,ABC为三个事件，且,AB相互独立，则以下结论中不正确的是

（A）若()1PC，则AC与BC也独立.

（B）若()1PC，则ACU与B也独立.

（C）若()0PC，则ACU与B也独立.

（D）若CB，则A与C也独立.（）

答案：（D）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.

事实上由图可见A与C不独立.

2．设随机变量~(0,1),XNX的分布函数为()x，则(||2)PX的值为

（A）2[1(2)].（B）2(2)1.

（C）2(2).（D）12(2).（）

答案：（A）

解答：~(0,1)XN所以(||2)1(||2)1(22)PXPXPX

1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A）.

3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是

（A）X与Y独立.（B）()DXYDXDY.

（C）()DXYDXDY.（D）()DXYDXDY.（） S A B

C 答案：（B）

解答：由不相关的等价条件知，0yxcov0xy），（

应选（B）.

4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

若,XY独立，则,的值为

（A）21,99.（A）12,99.

（C）11,66（D）51,1818.（） 答案：（A）

解答：若,XY独立则有

(2,2)(2)(2)PXYPXPY

29，19

故应选（A）.

5．设总体X的数学期望为12,,,,nXXXL为来自X的样本，则下列结论中

正确的是

（A）1X是的无偏估计量.（B）1X是的极大似然估计量.

（C）1X是的相合（一致）估计量.（D）1X不是的估计量.（）

答案：（A）

解答：

1EX，所以1X是的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，

求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’

B‘任取一产品确是合格品’

则（1）()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB

（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA.

四、（12分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，

求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.

解：X的概率分布为

即01232754368125125125125XP

X的分布函数为

231835525DX.

五、（10分）设二维随机变量(,)XY在区域{(,)|0,0,1}Dxyxyxy上服从均匀分布.求（1）(,)XY关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.

解：（1）(,)XY的概率密度为

1

D

0 1 z x y

x+y=1

x+y=z D1 Y X （2）利用公式()(,)Zfzfxzxdx

其中2,01,01(,)0,xzxxfxzx其它2,01,1.0,xxz其它.

当0z或1z时()0Zfz

01z时00()222zzZfzdxxz

故Z的概率密度为

Z的分布函数为

或利用分布函数法

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布.求（1）命中环形区域22{(,)|12}Dxyxy的概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.

解：（1）{,)}(,)DPXYDfxydxdy

2221122888211()8rrredeee；

（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy

2228880021222rrrreedredr.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)XN，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x，样本方差20.16s.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H（显着性水平为0.05）.

（附注）0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt

解：（1）的置信度为1下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）

（2）20:0.1H的拒绝域为22(1)n.

2215151.6240.1S，20.05(15)24.996

因为220.052424.996(15)，所以接受0H.

《概率论与数理统计》期末考试试题（A） x z z=x

x y

0 1 2 专业、班级：姓名：学号：

一、 单项选择题(每题3分共18分)

1．D2．A3．B4．A5．A6．B

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩

得分

一、单项选择题(每题3分共18分)

（1）

（2）设随机变量X其概率分布为X-1012

P0.20.30.10.4

则}5.1{XP（）。

(A)0.6(B)1(C)0(D)21

（3）

设事件1A与2A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）

（A）)()(21AAPAP（B）1)()()(21APAPAP

（C）)()(21AAPAP（D）1)()()(21APAPAP

（4） （5）设nXXX,,2,1为正态总体),(2N的一个简单随机样本，其中,2

未知，则（）是一个统计量。

(A)212niiX(B)21)(niiX

(C)X(D)X

（6）设样本nXXX,,,21来自总体22),,(~NX未知。统计假设

为。：已知）（：01000HH则所用统计量为（）

(A)nXU0(B)nSXT0

(C)222)1(Sn(D)niiX1222)(1

二、填空题(每空3分共15分)

（1）如果)()(,0)(,0)(APBAPBPAP，则)(ABP.

（2）设随机变量X的分布函数为

则X的密度函数)(xf，)2(XP.

（3）

（4）设总体X和Y相互独立,且都服从)1,0(N，921,,XXX是来自总体X的

样本，921,,YYY是来自总体Y的样本，则统计量292191YYXXU

服从分布（要求给出自由度）。 二、填空题(每空3分共15分)

1.)(BP2.000)(xxxexfx,23e3.14.)9(t

三、(6分)设BA,相互独立，7.0)(AP，88.0)(BAP，求)(BAP.

解：0.88=)()()()(ABPBPAPBAP

=)()()()(BPAPBPAP(因为BA,相互独立)……..2分

=)(7.0)(7.0BPBP…………3分

则6.0)(BP………….4分

28.06.07.07.0…………6分

四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在

运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。

解：用X表示时刻T运行的电梯数，则X~)7.0,4(b………...2分

所求概率011XPXP…………4分

4004)7.01()7.0(1C=0.9919………….6分

五、（6分）设随机变量X的概率密度为其它,00,)(xexfx，

求随机变量Y=2X+1的概率密度。

解：因为12xy是单调可导的，故可用公式法计算………….1分

当0X时，1Y………….2分

由12xy，得21',21xyx…………4分

从而Y的密度函数为10121)21()(yyyfyfY…………..5分

=1012121yyey…………..6分