概率论与数理统计答案完整版
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概率论与数理统计答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
习题答案
第1章
三、解答题
1.设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容; (2) A 和B 相容; (3) AB 是不可能事件; (4) AB 不一定是不可能事件; (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解:(4) (6)正确.
2.设A ,B 是两事件,且P (A ) = ,P (B ) = ,问: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少 解:因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤,
又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以
(1) 当)()(B A P B P =
时P (AB )取到最大值,最大值是)()(A P AB P ==.
(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值,最小值是P (AB )=+=. 3.已知事件A ,B 满足)()(B A P AB P =,记P (A ) = p ,试求P (B ).
解:因为)()(B A P AB P =,
即)()()(1)(1)()
(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ,
所以 .1)(1)(p A P B P -=-=
4.已知P (A ) = ,P (A – B ) = ,试求)(AB P .
解:因为P (A – B ) = ,所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ,所以P(AB ) =– =,6.0)(1)(=-=AB P AB P .
5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解:显然总取法有410C n
=种,以下求至少有两只配成一双的取法k :
法一:分两种情况考虑:1
5
C k
=24C 212)(C +25C 其中:2
122
41
5)(C C C 为恰有1双配对的方法数
法二:分两种情况考虑:!
2161815
C C C k ⋅⋅=+2
5C
其中:!
216
1815
C C C ⋅⋅
为恰有1双配对的方法数
法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k
-=+25C
其中:)(1
42
8
1
5C C C -为恰有1双配对的方法数
法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2
815C C k
=-25C
法五:考虑对立事件:4
10C k
=-45C 412)(C
其中:4
5
C 4
12)(C 为没有一双配对的方法数
法六:考虑对立事件:!
41
4
1618110410
C C C C C k ⋅⋅⋅-
=
其中:
!414
1618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数
所求概率为.21
13
410=
=C k p
6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.
解:(1) 法一:12131025==C C p ,法二:121
3
102513==A A C p (2) 法二:20
13102
4==C C p ,法二:201
3
102413==A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则
834
)(33
41==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 161
4)(3143
==C M P
8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少
解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则
3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2
512131==C C C M P ,1.0)(25
2
2
1==C C M P 9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.
解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则
φ==2121M M M M M 且.
所以.28
13
C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P
10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.
解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ,y ):0 x ,y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y ) : x + y 6/5} 因此
25
17154211)(2
=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P . 图
11.随机地向半圆220x ax y -<<
(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成
正比,求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
的概率. 解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标,表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ,y ):220,20x ax y a x -<<<<
}
事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π” ={(x ,y ):4
0,20,202π
θ<
<-<<< 因此 2112 14121)(222+=+=Ω=πππa a a A A P 的面积的面积. 12.已知2 1 )(,31)(,41) (===B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,12 13141)()()(= ⨯==A B P A P AB P ,61 21121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少 解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。 设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,B=“两件均为不合格品”;