概率论与数理统计公式整理(超全免费版)PDF

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二项分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
P( X
=
k)
=
Pn(k
)
=
C
k n
p k q n−k
，
q = 1 − p,0 < p < 1, k = 0,1,2,, n ，
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P( AB) = P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) > 0 ，则有
P(B | A) = P( AB) = P( A)P(B) = P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立性
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独
+∞
∫ f (x)dx = 1
2° −∞
。
（3）离散 P( X = x) ≈ P(x < X ≤ x + dx) ≈ f (x)dx
与连续型
随机变量的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X = xk) = pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
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A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
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Ω -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
A⊂ B 如果同时有 A ⊂ B ， B ⊃ A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
（6）事件的关系与运算
A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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第１章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
Pmn
=
m! (m − n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
C
n m
=
m! n!(m − n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
4° F (x + 0) = F (x) ，即 F (x) 是右连续的；
5° P( X = x) = F (x) − F (x − 0) 。
∑ 对于离散型随机变量， F (x) = pk ； xk ≤x
x
∫ 对于连续型随机变量， F (x) = f (x)dx 。 −∞
（5）八大 0-1 分布分布
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X = k) = λk e−λ ， λ > 0 ， k = 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ~ π (λ) 或
超几何分布几何分布
者 P( λ )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞ ）。
P( X
=
k)
=
（15）全概公式
（16）贝叶斯公式
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足
1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) > 0(i = 1,2,, n) ，
n
A ⊂ Bi
2°
i=1 ，
则有
P( A) = P(B1)P( A | B1) + P(B2)P( A | B2) + + P(Bn)P( A | Bn) 。
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X
| x1, x2,, xk,
P( X = xk) p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
∞
∑ pk = 1
（1） pk ≥ 0 ， k = 1,2,，（2） k=1
。
P(ω1 )
=
P(ω 2 )
=
P(ω n )
=
1 n
。
设任一事件 A ，它是由ω1,ω 2 ω m 组成的，则有
P(A)={(ω1 ) (ω 2 ) (ω m )} = P(ω1 ) + P(ω 2 ) + + P(ω m )
= m = A所包含的基本事件数
n
基本事件总数
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
∞
∞
Ai = Ai
德摩根率： i=1
i =1
AB = AB，AB = AB
（7）概率的公理化定义
设 Ω 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 ≤ k ≤ n) 次的概率，
C Pn(k) =
k n
pk qn−k
，k
=
0,1,2,, n 。
第二章随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事
件(X=Xk)的概率为
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i = 1 ，2 ，…， n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i = 1 ，2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
（17）伯努利概型
“由果朔因”的推断。
我们作了 n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
A，B，C，…表示事件，它们是 Ω 的子集。 Ω 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b]
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（5）基本事件、样本空间和事件
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 Ω 表示。
一个事件就是由 Ω 中的部分点（基本事件ω ）组成的集合。通常用大写字母
立。
必然事件 Ω 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
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每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 − p = q ，用 Pn(k) 表
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1，2，…， n ，
n
A ⊂ Bi
2°
i=1 ， P( A) > 0 ，
则
P(Bi / A) =
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
∑ P(Bj )P(A/ Bj )
（4）分布函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F(x) = P(X ≤ x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
函数 F (x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
（13）乘法公式
例如 P(Ω/B)=1 ⇒ P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) = P( A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) = P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An − 1) 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有

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更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，
则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，
则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）
（6）事件的关系与运算
AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件
B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
?
0，
x<a，
F
当
(ax≤)x1<x2≤xbf时(x，)dX x落在区间1bx（，xaa1 ,,x
2
xa>≤b。x≤b ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
e , ?

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第1章随机事件及其概率−−−→随机波动性和稳定性。

频率(波动)n→∞概率：设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件若满足下列三个条件：,,()(),(A B A B P A P B P ⊂≤设为两个事件,且则,()1().A A P A P A =-设是的对立事件则23()P A A --2)()n i j k A A P A A A =+∑1° {ωω1,=ΩωA )A 更一般地，对事件A 1，，若P(A A …A ，则有21A …)n A (A P =21|(A A A n …n A ①两个事件的独立性设事件A 、B 满足A 、B 是相互独立的。

若事件A 、B 相互独立，且()|(AB P A B P =,它们的对立事件所得的满足),,2,1(0)(niBP i=>则有)()(1PBPAP=设事件1B，2B1°1B，2B，…，2°niiB A1=⊂第二章随机变量及其散布显然分布律应满足下列条件：（1）X的分布函数，若存在非负函数0-1）分布，第三章二维随机变量及其散布(,)}{(x y zP X ξξ≤=第四章随机变量的数字特点第五章大数定律和中心极限定理a PY−−第六章样本及抽样散布.X n .的个独立的观察值1i =2n 1i =∏,,,x x 设2,3,.{P t t α>称满足条件(1);n -1221,()n S X X =-∑分别是这两个样本的均值第七章参数估量12;,,(;x x p x θθ∑11,2,l θ=这个估计量称为矩θ为未知参数。

又设的无偏估计，且=(=({((θθθθθθ<和已知方差μ第八章假设查验5 中 2211()~().ni i X n μχσμ=-∑（已知）牛顿二项公式：0()nni i n ini a b C a b-=+=∑积分公式：2x e dx π+∞-=⎰，222x edx π+∞-=⎰二项散布最大值：(n+1)p 为整数(n+1)p=或(n+1)p-1处非整数最接近(n+1)p 的整数处 Γ函数：765220220220()σσσσσσμ≤≥=未知22122212221212(,)σσσσσσμμ≤≥=未知000()D D D μμμ≤≥=成对数据2220(1)n S χσ-=2122S F S=0/D D t S n-=220220220σσσσσσ><≠221222122212σσσσσσ><≠000D D D μμμ><≠2222122/2221/2(1)(1)(1)(1)n n n n ααααχχχχχχχχ--≥-≤-≥-≤-或12112/2121/212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)F F n n F F n n F F n n F F n n αααα--≥--≤--≥--≥--或/2(1)(1)(1)t t n t t n t t n ααα≥-≤--≥-3421H 原假设检验统计量1H 备择假设拒绝域002()μμμμμμσ≤≥=已知0002()μμμμμμσ≤≥=未知1212122212(,)μμδμμδμμδσσ-≤-≥-=已知0/X Z nμσ-=0/X t S nμ-=221212X Y Z n n δσσ--=+00μμμμμμ≠<>000μμμμμμ><≠δμμδμμδμμ≠-<->-0002/αααz z z z z z ≥-≤≥/2(1)(1)(1)t t n t t n t t n ααα≥-≤--≥-2/αααz z z z z z ≥-≤≥12121222212()μμδμμδμμδσσσ-≤-≥-===未知δμμδμμδμμ≠-<->-0001212/212(2)(2)(1)t t n n t t n n t t n n ααα≥+-≤-+-≥+-1222211221211(1)(2)2w w X Y t S n n n S n S S n n δ--=+-+-=+-Γ（x+1）=xΓ（x），Γ⑴=1，Γ（1/2）=√π，对正整数n，有Γ（n+1）=n！，Γ（1-x）Γ（x)=π/sin （πx）。

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函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
a≤x≤b 其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
0，
xa, ba
1，
x<a， a≤x≤b x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
x
F (x) f (x)dx

，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。 f 源自x)dx 12° 。
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) f (x)dx 。
（5）八大 0-1 分布分布
二项分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。

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概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第1章随机事件及其概率1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第二章随机变量及其分布1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第三章二维随机变量及其分布1概率论与数理统计公式（全）2011-1-1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第四章随机变量的数字特征（1）离散型连续型1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第五章大数定律和中心极限定理1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第六章样本及抽样分布1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第七章参数估计1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1第八章假设检验1概率论与数理统计公式（全）2011-1-11概率论与数理统计公式（全）2011-1-1单正态总体均值和方差的假设检验1。

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