高等数学第一章函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限一、选择题（共 191 小题）1、A下列函数中为奇函数的是；　；； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π2、A[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是； ；； 答（ ）x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π223、D关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。

答（ ）y xA x y xB x y xC x y x x y xD x y x x y x=-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1010101010101()()()()4、C答（ ） ；；； 的是下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 1212)(2222+--++=+=++=+-=x x x x y D xxx y C x x y B y A x x5、A函数　是奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a xa xa A B C D a ()ln()()()()()=-+>06、Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。

答（ ）　7、D设，，，则此函数是周期函数； Ｂ单调减函数；奇函数 偶函数。

答（ ）　f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪330ππ8、C设，，，则此函数是奇函数； 偶函数；有界函数；　周期函数。

答（ ）f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤⎧⎨⎪⎩⎪3330029、Bf x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333232在其定义域，上是最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；　非周期函数。

高等数学一、选择题（共 191 小题，100 分）22、为时，，则当设函数)(01sin )(x f x xx x f →=） 答（ ．无穷小量．　．有界，但非无穷小量．无穷大量 ．无界变量D C B A ;; ; 24、是时，，则当设函数)(1cos)(x f x xx x f ∞→= ） 答（ ．无穷大量．．无穷小量； ；．无界，但非无穷大量．有界变量； D C B A33、的是时，当3)cos 1(sin 0x x x x -→ 答（ ） ．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；等价无穷小；．冈阶无穷小，但不是 D C B A34、比较是（　）与时，当2)cos 1(sin 20x x x x -→答（ ） ．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；；．冈阶但不等价无穷小 D C B A36、是下列极限中，不正确的 答（ ） ．．；．；．；．0)1sin(lim 0)21(lim 0lim 4)1(lim 11013=-===+→→→→--x x D C eB x A x x x xx x 37、的值为存在，则，且，，设k x f x x x xkx x f x )(lim 030tan )(0→⎪⎩⎪⎨⎧≤+>= 答（ ） ．．；　．；　．；　．4321D C B A38、，则，，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>-=0110cos 1)(1x e x x x x x f x 答（ ） 存在．不存在，．不存在；存在，．；．；．)(lim )(lim )(lim )(lim )(lim )(lim 0)(lim 000x f x f D x f x f C x f x f B x f A x x x x x x x -+-+-+→→→→→→→≠=39、　） 答（ ．不存在．；　．；　．；　．，则，，，设函数D C B A x f x x x x x e x f x x 011)(lim 0cos 0 10 2)(0-=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=→40、 答（ ） ．．；　．　．；　．的值为，则已知2277516lim 21--=-++→D C B A a x ax x x41、已知，则的值为．；　．；　．；　．． 答（ ）lim x x x c x C A B C D →-+-=--12311112344、下列极限计算正确的是．；　．；．；　．． 答（ ）A x xB x xx xC x x xD n e n n n x x n nlim lim sin sin lim sin lim()→∞→→∞→→∞+=+-=-=+=22032111011245极限的值为．；　．；　．；　．． 答（ ）lim x x x x x A B C D →-+-+2226881201122 48、已知，则的值为．；　．；　．；　．． 答（ ）limsin ()x kxx x k A B C D →+=----0233326650、极限．；　．；　．；　．． 答（ ）limsin x xx A B C D →-=-∞ππ10151、极限的值为．；．　．　．． 答（ ）limtan sin x x xxA B b C D →-∞03011253、极限的值是．；　．；　．；　．． 答（ ）lim x x x x A B e C e D e →∞----+⎛⎝ ⎫⎭⎪212112112254、极限的值为（　）．；　．；　．；　．． 答（ ）lim()x x x x A e B e C e D e →∞+---+114224455、 答（ ） ．．；　．；　．；　．极限22101)21(lim e D e C eB e A x xx -→=-56、下列等式成立的是．；　．；．；．． 答（ ）A x eB x eC x eD xe x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=121111112222221257、极限的值为．；　．；　．；　． 答（ ）lim()x xxA eB eC eD e→∞---1122141458、已知，则的值为．；　．；　．；　．． 答（ ）lim()x xkx e k A B C D →+=-01111122 60、 ） 答（ ．低阶无穷小量．．高阶无穷小量；量；．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量当D C B A x xxx 12111-+→61、答（ ） ．．；．；．；　．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→62、极限．；　．；　．；　．． 答（ ）lim(cos )x xx A B e C D e →-=112120164、下列极限中不正确的是．；　．；．；．． 答（ ）A x xB xx C x x D xx x x x x lim tan sin lim coslim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==011232322121120ππ65、 答（ ） ．．；　．；　．；　．的值为（ ）极限23326103sin 3cos 1lim0D C B A xx xx -→ 66、极限的值为（ ）．；　．；　．；　．． 答（ ）lim ()x x xe e x x A B C D →--+021012367、极限．；　． ．；　．． 答（ ）lim(cos )x x x A B C D e →-=11220170、 答（ ） ，　，，　，，则必有设.104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x71、（ ） 答 高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（ ），则当，设.)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x xxx αββαβαβα→-=β+-=α72、答（ ） 不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于之值.)( ; )(;0)( ; 1)(11sin limD C B A xx x →73、答（ ） 不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→75、若，当时为无穷小，则，　，，　， 答（ ）f x x x ax b x A a b B a b C a b D a b ()()()()()=+--→∞==-===-=-=-=211111111176、f x x xx A x B x C x f x D x f x ()sin ()()()()()()()()=⋅<<+∞→+∞→+∈+∞→+110000　当时为无穷小当时为无穷大当，时有界当时不是无穷大，但无界． 答（ ）77、设，，则当时　与是同阶无穷小，但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln()~()()()x xarcctgx x A B C D 1答：（ ）78、答（ ） 小量的是时，下列变量中为无穷当1)1)((ln 1)()1ln()(1sin 1)(0122-+-+→xx D x C x B x x A x79、　） 答（ 穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→ 80、当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是 答（ ）x A x x B x C x x D e exx→++---+--0111222()ln()()()tan sin ()81、当时，在下列无穷小中与不等价的是 答（ ）x x A x B x C x x D e e x x →-++--+--01211122222()cos ()ln ()()82、设　当 当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数 答（ ）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=======→11003336336083、设，当， 当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数 答（ ）f x x x bx x a x f x AA a b AB a A bC b A aD a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=⎧⎨⎪⎩⎪===-====-=→212111434443484、 答（ ） 可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当， ，当设2)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(222a Ab a D aA b a C a A b aB aA b a A A b a A x f x b x x ax x f x =======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→85、aA A b a D Ab a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x xax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)1ln()(0======⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ，　，当设答：（）86、ab A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a Ax f x b x x e x f x ax ======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 001)(0答：()88、以下极限式正确的是 答（ ）()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x e C x e D xx x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=00111111111191、lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答（ ）99、lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）102、 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→111、（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→112、 答（ ） ．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x114、lim ()lim ()()x x x x f x f x a f x x x A B C D →→--===0000，是函数在处连续的（ ）．充分条件　．必要条件．充分必要条件　．既非充分又非必要条件 答（ ）115、函数，， ，在点的连续性是（ ）．连续； ．左连续，右不连续；．右连续，左不连续；．左右都不连续． 答（ ）f x e x x x A B C D x ()=-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=-101001116、） 答（ ． ． ． ．（ ）．处连续，则　，在， ，设函数2420111132)(2D C B A a x x a x x x x x f --=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+--= 117、） 答（ ． ． ． ．的值等于（ ）处连续，则在若，　，设函数2121120)(020cos )( 2-=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=D C B A a x x f x x a x x e x f x118、　） 答（ ． ． ． ．（ ）点连续，则　，在， ，设eD e C e B e A k x x ke x xxx f x 21222000cos 1)(1==⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=- 119、 ） 答（ ． ． ． ．的最大的取值范围是点连续，则　，在 ，　，若函数100100001sin )(>>≥≥=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=K D k C k B k A k x x x x x x f k 120、 答（ ） ． ． ． ．（ ）处连续，则在　，如果，，设函数43210)(020cos 3)(D C B A b x x f x b x x x x f ==⎩⎨⎧≥+<= 123、 答（ ） ． ． ． ．的值是（ ）处连续，则在　，则，，设21210)(020tan )(--=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=D C B A k x x f x x x x kxx f 124、（ ） 答 ，，．　， ，．， ，． ，　，．处不连续的是（ ）下列函数在⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=⎩⎨⎧<-≥+=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎪⎩⎪⎨⎧====-01)1(2012)(00)1ln()(0001sin )(000)(02212x x x x x x f D x x x x x f C x x xx x f B x x e x f A x x设，　， ，　，则在处（ ）．连续； ．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续； 答（ ）f x x x x x e x x f x x A B C D ()sin ()=>=+<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=0101110126、设， ， ，　，则在处（ ）．连续； ．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续． 答（ ）f x xxx x x e x f x x A B C D x ()cos ()=->=--<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=1012011200 127、[]下列函数在点连续的是（ ）．； ．，，　．，，　．． 答（ ）x A f x x x B f x xxx x C f x x xx x D f x x x ==≠=⎧⎨⎪⎩⎪=≠=⎧⎨⎪⎩⎪=001010001()()()sin ()sin128、下列函数在处不连续的为（ ）． ．，， ．，， ．，， 答（ ）x A f x x B f x xxx x C f x x x x x D f x xxx x x ===≠=⎧⎨⎪⎩⎪=≠=⎧⎨⎪⎩⎪=><⎧⎨⎪⎩⎪001001000()()sin ()sin ()sin cos函数的不连续点（ ）．仅有一点； ．仅有一点；．仅有一点；　．有两点和． 答（ ）f x x x A x B x C x D x x ()()ln()=-+===-==111101012130、　答（ ） 是第一类．是第二类，．是第一类；是第二类，．都是第二类；，．都是第一类；，．型为（ ），则此函数间断点的题、的间断点为函数212121212123122=======+--=x x D x x C x B x A x x x x y131、　答（ ） ．，，．有三点；，．只有两点；，．只有两点；　，．只有两点的间断点是（ ）函数11011101011111-=-=-==-+-=x D x C x B x A xx x y132、 答（ ） 处连续．处间断，在在．处间断；处连续，在在．处都连续；，在．处都间断；，在．则有（ ）， ， ，设函数21)(21)(21)(21)(22221132)(2========⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-+=x x x f D x x x f C x x x f B x x x f A x x x x x x x x f133、（ ） 答 都是第二类间断点．，．为第一类间断点；为第二类间断点，．为第二类间断点；为第一类间断点，．都是第一类间断点；，．点的类型为（ ）的二个间断点，则间断为，，且设10101010)(10)1(2cos)(-=====-==-π=x x D x x C x x B x x A x f x x x x x f141、） 答（ ． ． ． ． 点连续，则　，在， ，设422141)(0120)1ln(1sin 1)(2D C B A k x x x kx x x x f ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+= 142、极限的值为（ ）． ． ． ． 答（ ）limsin x x x x eA B C D →+--0111012122144、） 答（ ． ． ． ．的值是（ ）极限619131313cos ln cos ln lim0D C B A x xx -→ 145、极限的值为（ ）． ． ． ． 答（ ）limln x e x x eA B e C e D →---1101147、极限的值是． ． ． ． 答（ ）lim ln()ln()x x x A B C D →+---02212132132349设函数， ， 在，上连续，则，的值，用数组，可表示为 ．， ．，．， ．， 答（ ）f x x x x ax b x x x a b a b A B C D (),()()()()()()()=+-<+≤≤+>⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-∞+∞1100111123232121120 155、 答（ ） 任意，． ，．，． ，．表示为（ ），用数组，连续，则常数上，　，在， ，， 设函数)1()01()10()11()()(11102cos 210sin )(b D C B A b a b a x x bx x x x x x axx f ∞+-∞⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤+<=π 164、 答（ ） 振荡间断点．　无穷间断点；　可去间断点；　连续点； 的是，则点设)()()()()(02cos)(2C C B A x f x x xx x f =+=f x x x xf x A x B x C x x D x x x ()ln ()()=++==-==-==-=2210101011，则的可去间断点为 ．仅有一点．仅有一点．有两点及．有三点，及 答（ ）　） 答（ ． ．为任意实数，．， ，．处连续则有（ ）　在，当，当2)(2)(0)(20)(002sin 0)(2bb a D b a C b a B b a A x x xbx x bx a x f =+=====⎪⎩⎪⎨⎧>≤+= 180、f x eex f x A B C D x x()()()()()()=-+=11011，点是的．可去间断点 ．跳跃间断点．无穷间断点 ．连续点 答（ ）181、 答（ ） ．连续．仅是右连续 ．仅是左连续．有可去间断点 处，则在设)()()()()(1)11()(D C B A x f x x x x f =-+=182、f x x x xx x xx f x A x B x C x x D ()sin ()=-+-≤>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪====44202002022，当，当则关于的连续性的正确结论是（ ）．仅有一个间断点．仅有一个间断点．有两个间断点及．处处连续 答（ ）187、要使在处连续，应补充定义的值为． ． ． ． 答（ ）f x x x f A B e C e D e x ()()()()()()()=+=----2000222412188、 答（ ） 的取值应为：处连续，在，要使　设1)(21)(0)(1)()0(0)()0(sin sin )(-=≠+-=D C B A f x x f x xx xx x f 189、设，当，　当　则 ．处处连续．有一个间断点．有一个间断点．有及两个间断点 答（ ）f x x x x x f x A B x C x D x x ()ln ()()()()()()=-<≥⎧⎨⎪⎩⎪====13113003、二、填空题（共 39 小题，100 分）21、．____________)31(lim sin 20=+→xx x 22、．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a ax a x xx 24、__________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x25、_____________1)21(lim 230=-+→xx x x 27、___________)1ln(2)cos(sin 1lim20的值等于x x x +-→30、____________lim的值等于xx x e e x-→-32、_____________69lim 223的值等于---→x x x x34、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则　在， ，设 35、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x xe x xf ax 处连续，则在 ，当，当 37、_________)0(0)()0(2cot )(==≠=f x x f x x x x f 点处连续，则在，要使设三、计算题（共 200 小题，100 分）21)63(lim -∞→++x x xx 求 132、研究极限．lim x x x x →∞++-2231计算极限lim x x x x x x →-+---23223322154、计算极限limx x x x →+-++-021111155、求极限　，为非零常数limtan sin ()x mxnxm n →0171、求极限．limlncos x xx →02179、求极限．lim()x xx x →∞+-21213 180、求极限lim()x xx →-0112188、求极限．limx x e x →-051189、求极限．limx x x e e x →-+-022191、求极限　，．lim()x x a xa a →->≠03101。

第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。