高数函数与极限习题06574

1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =αβ，是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→x x x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

函数与极限练习题直禅IS□ >肖时"用减JE)在冠ttK恵Ifr的盘守呦.削下刮式于中楠课的业€5C ■ •^r,)+oU* )=€<■*)D： d(x) + XJt：)=^)I 二 e =](2> ^#/(>)=—的可去间斷底的牛妆为f;r(x 十1)L1 蓋IB) 1Q> n-aaftbm^"31?3111=F・扁冲乱r 舸擒巒・B.c *=», m <B> 2.^«—'4 I I '.2、H T J「忘廿jl*：= 5T1[1Y-llIl沁'•才r/苇八七目小・眄“让=7■3 af€>- □-町可E THf J；旳个枝为曲充HC7> =^i /(JI)- j-suiflrl3jti)=i1尤曲也Nl(B)昶* = 1 - t=—6:CI ff = -1.B •- 1C .■ ijl+^Jx — LtD、1—COS-^I= e=1 »AW*W«X «*®a,b 为 __Ixdsinfx —21请数门工)=_-—— 在尸列券个区阖内有界一z(x-l)(x-2J(A> (-1,0) (B> (OJ) CO (12) (D> (23)(19)下列riNffliE 踊的是(A)若1诃/X®工1曲> S 当Q q 窗―旺K 占时fW 土 g(r)星 T J^Jt —►齐CB)®3(f >O h ttO<r-^忙方时且伽才⑴二心!!™呂⑴二心均日■则忌》氏*(C> #35>O 3ttO<|x-i o K^0f/(<)>£(x}=>lim/(jr)>]im£(r). gXt g 如 (D)若 lira /(r) > Um g(R =耳必 > Q 当0 q 龙-无 |< 占时冇 /■何 >g(r)if宀片C1L )设Fh)展连慈聃《tf (幻的一牛原曲載，哪必有(A) FWJtlSS»«f{B )是奇««.CB> FG)足奇函敦O £3足偶画蠡.(€) FW 是舄期由数O 虫<!)是罔期函軌(D) P(x)盘单iH 函鑒O 舟3建单谒函数十 X 3 +3^+1 ..、lim;—(EinJC4- cog 耳｝=十 r+Jt 3C13) limf^-f-j^—+- + ^—)n 2+2 n 2+n=1-则/(0)=1(15)着Hf 0时，(1-™3)*-!与工曲工是辱儘无男4 则沖 ________________________X 2 +匕网<c2 , , )内连渎，■<： =41空割(16)⑶川Im ®"祝叭L 求応曲⑴2<33)或FO) ■ ®十卩E"在匿间卜f 町上的何断点.井指明类型。

关于高等数学函数的极限与连续习题精选及答案Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误=-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x∴点0=x 是函数xx y =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2-）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）．∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()bax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±， 上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ），()=-→xx x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在∵1sin lim sin lim sin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

：(x)2X X1 X设 f (X)对一切实数 X 1, X 2 成立 f(x 1 X 2) = f (X 1) f (X 2),且 f(0) =0, f(1) =a,求f (0)及f(n).(n 为正整数)定义函数I (X)表示不超过X 的最大整数叫做X 的取整函数，若f (X)表示将X 之值保留二 位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用I (x)表示f(X) o定义函数I (X )表示不超过X 的最大整数叫做X 的取整函数，若g (X )表示将X 依4舍5入 法则保留2位小数，试用I (X)表示g(x) o在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售 出不能退给报社，只好亏本。

若每天进报纸t 份，而销售量为X 份，试将报摊的利润y 表示为 X 的函数。

定义函数I (X)表示不超过 X 的最大整数叫做 X 的取整函数，试判定L(X) = X _ I (X)的周期性。

判定函数 f(x) =(e x ^∣ _i) J∏(i + X _x)的奇偶性。

设f (X) = e x Sin x ，问在IO,亠「上f (x)是否有界？函数y =f(χ)的图形是图中所示的折线OBA ，写岀y =f(x)的表达式5X ， 0 兰 X £ 2;平 Y X ，≤ X £ 4; 亠丘 T V Γ I设 f (X)=丿<P (x)=」 求 f [ζP (x)及申 Lf (x) 1X +2,2 兰 X 兰4. x-2,4 兰 X 兰6.「(X) = 2x -1，求 f L(X)]及“丨 f (X)].(X)(X)设 f (X)(X) 1—(x + X )， S0;(X)■ 0.2，‘0,：：：0;(X)-0. 0, X 込 0;I . I求f (x)的反函数 g (x)及f ISP(X) J.X - 0.If (X) 1.求 f L(X)].■ 1， X 1; 求 f (x) + CP (X).X - 1.2x ,求f (X)的定义域及值域设 f(x)=Xe ,设 f (X )= * √7 +ι, x — 1 , -：：：:：X .：: 0 ；0 < X <4 ； 求f (X)的反函数:(x) • 4 ：：： X ：：： ■::X , 一 OQ £ X £ 1 ； 设 f (X) = X 2, ^X <4 ; 求 f (X)的反函数(X) • I X2 , 4 ：： X ：： 设 f (X)I- 2 1 -X , X ：：: 0； 求:X _ 0∙ (1) f (X)的定义域； (2) f (2)及 f (a 2)∙(a 为常数)。

高数极限62道经典例题高数极限是数学中的重要概念之一，也是学习数学的学生需要掌握的基本技能之一。

在高数极限的学习过程中，经典例题是帮助学生深入理解和掌握极限概念的重要辅助工具。

以下是62道经典的高数极限例题，通过这些例题的学习和解答，学生可以提高自己的极限运算能力。

1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)2. 求极限lim(x→∞)(1/x)3. 求极限lim(x→∞)(x^2/(1+x^2))4. 求极限lim(x→0)(x^3/(1+2x)^2)5. 求极限lim(x→0)(1-cosx/x)6. 求极限lim(x→0)(sqrt(1+x)-1)/x7. 求极限lim(x→0)(e^x-1)/x8. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/x)9. 求极限lim(x→∞)(ln(x+1)/ln(x))10. 求极限lim(x→0)(1-cosx)/(x^2)11. 求极限lim(x→0)(sin2x/2x)12. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数13. 求极限lim(x→0)(e^x-x-1)/x^214. 求极限lim(x→∞)(e^x/x)15. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(x+a))16. 求极限lim(x→0)(e^x-ax-1)/x^2，其中a为常数17. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x18. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^(kx)，其中k为常数19. 求极限lim(x→0)(sinx+cosx)/x20. 求极限lim(x→0)(sinx-cosx)/x21. 求极限lim(x→0)(e^x+e^-x-2)/x22. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^x)，其中a为常数23. 求极限lim(x→0)(a^x-1)/x，其中a为常数24. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(1+sinx))25. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(lnx)，其中a为常数26. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n27. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n^228. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n)29. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n^2)30. 求极限lim(n→∞)(1+1/n!)^n31. 求极限lim(n→∞)(n^a)/(a^n)，其中a为常数32. 求极限lim(x→0)(sin(ax^2)/tanx^2)，其中a为常数33. 求极限lim(x→0)(tan(ax^2)/sinx^2)，其中a为常数34. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^a，其中a为常数35. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)36. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)^237. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数38. 求极限lim(t→0)(sin(at)/bt)，其中a和b为常数39. 求极限lim(x→0)(a^x-b^x)/(x-c)，其中a、b和c为常数40. 求极限lim(x→0)(sin(ax)-sin(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数41. 求极限lim(x→0)(ln(ax)-ln(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数42. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^bx)，其中a和b为常数43. 求极限lim(x→∞)(e^ax)/(x^b)，其中a和b为常数44. 求极限lim(x→0)(sinx/x^a)，其中a为常数45. 求极限lim(x→0)(cosx/x^a)，其中a为常数46. 求极限lim(x→0)(tanx/x^a)，其中a为常数47. 求极限lim(x→0)(cotx/x^a)，其中a为常数48. 求极限lim(x→0)(secx/x^a)，其中a为常数49. 求极限lim(x→0)(cscx/x^a)，其中a为常数50. 求极限lim(x→0)(ln(1+ax))/(x^b)，其中a和b为常数51. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^2)，其中a为常数52. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^2)，其中a为常数53. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^3)，其中a为常数54. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^4)，其中a为常数55. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^5)，其中a为常数56. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^6)，其中a为常数57. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^7)，其中a为常数58. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^8)，其中a为常数59. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^9)，其中a为常数60. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^10)，其中a为常数61. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^3)，其中a为常数62. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^4)，其中a为常数以上是62道经典的高数极限例题，每道题目都能帮助学生巩固和拓展自己的极限运算能力。

函数与极限试题1. 题目描述：求以下函数的极限：a) 当x趋近于0时，求函数f(x) = (sinx)/x的极限值；b) 当x趋近于无穷大时，求函数g(x) = x/(x+1)的极限值；c) 当x趋近于2时，求函数h(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限值。

2. 解答：a) 函数f(x) = (sinx)/x的极限：考虑极限lim(x→0) (sinx)/x，我们可以利用泰勒级数展开对sinx进行近似计算。

根据泰勒级数展开，我们有：sinx = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...因此，lim(x→0) (sinx)/x = lim(x→0) [1 - (x^2)/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ...]由于幂次越高的项对于x趋于0时的极限值的贡献越小，我们只需要考虑最高次项。

因此，当x趋近于0时，(x^4)/5!及更高次项可以忽略不计。

因此，lim(x→0) (sinx)/x ≈ lim(x→0) [1 - (x^2)/3!]= 1所以，函数f(x) = (sinx)/x在x趋近于0时的极限值为1。

b) 函数g(x) = x/(x+1)的极限：考虑极限lim(x→∞) x/(x+1)，我们可以进行有理化处理，得到：lim(x→∞) x/(x+1) = lim(x→∞) (1 - 1/(x+1))当x趋近于无穷大时，1/(x+1)趋近于0，因此极限值为：lim(x→∞) x/(x+1) = 1 - 0 = 1所以，函数g(x) = x/(x+1)在x趋近于无穷大时的极限值为1。

c) 函数h(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限：考虑极限lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2)，我们可以进行因式分解，得到：lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2) = lim(x→2) [(x - 2)(x + 2)]/(x - 2)由于在x = 2处分母为0，我们需要对被除数进行化简，得到：lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4所以，函数h(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x趋近于2时的极限值为4。

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

《高等数学》（上）题库 第一章 函数与极限一、选择题1.函数)cos(ln x e y =的复合过程为（ ）.A.)cos(,ln x e u u y ==B.)cos(,ln ,x e v v u u y ===C.x e v v u u y === ,cos ,lnD. cos , ,ln x v e u u y v ===．2.“)(x f 在点0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有有极限的（ ）.A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件3.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0101sin x x x x x f ，， ，则()0lim x f x →=（ ）. A. 1 B. 0 C.不存在 D.无法判断4.下列函数中是无穷小量的是（ ）.A.时，当0 1.02→+x x xB.时，当3 912→-+x x x C.时，当∞→++x xx x 23122 D.时，当+∞→x x ln 5.已知函数⎩⎨⎧≥+<=0,20,3)(x a x x e x f x 在0x =处极限存在，则a =（ ）． A ． 0 B ．1 C ．2 D ．36.设函数1()(2)f x x x =-的所有间断点是（ ）. A. 0,1x x == B. 0,2x x == C. 1,2x x == D. 0,1,2x x x ===7.当0x →时，1x e -是（ ）.A.与x 等价无穷小B.较x 低阶的无穷小C.较x 高阶的无穷小D.不能比较8.函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0101sin x x x x x f ，， 在0=x 处间断，则该点为( ). A.振荡间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.可去间断点9.函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是( ).A ．)1,2(-- B.)0,1(- C.)1,0( D.)2,1(10.下列说法中正确的是( ).A.发散数列一定无界B.有界数列一定收敛C.单调数列必定有极限D.收敛数列极限唯一二、填空题1.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的 条件。