高等数学求极限的常用方法(附例题和详解) (2)

求极限的方法总结及例题求极限是微积分学探究函数变化规律的基础，也是微积分学最重要的概念之一。

在求极限的运算中，由于函数的特殊性，其结果有可能是一个常数、一个变量或者无穷大，因此，求极限的计算要建立在对偏导数的理解和计算上，即在计算极限之前，首先要掌握偏导数的概念和计算方法。

一般来说，有三种常见的求极限方法：1、基本形式求极限；这种方法是指函数表达式本身具有特定性，可以用固定的简单运算公式直接求出极限值。

例如：当x趋向于0时，lim x→0 (1-cosx/x2)= 1/22、恒等式转换求极限；这种方法是指通过给出函数的形式进行合理的变换，从而使函数表达式转换成可以直接求出极限值的公式，从而解决函数求极限的问题。

例如计算：lim x→0(sin2x/x)可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。

3、洛必达法则求极限；洛必达法则是指在求函数极限时，可以根据函数的性质将原函数转换成另外一组函数，从而推出极限结果。

例如：计算：lim x→∞ (1+1/x)x可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上所述就是求极限的三种常见的方法。

接下来，我们就以例题来试验一下这三种方法的使用。

例题1：求lim x→0 (sin2x/x)解：由上文所述，这种情况应使用恒等式转换求极限：可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。

例题2：求lim x→∞ (1+1/x)x解：这种情况应使用洛必达法则：可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上就是求极限的三种方法总结及例题分析。

求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。

1. 代入法。

当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。

例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。

2. 因式分解法。

适用于(0)/(0)型的极限。

例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。

3. 有理化法。

对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。

例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。

4. 等价无穷小替换法。

当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。

例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。

5. 洛必达法则。

对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。

例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。

二、例题。

1. 例1。

求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。

本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。

I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。

它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。

下面通过一个例题来说明这个方法。

例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。

根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。

因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。

故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。

下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。

例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。

然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。

也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。

根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。

故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。

下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。

例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1、极限的保号性很重要:设A x f x x =→)(lim 0,(i)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。

2、极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限与0x x →的极限。

要特别注意判定极限就是否存在在:(i)数列{}的充要条件收敛于a n x 就是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的就是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件就是其奇子列与偶子列都收敛于a ”(ii)A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则(v)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件就是:εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二.解决极限的方法如下:1、等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2、洛必达(L’ho spital)法则(大题目有时候会有暗示要您使用这个方法)它的使用有严格的使用前提。

首先必须就是X 趋近,而不就是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然就是趋近于正无穷的,不可能就是负无穷。

其次,必须就是函数的导数要存在,假如告诉f(x)、g(x),没告诉就是否可导,不可直接用洛必达法则。

另外,必须就是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况:(i)“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞•0”“∞-∞”,应为无穷大与无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

求极限的各种方法及解析1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x 【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110113．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim )13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限30sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非．．．．．．．．零因子．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim0=→xxx 和e x nx x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。

旦，(n 1,2,),极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。

以下列举种方法，并附有例 题。

1. 运用极限的定义x 24 x 4 x 23x 2 x 2x 2 3x 2lim x 2x 22. 利用单调有界准则求极限此方法的解题程序为：1、 直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列 a n 单调有界；2、 设a n 的极限存在，记为”ma n A 代入给定的表达式中，则该 式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。

例：若序列a n 的项满足4 .. a (a 0)且a . 12例：用极限定义证明：limx3x 2 1x 2则当02 时,就有由函数极限定义有:预备知识：若数列a n 收敛，则a为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ,有a n1 2ansin x ~ x,tan x ~ x, arcs in x ~ x arctan x ~ x,n1 x 1 ~ 1 x, e xn 1 - x, log a(1 x)〜xIn aa x 1 ~ x In a,试证a n有极限并求此极限。

解由a1.. a1a? a 〔2 a 1 2 a1a 2、a12a■, a a1 2 a1 a1用数学归纳法证明a k 一 a 需注意1 a k — ak2a 1 2 a k一 2a 2a k a 1—-a .a k 2 a k a k又a n a n 1 a n a2ana12 a n w2aa n为单调减函数且有下界。

令其极限为A由a n 1 a n aa n有:lim a n i n a a n即A丄A旦2 AA2 aA 、a (A 0)从而lim a n a . 3. 利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系:x 0,(III)若 B M 0 贝欢迎下载3___ 1J x 1 ~ 2x, (1 x) 1 ~ x, in(1 x)〜x,等价无穷小代换法设，’，，’都是同一极限过程中的无穷小量，且有:I〜，〜 ， lim ―r 存在，则 lim — 也存在，且有lim — = lim2 22(x )1 cosx 21lim 2 2— x 0x sin x x x 2注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时 可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后， 往往改变了它的无穷小量之比的 阶数 4 .利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下： 若 lim f (x) A lim g(x) BX X QX x 0⑴ lim f (x) g(x) lim f(x) lim g(x) A Bx x ox x ox x o IIII lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B x x ox x)X冷例:求极限limx 021 cosx~2~； 2~x sin x解:sin x 2 ~ x 2,2cosx(x 2)limx xf(x)g(x)lim f (x)X xoXin ?og(X)(IV ) lim c f (x) c lim f (x) cA (c 为常数)X xx X )上述性质对于X , X , X时也同样成立总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、 差、积、商。

谈极限运算的几种主要方法及例题分析极限是数学中一个非常重要的概念，广义上的极限是指无限接近而永远无法到达，数学中的极限是指某一个变量在变化的过程中，逐渐逼近某一个确定的数值，但是永远不能等于这个数值。

数学中的极限一般分为数列极限和函数极限，本文主要介绍函数极限及其求法。

1 函数极限的定义设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：f（x）-A|<ε。

那么常数A就叫作函数f（x）当x→x0时的极限，记作lim f（x）=A。

2 求函數极限的方法2.1利用连续性求极限设函数f（x）在某u（x0）内有定义，如果lim f（x）=f（x0）.则称f（x）在x0连续。

反之，如果要求lim f（x），可以由以上等式直接求f（x）在x0处的函数值就可以。

例1求lim（3x2-x+ 7）.解：由初等函数的连续性，将1直接代人函数中有意义，所以：原式=3x1 2-1+7 =9.2.2消公因子法求极限有些具有分数结构的函数用上面的代入法可能会出现分子或分母为零的情况，使得原函数没有意义，所以无法直接代入求极限。

2.3利用无穷大无穷小的关系求极限无穷大量和无穷小量的定义：如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷小量;如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时对应的f（x）无限增大，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷大量。

这里是利用无穷大量无穷小量的倒数关系求极限。

2.4分子分母降幂法求极限在某些函数极限求解过程中，可以通过分子分母同时除以最高次幂来求极限。

该题目中分子分母的最高次幂是x3，同时除以x3然后求极限可知分子分母的后两项极限为零，由此我们得到其极限值。

当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有2.5利用两个重要极限求极限首先介绍一下两个重要极限，我们通过几个例题来看一下如何利用重要极限求解极限。