习题课(一) 求数列的通项公式一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A.9 900B.9 902C.9 904D.11 000考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型答案 B解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项为() A.2n －1 B.2n ＋1C.12n －1 D.12n ＋1考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 C解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型答案 A解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 得 a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n， ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫2×32×…×n n －1＝ln n ， 即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2.4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( ) A.2nB.n (n ＋1)C.n 2n －1 D.n (n ＋1)2n 考点 递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型答案 C解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2， 即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n ＝n 2n －1. 5.数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A.2n －1B.2n －1－1 C.2n ＋1D.4n －1 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 A解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， 即a n ＝2n －1. 6.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第8行中的第5个数是( )A.68B.132C.133D.260考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式答案 B 解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.二、填空题7.若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，则数列{a n }的通项公式为________________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 a n ＝4n －2解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列.∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式.∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8.数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________.考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1. 9.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 累乘法求通项答案 n解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n n －1·n －1n －2·…·32·21＝n . 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 则a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 三、解答题12.已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 (1)由题设可知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8， 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去). 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2， 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n1－2＝2n －1， 又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 13.已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 ∵S n ＝4－a n －12n －2， ∴S n －1＝4－a n －1－12n －3， 当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴a n ⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2， ∴2n a n －2n －1a n －1＝2，∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1， ∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 四、探究与拓展14.若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n为________________. 考点 递推数列通项公式求法 题点 其他递推数列问题 答案 123n n a －＝解析 由题意知a n >0，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝12lg 3n -.即a n ＝123n -.15.已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a n＋2＝4a n＋1－3a n(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)证明：数列{a n＋1－a n}是等比数列；(3)求数列{a n}的通项公式.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列(1)解a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)证明∵a n＋2＝4a n＋1－3a n，∴a n＋2－a n＋1＝3(a n＋1－a n).又a1＝1，a2＝4，∴a n＋2－a n＋1a n＋1－a n＝3，则{a n＋1－a n}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列.(3)解由(2)得a n＋1－a n＝3n，则当n≥2时，a n－a n－1＝3n－1，故a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝1－3n1－3＝3n－12.又a1＝1适合上式，故a n＝3n－12，n∈N*.。
练习课▶教学内容完成教科书P60~61“练习十三”第3、10*、11*题。
▶教学目标1.通过练习熟练地用含有字母的式子表示数量及数量关系，能根据字母所取的值求出含有字母的式子的值。
2.结合具体情境，经历用字母表示数和求值的练习过程，培养抽象概括的能力。
3.在练习活动中，体会生活中数学知识的应用价值，培养解决实际问题的能力，增强学好数学的信心。
▶教学重点掌握用含有字母的式子表示数量关系的方法。
根据字母所取的值，求出含有字母的式子的值。
▶教学难点理解用含有字母的式子表示数量及数量关系，培养学生抽象概括的能力。
▶教学准备课件。
▶教学过程一、复习引入师：同学们，这几天我们一直都在学习用字母表示数的知识，学习完这一部分的知识，你们有什么收获呢？【学情预设】预设1：我们学习了用含有字母的式子既可以表示数，又可以表示数量之间的关系。
预设2：我们还学习了用字母可以表示以前学过的运算定律和图形面积的计算公式。
……师：那么我们解题时要注意些什么呢？今天，我们就一起来上一节有关“用字母表示数”的练习课。
【设计意图】通过回顾旧知识，帮助学生梳理前几堂课所学的知识点、在练习中发现的易错点，为后面分类整理知识点提供素材。
二、整理知识点学生小组合作，整理本小节的知识点，并派代表交流汇报。
根据学生的汇报适时小结并在课件中出示。
【教学提示】可以让学生在课前整理好本小节的知识点，在课堂上直接汇报交流，以便节省时间。
【设计意图】通过整理本小节的知识点，培养学生总结、归纳的学习能力，增强学生对本小节所学知识的掌握程度。
小组合作整理知识点还可以培养学生分工协作的意识，方便学生取长补短。
三、巩固练习1.完成教科书P60“练习十三”第3题。
学生自主完成后，教师指名口答。
【学情预设】学生会结合生活经验说出很多含义，如树上有20只小鸟，a只大鸟，树上一共有(20+a)只鸟等等。
只要合理，教师都要予以肯定。
【设计意图】有利于激活学生的思维，变抽象为具体。
