第5,6,7,8章 概率习题课2011[1].12.19

第一章 随机事件及其概率 习题1-1 随机事件及其运算1.写出下列随机试验的样本空间.(1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数； 解 {}10,1,2Ω=(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和； 解 {}22,3,,12Ω=(3)生产产品直到得到10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 {}310,11,Ω=(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数. 解 {}40,1,2,Ω=2.设,,A B C 为3个随机事件，试用,,A B C 的运算表示下列事件. (1) ,A B 都发生而C 不发生；ABC(2),A B 至少有一个发生而C 不发生；()A B C (3),,A B C 都发生或都不发生； ()()ABC ABC (4) ,,A B C 恰有两个发生； ABC ABC ABC (5) ,,A B C 至少有两个发生. AB AC BC 3.请用语言描述下列事件的对立事件： (1)A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 解 A 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面”； (2)B 表示“生产4个零件，至少有一个合格”； 解 B 表示“生产4个零件，全都不合格”.4.从一批灯泡中任取4个进行检验，设i A 表示“第i 个灯泡的使用寿命在800小时（含800小时）以上”.试用语言描述下列随机事件： (1) 1234A A A A ； (2) 1234A A A A ；解 (1)表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800小时以上.（2）表示第1、第4两个灯泡的使用寿命在800小时以上，而第2、第4两个灯泡的使用寿命不足800小时.5设Ω为随机试验的样本空间，,A B 为随机事件，且{}05x x Ω=≤≤，{}12A x x =≤≤，{}02B x x =≤≤.试求：,,,A B AB B A A - .解 利用集合的运算性质可得{}02A B x x =≤≤ ； {}12AB x x =≤≤{}01B A x x -=≤<； {}0125A x x x =≤<<≤或习题1-2 随机事件的频率与概率古典概型与几何概型1.设()()()0.7,0.6,0.3P A P B P A B ==-=，求()()(),,P AB P A B P AB . 解 由于()()()0.3P A B P A P AB -=-=，而()0.7P A =，则()0.4P AB =所以 ()()10.6P AB P AB =-= ； ()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=()()()10.1P AB P A B P A B ==-=2.设事件,A B 及和事件A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6，试求()P AB 解()()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B =-=-+-⎡⎤⎣⎦()()0.60.30.3P A B P B =-=-=3.已知()()()()()()11,,14,112,036P A P B P C P AC P BC P AB ======，求:(1),,A B C 至少有一个发生的概率；(2),,A B C 全不发生的概率.解 因为AB ABC ⊂，所以有()()0=≤AB P ABC P ， 所以,,A B C 至少有一个发生的概率()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+12701211210416131=+---++=. ,,A B C 全不发生的概率()()()75111212P ABC P A B C P A B C ==-=-=4.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率：(1)A 表示“任取3个盒子中各有一个球”； (2)B 表示“任取1个盒子中有3个球”.解 (1)基本事件总数3464n ==,A 包含的基本事件数343!24A r C =⋅=，()243648A r P A n ===. (2) 基本事件总数3464n ==,B 包含的基本事件数144B r C ==，()416416B r P B n===5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3个数字中不含0与5的概率；(2)3个数字中不含0或5的概率.解 设A 表示“3个数字中不含0与5”; B 表示“3个数字中不含0或5”.基本事件总数310n C =,其中A 包含的基本事件数38A r C =,则()38310715C P A C ==;B 包含的基本事件数333998B r C C C =+-,()339831021415C C P A C -==6.袋中有7个球，其中红球5个，白球2个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率； (2)两次取得一红球一白球的概率.解 设A 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”， 设B 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”.(1)基本事件总数7642n =⨯=,A 包含的基本事件数2510A r =⨯=， 于是 ()1054221A r P A n ===. (2)基本事件总数7642n =⨯=,“两次取得一红球一白球”有两种情形：其一，第一次取得红球第二次取得白球，有52⨯种取法；其二，第一次取得白球，第二次 取得红球，有25⨯种取法，于是B 包含的基本事件数522520B r =⨯+⨯=， 故 ()20104221B r P B n === 7.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率.解 设A 表示“任取2把能打开门”，基本事件总数210n C =，A 包含的基本的事件数为112373A r C C C =+，则()122373210815A C C C r P A n C +===习题1-3 条件概率1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，求()P B A .解 由()()10.5P A P A =-=，()()()0.3P AB P A P AB =-=，得()0.2P AB =，则()()()0.20.40.5P AB P B A P A ===2.设()13P A =，()14P B A =，()13P A B =，求()()()()()()()()B A P B P AB P AB P 43,2,1. 解 ()()()1113412P AB P A P B A ==⨯=，()()121112111=-=-=AB P AB P由 ()()()13P AB P A B P B ==，得()14P B =，则()()()()()()()()[]()3241112141311111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--+-=-⋃==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P 3.100件同类型产品中有85件一等品，10件二等品和5件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.解 设A 表示“任取一件为非次品”，B 表示“任取一件为一等品” 由题意得：()()0.95,0.85,P A P B B A ==⊂， ()()()()()0.85170.9519P AB P B P B A P A P A ====4.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95，求全部产品中的合格率.解 设i A 表示“从全部产品中任取一件为第台i 机床生产”（1,2,3i =），B 表示“从全部产品中任取一件是合格品”，则()()()1230.5,0.3,0.2P A P A P A ===，()10.94P B A =，()20.9P B A =，()30.95P B A =，由全概率公式得，()()()30.50.940.30.90.20.950.93i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%，它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解设1A 表示“任取一件产品为第i 台机器生产”（1,2,3i =），B 表示“任取一件产品，它是次品”，则()()()12325%,35%,40%P A P A P A ===，()15%P B A =，()24%P B A =，()32%P B A =，由全概率公式得()()()325%5%35%4%40%2%0.0345i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑再由贝叶斯公式得 ()()()()11125%5%0.36230.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈()()()()22235%4%0.40580.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈，()()()()33340%2%0.23190.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.习题1-4 事件的独立性 1.设()()0.4,0.7P A P A B == ，在下列条件下分别求()P B . (1)A 与B 互不相容；(2)A 与B 相互独立；(3)A B ⊂. 解 (1)由于A 与B 互不相容，所以()()()P A B P A P B =+ ， 则()()()0.3P B P A B P A =-= .（2）设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()0.7P A P B P A P B =+-=，又()0.4P A =，即得()0.5P B =.（3）由于A B ⊂， A B B = ，即()()0.7P B P A B ==2.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.解 设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为()P B 和()1P A B .已知()()120.6,0.7P A P A ==，1A 与2A 相互独立，12B A A = ，则()()()()()()2212120.60.70.420.88P B P A A P A P A P A P A ==+-=+-= .()()()()()111150.681822P A B P A P A B P B P B ===≈ 3.设事件A 与B 相互独立，且事件A 发生B 不发生与事件B 发生A 不发生的概率都为41， 求()A P解 由题意，()()B A P B A P = 因为A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B 也相互独立()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()B P A P B P A P B P B P A P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P =⇒-=--=-==11()()()()()()()()()21412=⇒=-=-==A P A P A P B P A P A P B P A P B A P 4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为111,,534，问解出此题的概率是多少？解 设1A 表示“甲独立解出此题”，2A 表示“乙独立解出此题”，3A 表示“丙独立解出此题”，B 表示“此题被解出”. ()()()()12312312311P B P A A A P A A A P A A A ==-=-()()()1234233115345P A P A P A =-=-⋅⋅=.5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1）第k 次才成功的概率；（2）n次试验中恰有k 次成功的概率.（1）{}()()()()()()11211211k k k k k P k P A A A A P A P A P A P A p p ---===- 第次才成功. (2) {}()()1n kk k n n P n k P k C p p -==-次试验恰有次成功习题1-5 第一章习题课1. 设41)(=A P ，52)(=B P ，在下列情况下，求概率)(B A P . （1）A 、B 互不相容 （2）B A ⊂ （3）A 与B 独立 （4）81)(=AB P 解：由分析知（1）52)()(==B P B A P (2) 2034152)()()(=-=-=A P B P B A P(3)1035243)()()(=⨯==B P A P B A P (4) 40118152)()()(=-=-=AB P B P B A P2.设()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()()()()()11P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⎡⎤⎣⎦ 又因为()()P AB P AB =，所以有()()11P B P A p =-=- 3.从4双不同的手套中任取4只，求下列事件的概率，(1)4只没有成对； (2)4只恰好为2双.解 从4双(8只)中任取4只,共有4870n C ==种,设A 表示“取到的4只没有成对”,则B 表示“取到的4只恰好为2双”,则A 的基本事件数为1111222216C C C C ⋅⋅⋅=,B 的基本事件数为624=C()11112222481687035C C C C P A C ===. ()3534824==C C B P4.有10件产品，其中8件正品，2件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.解：用A 表示“第一次取得是正品”，A 表示“第一次取到是次品”，用B 表示“第二次取得正品”所求问题为()B A P由题意知 ()()()98,97,541918191711018======C C A B P C C A B P C C A P由全概率公式()()()()()()()5498519754=⨯+⨯=+=+=B A P A P B A P A P B A P AB P B P由贝叶斯公式()()()()()()97549754=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P5.有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中2件次品，装在第一个箱中，第二批产品共有10件，其中1件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再 从第二箱中任取一件为次品的概率.解 设1A 表示“从第一箱放入第二箱是次品”，2A 表示“从第一箱放入第二箱是正品”B 表示“从第二箱任取一件为次品”，由题意知：()()76,711141122114121====C C A P C C A P()(),111,112111112111121====C C A B P C C A B P由全概率公式()()()()()77811176112712211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P6.从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率. 解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成5重贝努里试验，4.0=p 用A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”()()()3456.04.014.03225=-=C A P第二章 随机变量及其分布 习题2-1 随机变量及其分布函数 离散型随机变量的概率分布1. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2这四个值，相应的概率依次为1357,,,24816c c c c ，确定常数c ，解由归1167854321=+++c c c c ，1637=c . 2.已知离散型随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤≤≤<≤--<=3,131,8.010,6.001,3.01,0x x x x x x F ，求X 的概率分布.解 ()x F 的跳跃点分别为3,1,0,1-，对应的跳跃高度分别为2.0,2.0,3.0,3.0 故X 的概率分布为10130.30.30.20.2X p -3．已知随机变量X 的概率分布为且()432=≥X P ，求未知参数θ及X 的分布函数. 解：由归一性知，()(),111222=-+-+θθθθ且()012≥-θθ{}{}{}()()431123222=-+-==+==≥θθθX P X P X P ， 解得 21,21-==θθ（舍去) X 的分布函为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,4321,411,0x x x x x F 4. 5件同类型的产品中有2件次品，3件正品，有放回的每次取一个，共取2次，求2次中取到次品的次数X 的概率分布. 解：X 的所有可能取值为2,1,0339{0}5525P X ==⨯=，233212{1}555525P X ==⨯+⨯=，224{2}5525P X ==⨯=，列表如下，0129124252525PX()()22123211X P --θθθθ5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.解 设X 表示每分钟收到的呼唤次数，则~(4)X P ，（1）448944{8}{8}{9}0.298!!∞∞--====≥-≥=-=∑∑k k k k P X P X P X e e k k （2）4114{10}0.0028!k k P X e k ∞-=>==∑ 习题2-2 连续型随机变量及其概率分布1．设随机变量X 的概率密度为cos ,,()20,k x x f x π⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它.求（1）系数k ；（2）{0}P x π<<；（3）X 的分布函数()F x .解（1）由()cos 1ππ+∞2-∞-2==⎰⎰f x dx k x dx ，得12k =； （2）2011{0}cos 22P x x dx ππ<<==⎰； （3）0,,21()=(sin 1),,2221,.2x F x x x x ππππ⎧<⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩2. 设随机变量X 的分布函数为0,0,(),01,1, 1.x F x k x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）系数k ；（2）{00.25}P X ≤≤；（3）X 的概率密度()f x .解 （1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的，(),lim lim 11k x k x F x x ==++→→(),1lim 1=-→x F x 即()()1lim lim 11===-+→→k x F x F x x ；（2）()()1{00.25}0.2500.2502P X F F ≤≤=-=-=；（3）()()1,01,()20,x f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它.3. 设随机变量~[2,5]X U ，求（1）{23}P X <≤；（2）{4}P X ≥；（3）{13}P X <≤.解 （1）321{23}523P X -<≤==-；（2）541{4}523P X -≥==-；（3）321{13}523P X -<≤==-. 4. 设~(1,16)X N -，求（1）{ 2.44}P X <；（2）{ 1.5}P X >-；（3）{4}P X <； （4）{52}P X -<<.（1） 2.441{ 2.44}()(0.86)0.80514P X +<=Φ=Φ=； （2）()1.51{ 1.5}1( 1.5)1()10.125(0.125)0.54784P X P X -+>-=-≤-=-Φ=-Φ-=Φ=；（3）{4}{44}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X P X <=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=； （4）2151{52}(0.75)(1)0.614744P X +-+⎛⎫⎛⎫-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：min ）具有概率密度51,0,()50,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；（2）若该顾客一个月内要去银行5次，用Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求{1}P Y ≥.解（1）251{10}510x p P X e dx e -+∞-=>==⎰； （2）2~(5,)Y B e -，20255{1}1{0}1()(1)0.5167P Y Y C e e --≥=-==--≈.习题2-3 随机变量函数的分布1.设随机变量X 的分布律为210111116434X P--求 2YX =+及21Z X =-的分布律.012311116434Y P；301111623Z P-2. 设随机变量X 的分布律为02111244X Pππ求 cos Y X =的分布律.101111244Y P-3. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求3Y X =的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≥=-0,00,22x x e x f x ，3Y X =在[)+∞,0内单调函数，反函数为()3y y h =在[)+∞,0内单调函数，导数()3231-='y y h ，值域为[)+∞,0()()132232,0,0,()30,00,0.y X Y f h y h y y y e y f y y y --⎧⎧'⋅≥⎡⎤≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨<⎪⎪⎩<⎩4. 设随机变量~[0,1]X U ，求XY e =及ln Z X =-的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=others x x f ,010,1x e y =在[]1,0是单调函数，反函数为()y y h ln =在[]e ,1是单调函数，导数为()yy h 1='，值域为[]e ,1，则Y 的密度函数为()()1,1,,1()0,0,.X Y y e f h y h y y e y f y ⎧⎧'≤≤⋅≤≤⎡⎤⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其它xz ln -=在()1,0是单调函数，反函数为()z e z h -=在[)+∞,0是单调函数，导数为()z e z h --='，()(),0,0,,0,()0,0.0,00,0.z z X Z f h z h z z e z e z f z z --⎧⎧'≥-≥⎡⎤⎧≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎨<<<⎪⎩⎪⎩⎩z z =5. 设随机变量()~0,1X N ，求Y X =的概率密度. 解：X 的概率密度函数为()()+∞<<∞-=-x e x f x X 2221π,0≥=X Y先求Y 的分布函数()y F Y ，当0≤y 时，(){}0=≤=y Y P y F Y ；当0>y 时，(){}{}{}()()y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 于是Y X =的概率密度为()()()()222222111,0,0()220,00,02,0,0,0.y y X X Y Y y f y f y y e e y f y F y y y e y y ---⎧--⋅->⎧+>⎪⎪'===⎨⎨≤⎪⎩⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩πππ习题2-4 第二章习题课1.选择题（1）设()x f 1为()1,0N 的概率密度，()x f 2为[]3,1-U 的概率密度，若()()()⎩⎨⎧>≤=0,0,21x x bf x x af x f 为概率密度()0,0>>b a ，则b a ,满足___. （A ） (A) 432=+b a (B) 324a b += (C) 1=+b a (D) 2=+b a（2）设随机变量()~2,X B p ，随机变量()p B Y ,3~，若()951=≥X P ，则()=≥1Y P .（A ） (A)1927 (B) 89 (C) 1627(D)19（3）设随机变量~[2,4]X U ，则{34}___P X <<=.（A ）(A) {2.25 3.25}P X << (B) {1.5 2.5}P X << (C) {3.5 4.5}P X << (D) {4.5 5.5}P X <<（4）设随机变量X 的概率密度为2(1)81()22x f x e π+-=，则~___X .（B ）(A) (1,2)N - (B) (1,4)N - (C) (1,8)N - (D)(1,16)N -2.填空题 2λ=（1）设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且1{0}{2}2P X P X ===，则__λ=. 解：{} ,2,1,0,!===-k e k k X P k λλ1{0}{2}2P X P X ===2281!221!0220=⇒=⇒⨯=⇒--λλλλλλe e（2）设随机变量X 的概率密度为2,10,()0,10.ax f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则常数__.a =10a =解：由归一性，()11010lim 10102==⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+∞→+∞∞+∞+∞-⎰⎰a a x a x a dx x a dx x f x 10=a（3）设随机变量~(2,4)X N ，则{2}___.P X ≤=0.5 解：{}()5.00222222=Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤X P X P（4）设随机变量X 的分布函数为()x F ，则随机变量13+=X Y 的分布函数()=y G . 解：(){}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=313113y F y X P y X P y Y P y G 3.袋中有2个白球3个黑球，现从袋中随机地抽取2个球，以X 表示取到的白球个数，求X 的分布律.解：X的所有取值为2,1,0{}{}{}1013,1061,103025222513122523=========C C X P C C C X P C C X P012361101010XP4. 设连续型随机变量X 的分布函数为(1),0,(),01,1, 1.x x Ae x F x B x Ae x --⎧<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩（习题B 第十题）求：（1）,A B 的值；（2）X 的概率密度；（3）1{}3P X >.解 （1）由于连续型随机变量的分布函数()F x 为连续函数，因此考查()F x 在0,1x x ==两点的连续性，有0lim ()lim xx x F x Ae A --→→==，00lim ()lim x x F x B B ++→→==，得A B =； 又11lim ()lim x x F x B B --→→==,(1)11lim ()lim(1)1x x x F x Ae A ++--→→=-=-,得1B A =-；则12A B ==于是(1)1,0,21(),01,211, 1.2xx e x F x x ex --⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩（2）(1)1,0,2()()0,01,1, 1.2xx e x f x F x x e x --⎧<⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪≥⎩ （3）11111{}1{}1()133322P X P X F >=-≤=-=-= 或(1)113111{}()322x P X f x dx e dx +∞+∞-->===⎰⎰. 5. 设随机变量[]6,0~U X ，求方程04522=-++X Xt t 有实根的概率.解：X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=othersx x f ,060,61使方程04522=-++X Xt t 有实根，0≥∆()()()()(),0414454454222≥--=+-=--=∆X X X X X X即4≥X 或1≤X方程有实根的概率为{}{}216161141064=+=≤+≥⎰⎰dx dx X P X P第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量1. 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中去两次，每次取一球以Y X ,分别表示从袋中两次取球所得的红、黑球个数，(1)求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律；(2)求{}1,2≤≤Y X P .解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1,2{}{}{}9162622,0,31263621,0,4163630,0=⨯====⨯⨯====⨯===Y X P Y X P Y x P{}{}{}02,1,91262611,1,61263610,1====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P .{}{}{}02,2,01,2,36161610,2=======⨯===Y X P Y X P Y X P联合分布律为{}{}{}{}{}{}{}984161361319100,00,10,21,01,11,21,2=+++++===+==+==+==+==+===≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X PXX012111046361110391292. 2. 盒中有2个红球，1个白球和2个黑球，从中取2个，设,X Y 分别为取出的红球数和白球数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1{}{}{},520,1,511,0,1011,02512122512112522============C C C Y X P C C C Y X P C C Y X P{}{}{}01,2,1010,2,511,12512251112===========Y X P C C Y X P C C C Y X P0131101051032115551120101032155i jp p ⋅⋅3. 已知{}{}2121====X P X P ，当事件{}k X =发生时()2,1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,~k B k X Y ，求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律.解 当1=k 时，{}{}31323111,3232311001112001=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P则有{}{}{}3132211010,1=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}6131211111,1=⨯=======X Y P X P Y X P当2=k 时{}{}94323121,9432312011122002=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P{}913122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P 则有{}{}{}9294212020,2=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}9294212121,2=⨯=======X Y P X P Y X P{}{}{}18191212222,2=⨯=======X Y P X P Y X PYX()Y X ,的联合分布律为18192922061311210习题3-2 二维连续型随机变量的分布1. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它,042,20,6,y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P ；（3）求{4}P X Y +≤；(4)求{}5.1≤X P . 解：(1)由归一性()()dx y xy y k dxdy y x k dx dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∞+∞-∞+∞-242242202166,1 ()[]81862620220=⇒=-=-=⎰k k x x k dx x k （2）{}()()836816813.1103213=--=--=<<⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x Y X P （3）{}()()⎰⎰⎰⎰=--=--=≤∞-+∞∞-5.10425.132276816815.1dy y x dx dxdy y x X P2. 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,1y x x ==及0y =所围成的区域，求：（1）(,)X Y 的联合概率密度；（2）1{0,01}2P X Y <<<<. 解 （1）1,01,02(,)0,.x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它；（2）1114{0,01}214P X Y <<<<==.3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为21,01,02,(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）{1}P X Y +≥.XY解 当01x ≤≤时，222012()(,)()233X f x f x y dy x xy dy x x +∞-∞==+=+⎰⎰；当0x <或1x >时，()(,)00X f x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，则 222,01,()30X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.， 同理，11,02,()360+Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2）12201165{1}()372xP X Y dx x xy dy -+≥=+=⎰⎰. 习题3-3 随机变量的独立性1. 设随机变量(,)X Y 的联合分布律为23111191821139αβ问：当,αβ取何值时，X 和Y 相互独立.解 若X 和Y 相互独立，则 {1,3}{1}{3}P X Y P X P Y ====⋅=，即 11111=()()18918189α+++，16=α.由概率的规范性，得 1111191839+++++=αβ，则29=β.2. 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，求常数b a ,. 解：由归一性得 5.011.04.0=+⇒=+++b a b a （1）{}{}{}a Y X P Y X P X P +===+====4.01,00,00， {}{}{},0,11,01b a Y X P Y X P Y X P +===+====+ {}{}{}{},1,010a y X P Y X X P =====+⋂=X Y XY0100.410.1a b根据题意得{}{}{}{}{}1010=+⨯===+⋂=Y X P X P Y X X P 即 ()()b a a a +⨯+=4.0 （2） 由(1),(2)两式解得 1.0,4.0==b a 3. 二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为8,01,(,)0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它.判断X 和Y 是否相互独立. 解 当01x <<时，13()(,)844X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰⎰，则 344,01,()0.X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩，其它，当01y <<时，20()(,)84yY f y f x y dx xydx y +∞-∞===⎰⎰，则 24,01,()0,.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅ ，∴X 和Y 不相互独立4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解 由题意得()Y X ,的联合密度函为()()()⎩⎨⎧≤≤==其他,010,4,x xy y f x f y x f Y X11011{1}(,)46xx y P XY f x y dxdy dx xydy -+≤+≤===⎰⎰⎰⎰.习题3-4 两个随机变量的函数的分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，分布律分别为010.60.4X P1010.20.30.5Y P-求1Z X Y =+，2Z XY =和3min(,)Z X Y =的分布律.Y解 (,)X Y 的边缘分布和联合分布表为10100.120.180.30.610.080.120.20.40.20.30.51-，从而 110120.120.260.420.2Z P-21010.080.720.2Z P - 31010.20.60.2Z P-2. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为0100.10.310.30.3求 X Y +和XY 的分布律.解0120.10.60.3X YP+ 010.70.3XY P3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求1{}2P X Y +≤.解 因为X 和Y 相互独立，则()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧≤≤≤≤==其他,000,10,1,y x y f x f y x f Y X 111222000111{}1228x P X Y dx dy x dx -⎛⎫+≤==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解：X 和Y 相互独立，则Y X +也服从正态分布，则()34,1~N Y X Z +={}()2101341134111=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-+-=≥+Y X P Y X P XYX习题3-5 第三章习题课1.填空题（1）设~(1,2),~(1,3)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则2~___X Y +.（2）已知二维随机变量(,)X Y 服从区域:01,02G x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则{1,P X ≤1}___Y ≤=.122. 设(,)X Y 的概率密度为1124,0,0,(,)230,.xy x y f x y ⎧≤≤≥≤⎪=⎨⎪⎩其它 判断X 与Y 是否相互独立？解 当102x ≤≤时，1123300()24124X f x xy dy xy x ===⎰当0x <或12x >时，()0X f x = 则X 的概率密度为 14,0,()20,.X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它；当103y ≤≤时，1122200()24126Y f y xy dx yxy ===⎰当0y <或13y >时，()0Y f y =， 则Y 的概率密度为 16,0,()30,.Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.3. 盒中有2个红球3个白球，从中每次取一球，连续取两次，有放回，记,X Y 分别表示第一次与第二次取出的红球个数，求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律. 解 339{0,0}5525P X Y ===⋅=，326{0,1}5525P X Y ===⋅=，236{1,0}5525P X Y ===⋅=，224{1,1}5525P X Y ===⋅=， 则(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为196302525564212525532155i jp p ⋅⋅4. 设(,)X Y 的分布律为35111155131510q p-1- 问,p q 为何值时X 与Y 相互独立？解：要使X 与Y 相互独立，则需{}{}{}515,1=-===-=Y P X P Y X P⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒103515115151q 152=⇒q ，{}{}{}515,1=====Y P X P Y X P 1011035110351103=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒p p 容易验证当152.101==q p 时，对Y X ,的所有取值都有..j i ij p p p ⋅=成立。

说明:本习题答案是针对魏宗舒编写的《概率论与数理统计教程》(第二版).5.1设(x l ,x 2,···,x n )及(u 1,u 2,···,u n )为两组子样的观测值,它们有如下关系:u i =x i −ab,(b =0,a 为常数)求子样均值¯u 与¯x ,子样方差S 2u 与S 2x 的关系.解：¯u =1n n ∑︁i =1u i =1n n ∑︁i =1x i −a b =1b (︃1n n ∑︁i =1x i −a )︃=1b(¯x −a )S 2u=1n n ∑︁i =1(u i −¯u )2=1n n ∑︁i =1(︂x i −a b −¯x −a b )︂2=1b 2[︃1n n ∑︁i =1(x i −¯x )2]︃=1b2S 2x.5.2若子样观测值x 1,x 2,···,x m 的频数分别为n 1,n 2,···,n m ,试写出计算子样平均数¯x 和子样方差S 2n 的公式(这里n =n 1+n 2+···+n m )解：¯x =1n m∑︁i =1m i x iS 2n=1n m∑︁i =1m i (x i −¯x )2.5.3利用切比雪夫不等式求钱币需抛掷多少次才能使子样均值¯ξ落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9?如何才能更精确地计算是概率接近0.9所需要的次数是多少?解：设需要掷n 次,E ¯ξ=0.5,D (¯ξ)=14n.由切比雪夫不等式可得:P (0.4≤¯ξ≤0.6)=P (|¯ξ−0.5|≤0.1)≥1−14n ×(0.1)2=1−25n≥0.9⇒n ≥250.所以由切比雪夫不等式估计,至少需要掷250次才能使样本均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9.¯ξ−0.5√︀1/(4n )=2√n (¯ξ−0.5)近似服从标准正态分布,所以P (0.4≤¯ξ≤0.6)=P (︀2√n (0.4−0.5)≤2√n (¯ξ−0.5)≤2√n (0.6−0.5))︀=2Φ(2√n ×0.1)−1≥0.9⇒Φ(0.2√n )≥0.95.其中Φ(x )是标准正态分布N (0,1)的分布函数,查表可得Φ(1.645)=0.95.因此0.2√n =1.647⇒n =67.65,因此至少要掷68次硬币.5.4若一母体ξ的方差σ2=4,而¯ξ是容量为100的子样的均值.分别利用切比雪夫不等式和极限定理求出一个下界,使得¯ξ−μ(μ为母体ξ的数学期望Eξ)夹在这界限之间的概率为0.9.解：设P (|¯ξ−μ|≤a )≥0.9.注意到母体的数学期望为μ,方差为σ2.所以E ¯ξ=μ,D ¯ξ=σ2/n =125.由切比雪夫不等式可知:P (|¯ξ−μ|≤a )≥1−D ¯ξa 2=1−125a2≥0.90⇒1/(25a 2)≤0.1⇒a ≥0.4.故由切比雪夫不等式得到的界限是0.4.根据大数定律可知¯ξ−μ√︀1/25=5(¯ξ−μ)近似服从标准正态分布,所以P (|¯ξ−μ|≤a )=P (5(¯ξ−μ)≤5a )=2Φ(5a )−1≥0.9⇒Φ(5a )≥0.95⇒5a ≥1.645⇒a ≥0.329.由大数定律得到的界限是0.329.5.5假定¯ξ1和¯ξ2分别是取自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个独立子样(ξ11,ξ12,···,ξ1n)和(ξ21,ξ22,···,ξ2n)的均值,确定n使得两个子样均值之差超过σ的概率大约为0.01.解：由题意可知¯ξi∼N(μ,σ2/n),i=1,2,并且¯ξ1,¯ξ2相互独立.因此¯ξ1−¯ξ1∼N(0,2σ2/n),即√n¯ξ1−¯ξ2√2σ∼N(0,1).由P(|¯ξ1−¯ξ2|>σ)=0.01可得:P(√n⃒⃒⃒⃒¯ξ1−¯ξ2√2σ⃒⃒⃒⃒>√nσ√2σ)=0.01⇒P(√n⃒⃒⃒⃒¯ξ1−¯ξ2√2σ⃒⃒⃒⃒>√︂n2)=0.01⇒2(1−Φ(√︀n/2))=0.01⇒√︀n/2=2.576⇒n=13.27.所以当n=13时,可使得两个子样均值之差超过σ个概率大约为0.01.5.6设母体ξ∼N(μ,4),(ξ1,ξ2,···,ξn)是取自此母体的一个子样,¯ξ为子样均值.试问:子样容量n应取多大,才能使(1)E(|¯ξ−μ|2)≤0.1;(2)E(|¯ξ−μ|)≤0.1;(3)P(|¯ξ−μ|≤0.1)≥0.95.解：由题意可知√n2(¯ξ−μ)∼N(0,1).设η∼N(0,1),那么E(|η|2)=∫︁∞−∞1√2π|x|2e−12x2dx=2∫︁∞−∞1√2πx2e−12x2dx=Eη2=Dη+(Eη)2=1;E(|η|)=∫︁∞−∞1√2π|x|e−12x2dx=2∫︁∞1√2πxe−12x2dx=−2√2πe−12x2⃒⃒⃒∞=√︂2π.(1).E(|¯ξ−μ|2)=4nE⃒⃒⃒⃒√n2(¯ξ−μ)⃒⃒⃒⃒2=4n≤0.1⇒n≥40.所以当n取40时,可以使得E(|¯ξ−μ|2)≤0.1.(2).E(|¯ξ−μ|)=2√nE⃒⃒⃒⃒√n2(¯ξ−μ)⃒⃒⃒⃒=2√n√︂2π≤0.1⇒n≥800π.(3).P(|¯ξ−μ|≤0.1)=P(|√n2(¯ξ−μ)|≤0.1√n2)≥0.95⇒2Φ(0.1√n2)−1≥0.95⇒Φ(0.1√n2)≥0.975⇒0.1√n2≥1.96⇒n≥39.22=1536.6.即当n≥1537时,才能使P(|¯ξ−μ|≤0.1)≥0.95.5.7设母体ξ∼b(1,p)(二点分布),(ξ1,ξ2,···,ξn)为取自此母体的一个子样,¯ξ为子样均值.(1).若p=0.2,子样容量n应取多大,才能使①P(|¯ξ−p|≤0.1)≥0.75;②E(|¯ξ−p|2)≤0.01.(2).若p ∈(0,1)为未知数,则对每个p ,子样容量n 为多大时才能使E (|¯ξ−p |2)≤0.01.解：记q =1−p ,则√n (¯ξ−p )近似服从正态分布N (0,pq ).(1).P (|¯ξ−p |≤0.1)=P (⃒⃒√n (¯ξ−p )/√pq ⃒⃒≤0.1√n √pq )≈2Φ(︂0.1√n √pq)︂−1所以由P (|¯ξ−p |≤0.1)≥0.75可得Φ(︂0.1√n √pq)︂≥0.875.查表得Φ(1.15)=0.875,因此0.1√n/√pq ≥1.15⇒n ≥11.52×pq =21.16,即当n ≥22时,才能保证P (|¯ξ−p |≤0.1)≥0.75.②.E (|¯ξ−p |2)=E (¯ξ−p )2=E (¯ξ−E ¯ξ)2=D ¯ξ=Dξ/n =pq/n =0.16/p .所以要使E (|¯ξ−p |2)≤0.01,只需0.16n≤0.01⇒n ≥0.160.01=16,故只有当n ≥16,才能使E (|¯ξ−p |2)≤0.01.(2).类似于(1)中的②,E (|¯ξ−p |2)=D ¯ξ=p (1−p )n.因此要使E (|¯ξ−p |2)≤0.01,子样容量n 必须≥p (1−p )0.01=100p (1−p ).5.8设母体ξ的k 阶原点矩和中心矩分别为v k =Eξk ,μk =E (ξ−v 1)k ,k =1,2,3,4.ξk ,m k 分别为容量为n 的子样k 阶原点矩和中心矩,求证:∙E (¯ξ−v 1)3=μ3n 2;∙E (¯ξ−v 1)4=3μ2n 2+μ4−3μ22n3.解：令η=ξ−v 1=ξ−Eξ,ηi =ξi −v 1,那么η1,η2,···,ηn 就是来自总体η的子样,并且Eηki =Eηk =E (ξ−v 1)k =μk .令¯η=1n ∑︀n i =1ηi ,那么¯η=¯ξ−v 1.所以(1)E (¯ξ−v 1)3=E ¯η3=1n3∑︁i,j,kEηi ηj ηk =1n 3⎛⎜⎝n ∑︁i =1Eη3i +∑︁i,j,k 不全相等Eηi ηj ηk ⎞⎟⎠=1n 3⎛⎝nμ3+3∑︁i =j,i =kEηi (ηj ηk )⎞⎠=1n 2μ3+3n 3∑︁i =j,i =kEηi E (ηj ηk )=μ3n 2(2)E (¯ξ−v 1)4=E ¯η4=1n4∑︁i,j,k,lEηi ηj ηk ηl=1n 4⎛⎝n ∑︁i =1Eη4i +∑︁i =j =k =lEη2i η2k +∑︁i =k =j =lEη2i η2j +∑︁i =l =k =jEη2i η2j +E∑︁elseηi ηj ηk ηl ⎞⎠=1n 4(︀nμ4+3n (n −1)μ22)︀=3(n −1)μ22n 3+μ4n 3=μ4−3μ22n 3+3μ22n2其中对i,j,k,l 求和时,把这四个下标分成三类,一类是i =j =k =l ,第二类是这四个下标分成两组,在同组中的下标都相等,其余的分在第三类.注意在第三类中,我们肯定可以找到一个下边,它和其余三个下标都不同,此时Eηi ηj ηk ηl =0,这因为,比如i 不等于其余三个下标,那么Eηi ηj ηk ηl =Eηi Eηj ηk ηl ,而Eξi =0.5.9.设母体ξ∼N (μ,σ2),子样方差S 2n =1n ∑︀n i =1(ξi −¯ξ)2.求ES 2n ,DS 2n ,并证明当n 增大时,他们分别为σ2+o (1n )和2σ4n +o (︀1n )︀.解：ES 2n =(n −1)σ2n=σ2−1nσ2=σ2+o (1).(注:习题中有错误,不是o (1n ),1n 的高阶无穷小,而是o (1),即无穷小.)对于后一问,只需利用P 233的定理5.1,我们在这里这需计算μ2,μ4.μ2=Dξ=σ2,μ4=E (ξ−μ)4=∫︁∞−∞(x −μ)4p ξ(x )dx =∫︁∞−∞x 41√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx =∫︁∞−∞x 31√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx 22=−x 3σ√2πexp {︂−12x 2σ2}︂⃒⃒⃒∞−∞+3σ2∫︁∞−∞x 21√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx=3σ4.把μ2,μ4的结果带入定理5.1,可知:DS 2n=σ4[︀2n−2n 2]︀=2σ4n+o (︀1n )︀.实际上,我们也可以这样计算:令随机变量η∼χ2(n ),那么Eη=∫︁∞0x 12n 2Γ(n 2)x n 2−1e −12x dx =2n +22Γ(n +22)2n 2Γ(n 2)=n Eη2=∫︁∞x 212n 2Γ(n 2)x n 2−1e −12x dx =n (n +2).因此Eη=n,Dη=2n .从以上可知:D (S 2n )=σ4n2D (︂nS 2n σ2)︂=2(n −1)σ4n 2=2σ2n+o(︂1n)︂.5.10设(ξ1,ξ2)为取自正态母体ξ∼N (0,σ2)的一个子样,试证:(1).ξ1+ξ2与ξ1−ξ2是相互独立的;(2).(ξ1+ξ2)2(ξ1−ξ2)2服从F (1,1)分布.解：(ξ1,ξ2)是ξ∼N (μ,σ2)的子样,从而ξ*=[︃ξ1ξ2]︃∼N(︃[︃μμ]︃,σ2I 2)︃,其中I 2表示二阶单位矩阵.那么η=[︃η1η2]︃=[︃111−1]︃ξ* Bξ*∼N (︃B [︃μμ]︃,σ2BI 2B ′)︃,即η∼N (︃[2μ,0]′,[︃2002]︃)︃.因此可知η1,η2即ξ1+ξ2,ξ1−ξ2相互独立,且分别有分布N (2μ,2),N (0,2).5.11设母体的分布函数为F (x ),(ξ1,ξ2,···,ξn )是取自该母体的一个字样.若F (x )的二阶矩存在,¯ξ为字样均值,试证(ξi −¯ξ)与(ξj −¯ξ)的相关系数为ρ=−1n −1,i =j =1,2,···,n .解：方法一:由相关系数的定义,我们先计算Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)和D (ξi −¯ξ)=D (ξj −¯ξ).记总体ξ的期望为μ,方差为σ2.令ηi =ξi −μ,i =1,2,···,n ,那么Eηi =0,Eηi ηj =0,i =j,Eη2i=σ2.从而可知:Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=Cov(ηi −¯η,ηj −¯η)=Cov(ηi ,ηj )−2Cov(ηi ,¯η)+Cov(¯η,¯η)=0−2Cov(ηi ,1n ηi )+σ2/n =−1n σ2.D (ξi −¯ξ)=D (ηi −¯η)=Cov(ηi −¯η,ηi −¯η)=D (ηi )−2Cov(ηi ,¯η)+D ¯η=σ2−2Cov(ηi ,1n ηi )+σ2/n =n −1nσ2.所以ξi −¯ξ,ξj −¯ξ的相关系数为−σ2/n√︂n −1n σ2n −1nσ2=−1n −1,i =j.方法二:首先由ξ1,ξ2,···,ξn 的独立性可知:D (ξ−¯ξ)=D (n −1n ξi −1n∑︁j =iξj )=(︂n −1n )︂2Dξi +1n2∑︁j =iDξj=σ2(︃(︂n −1n )︂2+n −1n 2)︃=n −1nσ2.由对称性可知对任意的i =j ,Cov(ξi ,ξj )=Cov(ξ1,ξ2) c .同时注意到∑︀n i =1(ξi −¯ξ)=0,所以=D (n ∑︁i =1(ξi −¯ξ))=n ∑︁i =1D (ξi −¯ξ)+∑︁i =jCov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=(n −1)σ2+n (n −1)c⇒c =−n −1n (n −1)σ2=−1nσ2.因此Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=−1n σ2n −1nσ2=−1n −1.5.12设¯ξn ,S 2n 分别是子样(ξ1,ξ2,···,ξn )的子样均值和子样方差,现又获得第n +1个观测值,试证:(1).¯ξ=¯ξn +1n +1(ξn +1−¯ξn );(2).S 2n +1=n n +1[︁S 2n +1n +1(ξn +1−¯ξn )2]︁.解：(1).¯ξn +1=1n +1n +1∑︁i =1ξi =1n +1ξn +1+n n +11n n∑︁i =1ξi=1n +1ξn +1+n n +1¯ξn =1n +1(ξn +1−¯ξn )+¯ξn .S2n+1=1n+1n+1∑︁i=1ξ2i−¯ξ2n+1=nn+1(1nn∑︁i=1ξ2−¯ξ2n)+nn+1¯ξ2n+1n+1ξ2n+1−(︃¯ξ2n+2n+1¯ξn(ξn+1−¯ξn)+(︂1n+1)︂2(ξn+1−¯ξn)2)︃=nn+1S2n+1n+1[︀ξ2n+1−2ξn+1¯ξn+¯ξn]︀−1(n+1)2(ξn+1−¯ξn)2=nn+1[︂S2n+1n+1(ξn+1−¯ξn)2]︂.5.13从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球.令ξ=0表示取到白球,ξ=1表示取到黑球.求容量为5的子样均值和子样方差的期望值.解：实际上,我们知道E¯ξ=Eξ,ES2n =n−1nDξ,所以我们只需计算出总体的期望和方差.由题意可知总体ξ有分布列ξ01P132 3那么Eξ=23,Dξ=1323=29,因此E¯ξ=23,ES2n=2(n−1)9n.习题5.14设母体ξ服从参数为λ的泊松分布,(ξ1,ξ2,···,ξn)是取自此母体的一个子样.求(1).子样的联合概率分布列;(2).子样均值¯ξ的分布列、E¯ξ、D(¯ξ)和ES2n.解：因为ξ1,ξ2,···,ξn是总体ξ∼P(λ)的子样,所以ξ1,ξ2,···,ξn独立同分布,且均服从参数为λ的泊松分布.故(1)子样的联合分布列为P(ξ1=x1,ξ2=x2,···,ξn=x n)=n∏︁i=1P(ξi=x i)=n∏︁i=1λx ix i!e−λ=λ∑︀ni=1x i e−nλ(︃n∏︁i=1x i!)︃−1.x i=0,1,2,···,i=1,2,···,n.(2).回顾78页例2.12,该例题说明两个相互独立的泊松分布P(λ1),P(λ2)的和服从泊松分布P(λ1+λ2),因此在本题中n∑︁i=1ξi∼P(nλ)所以¯ξ的分布列为:P(¯ξ=kn)=P(n∑︁i=1ξi=k)(nλ)kk!e−nλ.因为总体的期望和方差都是λ,因此E¯ξ=Eξ=λ,D¯ξ=Dξn=λn,ES2n=n−1nDξ=(n−1)λn.5.15设ξ1,ξ2,···,ξn是取自正态母体N(μ,σ2)的子样,求u=k∑︀i=1ξi和v=∑︀ni=rξi,0<k<r<n的联合分布列.解：由于k<r,所以u,v相互独立.又因为ξ1,ξ2,···,ξn独立同分布,均服从N(μ,σ2)分布,而u,v都是ξ1,ξ2,···,ξn的线性组合,故u,v也都服从正态分布.又Eu=k∑︁i=1Eξi=kμ,Du=k∑︁i=1Dξi=kσ2,Ev=n∑︁i=rEξi=(n−r+1)μ,Dv=n∑︁i=rDξi=(n−r+1)σ2,所以u,v 的联合分布为二维正态分布N (kμ,(n −r +1)μ,kσ2,(n −r +1)σ2,0).5.16设母体η=(ξ1,ξ2)∼N (μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),(η1,η2,···,ηn )是取自此母体的一个子样,求子样均值¯η=(¯ξ1,¯ξ2)=(︂1nn ∑︀i =1ξ1i ,1n n∑︀i =1ξ2i )︂的分布密度函数.解：首先可知¯η服从二维正态分布.又ηi ∼N (μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),所以Eξ1i =μ1,Eξ2=μ2,Dξ1i =σ21,Dξ2i =σ22,Cov(ξ1i ,ξ2i )=ρσ1σ2.又因为当i =j 时,ηi ,ηj 相互独立,故Cov(ξ1i ,ξ2j )=0.这样我们就有如下结果:E ¯ξ1=1n n∑︁i =1Eξ1i =μ1;E ¯ξ2=1n n∑︁i =1Eξ2i =μ2;D ¯ξ1=1n 2n ∑︁i =1Dξ1i=1n σ21;D ¯ξ2=1n 2n ∑︁i =1Dξ2i=1n σ22;Cov(¯ξ1,¯ξ2)=1n 2Cov(n ∑︁i =1ξ1i ,n ∑︁i =1ξ2i )=1n 2∑︁i,jCov(ξ1i ,ξ2j )=1n 2∑︁i Cov(ξ1i ,ξ2i)=ρσ1σ2n.并且¯ξ1,¯ξ2的相关系数为Cov(¯ξ1,¯ξ2√︀[D ¯ξ1][D ¯ξ2]=ρσ1σ2/n √︀(σ21/n )(σ22/n )=ρ.由以上结论可知¯η∼N (μ1,μ2,σ21/n,σ22/n,ρ),其密度函数为:n2πσ1σ2√︀1−ρ2exp {︂−n 2(1−ρ2)[︂(x −μ1)2σ21−2ρ(x −μ1)(y −μ2)σ1σ2+(y −mu 2)2σ22]︂}︂.5.17设母体的分布列为P (ξ=k )=1N ,k =1,2,···,N .现进行不放回抽样,¯ξ¯ξ为子样(ξ1,ξ2,···,ξn )的均值,试求E ¯ξ和D (¯ξ).解：由题意可知,母体中共有N 个个体,且取到每个个体的概率是一样的.从母体中不放回的抽样,第i 次抽到第k 个个体的概率为1/N .故ξi 也有分布列P (ξi =k )=1N ,k =1,2,···,N ,即和母体有相同的分布列.所以Eξi =1N ∑︀N k =1k =N +12,Eξ2i =1N ∑︀N k =1k 2=(N +1)(2N +1)6,Dξi =N 2−112.由于抽样是不放回抽样,所以ξi ,ξj 不是相互独立的.它们有联合分布列P (ξi =k,ξj =l )={︃1N (N −1),k =l,0,k =l 由此可知:Eξi ξj=1N (N −1)∑︁k =lkl =(N +1)(3N +2)12;Cov(ξi ,ξj )=Eξi Eξj −Eξi Eξj =−N +112.所以D(ξ1+ξ2+···+ξn)=n∑︁k=1Dξk+2∑︁1≤k<l≤nCov(ξk,ξl)=n N2−112−n(n−1)N+112=n(N+1)(N−n)12;D(¯ξ)=1n2D(n∑︁i=1ξi)=(N+1)(N−n)12n;E¯ξ=1nn∑︁i=1Eξi=N+12.5.18设母体ξ∼N(0,1),ξ1,ξ2,ξ3为取自该母体的一个子样,在子样空间中求子样到原点的距离小于1个概率.解：由于ξi,i=1,2,3独立同分布,和母体有相同的分布,故ξ1,ξ2,ξ3的联合密度函数为:p(x,y,z)=1(2π)3/2exp{︂−12(x2+y2+z2)}︂.因此子样到原点的距离小于1的概率为p=P(ξ21+ξ22+ξ23<1)=∫︁∫︁∫︁x2+y2+z2<11(2π)3/2exp{︂−12(x2+y2+z2)}︂dxdydz.做变换⎧⎪⎨⎪⎩x=r cosθ1,y=r sinθ1cosθ2, z=r sinθ1sinθ2.变化的雅克比行列式为ð(x,y,z)ð(r,θ1,θ2)=r sinθ1.所以P=(2π)−3/2∫︁π0sinθ1dθ1∫︁2πdθ2∫︁1r2exp{︂−12r2}︂=√︂2π∫︁1r2exp{−r22}dr=√︂2π[︂−r exp{−r22}⃒⃒1+∫︁1exp{−r22}dr]︂=√︂2π[︂∫︁1exp{−r22}dr−e−12]︂=√︂2π[︂√2π∫︁11√2πexp{−r22}dr−e−12]︂=√︂2π[︁√2π(Φ(1)−Φ(0))−e−12]︁=2Φ(1)−1−√︂2πe−12.其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数.或者如下计算P.P=(2π)−3/2∫︁1−1[︂e−x22∫︁y2+z2<1−x2e−12(y2+z2)dydz]︂dx=(2π)−3/2∫︁1−1[︃e−x22∫︁2πdθ∫︁√1−x2re−12r2dr]︃dx=(2π)−1/2∫︁1−1[︂e−x22(︂−e−12r2⃒⃒⃒√1−x2)︂]︂dx=(2π)−1/2∫︁1−1e−12x2[1−e−12(1−x2)]dx=∫︁1−11√2πe−12x2dx−1√2π∫︁1−1e−12dx=2Φ(1)−1−√︂2πe−12≈0.1987.又或者利用χ2分布.注意到ξ21+ξ22+ξ23∼χ2(3),所以P =P (ξ21+ξ22+ξ23<1)=∫︁10123/2Γ(32)x 32−1e −x 2dx =1√2π∫︁10x 12e −x 2dx.在上述积分中做变换x =t 2,可以得到和前面相同的结果.5.19设(ξ1,ξ2,···,ξn )为取自正态母体N (μ,σ2)的子样,S 2n 为子样方差,分别求满足下列各式的最小n 值.(1).P (︂S 2nσ2≤1.5)︂≥0.95.(2).P (︂|S 2n −σ2|≤12Σ)︂≥0.8.解：注意到nS2n σ2∼χ2(n −1).(1).P (︂S 2n σ2≤1.5)︂=P (︂nS 2n σ2≤1.5n )︂≥0.95,故1.5n ≥χ20.95(n −1).1.5×20<χ20.95(19),而1.5×21>χ20.95(20),所以最小的n 是21.(2).P (︂|S 2n −σ2|≤12σ2)︂=P (︁⃒⃒⃒nS 2n σ2−n ⃒⃒⃒≤n 2)︁=P (︁n 2≤ns 2nσ2≤3n 2)︁.所以我们要找的n 为使得P (︂n 2≤ns 2n σ2≤3n 2)︂≥0.8的最小的n .用软件计算可知此最小的n 为13.5.20子样(ξ1,ξ2,ξ3)来自正态母体N (0,1),又η1=0.8ξ1+0.6ξ2,η2=√2(0.3ξ1−0.4ξ2−0.5ξ3),η3=√2(0.3ξ1−0.4ξ2+0.5ξ3),求(η1,η2,η3)的联合分布密度及η1,η2,η3的边际密度.解：ξ1,ξ2,ξ3相互独立,且都服从分布N (0,1),所以(ξ1,ξ2,ξ3)的联合分布是三维正态分布.其期望为(0,0,0),协方差矩阵为三阶单位矩阵I 3.记A =⎛⎜⎝0.80.600.3√2−0.4√2−0.5√20.3√2−0.4√20.5√2⎞⎟⎠,那么可知(η1,η2,η3)′=A (ξ1,ξ2,ξ3)′,即(η1,η2,η3)′是(ξ1,ξ2,ξ3)的线性变换,所以(η1,η2,η3)′也服从正态分布,其期望,协方差矩阵分别为:E ⎛⎜⎝η1η2η3⎞⎟⎠=A ⎛⎜⎝000⎞⎟⎠=0,Cov ⎛⎜⎝η1η2η3⎞⎟⎠AI 3A ′=I 3.由于η1,η2,η3的协方差矩阵是单位矩阵,故可知ηi ,ηj 的相关系数为0,所以η1,η2,η3相互独立.又Eηi =0,Dηi =1,所以ηi sin N (0,1).5.21若ξ1,ξ2,···,ξn 相互独立且服从正态分布,它们的数学期望相等,方差各为σ21,σ22,···,σ2n ,证明:u =∑︀n i =1ξiσ2i∑︀ni =11σ2i与v =n ∑︁i =1(︂ξi −u σi)︂2是相互独立的,且u 服从正态分布,v 服从自由度为n 的χ2分布.解：因为ξi ,i =1,2,···,n 有相同的数学期望,不妨用μ表示其共同的数学期望.令ηi =ξiσi,i =1,2,···,n ,那么η1,η2,···,ηn 相互独立,都服从正态分布,且Dηi =1,Eηi =a/σi ,i =1,···,n ,这样可知η=(η1,η2,···,ηn )′的协方差矩阵为n 阶单位矩阵I n .记C=√︃n∑︀i=11σ2i,令矩阵A是正交矩阵,且其第一行为(1σ1,1σ2,···,1σn)/C.设ζ=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ζ1ζ2...ζn⎞⎟⎟⎟⎟⎠=Aη=A⎛⎜⎜⎜⎜⎝η1η2...ηn⎞⎟⎟⎟⎟⎠那么(ζ1,ζ2,···,ζn)′服从多元正态分布,且其协方差矩阵为Cov(ζ)=A Cov(η)A′=AI n A′=AA′=I n.ζ的数学期望为Eζ=AEη=A ⎛⎜⎜⎜⎜⎝aσ1aσ2...aσn⎞⎟⎟⎟⎟⎠=a⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝n∑︀i=11σ2i...⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝aC2...⎞⎟⎟⎟⎟⎠.这意味着ζ1,ζ2,···,ζn相互独立,且ζ1∼N(aC2,1),ζ2∼N(0,1),i=2,3,···,n.由于矩阵A的第一行为(1σ1,1σ2,···,1σn)/C,所以ζ1=1C(η1/σ1+η2/σ2+···+ηn/σn)=1C(ξ1/σ21+ξ2/σ22+···+ξn/σ2n)=Cu.由此可知u=1C ζ1∼N(a,1C2),即N(a,(︀∑︀ni=1σ2i)︀.又v=n∑︁i=1(︂ξi−uσi)︂2=n∑︁i=1(ηi−uσi)2=n∑︁i=1η2i−2un∑︁i=1ηi/σi+u2n∑︁i=11σ2i=η′η−2u(C2u)+C2u2=η′η−C2u2 =η′η−ζ21.其中利用了∑︀ni=1ηi/σi=∑︀ni=1ξiσ2i=C2u,ζ1=Cu.因为A是正交矩阵,且ζ=Aη,所以ζ′ζ=η′A′Aη=η′η.这样可知v=ζ′ζ−ζ21=ζ22+ζ23+···+ζ2n.综合以上所述,我们已经知道ζ1,ζ2,···,ζn,相互独立,且ζi∼N(0,1),i=2,3,···,n,u∼N(a,1/C2).所以u=Cζ1与v=ζ22+ζ23+···+ζ2n相互独立,且v∼χ2(n−1).注:v的自由度是n−1,不是n.5.22设母体ξ服从正态分布N(μ,σ2),¯ξ,S2n分别为容量为n的子样均值和子样方差,又设ξn+1∼N(μ,σ2)且与ξ1,ξ2,···,ξn相互独立.试求统计量ξn+1−¯ξS n √︂n−1n+1的抽样分布.解：由定理5.4知¯ξ与S2n相互独立,¯ξ∼N(μ,σ2/n),nS2nσ2∼χ2(n−1).ξn+1与ξ1,ξ2,···,ξn相互独立,故¯ξ与¯ξ,S2n独立.且ξn+1−¯ξ∼N(0,σ2+σ2n),即ξn+1−¯ξ∼N(0,n+1nσ2).ξn+1,¯ξ都与S2n相互独立,那么ξn+1−¯ξ与S2n独立,因此ξn+1−¯ξ√n+1n σ2√︂nS2nσ2⧸︁(n−1)∼t(n−1),即ξn+1−¯ξS n√︂n−1n+1∼t(n−1).5.23(ξi,ηi),i=1,2,···,n是取自二元正态分布N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)的子样.设¯ξ=1nn∑︀i=1ξi,¯η=1nn∑︀i=1ηi,S2ξ=1n∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2,S2η=1n∑︀ni=1(ηi−¯η)2和r=∑︀ni=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)√︁∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2∑︀ni=1(ηi−¯η)2.试求统计量¯ξ−¯η−(μ1−μ2)√︁S2ξ+S2η−2rSξSη√n−1.的分布.解：一般的我们称1nn∑︁i=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)为样本协方差.而把r=∑︀ni=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)√︁∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2∑︀ni=1(ηi−¯η)2=样本协方差√︁S2ξS2η为样本相关系数.设[ξ1,η1]′,[ξ2,η2]′,···,[ξn,ηn]′是从总体[ξ,η]′∼N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)取到的子样.S2ξ+S2η−2rSξSη=1n(︃n∑︁i=1(ξi−¯ξ)2+n∑︁i=1(ηi−¯η)2−2n∑︁i=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η))︃=1nn∑︁i=1[︀(ξi−ηi)−(¯ξ−¯η)]︀2.令ζi=ξi−ηi,i=1,2,···,n.那么ζ1,ζ2,···,ζn就可以看做是从总体ξ−η∼N(μ1−μ2,σ21+σ22−2ρσ1σ2)的子样.并且这个新子样的子样均值和子样方差分别为:¯ζ=1nn∑︁i=1(ξi−ηi)=¯ξ−¯ηS2=1nn∑︁i=1(ζi−¯ζ)2=1nn∑︁i=1[︀(ξi−ηi)−(¯ξ−¯η)]︀2=S2ξ+S2η−2rSξSη.因此√n−1(¯ξ−¯η)−(μ1−μ2)√︁S2ξ+S2η−2rSξSη∼t(n−1).5.23-2解:(1)因为函数y=√x的反函数为x=y2,且dxdy=2y,所以η=√ξ的密度函数为pξ(y)=2pη(y2)|y|=⎧⎨⎩22n/2Γ(n/2)y×(y2)n2−1e−12y2=12n2−1Γ(n2)y n−1e−y22,y>0 0,y≤0(2).因为z=y√n的反函数为y=√nz,且dydz√n,所以ζ=ξ√n的密度为: pζ(z)=√npξ(√nz)=⎧⎨⎩n n22n/2−1Γ(n/2)z n−1e−nz22,z>00,z≤0(3)Eξ=E √η=∫︁∞√x12n/2Γ(n/2)x n2−1e−12x dx=2n+12Γ(n+12)2n2Γ(n2)=√2Γ(n+12)Γ(n2).Eξ2=Eη=nDξ=Eξ2−(Eξ)2=n−2(︂Γ(n+12Γ(n2))︂25.24设母体ξ以等概率取四个值0,1,2,3,现从中获得一个容量为3的子样,试分别求ξ(1)与ξ(3)的分布.解：(i).先求ξ(1)的分布(分布列).P(ξ(1)≥k)=P(min{ξ1,ξ2,ξ3}≥k)=P(ξi≥k,i=1,2,3)=3∏︁i=1P(ξi≥k)=3∏︁i=14−k4=(︂4−k4)︂3,k=0,1,2,3.P(ξ(1)=k)=P(ξ(1)≥k)−P(ξ(1)≥k+1)=(︂4−k4)︂3−(︂3−k4)︂3,k=0,1,2P(ξ(1)=3)=P(ξ(1)≥3)=(︂14)︂3=164.因此ξ(1)有如下分布列:ξ(1)0123P37641964764164(ii).再考虑ξ(3)的分布列.P(ξ(3)≤k)=P(max{ξ1,ξ2,ξ3}≤k)=P(ξi≤k,i=1,2,3)=3∏︁i=1P(ξi≤k)=3∏︁i=1k+14=(︂k+14)︂3,k=0,1,2,3P(ξ(3)=k)=P(ξ(3)≤k)−P(ξ(3)≤k−1)=(︂k+14)︂3−(︂k4)︂3,k=1,2,3P(ξ(3)=0)=P(ξ(3)≤0)=(︂14)︂3=164.因此ξ(3)有如下分布列:ξ(3)0123P164764196437645.25设母体ξ的密度函数为f(x)=3x2,0≤x≤1从中获得一个容量为5的子样ξ1,ξ2,···,ξ5,其次序统计量为ξ(1),ξ(2),···,ξ(5).(1).试分别求ξ(1)与ξ(5)的概率密度函数;(2).试证ξ(2)ξ(4)与ξ(4)相互独立.解：(1).母体有分布函数F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩0,x≤0x3,0<x≤1,1,x>1.所以ξ(1)的概率密度函数f(1)(x),ξ(5)的概率密度函数f5(x)分别为:f(1)(x)={︃5[1−x3]4(3x2),0≤x≤1,0,else={︃15x2(1−x3)4,0≤x≤1,0,else.f(5)(x)={︃5(x3)4(3x2),0≤x≤10,else={︃15x14,0≤x≤1,0,else.(2).母体有分布函数F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩0,x≤0x3,0<x≤1,1,x>1.因此ξ(2),ξ(4)的联合密度函数为g2,4(y,z)={︃5!9(2−1)!(4−2−1)!(5−4)!(y3)[z3−y3]4−2−1[1−z3]y2z2,0<y<z≤1.0,else={︃1080y5(z3−y3)(1−z3)z2,0<y<z≤1 0,else.令{︃U=ξ(2)/ξ(4)V=ξ(4)其对应的函数为:{︃u=y/z,v=z.其反函数为y=uv,z=v,其雅克比行列式为J=⃒⃒⃒⃒⃒v u01⃒⃒⃒⃒⃒=v.所以U,V的联合密度为pU,V (u,v)={︃1080(uv)5(v3−(uv)3)(1−v3)v2v,0<u<1,0<v<1,0,else.={︃1080v11(1−v3)u5(1−u3),0<u<1,0<v<1,0,else.U,V的联合密度函数是变量可分离的,故U,V相互独立.且U=ξ(2)/ξ(4)的密度函数为PU (u)={︃ku5(1−u3),0<u<10,else计算可知k=18.5.26设母体ξ服从韦布尔分布,其分布函数为F(x)=1−e−(xη)m,x>0,其中m>0为形状参数,η>0为尺度参数.从中获得子样ξ1,ξ2,···,ξn,证明μ=min(ξ1,ξ2,···,ξn)任服从韦布尔分布,并指出其形状参数和尺度参数.解：母体ξ的密度函数p(x)=F′(x)={︃mηmx m−1e−(xη)m,x>0 0,else.所以最小次序统计量μ=ξ(1)=min(ξ1,ξ2,···,ξn)的密度函数为:f(x)=n(1−F(x)]n−1p(x)=nmηmx m−1(︁e−(xη)m)︁n−1e−(xη)m=nmηmx m−1(︁e−n(xη)m)︁=m(cη)mx m−1(︁e−(x cη)m)︁其中c=n−1m.比较f(x)和母体的密度函数p(x)可知μ也服从韦布尔分布,其形状参数仍为m,尺度参数为ηm√n.5.27设某电子元件寿命服从参数为λ=0.0015的指数分布,其分布函数为:F(x)=1−e−λx,x>0.今从中随机抽取6个元件,测得其寿命分别为ξ1,ξ2,···,ξ6,试求下列事件的概率.(1).到800小时没有一个元件失效;(2).到300小时所有元件都失效.解：ξ1,ξ2,···,ξ6是子样,所以ξ1,ξ2,···,ξ6相互独立,且每个ξi都服从参数为λ的指数分布,所以(1).到800小时没有一个元件失效的概率为p1=P(ξ1>800,ξ2>800,···,ξ6>800)=6∏︁i=1P(ξi>800)=6∏︁i=1P(ξ<800)=6∏︁i=1[1−(1−e−800λ)]=[e−800λ]6=e−4800λ=e−7.2≈0.00075.(2).到300小时所有元件都失效的概率p2=P(ξ1<3000,ξ2<3000,···,ξ6<3000)=6∏︁i=1P(ξi<3000)=6∏︁i=1P(ξ<3000)=6∏︁i=1[1−e−3000λ)]=[1−e−3000λ]6=[1−e−4.5]6≈0.93517.5.28设母体ξ的密度函数为f(x)={︃6x(1−x),0<x<10,else由此母体中抽取一个子样(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5),又ξ(1)<ξ(2)<ξ(3)<ξ(4)<ξ(5)是子样的顺序统计量,求ξ(3)的密度函数.解：ξ的分布函数为F(x)=∫︁x6t(1−t)dt=x2(3−2x),(0<x<1),所以ξ(3)的密度函数为:g3(x)=5!2!2![F(x)]2[1−F(x)]2f(x)=5!2!2![x2(3−2x)]2[1−x2(3−2x)]2[6x(1−x)]=180x5(1−x)(3−2x)2(1−3x2+2x3)2,0<x<1.5.29母体ξ服从[0,1]上的均匀分布,(ξ1,ξ2,···,ξn)为取自该母体的子样,ηi=ξ(i)为次序统计量,求P(ηi> 12),i=1,2,3,4,5.解：ξ服从[,1]上的均匀分布R[0,1],所以ξ的分布函数为:F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x,0<x≤10,x≤01,x>1.因此第i个次序统计量ηi的概率密度函数为:g i(y)=⎧⎨⎩5!(i−1)!(5−i)!x i−1(1−x)5−i,0<y≤1 0,y≤0或者y>1故P(η1>1/2)=∫︁11/25(1−y)4dy=∫︁1/25t4dt=132P(η2>1/2)=∫︁11/220y(1−y)3dy=316P(η3>1/2)=∫︁11/230y2(1−y)2dy=12P(η4>1/2)=∫︁11/220y3(1−y)dy=1316=1−P(η2>1/2)P(η5>1/2)=∫︁11/25y4dy=3132=1−P(η1>1/2).5.30设(ξ1,ξ2)是取自具有指数分布母体的子样,其密度函数为:f(x)={︃e−x,x>00,else(ξ(1)<ξ(2)是次序统计量,求ξ(1)与η=ξ(1)+ξ(2)的联合密度函数.解：母体ξ服从参数为1的指数分布,其分布函数为F(x)=(1−e−x),x>0.因此ξ(1),ξ(2)的联合密度函数为:g1,2(x,y)=2e−x e−y,0<x<y.令U=ξ(1),V=ξ(1)+ξ(2).它对应的函数为u=x,v=x+y,其反函数为x=u,y=v−u,且雅克比行列式J=⃒⃒⃒⃒⃒ðxðuðxðvðyðuðyðv⃒⃒⃒⃒⃒=⃒⃒⃒⃒⃒10−11⃒⃒⃒⃒⃒=1.所以U,V的联合密度函数为pU,V(u,v)=2e−u e−(v−u),0<u<(v−u)=e−v,0<2u<v.5.31设母体ξ的分布函数F(x)是连续的,ξ(1),ξ(2),···,ξ(n)为取自此母体的子样的次序统计量,设ηi= F(ξ(i)),试证(1).η1≤η2≤···≤ηn,且ηi是来自均匀分布U(0,1)母体的次序统计量;(2).Eηi=in+1,D(ηi)=i(n+1−i)(n+1)2(n+2),1≤i≤n.(3).ηi和ηj的协方差矩阵为⎛⎜⎝a1(1−a1)n+2a1(1−a2)n+2a1(1−a2)n+2a2(1−a2)n+2⎞⎟⎠其中a i=in+1,a j=jn+1.证明：因为ξ(1),ξ(2),···,ξ(n)是取自母体ξ的子样的次序统计量,所以ξ(1)≤ξ(2)≤···≤ξ(n).又因为分布函数F(x)是单调不降的,所以F(ξ(1))≤F(ξ(2))≤···≤F(ξ(n))并且可看做是取自母体F(ξ)的子样的次序统计量.令C x=sup{t|F(t)≤t},0<x<1.由于F(x)是连续函数,其闭集的原像仍为闭集.而且F(x)单调不降,故可知F(C x)=x.这样可知:P(F(ξ)≤x)=P(ξ≤C x)=F(C x)=x,0<x<1.所以η=F(ξ)服从(0,1)上的均匀分布,所以η1,···,ηn可看做从(0,1)分布的母体上子样的次序统计量.(2).由(1)可知ηi有密度函数p(i)=⎧⎨⎩n!(i−1)!(n−i)![F(x)]i−1[1−F(x)]n−i,0<x<1, 0,else=⎧⎨⎩n!(i−1)!(n−i)!x i−1(1−x)n−i,0<x<1, 0,else即ηi服从beta分布Beta(i,n−i+1).注意到ηi的密度函数的形式,Eηi=∫︁1n!(i−1)!(n−i)!x i(1−x)n−i dx=n!(i−1)!(n−i)!i!(n−i)!(n+1)!∫︁1(n+1)![(i+1)−1]![(n+1)−(i+1)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1)dx=n!(i−1)!(n−i)!i!(n−i)!(n+1)!=in+1.其中我们利用了(n+1)![(i+1)−1]![(n+1)−(i+1)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1),0<x<1是子样容量为n+1时ηi+1的密度函数.用同样的方法可得:Eη2i=∫︁1n!(i−1)!(n−i)!x i+1(1−x)n−i dx=n!(i−1)!(n−i)!(i+1)!(n−i)!(n+2)!∫︁1(n+2)![(i+2)−1]![(n+2)−(i+2)]!x(i+2)−1(1−x)(n+2)−(i+2)dx=n!(i−1)!(n−i)!(i+1)!(n−i)!(n+2)!=i(i+1)(n+2)(n+1).其中我们利用了(n+2)![(i+2)−1]![(n+2)−(i+2)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1),0<x<1是子样容量为n+2时ηi+2的密度函数.那么Dηi=Eη2i−(Eηi)2=i(n+1−i) (n+1)2(n+2).(3).不妨假定i<j.因为η1,···,ηn可看做(0,1)上均匀分布母体的子样的次序统计量.故ηi,ηj的联合密度函数为:g i,j(x,y)=n!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i−1(y−x)j−i−1(1−y)n−j,0<x<y<1.注意到E(ηiηj)=Eηi(ηj−ηi)+Eη2i.Eηi(ηj−ηi)=∫︁10∫︁1xn!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i(y−x)j−i(1−y)n−j dxdy=i(j−i)(n+2)(n+1)∫︁1∫︁1x(n+2)![(i+1)−1]![(j+2)−(i+1)−1]![(n+2)−(j+2)]!·x(i+1)−1(y−x)(j+2)−(i+1)−1(1−y)(n+2)−(j+2)dxdy=i(j−i)(n+2)(n+1),其中利用了(n+2)![(i+1)−1]![(j+2)−(i+1)−1]![(n+2)−(j+2)]!x(i+1)−1(y−x)(j+2)−(i+1)−1(1−y)(n+2)−(j+2),0<x<y<1是子样容量为n+2时,ηi+1和ηj+2的联合密度函数.所以进一步的可得Cov(ηi,ηj)=Eηiηj−(Eηi)(Eηj)=Eηi(ηj−ηi)+Eη2i−(Eηi)(Eηj)=i(j−i)(n+2)(n+1)+i(i+1)(n+2)(n+1)−ij(n+1)2=i(n+1−j)(n+2)(n+1)2=a1(1−a2n+2.从而可得ηi,ηj的协方差矩阵为Cov(ηi,ηj)=(︃Dηi Cov(ηi,ηj)Cov(ηj,ηi)Dηj)︃=⎛⎜⎝a1(1−a1)n+2a1(1−a2)n+2a1(1−a2)n+2a2(1−a2)n+2⎞⎟⎠.5.32设母体ξ∼N(0,1),从此母体获得一组子样观测值x1=0,x2=0.2,x3=0.25,x4=−0.3, x5=−0.1,x6=2,x7=0.15,x8=1,x9=−0.7,x10=−1.(1).求子样的经验分布函数F n(x).(2).计算x=0.15(即ξ(6))处E(F(ξ(6))),D(F(ξ(6)))解：(1).子样的经验分布函数为:F n(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,x≤−10.1,−1<x≤−0.70.2,−0.7<x≤−0.30.3,−0.3<x≤−0.10.4,−0.1<x≤00.5,0<x≤0.150.6,0.15<x≤0.20.7,0.2<x≤0.250.8,0.25<x≤10.9,1<x≤21,x>2(2).记F(x)为标准正态分布的分布函数,p(x)为标准正态分布的密度函数,那么ξ(6)的密度函数为:g6(x)=10!5!4!F5(x)[1−F(x)]4p(x),。

第13次1在总体N （U 「2）中抽取样本 X !,X 2,X 3 （」已知，二2未知），指出X ! X 2 X 3,解 X 1 X 2 X 3 , X 2 2h , max(X 1 ,X 2,X 3) , |X 1—'X 31 是统计量2给定样本观测值92,94,103,105,106求样本均值和方差1解 X =丄(9294 103 105 106) =100 521 2 2 2 2 2S[(92 -100)(94 -100) (103-100)(105 -100) (106 -100)]5 -1=42.53在总体X ~ N(12,22)中随机抽取容量为 5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率 2解 注意到 X~N (叫——)n - (2 丫有 X ~ N(12,)& 5丿13 _ 12 11 _ 12P{| X -12 | 1} =1 - P{11 ：： X ：： 13} =1 -[门( )一 门( 2 )]、5. 5=1一：门( )亠叫一 )=1一门()1一门()=0.26282 2 2 24 已知 X ~t(8)，求(1)P{X 2.306}，P{X <1.3968}(2)若 P{X }=0.01 求’解 (1)P{X 2.306} =0.025，P{ X ::: 1.3968} = P{ X 1.3968} = 1 - 0.1 = 0.9(2)P{X } =0.01= • - 2.89655 已知 X ~2(8)，求(1)P{X 2.18}，P{X :: 20.09}(2)若 P{X 「} =0.025求，(3)若 P{X ：： } =0.95 求■ 解(1)P{X 2.18} =0.975，P{X ：： 20.09} =1-P{X 20.09} = 1 -0.01 = 0.99(2) P{X •} =0.025 二，-17.534X 2 2」，max(X ,,X 2,X 3)|X i -X 3 I 哪些是统计量？2 2X iX 2 X2 3(3) P{X }=0.95 P{X . •} =0.05 二，-15.5076设总体X ~ N （3.2,62 3 4）, X ,,X 2,...,X n 是X 的样本，则容量n 应取多大，才能使得P{1.2 ：： X :: 5.2} _0.95P{1.2 ：：：X ：：5.2}二仁5^尹）一讥违竺）凡（亍）一讥一亍）n= ：.：，（ □）_：「（ 0） =2+（」）_1 _0.9533 3y' n Tn ：：」()_ 0.975 1.96 n_ 34.5 7 4433所以n 最小为35第14次1从某正态总体 X 取得样本观测值：14.7，15.1，14.8，15.0， 15.2，14.6，用矩法估计总体均值」和方差c 2 解」-X =1(14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6) =14.96A —1-X21 n--------------------------- 2 1 2 2 2 匚 (X i -X) [(14.7—14.9)(15.1—14.9)(14.8—14.9)n i 总 6(15.0-14.9)2 (15.2 -14.9)2 (14.6 -14.9)2] =0.28X 乞1 2总体x 的密度为p(x) =1 飞,样本为X 1,X 2 ,...X n 求二的矩法估计量归 ex 〉11 3总体x 的密度为p （x ）=1。

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

第五章 有 限 定 理1、设()(0)f x x <<-∞是单调非降函数，且()0f x >，对随机变量ξ，若(||)Ef ξ<∞，则对任意x o >，1{||}(||)()P x Ef f x ξξ≥=。

2、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

3、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值？5、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2kk P X =±=； （2）(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。

6、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。

7、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。

8、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ=++，11()n n a E E nξξ=++，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a Ea ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。

9、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而0mn→时， 2221~2nmn n n m -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭。

概率统计各章节习题§1.1 随机事件1、写出下列各试验的样本空间及指定事件所含的样本点； （i ）将一枚硬币抛掷三次，{}A =第一次掷出正面、{}B =三次掷出同一面、{}C =有正面掷出； （ii ）将一颗骰子掷两次，{}A =点数相同、{}B =其中一次点数是另一次的两倍、{}6C =点数之和是；2、从某图书馆里任取一本书，事件A 表示“取到数学类图书”，事件B 表示“取到中文版图书”，事件C 表示“取到精装图书”； ①试述ABC 的含义；②何种情况下，C B ⊂？；③何种情况下，A B =3、设1234,,,A A A A 为某一试验中的四个事件，试用事件的运算表达如下事件：①“四个事件中至少有一个发生”；②“恰好发生两个”；③“至少发生三个”；④“至多发生一个”；4、试述下列事件的对立事件：①A = “射击三次皆命中目标”；②B =“甲产品畅销乙产品滞销”；③C =“加工四个零件至少有一个是合格品”；5、在区间[]0,1中任取一点x ，记：203A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭、1344B x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭、 213C x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，试用相同的作法表示如下诸事件：①AB ；②AB ； ③()A B A C ； 6、试证明以下事件的运算公式：（i ）A AB AB =；（ii ）A B A AB =；§1.2 频率与概率1、任取两整数，求“两数之和为偶数”的概率；2、①袋中有7个白球3个黑球，现从中任取2个，试求“所取两球颜色相同”的概率；②甲袋中有球5白3黑，乙袋中有球4白6黑，现从两袋中各取一球，试求“所取两球颜色相同”的概率；3、①n 个人任意地坐成一排，求“甲、乙两人坐在一起”的概率；②n 个人随机地围一圆桌而坐，求“甲、乙相邻”的概率；③n 个男生、m 个女生（1m n ≤+）坐成一排，求“任意两个女生都不相邻”的概率；4、从()0,1中随机地取两个数，试求：①“两数之和小于65”的概率；②“两数之积小于14”的概率；5、①已知事件,A B 满足：AB AB =，若()P A a =，试求()P B ；②已知事件,A B 满足：()()P AB P AB =，若()P A a =，试求()P B ；6、设,A B 为两事件，且()0.4P A =，()0.7P B =，问：①在什么条件下，()P AB 取得最大值，最大值是多少？②在什么条件下，()P AB 取得最小值，最小值是多少？若()0.5P B =，结果又如何？7、某班n 名战士各有一支归自己保管使用的枪，这些枪外形完全一样；在一次夜间紧急集合中，每人随机地取一支枪，求“至少有一人拿到自己的枪”的概率；8、证明：①()()()1P AB P A P B ≥+-；②()()()()()12121n n P A A A P A P A P A n ≥+++--；9、试证明：若,A B 为两事件，则()()()14P AB P A P B -≤； §1.3 条件概率、全概率公式与贝叶斯（Bayes ）公式1、已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P A B =；试求：()P AB 、 ()P A B 、()P B A 、()P B A B 、()P A B A B； 2、已知()12P A =，()13P B =，()16P A B =，试求()P A B ； 3、已知()0.8P A =，()0.7P B =，()0.2P A B -=，试求()P B A ； 4、已知()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，试求()P AB ； 5、设一批产品中一、二、三等品各占60％、35％、5％，从中任取一件，结果不是三等品，求“取到的是一等品”的概率；6、设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求“另一件也是不合格品”的概率；7、袋中有4白1红5只球，现有5人依次从袋中各取一球，取后不放回，试求“第i （1,2,,5i =）人取到红球”的概率；8、两台车床加工同样的零件，“第一台出现不合格品”的概率是0.03，“第二台出现不合格品”的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，①试求“任取一个零件是合格品”的概率；②如果取出的零件是不合格品，求“它是由第二台车床加工”的概率；9、某商店正在销售10台彩电，其中7台是一级品，3台是二级品；某人到商店时，彩电已售出2台，试求“此人能买到一级品”的概率；10、甲袋中有2只白球1只黑球，乙袋中有1只白球2只黑球，今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求“此球是白球”的概率；11、有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品；现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：①“第一次取出的零件是一等品”的概率；②“第二次取出的零件是一等品”的概率；③在第一次取出的是一等品的条件下，“第二次取出的零件仍然是一等品”的概率；④在第二次取出的是一等品的条件下，“第一次取出的零件仍然是一等品”的概率；12、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1；一个顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无次品，就买下这箱玻璃杯，否则退回；试求：①“顾客买下这箱玻璃杯”的概率；②“在顾客买下的一箱中，确实没有次品”的概率；13、证明：()()()()()P A B P A BC P C B P A BC P C B=+；14、设有N个袋子，每个袋子中都装有a个白球b个黑球，现从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中任取一球放入第三个袋中，如此下去，求“从最后一个袋中取出一白球”的概率；§1.4 事件的独立性1、假设()0.4P A=，()0.9P A B=，在以下情形下求()P B：①,A B互斥；②,A B独立；③A B⊂；2、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求“它是甲命中”的概率；3、若事件,A B独立，且两事件“仅A发生”与“仅B发生”的概率都是14，试求()P A与()P B；4、三人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率分别为13、14、15，求“此密码被译出”的概率；5、一射手对同一目标独立地射击四次，若“至少命中一次”的概率为8081，试求该射手进行一次射击的命中率；6、三门高射炮独立地向一飞机射击，已知“飞机中一弹被击落”的概率为0.4，“飞机中两弹被击落”的概率为0.8，中三弹则必然被击落；假设每门高射炮的命中率为0.6，现三门高射炮各对飞机射击一次，求“飞机被击落”的概率；7、甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜；已知甲的命中率为a ，乙的命中率为b ，甲先射击，试求“甲（乙）获胜”的概率；8、甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知每局中“甲获胜”的概率为0.6，“乙获胜”的概率为0.4；比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问：何种赛制对甲更有利？§2.1 随机变量及其分布函数1、箱中装有次品12,a a 与正品123,,b b b ，现从中一次取出两件产品，①写出此试验的样本空间；②令ξ表示所取两件产品中的次品个数，标出ξ在每个样本点上的值；③写出{}{}0,1,ξξ=≤ {}2ξ≥所包含的样本点；2、设随机变量（..r v ）X 的分布函数（..d f ）为()0,0;1,03;41,36;31,6;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求()3P X <、()3P X ≤、()1P X >、()1P X ≥； 3、设..r v X 的..d f 为()0,1;ln ,1;1,;x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：()2P X <、()03P X ≤≤、 ()2 2.5P X <<；4、已知..r v X 的分布函数为()0,0;2,01;23,12;1112,23;1,3;x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，试求：()3P X <、()13P X ≤<、12P X ⎛⎫> ⎪⎝⎭、()3P X =； 5、设随机变量ξ的分布函数为()F x ，试用()F x 表示下列事件的概率：{}{}{}{}{}231,23,215,4,8ξξξξξ<-<+>≤<；6、若()()121,1P X x P X x αβ≥=-≤=-，其中12x x <，试求()12P x X x ≤≤；7、①设..r v ξ的分布函数为：()0,1;arcsin ,11;1,1;x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩，试确定常数,a b ；②设..r v ξ的分布函数为()arctan ,F x A B x x R =+∈，试确定常数,A B ；8、①在半径为R 的圆内任取一点，求此点到圆心距离X 的分布函数及概率23P X R ⎛⎫> ⎪⎝⎭；②在ABC ∆内任取一点P ，记X 为点P 到底边BC 的距离，试求X 的分布函数；9、设()()12,F x F x 分别是两个随机变量的分布函数，,0a b >且 1a b +=，试证明：()()()12F x aF x bF x =+也是一个分布函数； §2.2 离散型随机变量及其分布律1、试判断下列分布列中所含的未知参数c ：① (),1,2,,c P k k N N ξ===； ② (),0,1,2,3!k c P k k k ξ===⋅； 2、现有三只盒子，第一只盒中装有1只白球4只黑球，第二只盒中装有2只白球3只黑球，第三只盒中装有3只白球2只黑球；现任取一只盒子，从中任取3只球，以X 表示所取到的白球数，试求：①X 的分布列；②“取到白球数不少于2”的概率；3、袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5；现从中任取3只，以X 表示3只球中的最大号码；①试求X 的分布列；②写出X 的分布函数并作图；4、已知..r v X 的..d f 为()0,0;0.5,01;0.7,13;1,3;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求X 的分布列； 5、已知...d r v X 的分布列为：1010.25a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其分布函数为： (),1;,10;0.75,01;,1;c xd x F x xe x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求,,,,a b c d e ； 6、从1,2,3,4,5五个数中任取三个，按大小顺序排列记为： 123x x x <<，令2X x =，试求： X 的分布函数及()()2,4P X P X <>；7、连续“独立”地掷n 次骰子，记,X Y 分别为n 个点数的最小、最大值，试求,X Y 的分布列；8、设()X P λ～，试求X 的最大可能值，即：k 取何值时，概率()P X k =取最大值？§2.3 连续型随机变量及其概率密度1、设..r v X 的分布函数为：()20,0;,01;1,1;x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：① A；②()()0.3,0.7P X ∈；③X 的概率密度函数（...p d f ）；2、设..r v X 的...p d f 为(),01;2,12;0,;x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，试求：①X 的分布函数；②32P X ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭； 3、已知..r v X 的...p d f 为(),x f x ce x -=-∞<<+∞，试确定常数c 并求X 的..d f ；4、设..r v X 有()11;...29,36;0,;x p d f f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他，若()23P X k ≥=，试确定k 的取值范围；5、设..,r v X Y 同分布（又记为：d X Y =），且X 有...p d f 为()23,02;80,;x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他；已知事件{}A X a =>与{}B Y a =>独立，且 ()34P A B =，试求常数a ； 6、设A 为曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域，在A 中任取一点，求该点到y 轴的距离ξ的分布函数及密度函数；7、设[]..0,5r v U ξ～，试求“方程24420x x ξξ+++=有实根”的概率；8、设..r v ξ的...p d f 为()221,x x f x x -+-=-∞<<+∞，试求()02P ξ≤≤；9、设()2..3,2r v X N ～，试求：①()()25,2P X P X<≤>；②确定c ，使得()()P X c P X c >=<；③设d 满足()0.9P X d >≥，d 至多为多少？10、由学校到火车站有两条路线，所需时间随交通堵塞状况有所变化，若以分钟计算，第一条路线所需时间()2150,10N ξ～，第二条路线所需时间()2260,4N ξ～，如果要求：①在70分钟内赶到火车站；②在65分钟内赶到火车站；试问：各应选择哪条路线？ 11、假设一机器的检修时间（单位：小时）服从12λ=的指数分布，试求：①“检修时间超过2小时”的概率；②若已经检修4小时，求“总共至少5小时检修好”的概率；12、①设()2,5X U ～，试求“对X 进行三次独立地观测中，至少有两次观测值大于3”的概率；②设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟记）服从参数为15的指数分布，某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他就离开；他一个月要到银行五次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求()1P Y ≥；13、对某地考生抽样调查的结果表明：考生的外语成绩（百分制）近似服从()272,N σ（0σ>未知）；已知96分以上的考生占考生总数的2.3％，试求“考生成绩介于60分与84分之间”的概率；14、设()2..0,1r v N ξ～，ηξ=或ηξ=-视1ξ≤或1ξ>而定，试求η的分布；§2.4 随机变量的函数的分布1、①设...d r v X 有分布列：210131111115651530--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试求2Y X =与Z X =的分布列；②设()...1,2c r v X U -～，记1,0;1,0;X Y X ≥⎧=⎨-<⎩，试求Y 的分布列； 2、设随机变量X 的概率分布为：()1,1,2,2k P X k k ===；试求sin 2Y X π⎛⎫= ⎪⎝⎭的分布律； 3、假设一设备开机后无故障工作的时间15X E ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，设备定时开机，出现故障时自动关机；且在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()Y F y ，并指明Y 是否为连续型随机变量？4、设..r v X 的...p d f 为()[]1,8;0,;x f x ∈=⎩其他，()F x 为X的..d f ，试求随机变量()Y F X =的分布函数；5、①设()..0,1r v X U ～，试求1X -的分布；②设()..2r v X E ～，试证：21X Y e -=与221X Y e -=-均服从()0,1上的均匀分布；6、若()2..ln ,r v X N μσ～，则称X 服从对数正态分布；①试求X 的概率密度函数()X f x ；②若()2ln 1,4X N ～，求31P X e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； 7、设()..0,1r v X U ～，试求以下Y 的密度函数； ① 2ln Y X =- ；② 31Y X =+ ；③ X Y e = ；④ ln Y X = ；8、设()21,03;..90,;x x r v X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩～其他，且2,1;,12;1,2;X Y X X X ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，试求：①Y 的分布函数；②()P X Y ≤；§3.1 二维随机变量及其分布1、袋中有1红2黑3白共6个球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取到的红、黑、白球的个数，①求()10P X Z ==；②求(),X Y 的概率分布；2、袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球；现随机抽取2次，每次抽取1个，定义随机变量,X Y 如下：1,0X ⎧=⎨⎩第一次抽到红球；，第一次抽到白球；、1,0Y ⎧=⎨⎩第二次抽到红球；，第二次抽到白球；，试就以下两种情况，分别求出(),X Y 的联合分布：①第一次抽取后放回；②第一次抽取后不放回；3、将一枚硬币抛掷三次，以X 表示三次中掷出正面的次数，以Y 表示掷出正面与反面次数之差的绝对值，试求(),X Y 的联合分布；4、①假设,X Y 同分布，且101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，()01P XY ==，试求(),X Y 的联合分布及()P X Y =；②设,X Y 为离散型随机变量，且101111442X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，1101513124Y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，已知()0P X Y <=，()14P X Y >=，试求(),X Y 的联合分布； 5、①设(),X Y 的联合概率密度为()22,1;,0,;cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数c ；（ii ）求()(),P X Y D ∈，2:21D x y ≤≤； ②设(),X Y 具有联合密度()()6,02,24;,0,;k x y x y f x y ⎧--≤≤≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数k ；（ii ）求()1,3P X Y ≤<、()1.5P X ≤、()4P X Y +≤；6、从()0,1中随机地取两个数，求“其积不小于316且其和不大于1”的概率； 7、设()0.5,10;..0.25,02;0,;x r v X f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩～其中，令2Y X =，(),F x y 为二维随机向量(),X Y 的联合分布函数，①求Y 的()...Y p d f f y ；②求1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭； §3.3 条件分布1、①将2只球放入3只盒中，以,X Y 分别表示1号盒与2号盒中的球数，试求在0Y =的条件下X 的条件分布； ②从1,2,3,4,5中任取一个数，记为X ；再从1,,X 中任取一个数记为Y ，试求(),X Y 的联合分布及Y 的分布；2、设..,r v X Y 独立，且()1X P λ～，()1Y P λ～，试求给定X Y n +=时，X 的条件分布；3、①设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求给定X x =（01x <<）时，Y 的条件密度函数()Y X f y x ；②设()()1,,0;,,0,;xy y e e x y X Y f x y y --⎧⋅>⎪=⎨⎪⎩～其他，0y ∀>，试求给定Y y =时，X 的条件密度函数()X Y f x y 及()1P X Y y >=；③设()()2221,1;,,40,;x y x y X Y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩～其他，试由此求条件概率 ()0.750.5P Y X ≥=；4、①设()0,1X U ～，已知X x =（01x <<），10,Y U x ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，试求Y 的 ()...Y p d f f y ；②设ξ在区间[]0,1上随机地取值，当观察到x ξ=时，η在区间[],1x 上随机地取值，试求η的密度函数；③设()2,0;0,0;x xe x f x x λξλξ-⎧>=⎨≤⎩～，η在()0,ξ上均匀分布，试求η的密度函数；④设()45,01;0,;Y y y Y f y ⎧<<=⎨⎩～其他，给定Y y =（01y <<）时，X 的条件密度为()233,0;0,;X Y x x y f x y y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求()0.5P X >；5、设[]2,4Y U ～，且给定Y y =（24y ≤≤）时，()X E y ～，试求：①(),X Y 的....J p d f （联合密度函数）；②试证：()1XY E ～； 6、①设,X Y 为两个随机变量，010.70.3Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，且给定Y k =时， ()2,1X N k ～，0,1k =；试求X 的分布； ②设121122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，且给定X k =时，()0,Y U k ～，1,2k =；试求Y 的分布，并求EY ；7、设[]0,1X U ～，试求给定12X >时，X 的条件分布； §3.4 随机变量的独立性1、 设(),X Y 有如下联合分布：/01104114X Y b a ，且事件{}0X =与 {}1X Y +=相互独立，①确定常数,a b ；②问：,X Y 是否独立？2、设101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，如果()221P X Y ==，①试求(),X Y 的联合分布；②,X Y 是否独立？3、设随机变量,X Y 独立同分布，且011X p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭～，令 1,0X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩若为偶数；，若为奇数；，问：p 取何值时，,X Z 相互独立？ 4、设随机向量(),X Y 具有如下的联合密度： ①(),4,0,1f x y xy x y =<<；②(),8,01f x y xy x y =<<<；试讨论以上两种情形下，,X Y 是否独立？5、①设()(),X Y U D ～，其中22:1D x y +≤，试讨论,X Y 的独立性；②设()(),X Y U G ～，其中[][]0,10,2G =⨯，试讨论,X Y 的独立性；6、设()()()2,,0;,,0,;x y ce x y X Y f x y -+⎧>⎪=⎨⎪⎩～其他，①确定常数c ；②试求X 的边缘密度及条件密度，讨论,X Y 是否独立？③求(),X Y 的联合分布函数；7、①设..,r v X Y 独立，且[]0,1X U ～，12Y E ⎛⎫⎪⎝⎭～，（i ）试写出(),X Y 的联合密度函数；（ii ）试求“方程220t Xt Y ++=有实根”的概率；②从长度为a 的线段的中点两边随机各选取一点，求“两点间距离小于3a ”的概率；8、试用概率方法证明：0a ∀>22x aa e dx --≤⎰9、设随机向量(),X Y 的联合密度为()1,1,1;,40,;xyx y f x y +⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试证：,X Y 不独立，但22,X Y 是独立地；§3.5 二维随机变量的函数的分布1、设,X Y 满足()30,07P X Y ≥≥=，且()()4007P X P Y ≥=≥=，试求{}()max ,0P X Y ≥；2、设..,r v X Y 具有分布：101111424X -⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭～；已知 ()01P XY ==，试求()max ,Z X Y X Y =∨=的分布；3、 设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布，且 ()01i P X ==-()10.6,1,2,3,4i P X i ===，试求行列式1234X X X X X =的概率分布；4、 设,A B 为两个事件，且()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，令1,0,;A X ⎧=⎨⎩若发生;否则，1,0,;B Y ⎧=⎨⎩若发生;否则，试求：①(),X Y 的概率分布；②22Z X Y =+的概率分布；5、设某一设备装有三个同类的电器元件，各元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布；当三个元件都正常工作时，设备才正常工作；试求设备正常工作时间T 的概率分布；6、①设()(),X Y U D ～，(){},02,01D x y x y =≤≤≤≤，试求边长为,X Y 的矩形面积S 的概率分布；②设,X Y 独立同()20,1N分布，则Z =Rayleigh ）分布，试求Z 的密度函数；7、设,X Y 独立，且()1X E λ～，()2Y E λ～，若{}()1min ,1P X Y e ->=，()13P X Y ≤=，试求12,λλ； 8、①设..,r v X Y 独立，且()13P Xi ==，1,0,1i =-；[)0,1Y U ～，记： Z X Y =+，试求： 102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭、Z 的()...Z p d f f z ；②设..,r v X Y 独立，且120.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()Y Y f y ～，试求Z X Y =+的概率分布；9、①设,X Y 独立同()0,1U 分布，试求Z X Y =+的密度； ②设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =-的密度；③设()()2,0,1;,,0,;x y x y X Y f x y --<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =+的密度；④设,X Y 独立同()1E 分布，试求Z X Y =-的密度；10、（最大值与最小值分布）设12,,,n X X X 相互独立，若()12max ,,,n Y X X X =，()12min ,,,n Z X X X =，试在以下情况下求,Y Z 的分布；① i X 具有()..i d f F x ，1,2,,i n =；②诸i X 同分布，且有 ()..d f F x ，1,2,,i n =；③诸i X 为...c r v 且同分布，()i X f x ～，1,2,,i n =；④()i X E λ～，1,2,,i n =；11、设,X Y 独立同[]0,1U 分布，若(),01;1,12;X Y X Y Z X Y X Y +≤+≤⎧=⎨+-<+≤⎩，试问：Z 服从什么分布？ §4.1 数学期望2、某新产品在未来市场的占有率X 是仅在()0,1上取值的随机变量，其密度函数为()()341,01;0,;x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求其平均占有率；3、设..r v X 的...p d f 为()2,01;0,;a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他，若23EX =，试求,a b ；4、①设()X P λ～，试求2321Y X X =+-的数学期望；②设()1X E ～，试求()2X E X e -+； ③设()20,1X N ～，试求()2X E Xe ；5、①假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障获得利润0元；发生三次或三次以上故障要亏损2万元；试求机器一周内所获得的平均利润；②游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光。

概率论第5、6、7、8章真题练习(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2013年4月2012年10月6.设X 1，X 2，…，X n …为相互独立同分布的随机变量序列，且E (X 1)=0，D (X 1)=1，则1lim 0n i n i P X →∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑7.设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是 A.1ni i x μ=-∑B.211nii x σ=∑C. 211()ni i x n μ=-∑ D. 211n i i x n =∑ 8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是 A.置信度越大，置信区间越长 B.置信度越大，置信区间越短 C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关9.在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是 A. H 1成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 1成立，拒绝H 110．设一元线性回归模型：201(1,2,),~(0,)i i i i y x i n N ββεεσ=++=…,且各i ε相互独立.依据样本(,)(1,2,,)i i x y i n =…得到一元线性回归方程01ˆˆˆy x ββ=+，由此得i x 对应的回归值为ˆi y，i y 的平均值11(0)ni i y y y n ==≠∑，则回归平方和S 回为 A ．21(-)ni i y y =∑B ．21ˆ(-)ni i i y y=∑C ．21ˆ(-)ni i yy =∑ D ．21ˆni i y=∑ 21.设m 为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 为事件A 的概率，则对任意正数ε，有lim n m P p n ε→∞⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭=____________.22.设x 1，x 2，…，x n 是来自总体P (λ)的样本，x 是样本均值，则D (x )=___________.23.设x 1，x 2，…，x n 是来自总体B (20，p )的样本，则p 的矩估计ˆp=__________. 24.设总体服从正态分布N (μ，1)，从中抽取容量为16的样本，u α是标准正态分布的上侧α分位数，则μ的置信度为的置信区间长度是_________.25.设总体X ～N (μ，σ2)，且σ2未知，x 1，x 2，…，x n 为来自总体的样本，x 和S 2分别是样本均值和样本方差，则检验假设H 0:μ =μ0;H 1:μ≠μ0采用的统计量表达式为_________.四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N (75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.五、应用题(10分)30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量X～N(500，22)(单位：g)，生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值x=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常(α=(附：=2012年4月9．设总体2~(2,3),X N x 1,x 2,…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( ) A.23x - B.29x -10．设样本x 1,x 2,…，x n 来自正态总体2(,)N μσ，且2σ未知．x 为样本均值，s 2为样本方差．假设检验问题为01:1,:1H H μμ=≠，则采用的检验统计量为( )xx21．设随机变量X ~N (1，1)，应用切比雪夫不等式估计概率{}P ()2X E X -≥≤______.22．设总体X 服从二项分布B (2，，x 为样本均值，则()E x =______． 23．设总体X ~N (0，1)，123x x x ，，为来自总体X 的一个样本，且2222123~()x x x n χ++，则n =______．24．设总体~(1)X N μ，，12x x ，为来自总体X 的一个样本，估计量1121122x x μ=+，2121233x x μ=+，则方差较小的估计量是______． 25．在假设检验中，犯第一类错误的概率为，则在原假设H 0成立的条件下，接受H 0的概率为______．四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)29．设总体X 的概率密度(1),01,(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩ 其他，其中未知参数>1,θ-12,,,n x x x ⋯是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计．2012年1月10. 从一个正态总体中随机抽取n= 20 的一个随机样本，样本均值为17. 25，样本标准差为,则总体均值μ的95％的置信区间为（ ）。

第一章 随机事件及其概率§1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题:⑴ 以下命题正确的是 （ ） A .()()AB AB A =； B .,A B AB A ⊂=若则；C .,A B B A ⊂⊂若则；D .,A B A B B ⊂=若则.⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） A .123123123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .122331A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A .2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ AB C ； ⑹ABC .3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正 品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.§1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题:⑴ 下列命题中,正确的是 （ ） A .B B A B A =；B .B A B A =；C .C B A C B A = ；D .()∅=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有 （ ） A .()()()P AB P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-；C .()1()()P A B P A P B =--；D .()1()()P A B P A P B =-.⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ ） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P AB ==且；C .AB A B =∅=Ω且；D . AB =∅.2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１) 恰有三个邮筒各有一封信；（２）第二个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．§1.5 条件概率1. 多项选择题:⑴ 已知0)(>B P 且∅=21A A ,则（ ）成立.A .1(|)0P AB ≥； B .1212(()|)(|)(|)P A A B P A B A B =+；C .12(|)0P A A B =；D . 12(|)1P A A B =.⑵ 若0)(,0(>>B P A P ）且)(|(A P B A P =），则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .,A B 相容；D .,A B 不相容.2. 已知61)|(.41)|(,31)(===B A P A B P A P ，求)(B A P3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.§1.6 独立性1. 多项选择题 ：⑴ 对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).A .若B A 、互不相容,则B A 、也互不相容；B .若B A 、相容,则B A 、也相容；C .若B A 、独立，则B A 、也独立；D .若B A 、对立，则B A 、也对立. ⑵ 若事件A 与B 独立，且0)(,0)(>>B P A P ， 则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .B A 、相容；D .B A 、不相容.2. 已知C B A 、、互相独立，证明C B A 、、也互相独立.3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.*4. 设C B A 、、为互相独立的事件，求证B A AB B A -、、 都与C 独立.5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．第二章 一维随机变量及其分布§2.1 离散型随机变量及其概率分布1．填空题：⑴ 当c = 时()/,(1,,)P X k c N k N ===是随机变量X 的概率分布，当c = 时()(1)/,(1,,)P Y k c N k N ==-=是随机变量Y 的概率分布； ⑵ 当a = 时)0,,1,0(!)(>===λλ k k a k Y P k是随机变量Y 的概率分布；⑶ 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以X 表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X 的分布律为； ⑷ 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是,p 射中了就停止射击且至多只 射击10次. 以X 表示射击的次数，则X 的分布律为； ⑸ 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n 次，以X 表示此n 次抛掷中落地后正面向上的次数，则X 的分布律为 .2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X 表示取出的3只中次品的只数. 分别求出在 ⑴ 每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵ 取后不放回，两种情形下X 的分布律.3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X 表示取出的3只球上点数的和. ⑴ 求X 的分布律；⑵ 求概率(46),(46),(46),(46)P X P X P X P X <≤≤<<<≤≤.4．某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是6.0. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数X 的分布律.§2.2 连续型随机变量及其概率分布1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( )A .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其20,0,cos )(πx x x f ；B .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其πx x x f 0,0,2cos )( ； C .⎪⎩⎪⎨⎧<<-=它其22,0,cos )(ππx x x f ； D .⎩⎨⎧<<=它其10,0,)(x xe x f x . 2．设随机变量X 的概率分布律如右,求X 的分布函数及)32(),30(),2(≤≤<<≤X P X P X P .3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以X 表示取得的球上所标有的数字.求X 的分布律与分布函数.4．设连续型随机变量X 的概率密度如右，试求：⑴ 系数A ；⑵ X 的分布函数；⑶ (0.10.7)P X <<5．设连续型随机变量X ⑴ 系数k ；⑵ X 的概率密度；⑶ (||0.5)P X <.6．设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x R =+∈，试求：⑴ 系数A 与B ；⑵ X 的概率密度；⑶ X 在区间(,)a b 内取值的概率.(),011,1F x kx x x ⎧⎪=≤≤⎨⎪≥⎩，§2.31．设离散型随机变量X 的分布律如右，求12,22,12+=-=+=X W X V X U 的分布律.2．设随机变量X 的概率密度为,0,0,)(<≥⎩⎨⎧=-x x e x f x 求随机变量X e Y =的概率密度.3．设随机变量X 在区间(0,)π上服从均匀分布，求：⑴ 随机变量2ln Y X =-的概率密度；⑵ 随机变量sin Z X =的分布函数与概率密度.4．设连续型随机变量X 的概率密度为2/2()()x f x e x R -=∈,求||Y X =的密度.*5．设1()F x 与2()F x 分别为两个随机变量的分布函数，证明：当0,0a b ≥≥且1a b +=时，)()()(21x bF x aF x +=φ可以作为某个随机变量的分布函数.§2.4 一维随机变量的数字特征1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2．设随机变量X 的概率密度为||()0.5,,x f x e x -=-∞<<+∞求,EX DX .3．设随机变量X 的概率密度为2(1),01(),0,x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它求EX 与DX .4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分钟内均匀分布.求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).5．某工厂生产的设备的寿命X(以年计)的概率密度为/400.25,()0,x xef xx->⎧=⎨<⎩，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换.若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.*6．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布(0.0001)E. 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章 多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量1．设随机变量),(Y X 只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(-、)31,1(-、)0,2(且相应的概率依次为61、31、121、125.求随机变量),(Y X 的分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.3．设随机变量),(Y X 的概率密度，其它+∞≤≤+∞≤≤⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x 0,0,0,),()(2 试求：⑴ 常数c ；⑵ ),(Y X 的分布函数),(y x F ；⑶ }1{≤+Y X P .4．设随机变量),(Y X 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它求关于X 、Y 的边缘概率密度.5．设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线12+=x y 所围成，试求：⑴ ),(Y X 的概率密度),(y x f ；⑵ 求关于X 、Y 的边缘概率密度.*6．设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.求：⑴ 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；⑵ (,)X Y 的分布律.§1．设随机变量X 与Y 相互独立右表给出二维随机变量),(Y X 律及边缘分布律中的部分数值.试将 其余数值填入表中的空白处.2．设随机变量),(Y X 分布律如右:⑴ a 、b 、c 时X 与Y 相互独立？⑵写出),(Y X 的分布律与边缘分布律.3．设随机变量X 在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在X ~1中等可能地取一个整数.求：⑴=X 2时Y ,的条件分布律；⑵=Y 1时X ,的条件分布律.4．设随机变量),(Y X 的概率密度为其它0,0,0,),()(>>⎩⎨⎧=+-y x e y x f y x .⑴ 求)|(|x y f X Y ；⑵ 求)|(|y x f Y X ；⑶ 说明X 与Y 的独立性.*5． 箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品； 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品 ，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X 与Y 的条件分布律，并说明X 与Y 的独立性.* 6．设随机变量),(Y X 的概率密度为,||,10(,)0,cy x x f x y <--<<⎧=⎨⎩，其它求参数c 与条件概率密度)|(,)|(||y x f x y f Y X X Y .§3.31. 设),(Y X 的分布律如右,求 ⑴0|3{,}2|2{====X Y P Y X P ⑵ ),max(Y X V =的分布律；⑶ ),min(Y X U =的分布律；⑷ Y X W +=的分布律.2．设X 与Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ、2λ的泊松分布. 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.3．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0.25p =的两点分布，记随机变量Z 为1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩为奇数，非为奇数求X 与Z 的联合分布律与EZ .4．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为321100,,(),(),32000,0,yxX Y x y e e f x f y x y --⎧⎧≥≥⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩求随机变量U X Y =+的概率密度.5．某种商品一周的需求量X 是一个随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,)(x x xe x f x .设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴ 两周；⑵ 三周的需求量的概率密度.6．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从(1160)E 分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。

第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。

连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{Λ=S ；（3）},,,,{ΛTTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。

解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。

（2）4只中至少有2只红球。

（3）4只中没有白球。

解: （1）所求概率为338412131425=C C C C ； （2） 所求概率为165674952014124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为16574953541247==C C 。

8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ⋃,)|(),|(AB A P B A AB P ⋃.（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 ，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1 ，2 ，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则 {1 ，2 ，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) A {1 ，2 } (ⅱ) B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC 成立？ (3)什么时候关系式B C 是正确的？ (4) 什么时候B A 成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC 等价于AB C ，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i 1）。

用i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)ni i A 1; (2) n i i n i i A A 11; (3) n i ni j j j i A A 11)]([ ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nji j i jiAA 1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ; (2)A B B A (3) C B A )()(C B A ; (4) C B A )()(C B A(5) C B A )( )(C A )(C B (6)ni i ni i A A 11证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

第6章《概率》基本概念：概率可能性：确定事件 不确定事件 游戏公平性是指（概率）一、填空题 1.给出以下结论①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生； ②二战时期美国某公司生产的降落伞合格率达99.9%，使用该公司的降落伞不会发生危险；③如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生；④从1、2、3、4、5中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性. 其中正确的结论是_____.2.小明和小华做抛硬币的游戏，实验结果如下：实验结果的次数 小华 小明 两个正面的次数 2 1 不是两个正面的次数89在小华的10次实验中，抛出两个正面_____次，出现两次正面的概率为_____，小明抛出两个正面的概率是_____. 3. 10名学生计划“五一”这天去郊游，任选其中的一人带20根香肠，则10人中的小亮被选中的概率是_____. 4.三名同学站成一排，其中小明站在中间的概率是_____，站在两端的概率是_____. 5.从8名男医生和7名女医生中选一人作为医疗小组的组长，是男医生的概率是_____，是女医生的概率是_____. 6.某科学考察队有3名老队员，3名新队员，考察某溶洞时，任选其中一人下去考察，是老队员的概率是_____. 7.小明和小亮各写一张贺卡，先集中起来，然后每人拿一张贺卡，则他们各自拿到对方送出的贺卡的概率是_____.8.从4台A 型电脑和5台B 型电脑中任选一台，选中A 型电脑的概率为_____，B 型电脑的概率为_____. 9.小亮从3本语文书，4本数学书，5本英语书中任选一本，则选中语文书的概率为_____，选中数学书的概率为_____，选中英语书的概率为_____. 10.某停车厂共有12个停车位置，今从中任取一个给某车停放，两端停车位置被选中的概率为___. 11.在标号为1、2、3……19的19个同样的小球中任选一个，则选中标号为偶数的小球的可能性_____选中标号为奇数的小球的可能性. 12.从小明、小亮、小丽3名同学中选一人，当语文课代表，选中小丽的可能性_____小丽不被选中的可能性. 二、选择题13.黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是( ) A.能开门的可能性大于不能开门的可能性 B.不能开门的可能性大于能开门的可能性 C.能开门的可能性与不能开门的可能性相等 D.无法确定14.给出下列结论 ①打开电视机它正在播广告的可能性大于不播广告的可能性 ②小明上次的体育测试是“优秀”，这次测试它百分之百的为“优秀” ③小明射中目标的概率为31，因此，小明连射三枪一定能够击中目标 ④随意掷一枚骰子，“掷得的数是奇数”的概率与“掷得的数是偶数”的概率相等 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.一个口袋内装有大小和形状相同的一个白球和两个红球，“从中任取一球，得到白球”这个事件是( ) A.必然事件 B.不能确定事件 C.不可能事件 D.不能确定 16.有5个人站成一排，则甲站在正中间的概率与甲站在两端的概率的比值为( )A.21B.2C.21或2 D.无法确定17.如图1，阴影部分表示在一定条件下小明击中目标的概率，空白部分表示小亮击中目标的概率，图形说明了 ( )图1A.小明击中目标的可能性比小亮大B.小明击中目标的可能性比小亮小C.因为小明和小亮击中目标都有可能，且可能性都不是100%，因此，他们击中目标的可能性相等D.无法确定18.将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是 ( )A.2719B.2712C.32D.278三、解答题19.从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为32，求男女生数各多少？20.将一枚硬币连掷3次，出现“两正，一反”的概率是多少？21.某同学抛掷两枚硬币，分10级实验，每组20次，下面是共计200次实验中记录下的结果.①在他的每次实验中，抛出_____、_____和_____都是不确定事件.②在他的10组实验中，抛出“两个正面”概率最多的是他第_____组实验，抛出“两个正面”概率最少的是他的第_____组实验.③在他的第1组实验中抛出“两个正面”的概率是_____，在他的前两组(第1组和第2组)实验中抛出“两个正面”的概率是_____.④在他的10组实验中，抛出“两个正面”的概率是_____，抛出“一个正面”的概率是_____，“没有正面”的概率是_____，这三个概率之和是_____.22.以下有三种情况，根据你的实践，用序号字母填写下表(有几种可能情况填写几个字母) A.在三角形的内部 B.在三角形的边上 C.在三角形的外部23.已知：如图2，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ，求证：AE ⊥CE.图224.准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片上画一个正方形，如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀，那么，随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片)，也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形，一张画正方形的纸片)，这个游戏的规则是这样的：若拼成一个菱形甲赢，若拼成一个房子乙赢，你认为这个游戏是公平的吗？请玩一玩这个游戏，用你的数据说明你的观点.答案一、1.④ 2. 2 20% 10%3.1014. 61 315.158 1576.217.218.94 95 9.41 31 12510.6111.小于 12.小于二、13.B 14.A 15.B 16.A 17.B 18.D三、19.男生24人，女生12人 20.8321.①“两个正面” “一个正面” “没有正面” ②7 9③103 51 ④20053 20043 2513122.AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA ABB ACC23.证：∵AB ∥CD∴∠BAC+∠DCA=180° 又∵AE 为∠BAC 的平分线∴∠CAE=21∠CAB同理∠ACE=21∠DCA即：∠CAE+∠ACE=90°∴AE ⊥CE24.略。