概率习题课四
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X 1 2 3 pk 4 4 2 10 10 10
Y 1 2 3 4 Z 1 2 3
pk 4 3 2 1 10 10 10 10
pk 5 3 2 10 10 10
18 20 17 E ( X ) , E (Y ) , E( Z ) 10 10 10
三、解答题
(3)公共汽车起点站于每时的10分,30分,55分发车, 该乘客不知发车时间, 在每小时内的任意时刻随机 到达车站, 求乘客候车时间的数学期望.
Xi
1
2
3
… n … 1 n
1 pk n
1 n
1 n
1 n 1 E ( X i ) (1 2 n) n 2
n 1 E( X ) E( Xi ) k 2 i 1
2 n 1 ( n 1 ) D( X i ) E ( X i2 ) E ( X i )2 i 2 n i 1 4
解 : Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0 D ( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
三、解答题
(1)盒中有7个球, 其中4个白球,3个黑球, 从中任取 3个球, 求抽到白球数X的期望E ( X )和方差D( X ).
二、选择题
(2)设X 1 , X 2 , X 3相互独立同服从参数 3的泊松 1 分布, 令Y ( X 1 X 2 X 3 ), 则E (Y 2 ) C 3 ( A)1 ( B )9 (C )10 ( D )6 1 1 3 解 : E (Y ) E ( ( X1 X 2 X 3 )) E ( X k ) 3 3 3 k 1
1 1 3 D(Y ) D( ( X 1 X 2 X 3 )) D( X k ) 1 3 9 k 1 E (Y 2 ) D(Y ) E (Y )2 10
二、选择题
(3)对于任意两个随机变量X和Y , 若 E ( XY ) E ( X ) E (Y ), 则B ( A) D ( XY ) D( X ) D (Y )( B ) D( X Y ) D ( X ) D (Y ) (C ) X和Y相互独立 ( D ) X和Y不相互独立
证 （） 1 E( X )
xf ( x )dx
1 x x e dx 0 2
E X
2
x 2 f x dx
1 2 x x e dx x 2e x dx 0 2
x e
2 x 0来自 2解 : X的分布率为
X 0 1
1 2 C4 C3 C73
2
1 C42C3 C73
3
pk
C33 C73
C43 C73
E ( X ) 12 7
24 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 49
2 2
三、解答题
(2)有一物品的重量为1克,2克,10克是等概率的, 为用天平称此物品的重量准备了三组砝码,甲组 有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克, 丙组为1,2,3,4,10克, 只准备用一组砝码放在天平的 一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的 砝码数平均最少?
解 : X "乘客到站时间"
X ~ U [0, 60]
Y "乘客候车时间"
1 60 0 x 60 f ( x) 0 其它
10 X , 0 X 10 30 X , 10 X 30 Y 55 X , 30 X 55 70 X , 55 X 60
1 31 1 5 P ( X 6) 2 C ( ) 2 2 2 16 1 5 3 1 3 1 P ( X 7) 2 C6 ( ) 2 2 2 16 1 1 5 5 E ( X ) 4 5 6 7 5.8 8 4 16 16
3 5
三、解答题
(5)一袋中有n张卡片, 分别记有号码1,2, n, 从中 有放回地抽出k张来，以X表示所得号码之和, 求E ( X )和D( X ).
解：X i " 抽取第i张卡片的号码" i 1,2,k X i (i 1,2, k )相互独立，令X X 1 X 2 X k
k
1 n( 2n 1)( n 1) ( n 1)2 n2 1 n 6 4 12
k ( n 1) D ( X ) D( X i ) 12 i 1
k 2
四、证明题
1 x 设随机变量X的概率密度为f ( x) e , x , 2 (1)证明E ( X ) 0, D ( X ) 2 (2)证明X与 X 不相互独立 (3)证明X与 X 不相关.
一、填空题
( 2 )设 X ~ N (10， 0 . 6 ), Y ~ N (1, 2 ), 且 X 与 Y 相互独立 , 则 D ( 3 X Y ) 7 .4
解：由方差的性质得 D (3 X Y ) 9 D ( X ) D (Y ) 5.4 2 7.4
一、填空题
解 : 设X "需要比赛的场数"
X 4, 5, 6, 7 { X 5} {A胜 4 场}+{B胜 4 场}
{A胜 4 场} = {A在前4场中胜 3场, B胜1场} {第5 场A必胜}
1 4 1 P ( X 4) 2 ( ) 2 8 1 1 3 1 3 1 P ( X 5) 2 C 4 ( ) 2 2 2 4
二、选择题
(1)设X 1 , X 2 , X 3相互独立服从参数 3的泊松分布， 1 令Y ( X 1 X 2 X 3 ), 则E (Y 2 ) C 3 ( A)1 ( B )9 (C )10 ( D )6
1 1 解 : E (Y ) E[ ( X 1 X 2 X 3 )] 3 3 3 3 1 1 D (Y ) D[ ( X 1 X 2 X 3 )] 3 1 3 9 E (Y 2 ) D (Y ) E (Y ) 2 1 9 10
E (Y )
g( X )
g ( x ) f ( x )dx
30 1 10 [ (10 x )dx (30 x )dx 10 60 0
55
30
(55 x )dx (70 x )dx ]
55
60
10分25秒
三、解答题
(4)设排球队A和B比赛, 若有一队胜4场, 则比赛 宣告结束, 假定A, B在每场比赛中获胜的概率均 1 为 , 试求平均需比赛几场才能分出胜负? 2
1 xf ( x )dx=
＋
－
xe
x2
dx 0
D( X ) E( X 2 ) E( X )2 = 1 2
E( X )
2
1 x f ( x )dx =
2
＋
－
xe
＋
2 x2
dx
2 =
＋
0
xe
2 x2
1 dx = －
+
0
xde
x2
1 x2 =xe 1 = 2
+ 0
0
e
x2
dx
二、选择题
(1)掷一颗均匀的骰子600次, 那么出现"一点" 次数的均值为B ( A)50 ( B )100 (C )120 ( D )150
1 解 : 设X "出现一点的次数", 则X ~ b(600, ) 6 1 E ( X ) 600 100 6
解 : X "甲组砝码称重物时所用的砝码数" Y "乙组砝码称重物时所用的砝码数" Z "丙组砝码称重物时所用的砝码数"
物品的重量是一个随机变量 U ,
U k ( k 1, 2, ,10) ,
P{U k } 1 10 ( k 1, 2,,10) .
{ X 1} {U 1} {U 2} {U 5} {U 10} { X 2} {U 3} {U 4} {U 6} {U 7} { X 3} {U 8} {U 9}
0
xe x dx
2
0
xe x dx
x 0
2 xe 2
2
0
e x dx
故
D X E X
2
E X 2
2
证明（2）X与 X 不相互独立，因为任给x 0 P ( X x, X x ) P ( X x ) P ( X x) P ( X x )
1 (3)设X的概率密度为f ( x) Ae , 则D( X ) 2
x
2
1
＋
－
f ( x )dx= e
x2
＋
－
Ae
x2
dx
= A
＋
dx A
＋
e
x 2
2
dx 2
－
A 1 E( X )
＋ －
+
e
x2
dx
随机变量函数 的数学期望 奇函数
(3) E ( X X )
1 x x | x | e dx 0 2
Cov ( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E ( X ) 0
