古典概率习题课

古典概型习题课俞健一、教学目标1、知识目标了解基本事件的意义，理解古典概型及其概率的计算公式，会应用概率计算公式解决常规的古典概型问题．2、能力目标通过问题的探究，体会分类讨论、归纳类比、等价转化的数学思想方法。

培养学生的分析能力．3、情感目标（1）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想；（2）培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想．二、教学重难点重点：理解古典概型及其概率计算公式．难点：应用古典概型计算公式P(A)=m/n 时，正确求出m、n．三、教学方法问题教学，题组教学，合作学习．四、教学工具多媒体课件PPT.五、教学流程(一)基础自测（15分钟）１、三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_________________（第１题，一位学生回答，分析解题思路，采用一一列举的方法；再一位同学回答，分析不同的解题思路，最后由教师分析总结出第一个摸球模型）2、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息的概率为_________________（第２题，一位学生回答，分析解题思路，也采用了一一列举的方法；再一位同学回答，也是列举法，只是角度有所不同，最后由教师分析总结出第二个摸球模型）3、盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则他们颜色不同的概率是________________（第３题，一位学生回答，并由学生分析总结出第三个摸球模型）4、从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ）（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15（第４题，由全班同学集体回答，并组织学生分析总结与刚才的三个摸球模型的异同，并得出结论）师总结：对上述问题的运算与分析，我们得到了古典概型的几种基本问题模型。

分析：样本空间
p( A)
事件A
m n
它们的元素个数n,m
公式 解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是 Ω={ (a,b), (a,c), (b,a),(b,c),(c,a), (c,b) }
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则 A={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) }
．
①有限性 （1）判断是否为古典概型； ②等可能 （2）计算所有基本事件的总结果数n． 不重不漏 （3）计算事件A所包含的结果数m． （4）计算
求古典概型的步骤：
事件A包含的基本事件数 PA 试验的基本事件总数
m P ( A) n
1．甲、乙两人随意入住两个房间，甲、乙两人同住一个房 间的概率是( 1 A.4
∴m=3
3 ∴P(A)= 10
【跟踪练习4】做投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中 x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数， 5 求：
(1)事件“出现点数之和大于8”的概率是1 (2)事件“出现点数相等”的概率是
18
6
【跟踪练习6】一次发行10000张社会福利奖券，其中有1张 特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100张三等奖，其余的不 得奖，则购买1张奖券能中奖的概率
3 (1) 8 15 (2) 56 5 (3) 28
【跟踪练习2】某种饮料每箱装12听，如果其中有2听 不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合 格产品的概率有多大？ 解法：把每听饮料标上号码，合格的10听分别记 作：1，2，„，10,不合格的2听记作a、b,只要检 测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产 品。 设检测出不合格产品为事件A， 从中依次不放回抽取2个，基本事件有 (1,2),(1,3)„基本事件总数为12×11.这是一个 古典概型。 事件A包含的基本事件数为10×2+2×11， ∴P(A) =42/ 12×11=7/22

解二：把2个白球பைடு நூலகம்上序号1、2，两个黑球也编上序号1、
2，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所 有可能的结果如图所示 ：
由上图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球 除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其 中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的 概率为
例5. 口袋里有两个白球二个黑球，这四个球 除颜色不同外，其它的都一样，四人一次摸出 一个球，试计算第二个人摸到白球的概率？
解一：把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上 序号1、2，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所 有可能的结果如图所示
由上图可知，试验的所有结果数是24，由于口袋 内的4个球除颜色外完全相同，所以这24种结果出现 的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有 12种，故第二个人摸到白球的概率为： P(A)=1/2. 树状图是进行穷举法通常用到的，它能较形象 的表现出各种事件的形式。
字构成一个两位数，求这个两位数是奇数的概率。 数呢？
10
例3.用三种不同的颜色给图中的3个矩形 随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求： (1)3个矩形的颜色都相同的概率; (2)3个矩形的颜色都不同的概率.
解 ： 本题的等可能基本事件共有27个
(1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 =1/9; (2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 =2/9.
5、3张彩票中有一张奖票,2人按一定的顺序从中 各抽取一张,则: 1/3 (1)第一个人抽得奖票的概率是_________;
1/3 (2)第二个人抽得奖票的概率是_______.
6、五件产品中有两件次品,从中任取两件来检验.
(1)一共有多少种不同的结果?

07§2古典概型2.1 古典概型的概率计算公式 2.2 古典概型的应用第1课时古典概型的概率计算公式及其应用A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)下列试验是古典概型的是( )A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B.同时掷两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率2.[探究点二]从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是( )A.126B.113C.326D.2133.[探究点二]有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.154.[探究点三](多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115 C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是125.[探究点二]甲、乙、丙三人踢毽子,从甲开始,每个人都可以随意的踢给另外两人,则经过四次后又回到甲的概率为.6.[探究点二]现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.7.[探究点二]若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.8.[探究点三]某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.(1)求从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数;(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率.9.[探究点三]某教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.B级关键能力提升练10.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.91011.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为( )A.58B.18C.38D.1412.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为.13.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.14.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x的值;(2)求这组数据的中位数;(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.C级学科素养创新练15.在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有0,1,2,3的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于4,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则奖励饮料一瓶.(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.16.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率.(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案方案一:全场商品打八折;方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案?为什么?(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)参考答案 §2 古典概型2.1 古典概型的概率计算公式2.2 古典概型的应用第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用1.ABD ABD 是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C 不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.2.D 设“抽到K 或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A 包含的基本事件数为8,∴P(A)=852=213.3.C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,这个试验的样本空间Ω={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共10个样本点.用事件A 表示“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”,则A={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫)},共4个样本点.故所求概率P(A)=410=25.4.BCD 对于A,如图所示:由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=13,故玩一局甲不输的概率是23,故A 错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7) ,(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;对于C,基本事件总共有6×6=36(种)情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是536,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=36=12,故D正确.故选BCD.5.38利用树状图进行列举,如图所示.共包含16个样本点.又事件“经过四次后又回到甲”包含6个样本点,故所求概率为616=38.6.15“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,又“它们的长度恰好相差0.3m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为210=15.7.23甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点. 所以甲、乙两人相邻而站的概率为46=23.8.解(1)由题知应从初级教师中抽取6×2121+14+7=3人,从中级教师中抽取6×1421+14+7=2人,从高级教师中抽取6×721+14+7=1人.(2)记3名初级教师分别记为A 1,A 2,A 3,2名中级教师分别记为A 4,A 5,高级教师记为A 6,则从中抽取2名教师的样本空间为Ω={(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,A 5),(A 1,A 6),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,A 5),(A 2,A 6),(A 3,A 4),(A 3,A 5),(A 3,A 6),(A 4,A 5),(A 4,A 6),(A 5,A 6)},共含有15个样本点.设事件B 表示“抽取的2名教师均为初级教师”,则B={(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3)},共含有3个样本点,所以P(B)=315=15.9.解根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以P(A)=26=13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=46=23.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.10.D 由题知,样本空间Ω={甲乙丙,甲乙丁,甲乙戊,甲丙丁,甲丙戊,甲丁戊,乙丙丁,乙丙戊,乙丁戊,丙丁戊},共包含10个样本点.设事件A表示“甲或乙被录用”,则A={甲乙丙,甲乙丁,甲乙戊,甲丙丁,甲丙戊,甲丁戊,乙丙丁,乙丙戊,乙丁戊},共包含9个样本点,则P(A)=910.11.A 甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3, 3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为1016=58.12.711由题可得,样本空间Ω={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) ,(5,6)},共11个样本点,其中使方程x2+mx+n=0有实根的样本点有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7个,故所求事件的概率为P=711.13.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=38.事件C包含的样本点共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.14.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+-70)×0.03=0.5,解得m=75.(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1 ,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.15.解样本空间Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1) ,(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)},共16个样本点.(1)记“获得飞机玩具”为事件A,则A={(2,3),(3,2),(3,3)},共3个样本点.故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)=316.(2)记“获得汽车玩具”为事件B,记“获得饮料”为事件C.则B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共6个样本点.所以P(B)=616=38.则C={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(2,0),(3,0)},共7.所以P(B)<P(C),即每对亲子获得饮料的概率大于个样本点,所以P(C)=716获得汽车玩具的概率.16.解(1)根据频率和为1的性质知0.00050×200+0.00100×200+0.00125×200+S1+S2+S3=1,又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.00050×200=0.10,价格在[1200,1400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1200,1400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1200,1400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2.共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=815 (2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1100×0.10+1300×0.05)×20%=150;对于方案二,优惠的价钱的平均值为30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.因为150>140,所以选择方案一更好.。