判断函数单调性的常用方法

高中数学中几种判断函数增减性的方法函数的单调性（增减性）是函数的基本性质之一，是高中数学必须掌握且能熟练运用的基础知识。

函数中函数值的变化方向与自变量的变化方向密切相关，当自变量的变化方向与函数值的变化方向一致时，函数图象（曲线）是下降的，或者说是递减的；反之，是上升的，或者说是递增的，函数的这种性质称为单调性。

函数的单调性是函数在某个区间或整个定义域上的性质。

利用函数的单调性可以求函数在某个区间上的最大（小）值、可以比较两个或多个函数值的大小、还可以解不等式及判断函数在某个区间内的零点个数。

但在解决这些问题之前必须确定函数的单调性，即函数在定义域区间内是增函数还是减函数。

下面介绍几种判断函数增减性的方法。

一、利用函数单调性的定义判别设函数f（x）的定义域为i：如果对于定义域i内某个区间a上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f（x）是区间a上的函数。

在此定义中必须注意：1.证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行，x1，x2具有三个特征：一是任意性，也就是说，x1，x2是任取的，证明单调性时不能用两个特殊值随意替换x1，x2；二是x1，x2有大小，通常规定x1＜x2；三是x1，x2同属一个单调区间。

此三者缺一不可。

2.这个区间a可以是定义域i本身，也可以是定义域i的某个真子集。

3.不是所有的函数都具有单调性。

如函数，它的定义域为r，但不具备单调性；又如y＝3x+2，x ∈n+，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。

二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走势”判别当函数值与自变量的变化趋势时，函数为函数。

函数图象（曲线）“从左到右走坡路”，函数为函数。

三、利用函数单调性的运算性质判别若函数f（x），g（x）在定义域区间a上具有单调性，则在区间a上具有下列性质：①f（x）与f（x）+c（c为常数）具有相同的单调性；②当a＞0时，f（x）与af（x）具有相同的单调性；当a＜0时，f（x）与af（x）具有相反的单调性；③若f（x）恒不等于零，当k＞0时，f（x）与具有相反的单调性；单k＜0时，f（x）与具有相同的单调性；④当f（x）与g（x）都是函数时，则f（x）+g（x）也是函数；⑤若f（x）与g（x）都是函数时。

求函数单调区间的方法及几个常用结论要确定一个函数的单调区间，可以通过以下几种方法：1.分析函数的导数：如果一个函数在一些区间上的导数恒为正（负），则这个函数在该区间上是严格递增（递减）的。

通过求解函数的导数，可以确定函数的单调性。

对于可导函数，我们可以通过求导数的零点来确定函数的单调区间。

导数为正的区间是函数递增的区间，导数为负的区间是函数递减的区间。

2.分析函数的二阶导数：二阶导数表示函数的导数的导数。

如果一个函数在一些区间上的二阶导数恒为正（负），则该函数在这个区间上是凹的（凸的）。

通过求解函数的二阶导数，可以确定函数的拐点。

拐点可以将函数的区间分为凹和凸的两个部分，函数在凹部分是严格递增的，在凸部分是严格递减的。

3.利用函数的性质或图像：对于一些特定形式的函数，可以直接利用函数的性质或图像来判断函数的单调区间。

例如，对于多项式函数而言，函数的次数决定了函数的单调性。

如果一个多项式函数的次数为奇数，则函数是整个实数轴上的单调函数；如果一个多项式函数的次数为偶数，则函数是在一些区间上单调递增或单调递减。

4. 利用数学不等式：当函数定义域为实数时，我们可以通过利用一些数学不等式来判断函数的单调性。

例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果$a > 0$，则函数是开口向上的，函数的单调区间为$(-\infty,+\infty)$；如果$a < 0$，则函数是开口向下的，函数的单调区间为$(+\infty,-\infty)$。

在实际应用中，经常会用到以下几个常用结论：1.定义：如果函数$f$在开区间$(a,b)$上单调递增，且在$x=a$和$x=b$处的极限分别存在，则$f$在闭区间$[a,b]$上连续。

2.定理1：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且在开区间$(a,b)$上导数恒为零，则$f$在闭区间$[a,b]$上的函数值都相等。

函数的单调区间的方法
判断函数的单调区间有以下几种方法：
1.利用导数的符号判断函数的单调性。

如果函数的导数恒大于零（或者恒小于零），则函数单调递增（或递减）。

2. 利用函数的图像判断函数的单调性。

根据函数的图像，我们可以直观地看出函数在哪些区间上单调递增或递减。

3. 利用函数的二阶导数判断函数的单调性。

如果函数的二阶导数恒大于零（或者恒小于零），则函数单调递增（或递减）。

需要注意的是，这些方法并不是绝对可靠的，因为函数也可能在某些点处发生断点或拐点等特殊情况，从而导致函数在某些区间不单调。

因此，在判断函数的单调性时，需要综合考虑多种因素，并在必要时进行详细的分析。

函数单调性的剖断办法1.断定具体函数单调性的办法对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的界说动身,本文列举的断定函数单调性的办法有如下几种：1.1 界说法起首我们给出单调函数的界说.一般地,设f 为界说在D 上的函数.若对任何1x .D x ∈2,当21x x <时,总有(1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严厉不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严厉增函数;(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严厉不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严厉减函数.给出函数单调性的界说,我们就可以运用函数单调性的界说来剖断及证实函数的单调性.用单调性的界说断定函数单调性的办法叫界说法.运用界说来证实函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <;（2）作差)()(21x f x f -;（3）变形（广泛是因式分化和配方）;（4）断号（即断定)()(21x f x f -差与0的大小）;（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）.例1.用界说证实)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数.证实：设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-因为043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数.例2.用界说证实函数xk x x f +=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性. 证实：设1x .),0(2+∞∈x ,且21x x <,则)()()()(221121x k x x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-= )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x k x x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x ,当1x .],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数;当1x .),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数.综上函数xk x x f +=)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数. 此题函数)(x f 是一种特别函数（对号函数）,用界说法证实时平日须要进行因式分化,因为k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明白的,是以要分段评论辩论. 用界说法剖断函数单调性比较实用于那种对于界说域内随意率性两个数21,x x 当21x x <时,轻易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数.在解决问题时,界说法是最直接的办法,也是我们起首斟酌的办法,虽说这种办法思绪比较清楚,但平日进程比较繁琐.1.2函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来断定函数单调性的办法.函数性质法平日与我们常见的简略函数的单调性联合起来运用.对于一些常见的简略函数的单调性如下表：一次函数 )0(≠+=k b kx y当0>k 时,y 在R 上是增函数;当0<k 时,y 在R 上是减函数.二次函数 c bx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠ 当0>a 时,a b x 2-<时y 单调减, a b x 2->时y 单调增; 当0<a 时,a b x 2-<时y 单调增,a b x 2->时y 单调减. 反比例函数 x k y = R k ∈(且0≠k ) 当0>k 时,y 在0<x 时单调减,在0>x 时单调减; 当0<k 时,y 在0<x 时单调增,在0>x 时单调增. 指数函数 x a y = )1,0(≠>a a 当1>a 时,y 在R 上是增函数; 当10<<a ,时y 在R 上是减函数. 对数函数 x y a log =)1,0(≠>a a 当1>a 时,y 在),0(+∞上是增函数; 当10<<a 时,y 在),0(+∞上是减函数. 对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性雷同.（C 为常数）⑵．当0>k 时,)(x f 与)(x kf 具有雷同的单调性;当0<k 时, )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性.⑶．当)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性. ⑷．当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数时,则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函 数.⑸．当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时,)(x f )(x g 在D 上 是增（减）函数;当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时,)(x f )(x g在D 上是减（增）函数.⑹．设)(x f y =,D x ∈为严厉增（减）函数,则f 必有反函数1-f,且1-f 在其界说 域)(D f 上也是严厉增（减）函数.我们可以借助以上简略函数的单调性来断定函数的单调性,下面我们来看以下几个例子：例3.断定5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性.解:函数)(x f 的界说域为),0(+∞,由简略函数的单调性知在此界说域内323log ,,x x x 均为增函数,因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数;由单调函数的性质⑷知x x x 23log ++为增函数,再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数.例4.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ,断定)(x f 在其界说域上的单调性. 解:函数bx a x x f ++=)(的界说域为),(),(+∞-⋃--∞b b . 先断定)(x f 在),(+∞-b 内的单调性,由题可把bx a x x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(,又0>>b a 故0>-b a 由性质⑶可得b x +1为减函数;由性质⑵可得bx b a +-为减函数;再由性质⑴可得b x b a x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数.同理可断定)(x f 在),(b --∞内也是减函数.故函数bx a x x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数. 函数性质法只能借助于我们熟习的单调函数去断定一些函数的单调性,是以起首把函数等价地转化成我们熟习的单调函数的四则混杂运算的情势,然后运用函数单调性的性质去断定,但有些函数不能化成简略单调函数四则混杂运算情势就不能采用这种办法.1.3 图像法用函数图像来断定函数单调性的办法叫图像法.依据单调函数的图像特点,若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数;若函数)(x f 图像在区间I 上从左往右逐渐降低则函数)(x f 在区间I 上是减函数..例5.如图1-1是界说在闭区间[-5,5]上的函数)(x f y =的图像,试断定其单调性.解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有[-5,-2）,[-2,1）,[1,3）,[3,5）.其中函数)(x f y =在区间[-5,-2）,[1,3）上的图像是从左往右逐渐降低的,则函数)(x f y =在区间[-5,-2）,[1,3）为减函数;函数)(x f y =在区间[-2,1）,[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的,则函数)(x f y =在区间[-2,1）,[3,5]上是增函数. 例 6.运用函数图像断定函数①1)(+=x x f ;②x x g 2)(=;③12)(++=x x h x 在[-3,3]上的单调性.剖析：不雅察三个函数,易见)()()(x g x f x h +=,作图一般步骤为列表.描点.作图.起首作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像,再运用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x 的图像,最后运用图像断定函数12)(++=x x h x 的单调性.解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数①1)(+=x x f 在闭区间[-3,3] 上是单调增函数;②x x g 2)(=在闭区间[-3,3]上是单调增函数;运用物理上波的叠加可以直接大致作出③12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上图像,即③12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上是单调增函数.事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法断定其单调性.用函数图像法断定函数单调性比较直不雅,函数图像可以或许形象的表示出跟着自变量的增长,响应的函数值的变化趋向,但作图平日较烦.对于较轻易作出图像的函数用图像法比较简略直不雅,可以相似物理上波的叠加来大致画出图像.而对于不易作图的函数就不太实用了.但假如我们借助于相干的数学软件去作函数的图像,那么用图像法断定函数单调性是异常简略便利的.1.4复合函数单调性断定法定理1：若函数)(u f y =在U 内单调,)g(x u =在X 内单调,且聚集{u ︳)g(x u =,X x ∈}U ⊂（1）若)(u f y =是增函数,)g(x u =是增（减）函数,则)]([x g f y =是增（减）函数.（2）若)(u f y =是减函数,)g(x u =是增（减）函数,则)]([x g f y =是减（增）函数. 归纳此定理,可得口诀：同则增,异则减（同增异减）复合函数单调性的四种情况可列表如下：显然对于大于2次的复合函数此法也成立.推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成个中有K m ≤个减函数：① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=;② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==.断定复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤：⑴合理地分化成两个根本初等函数)(),(x g u u f y ==;⑵分离解出两个根本初等函数的界说域;⑶分离肯定单调区间;⑷若两个根本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,则)]([x g f y =为增函数,若为一增一减,则)]([x g f y =为减函数（同增异减）;⑸求出响应区间的交集,既是复合函数)]([x g f y =的单调区间.以上步骤可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”.运用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题.下面我们就用“八字”求法来断定函数的单调性.例7.求)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）的单调区间.解：由题可得函数)253(log )(2-+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数2532-+=x x u 相符而成.由题知函数)(x f 的界说域是),31()2,(+∞--∞ .内函数2532-+=x x u 在),31(+∞内为增函数,在)2,(--∞内为减函数. ①若1>a ,外函数u y a log =为增函数,由同增异减轨则,故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数;函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数.②若10<<a ,外函数u y a log =为减函数,由同增异减轨则,故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数;函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数.1.5 导数法我们在前面也曾运用函数图像的特色断定函数的增减性,图像上升则递增,图像降低则递减．用界说法.图像法等这些初等办法来断定函数的单调性,一般比较庞杂,下面我们将以导数为对象来断定函数的单调性.函数)(x f 的导数)('x f 反应了函数增长或减小的快慢,即变化率．是以我们可以运用导数断定函数的单调性．这种用导数的符号来断定函数单调性的办法叫导数法.在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来断定函数单调性.为此先看如下定理：定理2：设)(x f 在区间I 上可导,则)(x f 在I 上递增（减）的充要前提是：)0(0)(≤≥'x f .即)(x f 在区间I 上可导,且)(x f 在I 上递增（减）⇔)0(0)(≤≥'x f .导数法断定函数)(x f y =单调性的一般步骤：(1)起首肯定函数)(x f 的界说域(断定函数的单调性,必须起首斟酌其界说域);(2)求导数)(x f ;(3)在)(x f 的界说域内)('x f 与0的大小关系;(4)写出)(x f 的单调区间．下面我们来看下面几个例题：例8.肯定函数32)(2+-=x x x f 的单调区间．解：32)(2+-=x x x f 的界说域为R,22)('-=x x f ,解不等式022>-x 得1>x 所以32)(2+-=x x x f 在(1,＋∞)内是增函数;解不等式022<-x 得1<x 所以32)(2+-=x x x f 在(－∞,1)内是减函数.显然这里我们用界说法.函数性质法.图像法.复合函数单调性断定法都能断定其单调性.运用导数研讨函数的单调性,一般应先肯定函数的界说域,在解题进程中轻易疏忽函数的界说域,应予以看重．再求导数)(x f ',经由过程断定函数界说域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号来肯定函数)(x f 在该区间上的单调性． 例9.肯定函数x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）的单调区间．解：函数)(x f 的界说域为R,a a a x a a a a x f x x x x ln )()(ln ln )(--+='-⋅⋅-=',当1>a 时,,0,0ln >+>-x x a a a 即0)(>'x f ,故函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数; 当10<<a 时,,0,0ln >+<-x x a a a 即0)(<'x f ,故函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数.综上可得当1>a 时函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数.当10<<a 时函数)(x f 在 ),(+∞-∞上是减函数.例10.（同例7）解：由题可得函数)(x f 的界说域是),31()2,(+∞--∞ ,且 )2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+⋅-+='x x e x x x x x e x f a a ①若1>a ,则当31>x 时,0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ,即0)(>x f ‘,故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数;当2-<x 时,0)(<'x f ,故函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数②若10<<a ,则当31>x 时,0)(<'x f ,故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数;当2-<x 时,0)(>'x f ,故函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数导数法经由过程断定函数界说域被导数为零的点和导数不消失的点所划分的各区间内)(x f '的符号来肯定函数)(x f 在该区间上的单调性．导数法断定函数单调性重要实用于函数)(x f 在其界说域内可导并且轻易断定其导函数与零的大小关系时的情况.导数法是解决诸多问题的有力对象,它既给学生供给了一种重要的解题思惟,又给学生供给了一种解题办法.2．断定抽象函数单调性的办法假如一个函数没有给出具体解析式,那么如许的的函数叫做抽象函数.抽象函数没有具体的解析式,需充分提取标题前提给出的信息.2.1 界说法经由过程作差(或者作商),依据标题提出的信息进行变形,然后与0（或者1）比较大小关系来断定其函数单调性.平日有以下几种办法：2.1.1 凑差法依据单调函数的界说,设法从标题中“凑出”“)()(21x f x f -”的情势,然后比较)()(21x f x f -与0的大小关系.例11.已知函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时, 0)(>m f ,试评论辩论函数)(x f 的单调性.解：由题得)()()(n f m f n m f =-+,令m x n m x =+=21,,且21x x >,021>-=x x n又由题意当0>m 时,0)(>m f 0)()()(21>=-⇒n f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.2.1.2添项法弄清标题中的构造特色,采用加减添项或乘除添项,以达到能断定“)()(12x f x f -”与0大小关系的目标.例12.（同例11）解:任取2121,,x x R x x <∈,则012>-x x ,)()(12x f x f -)(])[(1112x f x x x f -+-= 由题意函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时, 0)(>m f 0)()()(1212>-=-⇒x x f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.2.1.3 增量法由单调性的界说动身,任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x ,然后接洽标题提取的信息给出解答.例13.（同例11）解：任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x 由题意函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,)()()()()(1112δδf x f x f x f x f =-+=-⇒,又由题当0>m 时,0)(>m f )0(0)()()(12>>=-⇒δδf x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.2.1.4 放缩法运用放缩法,断定)(1x f 与)(2x f 的大小关系,从而得)(x f 在其界说域内的单调性. 例14.已知函数)(x f 的界说域为（0,+∞）,对随意率性正实数m .n 均有)()()(n f m f mn f =,且当1>m 时1)(0<<m f ,断定函数)(x f 的单调性.解：设210x x <<,则112>x x 又当1>m 时1)(0<<m f ,故1)(012<<x x f 再由)()()(n f m f mn f =中令1>m ,1=n 得1)1(=f当10<<x 时,11>x ,由)1()()1(xf x f f =易知此时1)(>x f ,故0)(>x f 恒成立. 是以)()(1)()()()(111121122x f x f x f x x f x x x f x f =⨯<=⋅=)()(12x f x f <⇒即)(x f 在（0,+∞）上为单调递减函数.对于抽象函数,因为抽象函数没有具体的解析式,是以需充分提取标题前提给出的信息,不雅察构造特色.用界说法剖断抽象函数单调性比较实用于那种对于界说域内随意率性两个数21,x x 当21x x <时,轻易得出)(1x f -)(2x f 与0大小关系的函数.界说法是最直接的办法,思绪也比较清楚,在解题中灵巧选择凑差法.添项法.增量法.放缩法等适当的办法,可使解题进程加倍简略便利.2.2 列表法对于比较庞杂的复合函数,除了用复合函数单调性断定法外,还可以用列表,将各个函数的单调性都列出来,然后再断定复合函数单调性.例15.已知)(x f y =在R 上是偶函数,且在[0,+∞）上是增函数,求)2(2x f -是 减函数的区间解：列表如下由表知)2(2x f -是减函数的区间)2,(--∞,)2,0[.运用列表法比较直不雅,准确.易懂.量与量之间的关系又很明白.列表法在现实生涯当中运用也是比较广泛的.但是列表法也有其局限性：在于实用题型狭小,求解规模小,大部分是跟探寻纪律或反应纪律有关.函数单调性是函数的一个异常重要的性质,本文从单调性的界说入手,总结了断定单调性的常见办法.本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行评论辩论,对于每类函数都给出了剖断单调性的若干办法.对于具体的函数,我们可以用多种办法去断定其单调性,特别地导数法是广泛实用的,若借助于盘算机,那么图像法也是最简略最直不雅的.对于抽象函数的单调性问题,我们给出了用界说法及列表法.这种题型不仅抽象,并且分解性较强,对学生的思维才能有很高的请求,学生往往很难发明数学符号与数学说话之间的内涵关系.是以在断定函数单调性的问题上,应灵巧选择适当的办法,从而使解题进程最简略.。

判断增、减函数常用‎的两种方法‎有关函数的‎单调性问题‎是高考久考‎不衰的热点‎，判断函数单‎调性的基本‎方法有：①定义法②图像法③复合函数法‎④导数法等等‎。

而定义法和‎导数法是做‎题中最常用‎的两种方法‎。

今天我们主‎要来讲这两‎种方法，我们先来讲‎定义法。

现在一起来‎回顾下函数‎的单调性是‎怎么定义的‎。

定义：一般地，对于给定区‎间上的函数‎()f x ，如果对于属‎于这个区间‎的任意两个‎自变量的值‎1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说在‎()f x 这个区间上‎是增函数（或减函数）。

根据定义，我们可以归‎纳出用定义‎法证明函数‎单调性的思‎路为：（1）取值：设为该相应‎21,x x 区间的任意‎两个值，并规定它们‎的大小，如21x x <；（2）作差：计算)()(21x f x f -，并通过因式‎分解、配方、有理化等方‎法作有利于‎判断其符号‎的变形；（3）定号：判断的符号‎)()(21x f x f -，若不能确定‎，则可分区间‎讨论；（4）结论：根据差的符‎号，得出单调性‎的结论。

好，现在根据归‎纳出的思路‎来做几道题‎例1试讨论‎函数的单调‎2()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈性。

解：设12-1<<<1x x 则1221121222221212(-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ， ∴12+1>0x x21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴. 所以函数为‎减函数。

证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。

函数单调性判定的五种⽅法以及应⽤
【经典题再现】
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是⾼考常考知识内容.本题具备⼀定难度.解答此类问题，关键在于利⽤分段函数的概念，发现周期函数特征，进⾏函数值的转化.本题
能较好的考查考⽣分析问题解决问题的能⼒、基本计算能⼒等.
【命题意图】这类问题的主要意图是：1.理解函数的单调性及其⼏何意义.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
【考试⽅向】这类试题括确定函数单调性、单调区间及应⽤函数单调性求值域、最值，⽐较或应⽤函数值⼤⼩，是⾼考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则多为解答题.考查重点仍将以函数性质的应⽤为主.函
数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练.
【得分要点】函数性质是⾼考的热点问题，要对此类问题有更深的了解：
1. 求函数的单调性或单调区间的⽅法
(1)利⽤已知函数的单调性.
(2)定义法：先求定义域，再利⽤单调性定义.
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法：利⽤导数取
值的正负确定函数的单调区间.
(5)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.
2.函数的周期性
及其应⽤
判断函数的周期只需证明
便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与
函数的其他性质综合命题.
3.对于函数性质的考查，⼀般不会单纯地考查某⼀个性质，⽽是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学⽣的综合能⼒、创新能⼒、数形结合的能⼒.。

判断增、减函数常用的两种方法有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。

而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。

今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。

现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。

定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为：（1）取值：设21,x x 为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <；（2）作差：计算)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；（3）定号：判断)()(21x f x f -的符号，若不能确定，则可分区间讨论；（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

好，现在根据归纳出的思路来做几道题例1试讨论函数2()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈的单调性。

解：设12-1<<<1x x 则1221121222221212(-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ，∴12+1>0x x21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴. 所以函数为减函数。

这个时候我们在题目上做个小变动，加个a 之后函数的单调性还一样吗？我们同样可以用定义来证明。