2017-2018学年北师大版必修二 2. 1.5平面直角坐标系中的距离公式学业分层测评(含答案)

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝13，则实数k等于()
A.±3
B.3
C.－3
D.0
【解析】|AB|＝(2k－k)2＋(－1－1)2＝13，即k2＋4＝13，所以k＝±3.【答案】 A
2.到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()
A.3x－4y－1＝0
B.3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C.3x－4y＋1＝0
D.3x－4y－21＝0
【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|
32＋(－4)2
＝2，解得
c＝－1或c＝－21.故选B.
【答案】 B
3.点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为()
A.a>7
B.a<－3
C.a>7或a<－3
D.a>7或－3<a<7
【解析】根据题意，得|3a－6|
32＋42
>3，解得a>7或a<－3.
【答案】 C
4.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是()
【导学号：39292095】A. 5 B.7
C. 6
D.2 2
【解析】|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|
2
＝2 2.
【答案】 D
5.过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A.6 B. 2 C.2
D.不能确定
【解析】 k AB ＝
b －a
5－4
＝b －a . 又∵过A ，B 的直线与y ＝x ＋m 平行， ∴b －a ＝1，
∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 【答案】 B 二、填空题
6.点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________. 【解析】 设P (x ，y )，则⎩⎨⎧
|y |＝10，
(x ＋4)2＋(y －2)2
＝100. 当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解. 则P (2,10)或P (－10,10). 【答案】 (2,10)或(－10,10)
7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________.
【导学号：39292096】
【解析】 因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得
|0－0＋b |(3)2
＋(－1)
2
＝5⇒|b |＝
10，所以b ＝±10，所以直线方程为3x －y ＋10＝0或 3x －y －10＝0.
【答案】
3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0
8.如图2-1-6，点A 的坐标为(1,0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为______.
图2-1-6
【解析】 由题意知，当AB 垂直于直线x ＋y ＝0时，线段AB 最短，此时k AB ＝1，设B (a ，－a )，则k AB ＝－a a －1
＝1，∴a ＝12，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－12.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－12
三、解答题
9.在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程.
【导学号：39292097】
【解】 ∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a ). 根据两点间的距离公式得 |PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，
即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝32
5， ∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫
325，645，
∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －864
5－8＝x －5
325－5，
整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.
10.已知点A (0,0)，B (1,1)，C (2，－1)，求△ABC 的面积. 【解】 直线AB 的方程为x －y ＝0， 点C 到AB 的距离d ＝
|2－(－1)|12＋(－1)2
＝
32
2， |AB |＝(1－0)2＋(1－0)2＝2， ∴S △ABC ＝12|AB |d ＝12×2×322＝3
2.
[能力提升]
1.过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()
A.4x＋y－6＝0
B.x＋4y－6＝0
C.2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0
D.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
【解析】∵k AB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，
∴过点P(1,2)与AB平行的直线方程为
y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0，此直线符合题意.
过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－3
2(x－1)，
即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意.
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.
【答案】 D
2.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()
A.3x－2y－6＝0
B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0
D.2x＋3y＋8＝0
【解析】法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，
由题意可知
|2－3－6| 22＋32＝
|2－3＋C|
22＋32
，∴C＝－6(舍)或C＝8，
故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
【答案】 D
3.若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，S＝x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为________.
【解析】 法一：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1,1)的距离. 即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即 |MN |min ＝d ＝
|1＋1＋1|2
＝32
2. 法二：∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1， ∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2 ＝2x 2＋2x ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋92， ∴x ＝－1
2时，S min ＝
92＝322.
法三：因为S ＝(x －1)2＋(y －1)2，
所以S 是点(1,1)与直线x ＋y ＋1＝0上的点(x ，y )的距离， 由垂线段最短得，S min ＝|1＋1＋1|2
＝32
2. 【答案】
322
4.在△ABC 中，A (3,3)，B (2，－2)，C (－7,1)，求∠A 的平分线AD 所在直线的方程.
【解】 设M (x ，y )为∠A 的平分线AD 上任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x －5y ＋12＝0，AB 边所在直线的方程为5x －y －12＝0.
由角平分线的性质，得 |x －5y ＋12|26＝|5x －y －12|
26
， 所以x －5y ＋12＝5x －y －12，或x －5y ＋12＝y －5x ＋12， 即y ＝－x ＋6或y ＝x .
结合图形可知k AC ＜k AD ＜k AB ，即1
5＜k AD ＜5， 所以y ＝－x ＋6不合题意，舍去.
故∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y ＝x .。