高三数学期末试卷带答案

2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ＝{1，2，a +4}，B ＝{a ，6}，若A ∩B ＝B ，则实数a ＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1＝1﹣i ，则z 1z 2＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2iD ．﹣23．“x ＞0”是“2x +12x ＞2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a →=(2，n)，b →=(m ，3)，若a →−b →=(−2，−4)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．1B ．√55C ．（4，3）D ．(45，35)5．已知f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2（a ，b ∈R ）在x ＝1处的极大值为5，则a +b ＝（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣2或6 D ．﹣6或26．已知sin(θ−π4)cos2θ=−2√2，则sin2θ＝（ ）A ．1516B ．−1516C ．34D ．−347．已知f(x)=(45)|x−1|，则下列不等关系正确的是（ ） A ．f （log 26）＜f （log 0.51.25）＜f （1） B ．f （log 0.51.25）＜f （log 26）＜f （1） C ．f （1）＜f （log 0.51.25）＜f （log 26）D ．f （1）＜f （log 26）＜f （log 0.51.25） 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1，若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P →⋅F 1F 2→=b 2，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．√17−23D ．√13−23二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y +2k +1＝0与圆O ：x 2+y 2＝9，则下列结论正确的是（ ）A ．直线恒过定点（2，﹣1）B ．直线l 与圆O 相交C ．若k =34，直线l 被圆O 截得的弦长为2√5 D ．若直线l 与直线x +4k 2y +k 2＝0垂直，则k =1410．已知函数f(x)=12−12cos(2x +2φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(π12，12)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(0)=14C ．f （x ）在(π3，2π3)上单调递增 D ．f （x ）图象向右平移2π3个单位长度后关于y 轴对称11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点M 是CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△APM 位置，连接PB ，PC ，且F 为PC 中点，4AE →=AB →，在△ADM 翻折到△APM 的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．EF ∥平面P AMB ．存在某个位置，使得CM ⊥PEC ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，E 到PC 的距离为√356D ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，AC 与平面PMB 所成角的正弦值为3√51012．已知曲线C 1：f （x ）＝ln （2x ﹣1）在点M （x 1，y 1）处的切线与曲线C 2：g （x ）＝e 2x﹣1相切于点N（x 2，y 2），则下列结论正确的是（ ） A ．函数h （x ）＝x 2g （x ）﹣1有2个零点B ．函数m(x)=32ef(x)−xg(x)在(12，1)上单调递增C ．g(x 2)=12x 1−1D ．1x 1−1+2x 2=0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正数a ，b 满足log 2a ＝log 3b ＝log 65，则ab ＝ ．14．已知正项数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n （3T n ﹣1）＝T n （n ∈N *），则T n ＝ ． 15．已知球O 的体积为32π3，其内接圆锥与球面交线长为2√3π，则该圆锥的侧面积为 ．16．已知椭圆C ：x 29+y 2b 2=1（b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P(√6，1)在C 内，点Q 在C 上，则1|QF 1|+1|QF 2|的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，4sin 2B sin 2C ＝sin2B sin2C ，P 为△ABC 所在平面内一点，且PB ＝2√3，∠PBC ＝90°，∠PBA 为锐角． （1）若c ＝1，求P A ；（2）若∠P AB ＝120°，求tan ∠PBA ．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2√3，AA 1＝5，D 为AC 中点，且∠ABD ＝30°，BE =35BB 1，CF =15CC 1． （1）求证：BD ⊥A 1F ；（2）求平面AEF 与平面A 1EF 夹角的余弦值．19．（12分）已知数列{a n }满足a n =32n−1，正项数列{b n }满足b n2−2（n ﹣1）b n ﹣4n ＝0．当n ≥4时，记s i＝min {a 1，a 2，…，a i }，t i ＝max {a i +1，a i +2，…，a n }（i ＝1，2，…，n ﹣1），c i ＝s i +t i ． （1）证明：c 1，c 2，…，c n ﹣1是等比数列； （2）求b 1c n ﹣1+b 2c n ﹣2+…+b n ﹣1c 1．20．（12分）某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底．根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f （x ）＝e x ﹣sin （x +p ）+q ；②f （x ）＝x 2+px +q ；③f （x ）=12x 2+px +36ln(2x +2)+q （x 表示时间，以上三式中p ，q 均为常数，且﹣30＜p ＜﹣11）． （1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由； （2）若f （5）＝6.78，f （11）＝7.62，①求出所选函数f （x ）的解析式（注：2≤x ≤12且x ∈N *，其中x ＝2表示5月份下半月，x ＝3表示6月份上半月，…，x ＝12表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由．（ln 2＝0.69，ln 3＝1.10，ln 5＝1.60，ln 11＝2.40）21．（12分）已知函数f （x ）=ax e x +12x 2−x （a ＞0）． （1）若f （x ）＜12x 2−lnx 恒成立，求a 的范围； （2）讨论f （x ）的零点个数． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，右焦点F 到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）设动直线l ：y ＝kx +m 与C 相切于点A ，且与直线x =32相交于点B ，点P 为平面内一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β．证明：存在定点P ，使得|α﹣β|=π2．2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ＝{1，2，a +4}，B ＝{a ，6}，若A ∩B ＝B ，则实数a ＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ＝{1，2，a +4}，B ＝{a ，6}，A ∩B ＝B ， ∴B ⊆A ，∴a ＝2且a +4＝6或a ＝1且a +4＝6， 解得实数a ＝2． 故选：C ．2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1＝1﹣i ，则z 1z 2＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2iD ．﹣2解：复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1＝1﹣i ， ∴z 2＝1+i ，则z 1z 2＝（1﹣i ）（1+i ）＝1﹣i 2＝2． 故选：A ． 3．“x ＞0”是“2x +12x ＞2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当x ＞0时，2x ＞1，则2x +12x ＞2成立； 当2x +12x ＞2，等价于4x +1＞2×2x ，即（2x ﹣1）2＞0，只需x ≠0； 所以“x ＞0”是“2x +12x ＞2”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，n)，b →=(m ，3)，若a →−b →=(−2，−4)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．1B ．√55C ．（4，3）D ．(45，35)解：根据题意，向量a →=(2，n)，b →=(m ，3)，a →−b →=(−2，−4)，则有{2−m =−2n −3=−4，解可得{m =4n =−1，即a →=（2，﹣1），b →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量为a →⋅b →|b →|b→|b →|=2×4−1×325b →=（45，35）．故选：D ．5．已知f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2（a ，b ∈R ）在x ＝1处的极大值为5，则a +b ＝（ ） A ．﹣2B ．6C ．﹣2或6D ．﹣6或2解：∵f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2，∴f ′（x ）＝3ax 2﹣4x +b ， 又f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2（a ，b ∈R ）在x ＝1处的极大值为5， ∴f ′（1）＝3a ﹣4+b ＝0，f （1）＝a ﹣2+b +a 2＝5， 解得{a =3b =−5或{a =−1b =7，经检验可知当a ＝3，b ＝﹣5时，f （x ）在x ＝1处取得极小值，不满足题意， ∴a ＝﹣1，b ＝7， ∴a +b ＝6． 故选：B ． 6．已知sin(θ−π4)cos2θ=−2√2，则sin2θ＝（ ）A ．1516B ．−1516C ．34D ．−34解：∵sin(θ−π4)cos2θ=√22(sinθ−cosθ)cos 2θ−sin 2θ=−√22cosθ+sinθ=−2√2，∴cosθ+sinθ=14， ∴1+sin2θ=116， ∴sin2θ=−1516． 故选：B ．7．已知f(x)=(45)|x−1|，则下列不等关系正确的是（ ） A ．f （log 26）＜f （log 0.51.25）＜f （1） B ．f （log 0.51.25）＜f （log 26）＜f （1） C ．f （1）＜f （log 0.51.25）＜f （log 26）D ．f （1）＜f （log 26）＜f （log 0.51.25） 解：画出函数f(x)=(45)|x−1|的大致图像， 如图所示：，函数f （x ）的图像关于直线x ＝1对称， 由函数f （x ）的图像可知，f （1）是最大值． ∵|log 26﹣1|＝|log 26﹣log 22|＝log 23， |log 0.51.25﹣1|＝|log 0.51.25﹣log 0.50.5| ＝|log 0.52.5|＝|log 225|＝log 25﹣1=log 252． 由于log 252＜log 23，∴f （log 26）＜f （log 0.51.25）， ∴f （1）＞f （log 0.51.25）＞f （log 26）． 故选：A ．8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1，若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P →⋅F 1F 2→=b 2，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．√17−23D ．√13−23解：由题意直线l 过点F 1，若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，可得|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝2a ﹣2c ，cos ∠F 1PF 2=4c 2+4c 2−(2a−2c)22⋅2c⋅2c =4c 2+8ac−4a 28c 2， ∵F 1P →⋅F 1F 2→=b 2，∴2c ×2c ×4c 2+8ac−4a 28c2=b 2， ∴4c 2+8ac ﹣4a 2＝2a 2﹣2c 2，∴3a 2﹣4ac ﹣3c 2＝0， ∴3e 2+4e ﹣3＝0，e ∈（0，1），∴e =√13−23．故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y +2k +1＝0与圆O ：x 2+y 2＝9，则下列结论正确的是（ ） A ．直线恒过定点（2，﹣1）B ．直线l 与圆O 相交C ．若k =34，直线l 被圆O 截得的弦长为2√5 D ．若直线l 与直线x +4k 2y +k 2＝0垂直，则k =14解：直线l ：kx ﹣y +2k +1＝0即为k （x +2）+1﹣y ＝0，故直线l 过定点（﹣2，1），故A 错误； 因为（﹣2）2+12＝5＜9，即点（﹣2，1）在圆O 的内部，故直线l 与圆O 相交，故B 正确； 当k =34时，直线l 的方程为3x ﹣4y +10＝0，圆O ：x 2+y 2＝9的圆心为O （0，0），半径r ＝3， 所以圆心为O （0，0）到直线l 的距离d =105=2，所以直线l 被圆O 截得的弦长为2√r 2−d 2=2√5，故C 正确；若直线l 与直线x +4k 2y +k 2＝0垂直，则k ﹣4k 2＝0，解得k ＝0或k =14，故D 错误． 故选：BC ．10．已知函数f(x)=12−12cos(2x +2φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(π12，12)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(0)=14C ．f （x ）在(π3，2π3)上单调递增 D ．f （x ）图象向右平移2π3个单位长度后关于y 轴对称解：∵函数f(x)=12−12cos(2x +2φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(π12，12)， ∴12−12cos （π6+2φ）=12，即cos （π6+2φ）＝0． 故π6+2φ＝k π+π2，k ∈Z ，求得φ=kπ2+π6，k ∈Z ， ∴φ=π6，f （x ）=12−12cos （2x +π3）． 显然，函数f （x ）的的最小正周期为2π2=π，故A 正确．由于f （0）=12−12cosπ3=14，故B 正确．在(π3，2π3)上，2x +π3∈（π，5π3），函数f （x ）单调递增，故C 正确． 把f （x ）图象向右平移2π3个单位长度后，得到y =12−12cos （2x −4π3+π3）=12−12cos （2x ﹣π））=12+12cos2x 的图象， 显然，所得函数的图象关于y 轴对称，故D 正确． 故选：ABCD ．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点M 是CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△APM 位置，连接PB ，PC ，且F 为PC 中点，4AE →=AB →，在△ADM 翻折到△APM 的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．EF ∥平面P AMB ．存在某个位置，使得CM ⊥PEC ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，E 到PC 的距离为√356D ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，AC 与平面PMB 所成角的正弦值为3√510解：取MC 中点O ，连接FO ，EO ，所以MO =12MC =14DC =AE ， 又MO ∥AE ，所以四边形MOEA 为平行四边形，故EO ∥AM ，AM ⊂平面P AM ，EO ⊄平面P AM ，故EO ∥平面P AM ， FO ∥PM ，PM ⊂平面P AM ，FO ⊄平面P AM ，故FO ∥平面P AM ， FO ∩EO ＝O ，FO ，EO ⊂平面EOF ， 因此平面EOF ∥平面P AM ，EF ⊂平面EOF ， 所以EF ∥平面P AM ，A 正确；当AB ⊥PE 时，由于AP ＝2，AE ＝1，则PE =√3， 此时PB =√PE 2+EB 2=√(√3)2+32=2√3， 故只需要在翻折过程中使得PB =2√3 即可满足AB ⊥PE ，即CM ⊥PE ，故B 正确； 对于C ，取AM 中点N ，由于P A ＝PM ＝2，∴PN ⊥AM ，又AM =√2AP =2√2，BM =√2BC =2√2，AB =4，所以AM ⊥BM ，取AB 中点Q ，则AN ⊥NQ ， 当二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，则∠PNQ =π2，故以NP →，NQ →，NA →为正方向为z ，y ，x ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，√2)，C(−2√2，√2，0)，F(−√2，√22，√22)，E(√22，√22，0)， A(√2，0，0)，B(−√2，2√2，0)，M(−√2，0，0)， 所以PC →=(−2√2，√2，−√2)，PE →=(√22，√22，−√2)， 则PE →2=12+12+2=3， PC →⋅PE →=−2√2×√22+√2×√22+√2×√2=1，|PC →|=√8+2+2=2√3， 故E 到PC 的距离为： √PE →2−(PE →⋅PC →|PC →|)2=√3−(12√3)2=√1056，故C 错误；PM →=(−√2，0，−√2)，PB →=(−√2，2√2，−√2)，AC →=(−3√2，√2，0)， 设平面PMB 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{PM →⋅m →=−√2x −√2z =0PB →⋅m →=−√2x +2√2y −√2z =0，取x ＝1，则y ＝0，z ＝﹣1，则m →=(1，0，−1)，故直线AC 与平面PMB 所成角的正弦值为|cos〈AC →，m →〉|=|m →⋅AC →||AC →||m →|=3√2√2×2√5=3√510，故D 正确．故选：ABD ．12．已知曲线C 1：f （x ）＝ln （2x ﹣1）在点M （x 1，y 1）处的切线与曲线C 2：g （x ）＝e 2x﹣1相切于点N（x2，y2），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）＝x2g（x）﹣1有2个零点B．函数m(x)=32ef(x)−xg(x)在(12，1)上单调递增C．g(x2)=12x1−1D．1x1−1+2x2=0解：A．h（x）＝x2g（x）﹣1＝x2e2x﹣1﹣1⇒h′（x）＝2x（x+1）e2x﹣1，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递减，当x＜﹣1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）的极大值为h（﹣1）＝e﹣3﹣1＜0，极小值为h（0）＝﹣1＜0，因此当x＜﹣1时，h（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，h（x）＜0，当x→+∞时，h（x）→+∞，因此函数h（x）只有一个零点，故A错误；B.m(x)=32ef(x)−xg(x)=32eln(2x−1)−xe2x−1，则m′(x)=3e2x−1−(2x+1)e2x−1，当x∈(12，1)时，根据函数单调性的性质可知，函数m′（x）单调递减，所以当x∈(12，1)时，m′（x）＞m′（1）＝0，所以函数m(x)=32ef(x)−xg(x)在(12，1)上单调递增，故B正确；C.f(x)=ln(2x−1)⇒f′(x)=22x−1，因此曲线C1：f（x）＝ln（2x﹣1）在点M（x1，y1）处的切线方程为y−ln(2x1−1)=22x1−1(x−x1)⇒y=2x12x1−1+ln(2x1−1)−2x12x1−1，g（x）＝e2x﹣1⇒g′（x）＝2e2x﹣1，因此曲线C2：g(x)=e2x−1相切方程为y−e2x2−1=2e2x2−1(x−x2)⇒y=2e2x2−1x+e2x2−1−2e2x2−1x2，因此g(x2)=e2x2−1=12x1−1，故C错误；D．由上可知，{12x1−1=e2x2−1ln(2x1−1)−2x12x1−1=e2x2−1−2e2x2−1x2，因此ln(2x1−1)−2x12x1−1=e2x2−1−2e2x2−1x2⇒lne−(2x2−1)−2x12x1−1=12x1−1−2x22x1−1⇒−2x 2+1−2x 12x 1−1=12x 1−1−2x 22x 1−1⇒2x 1x 2−2x 2+1=0⇒2x 2(x 1−1)=−1⇒1x 1−1+2x 2=0，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正数a ，b 满足log 2a ＝log 3b ＝log 65，则ab ＝ 5 ． 解：设log 2a ＝log 3b ＝log 65＝k ， 则a ＝2k ，b ＝3k ，5＝6k ；所以ab ＝2k •3k ＝（2×3）k ＝6k ＝5． 故答案为：5．14．已知正项数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n （3T n ﹣1）＝T n （n ∈N *），则T n ＝ 12⋅(13)n +12．解：∵a n （3T n ﹣1）＝T n ， ∴T n T n−1(3T n −1)=T n ，n ≥2，∴3T n ﹣1＝T n ﹣1，∴T n −12=13(T n−1−12)，n ≥2， 又a 1（3a 1﹣1）＝a 1，又a 1＞0， 解得a 1=23，∴a 1−12=16， ∴{T n −12}是以16为首项，13为公比的等比数列， ∴T n −12=16×(13)n−1， ∴T n =12⋅(13)n +12． 故答案为：12⋅(13)n +12． 15．已知球O 的体积为32π3，其内接圆锥与球面交线长为2√3π，则该圆锥的侧面积为 6π或2√3π ．解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，则2πr =2√3π，即r =√3， 设球的半径为R ，则4π3R 3=32π3，即R ＝2，由射影定理可得r 2＝h （2R ﹣h ）， 则3＝h （4﹣h ）， 即h ＝1或h ＝3， 又l =√r 2+ℎ2，则l 的值为2或2√3， 又圆锥的侧面积公式为πrl ， 则该圆锥的侧面积为2√3π或6π． 故答案为：2√3π或6π． 16．已知椭圆C ：x 29+y 2b 2=1（b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P(√6，1)在C 内，点Q 在C 上，则1|QF 1|+1|QF 2|的取值范围是 [23，2) ．解：椭圆C 的焦点左右分布，说明焦点在x 轴上，因此可得0＜b 2＜9． ∵点P(√6，1)在C 内，∴69+1b 2＜1，∴3＜b 2＜9，设|QF 1|＝m ，令Q 坐标为（x 0，y 0），F 1坐标为（﹣c ，0），其中c ＞0且有b 2+c 2＝9，因此可得0＜c ＜√6， 则m =√(x 0+c)2+y 02=√x 02+2cx 0+c 2+b 2−b 29x 02=√c 29x 02+2cx 0+9=3+x03c(−3⩽x ⩽3)，因此3﹣c ⩽m ⩽3+c ，由于|QF 1|+|QF 2|=2√9=6，因此|QF 2|＝6﹣m ， 则1|QF 1|+1|QF 2|=1m+16−m=6−m 2+6m，对于﹣m 2+6m ，当m =62=3时其取最大值，最大值为9， 当x ＝3﹣c 或3+c 时取最小值，最小值为9﹣c 2＞9﹣6＝3， 因此23⩽6−m 2+6m ⩽69−c2＜63=2，故1|QF 1|+1|QF 2|取值范围为[23，2)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，4sin 2B sin 2C ＝sin2B sin2C ，P 为△ABC 所在平面内一点，且PB ＝2√3，∠PBC ＝90°，∠PBA 为锐角． （1）若c ＝1，求P A ；（2）若∠P AB ＝120°，求tan ∠PBA ．解：因为4sin 2B sin 2C ＝sin2B sin2C ， 所以4sin 2B sin 2C ＝4sin B cos B •sin C cos C ，因为sin B sin C＞0，所以cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝0，又0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，所以B+C＝90°，即A＝90°，（1）由上可知，∠BAC＝90°，因为a＝2，c＝1，所以cos∠ABC=ca=12，因为0°＜∠ABC＜180°，所以∠ABC＝60°，又∠PBC＝90°，所以∠PBA＝90°﹣60°＝30°，在△P AB中，由余弦定理知，P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos∠PBA＝12+1﹣2×2√3×1×√32=7，所以P A=√7．（2）设∠PBA＝α，则sin P＝sin（120°+α），∠ABC＝90°﹣α，在Rt△ABC中，AB＝BC cos∠ABC＝2cos（90°﹣α）＝2sinα，在△P AB中，由正弦定理知，ABsinP =PBsin∠PAB，所以2sinαsin(120°+α)=2√3sin120°=√3√32=4，所以sinα＝2sin（120°+α）=√3cosα﹣sinα，所以2sinα=√3cosα，所以tan∠PBA＝tanα=sinαcosα=√32．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2√3，AA1＝5，D为AC中点，且∠ABD＝30°，BE=35BB1，CF=15CC1．（1）求证：BD⊥A1F；（2）求平面AEF与平面A1EF夹角的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2√3，D为AC中点，所以AD=√3，又∠ABD＝30°，所以由余弦定理得，BD＝3，所以AB2＝AD2+BD2，所以BD⊥AC，由直棱柱性质有，AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥BD ，又AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又F 在CC 1上，所以A 1F ⊂平面ACC 1A 1， 所以BD ⊥A 1F ．（2）过D 作侧棱AA 1的平行线，交A 1C 1于点G ，则DG ⊥平面ABC ， 则在D 处有DA 、DB 、DC 两两互相垂直，以D 为原点，DA 、DB 、DC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A （√3，0，0），B （0，3，0），C （−√3，0，0），E （0，3，3），F （−√3，0，1），A 1（√3，0，5）， AE →=(−√3，3，3)，EF →=(−√3，−3，−2)，A 1E →=(−√3，3，−2)， 设平面AEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AE →=−√3x +3y +3z =0m →⋅EF →=−√3x −3y −2z =0，令x =√3，则y ＝﹣5，z ＝6， 所以m →=(√3，−5，6)，设平面A 1EF 的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅A 1E →=−√3a +3b −2c =0n →⋅EF →=−√3a −3b −2c =0，令a =√3，则b ＝0，c =−32， 所以n →=(√3，0，−32)，设平面AEF 与平面A 1EF 的夹角为θ，则cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=3+25+36×3+94=√2114．平面AEF 与平面A 1EF 夹角的余弦值为√2114．19．（12分）已知数列{a n }满足a n =32n−1，正项数列{b n }满足b n2−2（n ﹣1）b n ﹣4n ＝0．当n ≥4时，记s i＝min {a 1，a 2，…，a i }，t i ＝max {a i +1，a i +2，…，a n }（i ＝1，2，…，n ﹣1），c i ＝s i +t i ． （1）证明：c 1，c 2，…，c n ﹣1是等比数列； （2）求b 1c n ﹣1+b 2c n ﹣2+…+b n ﹣1c 1． （1）证明：∵a n =32n−1为递减数列，∴s i =a i =32i−1，t i =a i−1=32i ， ∴c i =s i +t i =32i−1+32i =92i ， ∴c n−1c n−2=92n−192n−2=12(n ⩾3)，又c 1=92，∴c 1，c 2，⋯，c n ﹣1是以92为首项，12为公比的等比数列；（2）解：∵b n2−2(n −1)b n −4n =0，∴（b n ﹣2n ）（b n +2）＝0， ∵b n ＞0，∴b n ＝2n ，设S =b 1c n −1+b 2c −2+⋯+b n−1c 1=2⋅92n−1+4⋅92n−2+⋯+(2n −2)⋅92①，则2S =2⋅92n−2+4⋅92n−3+⋯+(2n −4)⋅92+(2n −2)⋅9②， ①﹣②得：﹣S =2⋅92n−1+2⋅92n−2+⋯+2⋅92−(2n −2)⋅9=18×[1−(12)n−1]−18n +18，∴S =182n−1+18n −36， ∴b 1c n ﹣1+b 2c n ﹣2+⋯+b n ﹣1c 1=182n−1+18n −36． 20．（12分）某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底．根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f （x ）＝e x ﹣sin （x +p ）+q ；②f （x ）＝x 2+px +q ；③f （x ）=12x 2+px +36ln(2x +2)+q （x 表示时间，以上三式中p ，q 均为常数，且﹣30＜p ＜﹣11）． （1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由； （2）若f （5）＝6.78，f （11）＝7.62，①求出所选函数f （x ）的解析式（注：2≤x ≤12且x ∈N *，其中x ＝2表示5月份下半月，x ＝3表示6月份上半月，…，x ＝12表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由．（ln 2＝0.69，ln 3＝1.10，ln 5＝1.60，ln 11＝2.40）解：（1）对于函数①，f （x ）＝e x ﹣sin （x +p ）+q ， ∴f ′（x ）＝e x ﹣cos （x +p ）＞0在（0，+∞）上恒成立， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增，不具有先升后降再升的特点， 对于函数②，f （x ）＝x 2+px +q ，其不具有先升后降再升的特点， 对于函数③，f(x)=12x 2+px +36ln(2x +2)+q ， ∵f ′(x)=x +p +36x+1=x 2+(p+1)x+36+px+1， 设方程x 2+（p +1）x +36+p ＝0两根为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2， ∵﹣30＜p ＜﹣11，∴x 1+x 2＞0，x 1，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 2，∴在（0，x 1）和（x 2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（x 1，x 2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∴函数③符合先升后降再升的特点，故选③； （2）①由f （5）＝6.78及f （11）＝7.62， 得{5p +q =−9511p +q =−167，解得{p =−12q =−35， ∴f(x)=12x 2−12x +36ln(2x +2)−35，2⩽x ⩽12且x ∈N *， ②设g(x)=12x 2−12x +36ln(2x +2)−35(x ＞0)， 则g ′(x)=(x−3)(x−8)x+1， ∴g （x ）在（0，3），（8，+∞）上单调递增，在（3，8）上单调递减， 又f （2）＝36ln 6﹣57＝36（ln 2+ln 3）﹣57＝7.44， f （4）＝36ln 10﹣75＝36（ln 2+ln 5）﹣75＝7.44＞7， f （5）＝6.78＜7，f （10）＝36ln 22﹣105＝36（ln 2+ln 11）﹣105＝6.24＜7， f （11）＝7.62＞7，∴当5⩽x ⩽10时，f （x ）＜7，∴该果农应在7月初到9月底进行促销活动． 21．（12分）已知函数f （x ）=ax e x +12x 2−x （a ＞0）． （1）若f （x ）＜12x 2−lnx 恒成立，求a 的范围；（2）讨论f （x ）的零点个数．解：（1）因为f(x)＜12x 2−lnx 恒成立，所以ax e x−x +lnx ＜0恒成立，令g(x)=ax e x −x +lnx ，则g ′(x)=a(1−x)e x +1x −1=(1−x)(e x +ax)xe x， 因为x ＞0，a ＞0，所以e x +ax ＞0，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，当x ＞1时，g ′（x ）＜0，所以函数g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以g(x)max =g(1)=ae −1，所以a e −1＜0，即a e＜1， 所以，a 的取值范围为{a |0＜a ＜e }． （2）令f （x ）＝0，得ax e x+12x 2−x =0，所以x(a e x +12x −1)=0，解得x ＝0或a =e x (1−12x)， 令ℎ(x)=e x (1−12x)，则ℎ′(x)=12e x (1−x)， 当x ＜1时，h ′（x ）＞0，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，所以函数h （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=e 2，又当x →﹣∞时，h （x ）＞0且h （x ）→0，当x →∞时，h （x ）→﹣∞， 如图，作出函数h （x ）的图象如下．当0＜a ＜e2时，函数y ＝h （x ），y ＝a 的图象有2个交点，且h （0）＝1； 当a =e2时，函数y ＝h （x ），y ＝a 的图象有1个交点； 当a ＞e2时，函数y ＝h （x ），y ＝a 的图象有0个交点． 综上，当0＜a ＜1或1＜a ＜e 2时，函数f （x ）的零点个数为3； 当a ＝1或a =e2时，函数f （x ）的零点个数为2；当a ＞e2时，函数f （x ）的零点个数为1． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，右焦点F 到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）设动直线l ：y ＝kx +m 与C 相切于点A ，且与直线x =32相交于点B ，点P 为平面内一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β．证明：存在定点P ，使得|α﹣β|=π2． 解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的渐近线方程为y =±√33x ， 右焦点F （c ，0）到渐近线的距离为1=√33c 2+(√33)2，所以c ＝2，所以双曲线C 的方程是x 23−y 2=1．（2）证明：由{y =kx +mx 23−y 2=1，得（1﹣3k 2）x 2﹣6kmx ﹣3m 2﹣3＝0．因为动直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点M （x 0，y 0），所以Δ＝36k 2m 2﹣4（1﹣3k 2）（﹣3m 2﹣3）＝0，所以3k 2﹣m 2﹣1＝0（*）． 此时x 0=−3km 1−3k2=−3k m ，y 0=kx 0+m =−1m ，所以A(−3k m ，−1m )，由{x =32y =kx +m，得B(32，32k +m)．假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．设P （x 1，0），要使|α−β|=π2，则P A ⊥PB ，则PA →⋅PB →=0对满足（*）式的m ，k 恒成立．因为PA →=(−3k m −x 1，−1m )，PB →=(32−x 1，32k +m)，由PA →⋅PB →=0，得−6k m +3kx 1m −32x 1+x 12−1=0， 所以(x 1−2)3k m +x 12−32x 1−1=0．(∗∗) 因为（**）式对满足（*）式的m ，k 恒成立， 所以{x 1−2=0x 12−32x 1−1=0，解得x 1＝2．故存在定点P （2，0），使得|α−β|=π2．。

2023~2024学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合U =R ，集合{}{}0,12M x x N x x =<=-<，则()UM N ⋃=ð（）A.{}3x x ≥ B.{}3x x > C.{1x x ≤-或0}x ≥ D.{1x x <-或0}x >【答案】A 【解析】【分析】解出集合{}12N x x =-<，利用集合的运算计算即可.【详解】由12x -<，得212x -<-<，即13x -<<，所以{}13N x x =-<<，所以{}{}{}0133M N x x x x x x ⋃=<⋃-<<=<，所以(){}3U M N x x ⋃=≥ð.故选：A.2.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．3.已知0,0a b c >>>且1c ≠，则（）A.a a cb bc +<+ B.c c a b>C.a b c c > D.c ca b >【答案】D 【解析】【分析】对于选项A,B 利用作差法即可判断；对于选项C,D 利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.【详解】对于选项A ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()()()()()0a c b a b c c b a a c a b c b b c b b c b+-+-+-==<+++，故a a cb bc +>+，选项A 错误；对于选项B ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()0c b a c c a b ab--=<，故c c a b <，选项B 错误；对于选项C ：由指数函数可知,0x y c c =>，在定义域上单调性不确定，故无法确定,a b c c 的大小，比如当01c <<时，则a b c c <，选项C 错误；对于选项D ：由幂函数可知,0c y x c =>，在定义域上单调递增，且a b >，所以c c a b >，选项D 正确.故选：D.4.已知||||1,()(3)3a b a b a b ==+⋅-=-，则向量a 与b 夹角的大小为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量a与b夹角为θ，22()(3)32cos 3a b a b a b a b θ+⋅-=--⋅=- ，因为||||1a b ==，所以132cos 3θ--=-，解得1cos 2θ=.因为[]0,πθ∈，所以π3θ=.故选：B.5.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）数字123456789纵式横式A.25B.35C.38D.310【答案】A 【解析】【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为4224225=+++，故选：A6.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()ln 1,012,1x x f x x x +<≤⎧=⎨->⎩，则方程()10f x -=实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义求出()f x 的解析式，进而解方程即可.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当10x -≤<时，01x <-≤，()()()ln 1f x f x x =--=---，当1x <-时，1x ->，()()2f x f x x =--=--，综上()()2,1ln 1,010,0ln 1,102,1x x x x f x x x x x x ->⎧⎪+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪--<-⎪⎩，当1x >时，令()1f x =无解；当01x <≤时，令()1f x =解得1x =；当0x =时，令()1f x =无解；当10x -≤<时，令()1f x =解得2e x -=-；当1x <-时，令()1f x =，解得3x =-，综上()10f x -=实数根的个数为3个，故选：C7.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF与C 的另外一条渐近线交于点B .若3BF AF =，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b =--，求出2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用向量关系表示出2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再代入另外一条渐近线by x a =-，整理计算即可.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，不妨设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b=--，联立()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,B x y ，由3BF AF = ，可得()221133,3,3,a ab a ab c x y c c c c c c ⎛⎫⎛⎫--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即211333a c x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得211323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在另外一条渐近线by x a =-上，所以2332,ab b a c c a c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭整理得：223c a =，即23e =，所以e =故选：C.8.已知函数()()e 2,ln 2xf x xg x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e -B.1- C.1e-D.21e -【答案】C 【解析】【分析】结合题意构造函数()e xh x x =+，得到12ln x x =，表示出1121e xx x x =⋅,再借助导数求出()e x u x x =⋅得最小值即可.【详解】因为12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，所以1122e 2ln 2xx x x +-=+-，即12ln 1222e ln eln xx x x x x +=+=+，令()e xh x x =+，()e 10xh x '=+>，所以()e xh x x =+在R 上单调递增.所以12ln x x =，即12e x x =，所以1121e xx x x =⋅，令()e xu x x =⋅，则()()e1xu x x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0u x '<，()e xu x x =⋅在(),1-∞-单调递减;当()1,x ∈-+∞时，()0u x '>，()e xu x x =⋅在()1,-+∞单调递减;所以当=1x -时，函数()e xu x x =⋅取得最小值，即()1111e eu --=-⨯=-.11211e ex x x x =⋅≥-.故选：C.【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：积型：e ln a a b b ≤，①ln e ln e a b a b ≤，构建()e xf x x =；②e lne ln a a b b ≤，构建()ln f x x x =；商型：e ln a b a b≤，①ln e e ln a ba b ≤，构建()e x f x x=；②e ln e ln a abb≤，构建()ln x f x x =；和型：e ln a a b b ±≤±，①ln e e ln a b a b ±≤±，构建()e xf x x =±；②e ln e ln a a b b ±≤±，构建()ln f x x x =±.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x （）A.与原数据的极差相同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，由数据平均数、方差、中位数、极差的定义分析选项，综合可得答案.【详解】由样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，可得()121n x x x x n=+++ ，其方差为()()()2222121n s x xx xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，对于数据12,,,,n x x x x ，其平均数()1211n x x x x x x n '+++=+=+ ，其方差()()()()122222221111n x x x x x n s s n x x n x ⎡⎤==⎢⎥-⎣-++++-+⎦+- ；即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C 错误，D 正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A 正确；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B 错误.故选：AD10.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到sin2y x =的图象，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线5π6x =对称C.()f x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为12【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数的图象变换，求出()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：要得到函数()f x 的解析式，只需将sin2y x =向左平移π6个单位长度.所以()ππ=sin 2sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,对于选项A:由()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭可得2ω=，所以2ππT ω==,故选项A 正确；对于选项B:将5π6x =代入()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得：5π5π66π=sin 2sin 2π03f ⎛⎫⎛⎫⨯+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线5π6x =对称，故选项B 错误；对于选项C:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以πππ2,363t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，而=sin y t 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；对于选项D:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,336t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象可知=sin y t 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，故π5π236t x =+=，即π4x =时，()min π5π1sin 462f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选项D 正确.故选：ACD.11.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111224,AB AB AA P ===为棱1CC 上一点，则（）A.不存在点P ，使得直线BP 平面11AB DB.当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPDC.当P 为1CC 中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为26D.当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 交BD 于O ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立坐标系，利用空间向量法判断ABC ，利用三棱锥体积公式判断D.【详解】连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z轴建立如图所示坐标系，设点1A 在底面投影为E，则AE OA OE =-=1A E ==即正四棱台1111ABCD A B C D -，则()A，()0,B，()C -，(1B，(1C，(10,D ，所以(1AB =-，(1AD =-，1CC =，()BC =--，因为P 为棱1CC上一点，所以)()101CP CC λλ==≤≤，所以(),BP BC CP =+=--，设平面11AB D 的法向量()111,,n x y z =，则1111111100AB n AD n ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11x =可得平面11AB D 的一个法向量为()1,0,2n = ，令0n BP ⋅=-+= 解得23λ=，故存在点P ，使得直线BP 平面11AB D ，A 说法错误；当点P 与1C重合时即(P，()0,D -，(BP =-，()0,BD =-，设平面BPD 的法向量()222,,m x y z =，则222200BP m BD m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x =可得平面BPD 的一个法向量为()1,0,1m = ，因为1CC =，所以当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为1CC中点时，即,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()AD =--，所以cos ,26BP AD BP AD BP AD⋅===，所以直线BP 与AD所成角的余弦值为cos ,26BP AD =，C 说法正确；设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -的体积111111122223323A B D V S h ==⨯⨯⨯ ，三棱锥P BCD -的体积211124244323223BCD h V S ==⨯⨯⨯=，所以三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2，D 说法正确；故选：BCD12.我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线22(0)y px p =>分别逆时针旋转90180270 ､､可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A.开口向下的抛物线的方程为()220x py p =->B.若8AB =，则2p =C.设1p =，则1t =时，直线x t =截第一象限花瓣的弦长最大D.无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值【答案】ABD 【解析】【分析】根据图象的对称性判断A ；由8AB =及抛物线方程得到点A 的坐标，由对称性得到点B 坐标，代入()220x py p =->即可求p ，判断B ；由题意得到直线x t =截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C ；利用导数的几何意义求出过点B 的切线，借助图象的对称性判断D.【详解】对于A ，因为抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若抛物线逆时针旋转270︒，则开口向下，焦点为0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭，故开口向下的抛物线方程为：()220x py p =->，故A 正确；对于B ，由题意可知，,A B 关于x 轴对称，因为8AB =，设()(),,,A A B B A x y B x y ，所以4A y =，4B y =-，因为点A 在抛物线22(0)y px p =>上，所以162A px =，所以8A x p =，即8,4A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以8,4B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由B 在抛物线()220x py p =->上，所以()26424p p=-⨯-，解得2p =，故B 正确；对于C ，当1p =，由2222y xx y⎧=⎨=⎩得()2,2A ，所以02t <<，由题意直线x t =截第一象限花瓣弦长为122222t ty ==-，02t <<，所以122y t t -'=-，令0y '=，则t =当0t <<时，0'>y ，函数单调递增，2t <<时，0'<y ，函数单调递减，所以当t =C 错误；对于D ，由2222y pxx py⎧=⎨=-⎩得()2,2B p p -，过第二象限的两抛物线分别为：22x py =①，22y px =-②，对于①，22x y p =，则x y p '=，设切点坐标为2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以过点B 的切线方程为：()22my p x p p+=-，将点2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22440m mp p +-=，解得2m p =±，因为0m <，故(22m p p =-=-，所以切线的斜率为2-p 为何值，切线斜率均为2-y x =的夹角为定值，由题意可知，22x py =与22y px =-关于直线y x =对称，故过点B 的两切线也关于直线y x =对称，故22y px =-的切线与直线y x =的夹角为定值，即无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()53(21)x x -+的展开式中3x 的系数为__________.【答案】200-【解析】【分析】先求得二项式5(21)x +展开式的通项为5552rr r C x --⋅，结合通项进而求得3x 项的系数.【详解】由二项式5(21)x +展开式的通项为()55515522rrr r r r T C x C x ---+=⋅=⋅，则()53(21)x x -+的展开式中，含3x 的项为232323355232200x C x C x x ⋅⋅⋅-⨯⋅⋅=-，所以3x 项的系数为200-.故答案为：200-.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5,25n S S =且815a =，则1a 的值为__________.【答案】1【解析】【分析】利用等差数列的基本量1a 和d 表示525S =,815a =，计算即可.【详解】结合题意：设等差数列的公差为d ，因为525S =,815a =，所以518151025715S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d ⎧⎨⎩==.故答案为：115.若存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，则实数a 的取值范围为__________.【答案】e ,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】由()()e e xya y x y x -=-+，可得22e e y x ax ay =++，令()2e mh m am =+，要存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，即()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()e 2,0mh m am m '=+>，当0a ≥时，()e 20mh m am =+>'，此时()2e mh m am =+在()0,∞+单调递增,不满足；当a<0时，令()e 2mg m am =+，则()e 2mg m a ='+，令()e 20mg m a ='+=，则()ln 2m a =-，当()()0,ln 2m a ∈-时，()0g m '<，()e 2mg m am =+在()()0,ln 2a -单调递减，当()()ln 2,m a ∞∈-+时，()0g m '>，()e 2mg m am =+在()()ln 2,a ∞-+单调递增，要使()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()ln 20h a -<'，即()()ln 2e2ln 20a a a -+-<，解得e 2a <-.故答案为：e ,2∞⎛⎫--⎪⎝⎭.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，则该三棱柱外接球的表面积为__________；若点P 为线段AC 的中点，点Q 为线段1AC 上一动点，则平面BPQ 截三棱柱111ABC A B C -所得截面面积的最大值为__________.【答案】①.54π②.【解析】【分析】把直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表面积；连接PQ ，延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，在过点E 作1//EF B M ，证得截面四边形BPEF 为直角梯形，设ME x =，求得梯形BPEF 的面积为()S x =，设()22)(4),02f x x x x =-⋅+≤≤，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，该直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，其中直三棱柱111ABC A B C -的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5,5,2，可得对角线长为=，所以外接球的半径为2R =，则该三棱柱外接球的表面积为24π()54π2⨯=；如图所示，连接PQ ，并延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，则1B M BP =且1//B M BP ，在过点E 作1//EF B M ，可得//EF BP ，连接BF ，则四边形BPEF 即为过点,,B P Q 的截面，在ABC 中，因为AB BC =，且P 为AC 的中点，所以BP AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，所以1BP AA ⊥，因为1AC AA A =∩，且1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以BP ⊥平面11ACC A ，又因为PE ⊂平面11ACC A ，所以BP PE ⊥，所以四边形BPEF 为直角梯形，在ABC 中，由5AB BC ==且AB BC ⊥，可得AC =122BP AC ==，设ME x =，在直角PME △中，可得PE =，又由112C E C M ME x =-=-，可得12EF C E x ==-，所以直角梯形BPEF 的面积为()11()()2222S x BP EF PE x =+⨯=+-1)2x ==，其中5202x ≤≤，设()2252)(4),02f x x x x =⋅+≤≤，可得()()()()((22'22'[]4(4)42f x x xx x x x x ⎛⎫=⋅++-⋅+=--- ⎪ ⎪⎝⎭'，当2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又由()0200,216f f ==，可得()0f f <，所以当x =()f x 取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S =.故答案为：【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.5、对于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.若ABC 的内角,,A B C 的对边分别为()2sin ,,,tan cos a b A a b c a C B-=.（1）求C ；（2）若3,a c ==ABC 的面积.【答案】17.π318.4或2【解析】【分析】（1）在三角形中，对已知条件进行“边化角”，化简后再利用两角和的正余公式，求出角C 的余弦值，从而求出角C 的大小；（2）由余弦定理求出b 的值，再由三角形面积公式求解即可．【小问1详解】(2)sin ,tan cos a b AABC a C B-= ，(2)sin sin ,(2sin sin )sin cos sin sin cos cos cos a b A a CA B A C A C BB C-∴=∴-=sin 0,2sin cos sin cos sin cos A A C B C C B ≠∴-= ，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，1π2cos 1,cos ,(0,π),23C C C C ∴==∈∴=．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，22222π312cos ,,320,132326b b b b b b b+-+∴=∴=∴-+=∴=⨯⨯或2b =，所以ABC 面积为：11πsin 31sin 2234ab C =⨯⨯⨯=或11πsin 32sin 2232ab C =⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n m =+，且137,2,S S S -成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n a a b +=，求证：数列{}n b 的前n 项和59nT <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的定义，得到()23172S S S -=，解出0m =，得到2n S n =，进而算出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法，结合等比数列的前n 项和公式算出n T 的表达式，进而证出不等式59n T <成立.【小问1详解】根据题意，可得()23172S S S -=，即()()()27149m m m +=++，解得0m =，所以2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11211a ==⨯-也符合，故21n a n =-.【小问2详解】证明：由（1）的结论，可得2212124n nnn n b --==，所以23135214444n nn T -=++++ ，两边都乘以14，得234111352144444n n n T +-=++++ ，以上两式相减，可得：2311311112111215221121444444444123414141824n n n n nn n n n T +---⎛-⎫⎛⎫=++++-⨯=+-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以565994n n n T +-⨯=，结合65094n n +>⨯，可知不等式59nT <成立.19.如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，平面VBD ⊥底面ABCD.（1）求证：AC VD ⊥；（2）若2VB =，且四棱锥V ABCD -的体积为2，求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由平面VBD ⊥底面ABCD ，证明AC ⊥平面VBD ，可证得AC VD ⊥；（2）O 为AC 和BD 交点，证明VO ⊥底面ABCD ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【小问1详解】平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ⊥，AC ⊂底面ABCD ，则有AC ⊥平面VBD ，又VD ⊂平面VBD ，所以AC VD ⊥.【小问2详解】底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，BAD 为等边三角形，2BD =，122sin 602ABD S =⨯⨯⨯=△，平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，过V 点作BD 的垂线，垂足为O ，则VO ⊥底面ABCD ，四棱锥V ABCD -的体积为2，则1122233ABD S VO VO ⨯⋅=⨯= ，解得VO =，则1BO ===，所以O 为BD 中点，即O 为AC 和BD 交点，AO OC ====以O 为原点，,,OA OB OV 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，)A，()0,1,0B ，()C ，(V ，()AB = ，(0,1,VB = ，(VC = ，设平面VAB 的一个法向量(),,n x y z = ，则有00AB n y VB n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则y =1z =，即()n =，cos ,5VC n VC n VC n⋅===-，所以直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为105.20.某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为21,32.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数()4n n ≥为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据好投手的定义，利用独立重复试验的概率求解；（2）先求得甲、乙同学都获得好投手的概率，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，由10,27X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据3X =时，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的概率最大求解.【小问1详解】解：设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ，则()233322222222122220C 1+C 3+133333333333327P A ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；【小问2详解】设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则()23331111111111111C 1+C 3+12222222222222P B ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P =⨯=，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，则10,27X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，且()33310103C 12727n n P X -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3331=1010C 2727n n f n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()11f n f n f n f n ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩，则3332331333433110101010C 1C 12727272710101010C 1C 127272727n n n n n n n n --+---⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即()17212717327n n n n ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即7.18.1n n ≥⎧⎨≤⎩，又*N n ∈，则8n =，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.21.已知函数()()2ln 1(1)1ax x f x x a x +=+-<+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：()*111ln2122n n n n +++<∈++N .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）对()f x 求导可得()()()22121ax a xf x x -+-'=+，再对参数a 进行分类讨论即可讨论出函数()f x 的单调性；（2）易知当0a =时，满足()ln 11x x x +≥+，再利用对数运算性质以及累加法即可得出证明；【小问1详解】易知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()2222211121111ax x ax x ax a x f x x x x ++-+-+-'=-=+++，当0a =时，()()21xf x x '=+，易知()1,0x ∈-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增；即()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；当0a ≠时，令()()21212a g x ax a x ax x a -⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，易知当01a <<时，()12110a a a a ----=>，当102a <<时，120a a ->，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当112a <<时，1210a a --<<，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；当12a =时，()2012g x x =-≤，所以()f x 在()1,-+∞单调递减；当a<0时，()12110a a a a ----=<，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；综上可知，当0a ≤时，()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；当102a <<时，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当12a =时，()f x 在()1,-+∞单调递减；当112a <<时，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；【小问2详解】由（1）可知当0a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()ln 11x x x +≥+（当且仅当0x =时等号成立），令1x n =可得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，即()1<ln 1ln 1n n n +-+；()()1<ln 2ln 12n n n +-++，⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()1<ln ln 21n n n n n+--+，累加可得111ln 2ln ln2122n n n n n+++<-=++ .【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用（1）中结论，由()1<ln 1ln 1n n n +-+根据累加法即可求得结论.22.已知P 为曲线22:1(1)4x y C n n+=>上任意一点，直线,PM PN 与圆221x y +=相切，且分别与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）若OP OM ⋅为定值，求n 的值，并说明理由；（2）若43n =，求PMN 面积的取值范围.【答案】（1）4n =或43n =;（2）2,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，以及韦达定理表示出1212O x x y y P OM +⋅= ，进而求出n 的值（2）判读出,,M O N 三点共线，利用（1）问表示出2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，借助弦长公式，进行换元转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由题意设()()1122,,,P x y M x y ，当直线PM 的斜率不为0时，直线PM ：x my t =+，因为直线与圆相切，所以1d ==，即221m t +=，联立2214x my t x y n =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()2224240m n y mnty nt n +++-=，所以()()()222212122224Δ24440,,,44mnt nt n mnt m n nt n y y y y m n m n --=-+->+=⋅=++()()()2222121212122444t m n x x my t my t m y y mt y y t m n -=++=+++=+，所以()22121224444m n n t n OP OM x x y y m n -++-⋅=+=+ ，因为221m t +=，所以()()21212243434n m n x x y y nm -+-+=+，要使OP OM ⋅ 为定值，则43434n n n --=，所以4n =或43n =，当直线PM 的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以1d t ==，即1y =±，不妨取1y =，联立22114y x y n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2440x n +-=,所以1244x x n =-所以121243x x y y n +=-+，也符合上式.【小问2详解】当43n =时，由（1）可知0OP OM ⋅= ，OP OM ⊥，同理OP ON ⊥,即,,M O N 三点共线，所以2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，当直线PM 的斜率不为0时，由（1）可知：212122224,,34mt t y y y y m m --+=⋅=++所以23PMN S PM m ===+ ，因为221m t +=，所以23PMN S m ==+ ，令233m k +=≥，所以PMN S k === ，所以当3k =时，PMN S △有最小值为2；当6k =时，PMN S △有最小值为3；当直线PM 的斜率为0时，由（1）可知：2PMN S PM == .综上:PMN 面积的取值范围2,3⎡⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。

2023-2024学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）A．所有三角形都是直角三角形B．所有三角形都不是直角三角形C．有些三角形不是直角三角形D．有些三角形不是锐角三角形2．若复数z满足z（i+1）＝1，则＝（）A．i B．﹣i C．D．3．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（）A．B．C．D．4．已知，则＝（）A．2B．C．D．15．已知集合A＝{y|y＝lnx，x∈B}，若A∪B＝[0，则集合B可以为（）A．（0，e]B．（0，1]C．（1，e]D．[1，e]6．为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，则（）A．y有最大值B．y有最小值C．y随x的增大而增大D．y随x的增大而减小7．已知函数f（x）＝sin（x+φ），0＜φ＜π（x）在上存在最大值，但不存在最小值（）A．B．C．D．8．已知O是坐标原点，过抛物线：y2＝4x上异于O的点M（a，b）作抛物线的切线l交x轴于点N（b，0），则△OMN的外接圆方程为（）A．（x+2）2+（y+6）2＝40B．（x+2）2+（y﹣6）2＝40C．（x+2）2+（y+6）2＝20D．（x+2）2+（y﹣6）2＝20二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．对于随机变量X，下列说法正确的有（）A．若E（X）＝1，则E（2X﹣1）＝1B．若D（X）＝1，则D（2X﹣1）＝4C．若X～N（2，4），则E（X）＝4D．若X～B（10，0.5），则E（X）＝510．已知不重合的直线m，n，l和平面α，β，则（）A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m⊥l，n⊥l，则m⊥nC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β11．已知数列{a n}满足a1＝1，，数列{b n}满足，则（）A．a1b1＝a2b2＝a3b3B．a n b n＝a n+1b n+1C．存在k∈N*，使得a k≤a k+1D．数列{b n}单调递增，且对任意n∈N*，都有12．已知P（x P，y P），Q（x Q，y Q）是曲线C：6x2﹣6x+7y2﹣21+|y2+6x﹣3|＝0上不同的两点，O为坐标原点，则（）A．的最小值为1B．C．若直线y＝k（x﹣3）与曲线C有公共点，则D．对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，都存在唯一点Q，使得曲线C在P，Q两点处的切线垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设P为△ABC所在平面内一点，满足，则＝．14．若点A（0，1）在圆C（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）上，则过A的圆的切线方程为．15．楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，笔画平直，可作楷模”，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，则不同的写法共有种．（用数字作答）16．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响cm2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边（a cos B﹣b sin A）＝a2﹣b2．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b+c．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．（1）求证：AC⊥PR；（2）求平面PQR与平面A1B1C1所成二面角的余弦值．19．（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位．为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关（1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m（m≠0），．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若[x]表示不超过x的最大整数，[S10]＝10，求实数m的取值范围．21．（12分）已知双曲线C：，点F（4，0）是C的右焦点．（1）求C的标准方程；（2）过点F的直线与C的右支交于A，B两点，以AB为直径的圆记为M，求出定圆的方程；若不存在22．（12分）已知函数，m∈R．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0）；（2）若f（x）有且仅有1个零点，求m的取值范围．2023-2024学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）A．所有三角形都是直角三角形B．所有三角形都不是直角三角形C．有些三角形不是直角三角形D．有些三角形不是锐角三角形解：“有些三角形是直角三角形”的否定为：所有三角形都不是直角三角形．故选：B．2．若复数z满足z（i+1）＝1，则＝（）A．i B．﹣i C．D．解：z（i+1）＝1，则z＝＝，故＝＝．故选：C．3．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（）A．B．C．D．解：因为正数a，b满足a+2b＝1时取等号，所以0＜ab．故选：C．4．已知，则＝（）A．2B．C．D．1解：，则＝．故选：D．5．已知集合A＝{y|y＝lnx，x∈B}，若A∪B＝[0，则集合B可以为（）A．（0，e]B．（0，1]C．（1，e]D．[1，e]解：当B＝（0，e]时，x∈B}＝{y|y≤1}，e]；当B＝（6，1]时，x∈B}＝{y|y≤0}，2]；当B＝（1，e]，x∈B}＝{y|0＜y≤4}，e]；当B＝[1，e]，x∈B}＝{y|0≤y≤2}，e]．故选：D．6．为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，则（）A．y有最大值B．y有最小值C．y随x的增大而增大D．y随x的增大而减小解：f（x）＝＝，0＜x＜1，f′（x）＝，令u（x）＝sin（πx）﹣πx，4＜x＜1，u′（x）＝πcos（πx）﹣π＝π[cos（πx）﹣1]＜2，∴u（x）＜u（0）＝0，∴函数f（x）在（0，5）上单调递减，因此只有D正确．故选：D．7．已知函数f（x）＝sin（x+φ），0＜φ＜π（x）在上存在最大值，但不存在最小值（）A．B．C．D．解：∵x∈，∴x+φ∈[φ，+φ）f（x）＝sin（x+φ），4＜φ＜π上存在最大值，①若最大值在处取得，则＜φ≤；②若最大值在φ处取得，则，解得；综上所述，＜φ≤．故选：D．8．已知O是坐标原点，过抛物线：y2＝4x上异于O的点M（a，b）作抛物线的切线l交x轴于点N（b，0），则△OMN的外接圆方程为（）A．（x+2）2+（y+6）2＝40B．（x+2）2+（y﹣6）2＝40C．（x+2）2+（y+6）2＝20D．（x+2）2+（y﹣6）2＝20解：由题意知，切线l过点M（a，N（b，且ab≠0，所以切线l的方程为x＝y+b，与抛物线y2＝7x联立，消去x得by2﹣4（a﹣b）y﹣5b2＝0，因为直线l与抛物线相切，所以Δ＝16（a﹣b）2+16b3＝0，即（a﹣b）3+b3＝0，又M（a，b）在抛物线y4＝4x上，所以b2＝2a①，所以（a﹣b）2+b•4a＝2，即（a+b）2＝0，所以a＝﹣b②，由①②解得a＝6，b＝﹣4，所以M（4，﹣6），0），0），所以直线ON的中垂线方程为x＝﹣4，直线OM的斜率为＝﹣1，﹣5），即y＝x﹣4，联立，得x＝﹣2，即△OMN外接圆的圆心为（﹣2，所以外接圆的半径为＝，所以△OMN外接圆的方程为（x+3）2+（y+6）4＝40．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．对于随机变量X，下列说法正确的有（）A．若E（X）＝1，则E（2X﹣1）＝1B．若D（X）＝1，则D（2X﹣1）＝4C．若X～N（2，4），则E（X）＝4D．若X～B（10，0.5），则E（X）＝5解：E（2X﹣1）＝5E（X）﹣1＝1，A对；D（7X﹣1）＝4D（X）＝3，B对；若X～N（2，4），C错；若X～B（10，8.5），D对．故选：ABD．10．已知不重合的直线m，n，l和平面α，β，则（）A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m⊥l，n⊥l，则m⊥nC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β解：若m∥l，n∥l，故A正确；若m⊥l，n⊥l，故B错误；若m⊂α，n⊂α，n∥β，有α∥β，有α∥β或α与β相交；若m⊥α，m⊂β，故D正确．故选：AD．11．已知数列{a n}满足a1＝1，，数列{b n}满足，则（）A．a1b1＝a2b2＝a3b3B．a n b n＝a n+1b n+1C．存在k∈N*，使得a k≤a k+1D．数列{b n}单调递增，且对任意n∈N*，都有解：a1＝1，，可得a n+1＝a n﹣，可得a2＝4﹣＝，a3＝﹣＝，a7＝﹣＝，…，a n＝（）n﹣3，由，可得b1＝1+5＝2，b2＝2+1+2＝2，b3＝1+8+2+4＝8，…，b n＝2n，则a1b3＝a2b2＝a7b3，故A正确；由b n＝，可得a n b n＝a n+1b n+1，故B正确；由b n＞8，可得a n＞a n+1，故C错误；由b n＝2n，可得{b n}递增，且b8+b2+...+b n＝2+8+8+...+2n＝＝2n+3﹣2＜2n+8，故D正确．故选：ABD．12．已知P（x P，y P），Q（x Q，y Q）是曲线C：6x2﹣6x+7y2﹣21+|y2+6x﹣3|＝0上不同的两点，O为坐标原点，则（）A．的最小值为1B．C．若直线y＝k（x﹣3）与曲线C有公共点，则D．对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，都存在唯一点Q，使得曲线C在P，Q两点处的切线垂直解：因为6x2﹣2x+7y2﹣21+|y4+6x﹣3|＝3，所以①当y2+6x﹣6≥0时，曲线C的方程为：6x2+8y2＝24，即，此时y2＝8×（1﹣），所以6x﹣，解得0≤x≤6，所以曲线C是右半椭圆；②当y2+6x﹣4＜0时，曲线C的方程为：6x2+6y2﹣12x﹣18＝8，即（x﹣1）2+y3＝4，（﹣1≤x＜8），曲线C是以（1，0）为圆心；对于A，|OQ|5＝+，当Q位于椭圆部分时，当Q位于圆部分时，最小值为4，故A正确；对于B，当P（﹣1，+＝2；对于C，当直线y＝k（x﹣6）过点（3，若直线y＝k（x﹣3）与曲线C有公共点，只需该直线与椭圆部分有公共点即可，由，得（4+4k2）x﹣24k7x+36k2﹣12＝0，Δ＝（﹣24k3）2﹣4×（36k5﹣12）×（3+4k3）≥0，解得k2≤，即﹣，故C错误；对于D，当点P（1﹣，，曲线C在点P处的切线方程为：y＝x+2，此时Q可以是（8﹣，﹣），Q也可以在曲线C的椭圆部分上，点Q不唯一，故D错误．故选：A．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设P为△ABC所在平面内一点，满足，则＝0．解：因为，所以＝（﹣﹣）＝•﹣•﹣•+•＝0﹣（﹣﹣）＝﹣（﹣）＝﹣•＝•＝7．故答案为：0．14．若点A（0，1）在圆C（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）上，则过A的圆的切线方程为y＝x+1．解：因为点A（0，1）在圆C：（x﹣7）2+y2＝r4（r＞0）上，所以（0﹣4）2+13＝r2（r＞0），即r2＝2，所以圆C：（x﹣1）6+y2＝2，因为，所以切线斜率k＝1，所以过A的圆的切线方程为y﹣8＝（x﹣0），即y＝x+1．故答案为：y＝x+7．15．楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，笔画平直，可作楷模”，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，则不同的写法共有232种．（用数字作答）解：因为短竖不超过3处，所以分4种情况：①短竖6处，则不同的写法有25＝32种，②短竖2处，则不同的写法有，③短竖2处，则不同的写法有，④短竖3处，则不同的写法有，所以一共有32+80+80+40＝232种．故答案为：232．16．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响cm2．解：若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，如图所示，若水面平行与AS，BC，记AB，AC，SC中点分别为N，M，P，Q，则，即水面形状为平行四边形，不符合题意；则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为△DEF，如图所示，即AB中点为G，连接CG，则O是CG三等分点，因为正四面体棱长为10，所以，，则＝＝＝，所以，如下图所示，正四面体容器倒放时，设SD＝SE＝SF＝a，则，则，则a＝6，所以水面面积；如下图所示，正四面体容器正放时，设SD＝SE＝SF＝b，则，则b3＝784＞216，水面面积更大．综上，水面面积的最小值为．故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边（a cos B﹣b sin A）＝a2﹣b2．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b+c．解：（1）由余弦定理及c（a cos B﹣b sin A）＝a2﹣b2，得，整理得，因为A∈（0，π），所以sin A＞0，所以cos A＞4，所以tan A＝1，即．（2）因为a＝5，，△ABC的面积为2＝bc，所以bc＝4，由余弦定理得，a7＝b2+c2﹣5bc cos A，所以4＝b2+c5﹣bc＝（b+c）2﹣4bc﹣bc＝（b+c）2﹣5﹣8，所以（b+c）6＝12+8，解得b+c＝4．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．（1）求证：AC⊥PR；（2）求平面PQR与平面A1B1C1所成二面角的余弦值．解：（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC1，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为BC∩CC3＝C，BC1⊂平面BCC1B8，所以AC⊥平面BCC1B1，因为PR⊂平面BCC4B1，所以AC⊥PR；（2）方法一：以C1为原点，C4A1，C1B6，C1C所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为C1C⊥平面A7B1C1，所以平面A8B1C1的一个法向量为，根据所建立的空间直角坐标系，可知P（0，1，Q（7，0，R（0，7，所以，，设平面PQR的法向量为，则，令y＝4，x＝5，设平面PQR与平面A1B6C1的夹角为θ，则＝，即平面PQR与平面A1B3C1的夹角的余弦值为．方法二：如图，取B2C1的中点T，连接PT1C7，因为平面BB1C1C⊥平面A8B1C1，平面BB3C1C∩平面A1B4C1＝B1C8，所以PT⊥平面A1B1C3，因为AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，因为AA2＝3，A1Q＝6AQ，BR＝2RB1，所以PR＝，PQ＝，RQ＝，在△PQR中，由余弦定理可得，所以sin∠QPR＝，则＝．设平面PQR与平面A1B6C1的夹角为θ，则cosθ＝．故平面PQR与平面A1B1C6夹角的余弦值为．19．（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位．为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关（1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．解：（1）零假设H0：数学考试中准确率与运算速度无关，，根据小概率值α＝3.010的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即数学考试中准确率与运算速度无关；（2）记事件A为“甲在8人一组”，则需从除甲以外的9人任选2人与甲形成一组，最后4人形成一组，所说，记事件AB为“甲在3人一组，乙在4人一组”、乙以外的6人任选2人与甲形成一组，最后3人形成一组，所以P（AB）＝＝由条件概率公式，得，所以甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m（m≠0），．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若[x]表示不超过x的最大整数，[S10]＝10，求实数m的取值范围．解：（1）证明：a1＝m（m≠0），，可得＝＝﹣，即a2＝2a1＝5m，当n≥2时，由S n＝，可得S n﹣1＝，两式相减可得a n＝（﹣），由a n≠0，化简可得a n﹣6+a n+1＝2a n，即a n+4﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝...＝a2﹣a7＝m，则数列{a n}是首项和公差均为m的等差数列；（2）由（1）可得S n＝nm+n（n﹣8）m＝，则S10＝×10×11m＝55m，由[S10]＝10，可得10≤55m＜11，解得≤m＜，则实数m的取值范围是[，）．21．（12分）已知双曲线C：，点F（4，0）是C的右焦点．（1）求C的标准方程；（2）过点F的直线与C的右支交于A，B两点，以AB为直径的圆记为M，求出定圆的方程；若不存在解：（1）因为点F（4，0）是C的右焦点，所以c＝4，b＝，a2＝c2﹣b8＝16﹣12＝4，所以C的标准方程是．（2）存在定圆（x﹣5）2+y2＝16与圆M内切，理由如下：设A（x3，y1），B（x2，y3），直线AB的方程为x＝my+4，由，得（3m2﹣2）y2+24my+36＝0，且Δ＝（24m）3﹣4×36×（3m4﹣1）＞0，（6m2﹣1＜3），y1+y2＝，y5y2＝，所以y M＝，x M＝my M+4＝，即M（，），|AB|＝|y1﹣y2|＝×＝，圆M的半径为＝．记N（6，0），而|MN|2＝（﹣6）8+（）2＝+＝＝（）2，所以|MN|＝；﹣4＝﹣8＝＝，所以定圆的圆心为（6，5），所以圆M与圆N内切，即存在定圆（x﹣6）2+y5＝16与圆M内切．22．（12分）已知函数，m∈R．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0）；（2）若f（x）有且仅有1个零点，求m的取值范围．解：（1）当m＝1时，f（x）＝，则f′（x）＝，f（0）＝0，所以y＝f（x）在（8，f（0））处的切线方程为y＝0．（2）由（1）知m＝1时，f（x）＝，则f′（x）＝，令g（x）＝e x﹣（x﹣6）2（x＜1），则g′（x）＝e x﹣4（x﹣1）＞0，即y＝g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，e x（x﹣1）＜0，所以x∈（﹣∞，8）时，x∈（0，f′（x）＜0，即y＝f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，1）上单调递减，所以f（x）≤f（0）＝0，此时y＝f（x）只有一个零点；当m＞3时，f（x）＝，且f（0）＝lnm＞0，所以﹣1，设h（x）＝e x﹣x﹣5，则h′（x）＝e x﹣1，显然x＞0时，h′（x）＞8；当x＜0时，此时h（x）单调递减，所以h（x）≥h（0）＝0，即﹣1＜7，所以，所以根据零点存在性定理可知，5）＝0，又f（﹣m）＝+ln2m＝﹣me m+lnm+ln5，易知﹣m＜﹣1，ln2＜8m＜﹣e m⇒f（﹣m）＜﹣e m+lnm+1，由上证得⇒﹣e m+lnm+2≤﹣m﹣1+m﹣1+4＝﹣1＜0，即f（﹣m）＜2，故∃x1∈（﹣m，0）使得f（x4）＝0，所以此时f（x）至少存在两个零点，不符题意；当m＜1时，f（x）＝，又f（x）＜+ln（﹣x+4）≤0，不符合题意，综上，m＝1时，即m的取值范围为{4}．。

2023-2024学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜3}B ．{x |﹣1≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |x ＜3}2．已知复数z 满足（z ﹣1）i ＝4+3i （i 为虚数单位），则z +z =（ ） A ．8B ．6C ．﹣6D ．﹣83．已知向量AB →=(√3，1)，AC →=(2√3，−2)，则AB →在AC →上的投影向量是（ ） A ．(√32，−12)B ．(√32，12) C ．(−√32，12) D ．(−√32，−12) 4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m ，42，49；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m +n ＝（ ） A ．60B ．65C ．70D ．715．已知α∈(π2，π)，且3cos2α﹣sin α＝2，则（ ）A ．cos(π−α)=23B ．tan(π−α)=√24C ．sin(π2−α)=√53D ．cos(π2−α)=√546．设数列{a n }的前n 项和为S n ，设甲：{a n }是等差数列；乙：对于所有的正整数n ，都有S n =n(a 1+a n )2．则（ ）A ．甲是乙的充要条件B ．甲是乙的充分条件但不是必要条件C ．甲是乙的必要条件但不是充分条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 的边长为2，△P AC 为正三角形，点M ，N 分别在PB ，PD 上，且PM ＝2MB ，PN ＝2ND ，若过点A ，M ，N 的截面交PC 于点Q ，则四棱锥P ﹣AMQN 的体积是（ ） A ．2√63B ．4√63C ．2√69D ．4√698．已知函数f （x ）＝e x ﹣1，g （x ）＝ax 2，若总存在两条不同的直线与函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(e4，+∞)B ．(e2，+∞)C ．(1e，+∞)D ．(2e，+∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列结论中正确的是（ ）A ．在2×2列联表中，若每个数据a ，b ，c ，d 均变为原来的2倍，则χ2的值不变(χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d)B ．已知随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若ξ＝2η+3，则D （η）＝1C ．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线y ＝0.9x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M 表示为“第1枚为正面”，事件N 表示为“两枚结果相同”，则事件M ，N 是相互独立事件10．已知正数a ，b 满足a （a +b ）＝1，下列结论中正确的是（ ） A ．a 2+b 2的最小值为2√2−2 B ．2a +b 的最小值为2C ．1a +1b 的最小值为3√32D ．√a −√b 的最大值为111．纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是y =sinx +12sin2x +13sin3x +⋯．记f n (x)=sinx +12sin2x +13sin3x +⋯+1nsinnx ，则下列结论中正确的是（ ）A ．x ＝π为f 2（x ）的一条对称轴B ．f 2（x ）的周期为2πC ．f 3（x ）的最大值为2√23+12D ．f n （x ）关于点（π，0）中心对称12．已知O 为坐标原点，点A （﹣2，﹣1）在抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上，过点B （0，1）的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为y ＝1 B ．直线AB 与抛物线C 相切 C ．OP →⋅OQ →为定值3D ．|BP |•|BQ |＞|BA |2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知(x −ax)(1−x)4的展开式中含x 2项的系数为8，则实数a ＝ ．14．已知圆C 的圆心在直线y ＝x +1上且与y 轴相切．请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程 ．15．已知一个圆台的上、下底面半径为a ，b （a ＜b ），若球O 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球O与该圆台体积比为613，则ab=．16．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右顶点分别为A，B，点C满足AC→=λAB→(λ＞1)，点P为双曲线右支上任意一点（异于点B），以AC为直径的圆交直线AP于点M，直线BP与直线CM交于点N．若N点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=√3，sin B sin C=34，sin A sin（B﹣C）+sin B sin（C﹣A）＝sin C（sin B﹣sin C）．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，且满足a1=−1，a2+b3=0，S n= 2a n+b n(n∈N∗)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c1＝b1，c2n＝c2n﹣1+b1，c2n+1＝c2n+a n，求数列{c n}的前2n项和T2n．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，且BD=12CD＝1，BD⊥CD．DE⊥平面ABCD，且DE=12BF=√3，DE∥BF．点H，G分别为线段DC，EF上的动点，满足DH＝EG＝λ（0＜λ＜2）．（1）证明：直线GH∥平面BCF；（2）是否存在λ，使得直线GH与平面AEF所成角的正弦值为√4214？请说明理由．20．（12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行．某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动．每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送．而直播时这N名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）．（1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当P （X ＝20）取到最大值时，求N 的值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （﹣3，0），且离心率为√63．过点B(32，0)的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ，AQ 分别交直线x +2y ﹣9＝0于M ，N 两点． （1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值； （2）求△AMN 面积的最小值．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnax +（ax ﹣a ﹣1）e x ﹣1﹣ax （a ＞0）．（1）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在定义域内单调递增；（2）若函数f （x ）存在极大值M ，极小值N ，证明：M +N ＜﹣4．（其中e ≈2.71828是自然对数的底数）2023-2024学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜3}B ．{x |﹣1≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |x ＜3}解：A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∪B ＝{x |x ≤4}． 故选：C ．2．已知复数z 满足（z ﹣1）i ＝4+3i （i 为虚数单位），则z +z =（ ） A ．8B ．6C ．﹣6D ．﹣8解：∵复数z 满足（z ﹣1）i ＝4+3i （i 为虚数单位），设z ＝a +bi ，a 、b ∈R ， 则（a +bi ﹣1）i ＝4+3i ，即﹣b +（a ﹣1）i ＝4+3i ，∴{−b =4a −1=3．求得{a =4b =−4，可得z ＝4+4i ，则z +z =4+4i +4﹣4i ＝8．故选：A ．3．已知向量AB →=(√3，1)，AC →=(2√3，−2)，则AB →在AC →上的投影向量是（ ） A ．(√32，−12) B ．(√32，12) C ．(−√32，12) D ．(−√32，−12) 解：AB →=(√3，1)，AC →=(2√3，−2)，则AB →⋅AC →=√3×2√3+1×(−2)=4，|AC →|=√(2√3)2+(−2)2=4，故AB →在AC →上的投影向量是：AB →⋅AC →|AC →|×AC →|AC →|=14AC →=(√32，−12)． 故选：A ．4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m ，42，49；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m +n ＝（ ） A ．60B ．65C ．70D ．71解：甲组、乙组数据个数均为6个，由6×30%＝1.8，得第30百分位数是第2个数据，故31＝n ， 由6×50%＝3，得第50百分位数是第3与4个数据平均值37+m 2=33+442，解得m ＝40．所以m+n＝71．故选：D．5．已知α∈(π2，π)，且3cos2α﹣sinα＝2，则（）A．cos(π−α)=23B．tan(π−α)=√24C．sin(π2−α)=√53D．cos(π2−α)=√54解：因为3cos2α﹣sinα＝2，所以3（1﹣2sin2α）﹣sinα＝2，解得sinα=−12或sinα=13．又α∈(π2，π)，所以sinα=13，则cosα=−√1−sin2α=−2√23，tanα=sinαcosα=−√24，对于A，cos(π−α)=−cosα=2√23，错误；对于B，tan（π﹣α）=−tanα=√24，正确；对于C，sin(π2−α)=cosα=−2√23，错误；对于D，cos(π2−α)=sinα=13，错误，故选：B．6．设数列{a n}的前n项和为S n，设甲：{a n}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有S n=n(a1+a n)2．则（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分条件但不是必要条件C．甲是乙的必要条件但不是充分条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{a n}是等差数列，由等差数列的求和公式，可知S n=n(a1+a n)2成立；反之，若S n=n(a1+a n)2，则2S n＝n（a1+a n），当n≥2时，可得2S n﹣1＝（n﹣1）（a1+a n﹣1），两式相减得2（S n﹣S n﹣1）＝a1+na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即2a n＝a1+na n﹣（n﹣1）a n﹣1，整理得a1+（n﹣2）a n﹣（n﹣1）a n﹣1＝0，以n+1代换n，得a1+（n﹣1）a n+1﹣na n＝0，两式相减得（n﹣1）a n+1﹣（2n﹣2）a n+（n﹣1）a n﹣1＝0，等式的两边约去n﹣1，得a n+1﹣2a n+a n﹣1＝0，即a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1，可知{a n}是等差数列．综上所述：设甲：{a n}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有S n=n(a1+a n)2，则甲是乙的充要条件．故选：A．7．在正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为2，△P AC为正三角形，点M，N分别在PB，PD上，且PM＝2MB，PN＝2ND，若过点A，M，N的截面交PC于点Q，则四棱锥P﹣AMQN的体积是（）A．2√63B．4√63C．2√69D．4√69解：连接BD，交AC于O，连接AQ，交PO于G，如图，∵PM＝2MB，PN＝2ND，∴MN∥BD，∴PG＝2GO，∴G为△P AC的重心，∴Q为AC中点，∵△P AC为正三角形，∴PC⊥AQ，∵四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，∴BD⊥AC，BD⊥PO，AC∩PO＝O，∴BD⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴PC⊥BD，∵BD∥MN，∴PC⊥MN，∵AQ∩MN＝G，∴PC⊥平面AMQN，∵AB＝2，∴AC＝BD＝2√2，MN=23BD=4√23，AQ=√32AC=√6，PQ=12AC=√2，∴四棱锥P﹣AMQN的体积是V P﹣AMQN=13×12×AQ×MN×PQ=16×√6×4√23×√2=4√69．故选：D．8．已知函数f（x）＝e x﹣1，g（x）＝ax2，若总存在两条不同的直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则实数a的取值范围是（）A．(e4，+∞)B．(e2，+∞)C．(1e，+∞)D．(2e，+∞)解：由题意可知：a≠0，设函数f（x）＝e x﹣1上的切点坐标为(x1，e x1−1)，函数g（x）＝ax2的切点坐标为(x2，ax22)，且f'（x）＝e x﹣1，g'（x）＝2ax，则公切线的斜率e x1−1=2ax2，可得x2=e x1−1 2a，则公切线方程为y−e x1−1=e x1−1(x−x1)，代入(x2，ax22)，得ax22−e x1−1=e x1−1(x2−x1)，代入x2=e x1−12a，可得a(e x1−12a)2−e x1−1=e x1−1(e x1−12a−x1)，整理得14a=x1−1e x1−1，令t＝x1﹣1，则14a=te t，若总存在两条不同的直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则方程14a=te t有两个不同的实根，设ℎ(x)=xe x，则ℎ′(x)=1−xe x，令h（x）＞0，解得x＜1；令h（x）＜0，解得x＞1，则h（x）在（﹣∞，1）内单调递增，在（1，+∞）单调递减，可得ℎ(x)≤ℎ(1)=1 e ，且当x趋近于﹣∞时，h（x）趋近于﹣∞；当x趋近于+∞时，h（x）趋近于0，可得0＜14a＜1e，解得a＞e4，故实数a的取值范围为(e4，+∞)．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列结论中正确的是（）A．在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则χ2的值不变(χ2= n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)B．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若ξ＝2η+3，则D（η）＝1C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝0.9x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M表示为“第1枚为正面”，事件N表示为“两枚结果相同”，则事件M，N是相互独立事件解：根据题意，依次分析选项：对于A，在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，而χ2=2n(4ad−4bc)2(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2d)=2n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，为原来的2倍，A错误．对于B，变量ξ服从正态分布N（3，4），则D（ξ）＝4，又由ξ＝2η+3，则D（η）=14D（ξ）＝1，B正确；对于C，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝0.9x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为1，C错误；对于D，P（M）=12，P（N）=22×2=12，P（MN）=14，有P（MN）＝P（M）P（N），事件M，N是相互独立事件，D正确．故选：BD．10．已知正数a，b满足a（a+b）＝1，下列结论中正确的是（）A．a2+b2的最小值为2√2−2B．2a+b的最小值为2C．1a+1b的最小值为3√32D．√a−√b的最大值为1解：正数a，b满足a（a+b）＝1，即a+b=1a，可得b=1a−a＞0，满足0＜a＜1．对于A，a2+b2=a2+(1a−a)2=2a2+1a2−2≥2√2−2，当且仅当2a2=1a2，即a=√124时，等号成立．因此，a2+b2的最小值为2√2−2，A项正确；对于B，2a+b＝2a+1a−a=a+1a≥2√a⋅1a=2，当且仅当a＝1时取等号，由于0＜a＜1，所以以上不等式的等号不能成立，故2a+b的最小值大于2，B项不正确；对于C，1a +1b=a+bab=1aab=1a2(1a−a)=1a−a3＞0，设t＝a﹣a3，则t′＝1﹣3a2，当a∈(0，√33)时，t′＞0，t为关于a的增函数；当a∈(√33，1)时，t′＜0，t为关于a的减函数．所以当a=√33时，t＝a﹣a3有最大值2√39，可知1a+1b=1t有最小值2√3=3√32，故C项正确；对于D，由0＜a＜1，得0＜√a＜1，结合√b＞0可知√a−√b＜1恒成立，故√a−√b的最大值不可能为1，D项不正确．故选：AC ．11．纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是y =sinx +12sin2x +13sin3x +⋯．记f n (x)=sinx +12sin2x +13sin3x +⋯+1nsinnx ，则下列结论中正确的是（ ）A ．x ＝π为f 2（x ）的一条对称轴B ．f 2（x ）的周期为2πC ．f 3（x ）的最大值为2√23+12D ．f n （x ）关于点（π，0）中心对称解：因为f 2（x ）＝sin x +12sin2x ，所以f 2（﹣x +2π）＝sin （﹣x +2π）+12sin2（﹣x +2π）＝﹣sin x −12sin2x ＝﹣f 2（x ），所以f 2（﹣x +2π）≠f 2（x ），所以x ＝π不是f 2（x ）的一条对称轴，故A 不正确；因为f 2（x +2π）＝sin （x +2π）+12sin2（x +2π）＝sin x +12sin2x ＝f 2（x ），所以f 2（x ）的周期为2π，故B 正确； 因为f 3（x ）＝sin x +12sin2x +13sin3x ，所以f 3（x +2π）＝sin （x +2π）+12sin2（x +2π）+13sin3（x +2π）＝f 3（x ），所以f 3（x ）的周期为2π．而f 3'（x ）＝cos x +cos2x +cos3x ＝cos x +cos2x +cos （2x +x ） ＝cos x +cos2x +cos2x cos x ﹣sin2x sin x ＝cos x +cos2x +cos2x cos x ﹣2sin 2x cos x ＝cos2x +2cos2x cos x ＝cos2x （1+2cos x ），所以只考虑函数f 3（x ）在[0，2π]上的最大值即可．令f 3'（x ）＞0得：0＜x ＜π4或2π3＜x ＜3π4或5π4＜x ＜4π3或7π4＜x ＜2π；令f 3'（x ）＜0得：π4＜x ＜2π3或3π4＜x ＜5π4或4π3＜x ＜7π4．所以函数f 3（x ）在（0，π4），（2π3，3π4），（5π4，4π3），（7π4，2π）上单调递增，在（π4，2π3），（3π4，5π4），（4π3，7π4）上单调递减，又因为f 3（π4）=√22+12+13×√22=12+2√23，f 3（3π4）=−12+2√23，f 3（4π3）=−√34，f 3（2π）＝0，所以f 3（x ）的最大值为12+2√23，故C 正确；因为f n (x)=sinx +12sin2x +13sin3x +⋯+1nsinnx ，所以f n （﹣x +2π）＝sin （﹣x +2π）+12sin2（﹣x +2π）+13sin3（﹣x +2π）+⋯+1n sin n （﹣x +2π）＝﹣sin x −12sin2x −13sin3x −⋯−1nsin nx ＝﹣f n （x ），即f n （﹣x +2π）+f n （x ）＝0，所以f n （x ）关于点（π，0）中心对称，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知O 为坐标原点，点A （﹣2，﹣1）在抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上，过点B （0，1）的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为y ＝1 B ．直线AB 与抛物线C 相切 C ．OP →⋅OQ →为定值3D ．|BP |•|BQ |＞|BA |2解：对于A ：∵点A （﹣2，﹣1）在抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上， 则4＝2p ，解得p ＝2，∴抛物线C ：x 2＝﹣4y ，其准线为y ＝1，故A 正确； 对于B ：过A 、B 的直线方程为y ＝x +1，代入抛物线方程得x 2﹣4x +4＝0， Δ＝16﹣16＝0，故直线AB 与抛物线只有一个公共点，且k AB =1−(−1)2=1，即AB 不垂直于x 轴， ∴直线AB 与抛物线C 相切，故B 正确； 对于C ：由题意可知，直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{y =kx +1x 2=−4y，消去y 得：x 2+4kx +4＝0， 可得Δ＝16k 2﹣16＞0，得k 2＞1， 且{x 1+x 2=−4kx 1x 2=4，∵OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 124)(−x 224)=x 1x 2+x 12x 2216=4+1=5，故C 错误； 对于D ：由题意可知|BA |2＝（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣1）2＝8，∵|BP|⋅|BQ|=√1+k 2|x 1−0|⋅√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=4(1+k 2)， 则|BP |•|BQ |＝4（1+k 2）＞8，∴|BP |•|BQ |＞|BA |2，故D 正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知(x−ax)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为8，则实数a＝3．解：∵(x−ax)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为−C41−a×（−C43）＝4a﹣4＝8，∴实数a＝3，故答案为：3．14．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上且与y轴相切．请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：（x ﹣1）2+（y﹣2）2＝1（答案不唯一）．解：圆C的圆心在直线y＝x+1，可设圆C的圆心为（a，a+1），又圆C与y轴相切，则半径r＝|a|，故圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2，不妨令a＝1，故一个同时满足上述条件的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1（答案不唯一）．15．已知一个圆台的上、下底面半径为a，b（a＜b），若球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球O与该圆台体积比为613，则ab=13．解：如图，作出圆台的轴截面，设圆台内切圆的半径为r，则圆台的母线长为a+b，∴高h=√(a+b)2−(b−a)2=2√ab=2r，∴r=√ab，∴V球V圆台=43πr313(πa2+πb2+πab)⋅2√ab=43πab√ab13(πa2+πb2+πab)⋅2√ab=2aba2+b2+ab=613，∴3a2+3b2﹣10ab＝0，∴3(ab)2−10ab+3=0，又a＜b，解得ab=13．故答案为：1 3．16．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右顶点分别为A，B，点C满足AC→=λAB→(λ＞1)，点P为双曲线右支上任意一点（异于点B），以AC为直径的圆交直线AP于点M，直线BP与直线CM交于点N．若N点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是√2．解：由题意，设C（t，0）（t＞a），A（﹣a，0），B（a，0），则|AC|＝a+t，则设N(a+t2，y1)，P（x2，y2）故k AP=y2x2+a，k NC=y1a+t2−t=2y1a−t，因为以AC为直径的圆交直线AP于点M，所以AM⊥CM，即AP⊥NC，所以k AP⋅k CN=y2x2+a⋅2y1a−t=−1，所以y2x2+a=t−a2y1，因为P，B，N三点共线，所以k PB＝k BN，即y2x2−a=y1a+t2−a=2y1t−a，所以y2x2+a⋅y2x2−a=t−a2y1⋅2y1t−a=1，即y22x22−a2=1，因为点P在双曲线x2a2−y2b2=1上，所以x22a2−y22b2=1，所以x22=a2+a2y2b2，所以y22x22−a2=y22a2+a22b2−a2=b2a2=1．所以离心率c=ca=√a+b2a2=√2．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=√3，sin B sin C=34，sin A sin（B﹣C）+sin B sin（C﹣A）＝sin C（sin B﹣sin C）．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．解：（1）因为sin A sin（B﹣C）+sin B sin（C﹣A）＝sin C（sin B﹣sin C），所以sin A（sin B cos C﹣cos B sin C）+sin B（sin C cos A﹣cos C sin A）＝sin C（sin B﹣sin C），因为sin C≠0，所以﹣sin A cos B+sin B cos A＝sin B﹣sin C，因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以﹣sin A cos B+sin B cos A＝sin B﹣sin A cos B﹣cos A sin B，所以2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A=1 2，又A∈（0，π），所以A=π3．（2）由正弦定理知，bsinB=csinC=asinA=√3sinπ3=2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以bc＝4sin B sin C＝4×34=3，所以△ABC的面积S=12bc sin A=12×3×√32=3√34．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，且满足a1=−1，a2+b3=0，S n= 2a n+b n(n∈N∗)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c1＝b1，c2n＝c2n﹣1+b1，c2n+1＝c2n+a n，求数列{c n}的前2n项和T2n．解：（1）令n＝1，S1＝2a1+b1＝a1，∴b1＝1，令n＝2，S2＝2a2+b2＝a1+a2，又a2+b3＝0，所以b2﹣b3＝﹣1＝﹣d，即d＝1，所以b n＝n，S n＝2a n+n，①S n﹣1＝2a n﹣1+n﹣1，（n≥2）②两式相减得a n＝2a n﹣2a n﹣1+1，∴a n＝2a n﹣1﹣1，∴a n−1a n−1−1=2，(n≥2)，即{a n﹣1}是公比为2的等比数列，且a1﹣1＝﹣2，所以a n−1=−2n，∴a n=−2n+1；（2）由c2n＝c2n﹣1+b1，c2n+1＝c2n+a n可得c2n+1=c2n−1−2n+2，c 2n−1=c 2n−3−2n−1+2，c 2n−3=c 2n−5−2n−2+2，⋯c 3=c 1−21+2， 累加可得c 2n−1=−2n +2n +1，T 2n ＝（c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n ﹣1）+（c 2+c 4+c 6+⋯+c 2n ）＝（c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n ﹣1）+（c 1+1+c 3+1+c 5+1+⋯+c 2n ﹣1+1）＝2（c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n ﹣1）+n ， 而c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n−1=−(21+22+⋯+2n )+(3+5+⋯+2n +1) ＝2﹣2n +1+n 2+2n ，∴T 2n =4−2n+2+2n 2+5n ．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BD =12CD ＝1，BD ⊥CD ．DE⊥平面ABCD ，且DE =12BF =√3，DE ∥BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足DH ＝EG＝λ（0＜λ＜2）．（1）证明：直线GH ∥平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为√4214？请说明理由．（1）证明：法（i ）过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则GQ ∥BF ， 连接QH ，则DQ =12λ，且由DH ＝λ，所以DH ＝2DQ ，QH ∥BC ，又因为QH ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以QH ∥平面BCF ，且GQ ∥平面BCF ， 又GQ ∩QH ＝Q ，所以平面GQH ∥平面BCF ， 又因为HG ⊂HQG ， 所以HG ∥平面BCF ；法（ii ）因为BD =12CD ＝1，DE =12BF =√3，如图，以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，由题意可得C （2，0，0），B （0，1，0），A （﹣2，1，0），E(0，0，√3)，F(0，1，2√3)， BC →=(2，−1，0)，BF →=(0，0，2√3)，AE →=(2，−1，√3)，EF →=(0，1，√3)，设平面BCF 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则{n 1→⋅BC →=0n 1→⋅BF →=0，即{2x 1−y 1=02√3z 1=0，取x 1＝1，解得n 1=(1，2，0)， 因为DC ＝EF ＝2，EG ＝DH ＝λ，所以DH →=λ2DC →，EG →=λ2EF →，EG →=λ2EF →，解得H （λ，0，0），G(0，λ2，√3+√32λ)，GH →=(λ，−λ2，−√3−√32λ)，所以n 1⋅GH →=0，且GH ⊄平面BCF ， 所以GH ∥平面BCF ；（2）设平面AEF 的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)， 则由{n 2→⋅AE →=0n 2→⋅EF →=0，即{2x 2−y 2+√3z 2=0y 2+√3z 2=0，令z 2＝﹣1， 解得n 2→=（√3，√3，﹣1），所以n 2→•GH →=√3λ−√3λ2+√3+√3λ2=√3+√3λ，|GH →|=√λ2+(−λ2)2+(−√3−√3λ2)2=√2λ2+3λ+3，|n →|=√3+3+1=√7，所以cos ＜n 2→，GH →＞=√3λ+√3√7⋅√2λ+3λ+3设直线GH 与平面AEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜n 2→，GH →＞||√3λ+√3√7⋅√2λ2+3λ+3|√4214，解得λ＝1．20．（12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行．某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动．每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送．而直播时这N 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）． （1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当P （X ＝20）取到最大值时，求N 的值．解：（1）记“小杭被抽中”为事件A ，“小杭第i 次被抽中”为事件A i ，（i ＝1，2）， P （A ）＝P （A 1A 2）+P （A 1A 2）+P （A 1A 2）=(15N )2+(15N ⋅N−15N )×2=59， 整理可得N 2﹣54N +405＝0，即（N ﹣9）（N ﹣45）＝0， 又因为N ≥15且N ∈N *，解得N ＝45．（2）“X ＝20”表示第一次在N 个人中抽取15个，第二次抽取的15个人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10个人在第一次抽取的15人中， P(X =20)=C N 15C N−155C 1510C N 15C N15=C N−155C 1510C N15，记a N =C N−155C 1510C N15， 由a N+1a N=C N−145C N+115•C N 15C N−155=(N−14)！5！(N−19)！•N ！15！⋅(N−15)！•15！⋅(N−14)！(N+1)！•5！⋅(N−20)！(N−15)！=(N−14)2(N+1)(N−19)≥1，解得N ≤21.5，又N ∈N *，所以N ＝22时，P （X ＝20）取最大值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （﹣3，0），且离心率为√63．过点B(32，0)的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ，AQ 分别交直线x +2y ﹣9＝0于M ，N 两点． （1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值； （2）求△AMN 面积的最小值．（1）证明：由题意得{c a =√63a =3，解得{a =3c =√6，所以b =√32−6=√3，所以椭圆C 的方程为x 29+y 23=1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，直线PQ 为x =ty +32，与椭圆联立{x 2+3y 2=9x =ty +32，可得(t 2+3)y 2+3ty −274=0，所以{y 1+y 2=−3t 2+3y 1y 2=−274⋅1t 2+3， 所以k 1⋅k 2=y 1ty 1+92⋅t 2+3ty 2+92=y 1y 2t 2y 1y 2+92t(y 1+y 2)+814， 代入可得k 1⋅k 2=−19，所以直线AP 与AQ 的斜率之积为定值−19；（2）解：设t 1=1k 1，t 2=1k 2，则t 1t 2＝﹣9， 又点A （﹣3，0）到直线x +2y ﹣9＝0的距离是d =12√5， 由{x +2y −9=0x =t 1y =3，解得y M =12t 1+2，同理v N =12t 2+2，所以|MN|=√1+1k MN2|y M −y N |=√5|12t 1+2−12t 2+2|，t 2=−9t 1， 代入得S △AMN =12d|MN|=36|2t 1+2−2t 12t 1−9|=36×|42t 1+4+99−2t 1−1|，设y =42x+4+99−2x，则2y •x 2﹣5（y ﹣1）x ﹣18（y ﹣2）＝0， 由题意得Δ＝25（y ﹣1）2+144（y ﹣2）≥0， 化简得169y 2﹣338y +25≥0，解得y ≥2513或y ≤113， 故|42t 1+4+99−2t 1−1|≥1213， 故S △AMN ≥36×1213=43213，当且仅当t 1=35，t 2=−15，或者t 1=−15，t 2=35时等号成立， 所以△AMN 面积的最小值为43213． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lnax +（ax ﹣a ﹣1）e x ﹣1﹣ax （a ＞0）． （1）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在定义域内单调递增；（2）若函数f （x ）存在极大值M ，极小值N ，证明：M +N ＜﹣4．（其中e ≈2.71828是自然对数的底数）解：（1）因为a＞0，则f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f′(x)=1x+ae x−1+(ax−a−1)e x−1−a=1x−a+(ax−1)e x−1，进一步化简，得f′(x)=(ax−1)(e x−1−1x )，令g(x)=e x−1−1x，g′(x)=e x−1+1x2＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝0，所以x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，要使得f（x）单调递增，则f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，当a＝1时，f′(x)=(x−1)(e x−1−1x)≥0恒成立；当0＜a＜1时，1＜1a，当x∈(1，1a)时，f′（x）＜0，不合题意；当a＞1时，1a ＜1，当x∈(1a，1)时，f′（x）＜0，不合题意，综上，a＝1时，函数f（x）在定义域内单调递增．（2）证明：由（1），可得a＞0且a≠1，极值点为1a与1，所以M+N=f(1)+f(1a)=lna−1−a+(−a)e1a−1−1=lna−a−ae1a−1−2，令ℎ(a)=lna−a−ae 1a−1−2，ℎ′(a)=1a−1−e1a−1−ae1a−1(−1a2)=(1a−1)(e1a−1+1)，当0＜a＜1时，h′（a）＞0，h（a）单调递增；当a≥1时，h′（a）≥0，h（a）单调递减，所以h（a）≤h（1）＝﹣4，即M+N＜﹣4成立．。