江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)

江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．240（﹣1）m B．180（﹣1）m C．120（﹣1）m D．30（+1）m参考答案：C【考点】解三角形的实际应用；余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（）（m）．∴河流的宽度BC等于120（）m．故选：C．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题．2. 将的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是A．esin= cos B．sin= ecos C．esin=l D．ecos=1参考答案：B3. 若变量满足约束条件则的最大值等于（）A．11 B．10 C．8 D．7参考答案：B解析：本题考查线性规划问题。

在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。

由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。

江苏省海安高级中学2020年12月测试试卷数 学参考公式：1.随机变量X 的方差()21()ni i i D X x p μ==-∑，其中μ为随机变量X 的数学期望.2.球的体积公式：343V R π=. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{42}M x x =-<<∣，{}2560N x x x =--<∣，则M N =（ ）A.{12}xx -<<∣ B.{42}xx -<<∣ C.{46}x x -<<∣ D.{26}xx <<∣ 2.若2z i =+，则22z z -=（ ）A.03.已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（ ） A.1a b <-B.1a b <+C.22a b <D.33a b <4.赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 2α的值为（ ）A.34B.2425C.127D.2475.函数ln ||()x f x x x=-的图象大致为（ ）A. B. C. D.6.已知随机变量X 的概率分布如表所示.当a 在(1,1)-内增大时，方差()D X 的变化为（ ） A.增大B.减小C.先增大再減小D.先减小再增大7.在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P .已知13AP AC =且34AM AB =，若AN AD λ=，则实数λ的值为（ ） A.12 B.35 C.23 D.348.三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △，则此三棱锥外接球的体积为（ ） A.16πB.4πC.163π D.323π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A.根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34,35]内B.根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势C.根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大D.根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多10.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F l 交抛物线于A 、B 两点（点A 第一象限），交拋物线的准线于点C ，则下列结论正确的是（ ） A.AF FC = B.||2||AF BF =C.||3AB p =D.以AF 为直径的圆与y 轴相切11.下列命题正确的有( )A.若a b c >>，0ac >，则()0bc a c ->B.若0x >，0y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4C.若0x >，0y >，x y xy +=，则2x y xy ++的最小值为5+D.若实数2a ≥，则12log (2)1a a a a +++<+ 12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）A.函数()sin f x x =有3个不动点B.函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C.若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D.若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知数列{}n a ，{}n b 满足2log ,n n b a n N +=∈，其中{}n b 是等差数列且1020112a a =，则122020b b b ++⋅⋅⋅+=______.14.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线与圆22:(3)8M x y -+=相交于A 、B 两点，||AB =______.15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB ==，BC =A PC B --的正弦值为______.16.函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为______.四、解笞题：本题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.. 17.在①2cos 22cos 12BB +=；②2sin tan b A a B =；③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______， （1）求角B 的大小；（2）若4a c +=，求ABC △的最小值.注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分.18.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4，求BM . 20.某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成.比赛中每人投篮n 次()*n N ∈，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为13.男生投篮命中的概率均为23. （1）当2n =时，求小组共投中4次的概率；（2）当n l =时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为2，左右顶点为A ，B ，斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆的标准方程；（2）若213k k =，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标. 22.已知函数()1xf x e =-，()sing x x =.（1）判断()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上零点的个数；（2）当[0,]x π∈时，()()()f x ag x a R ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围.江苏省海安高级中学2020年12月数学学科测试试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B 解：34AM AB =，则43AB AM = AN AD λ=，则1AD AN λ=1141()3393AP AC AB AD AM AN λ==+=+ ∵P ，M ，N 共线，∴41193λ+=，∴35λ=，选B.8.【答案】D解：取CD 中点E ，连接AE ，BE ，∵ABC ABD ∠=∠ ∴A 在底面BCD 上的锤子数学射影落在CBD ∠的平分线上由AB ABABC ABD ABC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⇒⎨⎪=⎩△≌△，∴AC AD = ∴AE CD ⊥，∵ACD S =△2CD =，∴22AE=AE =∴AD =设AB x =，在ABD △中，由余弦定理214221242x x x ⇒+-⋅⋅=⇒=，即4AB =，BE =，cos AEB ∠=，过A 作AM BE ⊥交其延长线于M ，∴EM ==AM ==在BE 上取一点G 使23BG BE =，∴G 为BCD △的锤子数学中心也为外心过G 作GH ⊥底面BCD ，∴O 在直线GH ，设OG t =由2222OA OB t t t ⎫=⇒+=+⇒=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2224R =+=⎝⎭⎝⎭，2R =，3432233V ππ=⨯=，选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给岀的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 10.【答案】AD 11.【答案】ACD解：a b c >>，0ac <，则a ，b ，c 同号，∴0bc >0a c ->，∴()0bc a c ->，A 正确224x y +≥==当且仅当1x y ==时取“=”，即()min224x y+=，B 错误x y xy +=，则1yx y =- 221111222(1)21111y y y y x y xy y y y y y y -+-+++=++=+-++----112212(1)212(1)43(1)561111y y y y y y y y y =++-++++=-+++=-++≥----，C 正确 另一解法x y xy +=可得111x y+= 11232223(23)235x yx y xy x y x y x y x y x y y x ⎛⎫++=+++=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭要锤子数学比较1log (2)a a ++与21a a ++大小，即比较ln(2)ln(1)a a ++与21a a ++大小，即比较ln(2)2a a ++与ln(1)1a a ++大小 令ln ()x f x x =，21ln ()0xf x x-'==，x e = ()f x 在(0,)e ，(,)e +∞2a ≥，∴1a +，2a e +>，∴(1)(2)f a f a +>+，即ln(1)ln(2)12a a a a ++>++ ∴2ln(2)1ln(1)a a a a ++>++，D 正确. 12.【答案】BCD解：令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥()g x 在R 上单调增，(0)0g =∴()g x 在R 有且仅有一个零点即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误∵20ax bx c x ++-=至多有两个根，∴()f x 至多有两个“不动点”，B 正确()f x 为定义在R 上的奇函数，则()-y f x x =为定义在R 上的奇函数0x =是y 的一个“不动点”，其它的“不动点”都锤子数学关于原点对称，个数和为偶数 ∴一定有奇数个“不动点”，C 正确()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解 则2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =()n x 在(0,ln 2)，(ln 2,1)∴max ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=-> ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==∴1a e ≤≤，D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.【答案】1010 14.15.【答案】3解：如图补成一个长方体，建系(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P，C设平面APC 的锤子数学法向量为()1111,,n x y z =1100n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11100z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 不妨设11y =，则1x =1(2,1,0)n =- 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =2200n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22200y x y =⎧⎨-=⎩ 不妨设21x =，则21z =，20y =，2(1,0,1)n = 设A PB B --为α，则1212122coscos ,33n n n n n n α⋅====⋅，sin 3α=.16.【答案】125解：由题意知131264T kT ππ+=+或133,1264T kT k Z ππ+=+∈ ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈ ∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤ ①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合 取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在锤子数学1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去 ②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω= 此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 锤子数学在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增了，舍去 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去 综上：25ω=或2，212255S =+=.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：选①（1）∵2cos 22cos 12B B +=，∴22cos cos 10B B +-=，1cos 2B =，3B π=.（2）222122a c ac b +-⋅=，∴222()316316342a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭∴2b ≥，当且仅当2a c ==时取“=”∴ABC △周长为46a b c b ++=+≥，即ABC △周长锤子数学的最小值为6.18.解：（1）∵22(2)21n n n S a n S =≥-，∴21221nn n n S S S S --=- ∴1111122n n n n n n S S S S S S ----=⇒-= ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）知112(1)21nn n S =+-=-，∴21n b n =- ∴2244111111(21)(21)(21)(21)22121n n n c n n n n n n -+⎛⎫===+- ⎪-+-+-+⎝⎭∴11111111112335212122121n nT n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 19.解：（1）证明：取AC 中点E ，连接PE ，BE∵2PA PC AC ===，∴PE AC ⊥且PE =∵AB BC ==2224AB BC AC +==，∴ABC △为Rt △且90ABC ∠=︒∴112BE AC ==，∴2224PE BE PB +==，∴PE BE ⊥ ∵ACBE E =，∴PE ⊥平面ABC∵PE ⊂平面P AC ，∴平面PAC ⊥平面ABC . （2）法一：设BM x =，∴AM，PM ==∴22cos PAM∠===∴sin PAM∠==∴124PAMS=⨯==△AMCS==△设C到平面P AM的锤子数学距离为h，PC与平面P AM所成角为θ由1133C PAM P AMC PAM AMCV V S h S--=⇒⋅=△△h=sin2hθ==，∴h=∴)4223x=⇒=或x=∵0x≤≤3x=即3BM=.（2）法二：如图建立锤子数学空间直角坐标系，∴P，(1,0,0)B，(0,1,0)A-，(0,1,0)C设(,1,0)M x x-，01x≤≤，∴(0,1,PA=-，(,2,0)AM x x=-设平面P AM的法向量()000,,n x y z=∴0000)00(2)001xxxn PA yyx x y xn AM z⎧-=⎪⎪⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎪⎪⎩∴3(2n⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭设PC与平面P AM所成角为θ，PC与n所成角为ϕ，(0,1,PC =∴2sin|cos|43||||3(22PC nxPC nθϕ⋅====⇒=⋅⋅∴21,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时3BM ==.20.解：（1）①男生投中2次，女生投中2次概率为22221221221212433333333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 32649632729729729243=+==②男生投中1次，女生投中3次的概率为211222111232233333729C C ⎛⎫⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭ ③男生投中0次，女生投中4次的概率为2221111333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴共投中4次的锤子数学概率为3232143243729729243P =++=. （2）2212(30)3327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2122221211811(20)3333327273P X C C ⎛⎫==⨯⋅⨯+⋅⨯=+= ⎪⎝⎭ 212221124(10)333339P X C ⎛⎫==⨯+⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭2124(60)3327P X ⎛⎫=-=⨯=⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下∴()302010602739279E X =⨯+⨯+⨯-⨯=. 21.解：（1）由题意知2222421a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）∵14MA MB k k ⋅=-，即114BM k k ⋅=- 又∵213k k =，∴2134BM k k ⋅=-，34NB MB k k ⋅=-设直线MN 的锤子数学方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，(2,0)B()22222242444y kx mx k x kmx m x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()222148440k xkmx m +++-=0∆>，12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴21113224y y x x ⋅=--- ∴()()()12121243240kx m kx m x x x x +++-++=⎡⎤⎣⎦()()22121243(46)4120kx x km x x m ++-+++=()2222244843(46)41201414m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 22230k m km ++=，∴(2)()0k m k m ++=∴2m k =-或m k =-但当2m k =-时，()22y kx m kx k k x =+=-=-，直线MN 恒过(2,0) M ，N 有一点与B 重合了，舍去∴m k =-，∴()1y kx m k x =+=-，直线MN 恒过定点(1,0). 22.解：（1）()1sin sin xF x e x x x =--≥- 令()sin x x x ϕ=-，∴()1cos 0x x ϕ'=-≥∴()x ϕ在[0,)+∞上锤子数学单调递增，故()(0)0x ϕϕ≥=，∴()0F x ≥ 当且仅当0x =时取“=”，∴()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上只有一个零点.（2）1sin 0xe a x --≥在[0,]π上恒成立，令()1sin x G x e a x =--，()cos xG x e a x '=-注意到(0)0G =，∴()(0)G x G ≥在[0,]π上恒成立 首先有(0)101G a a '=-≥⇒≤（必要性）当1a ≤时，()1sin 1sin 0x xG x e a x e x =--≥--≥符合题意 综上：实数a 的锤子数学取值范围为(,1]-∞.。

江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18B ．14 C ．38 D ．12 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >， 又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12答案：C解析：P ＝38，故选C ．7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc aa b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ．8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2ab a kab kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2x x kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)x g x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ．10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵bcosC ＋ccosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴c＝b ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1B 正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．2112()()x f x x f x < D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2kπ2π-≤2x 6π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，解得kπ6π-≤x≤kπ3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ6π-，kπ3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 12c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+ ∴S △ABC 12=absinC 12=（1322+⨯=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221x y-=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-， 由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k k m ∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=，整理得()()22121210k x x km x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340k m k m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值. 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->， 所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y -=-，即()112y y x x =+， 同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+，两条切线均过点()1,P t -，()()11222121ty x ty x ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x ty x ty --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty --=的方程， 所以，直线AB 的方程为220x ty --=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。

2020-2021学年江苏省南通市海门市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．[2，+∞）D．（﹣1，2]2．已知复数Z＝（1+2i）（2﹣i）（其中i为虚数单位），则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（4，﹣3）3．“m2＜n2”是“lnm＜lnn”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．5．若的二次式展开式中x7项的系数为15，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．﹣1或2D．﹣18．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、多项选择题（共4小题）.9．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．f（x）是单调函数C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数g（x）＝f（x）﹣x有且只有一个零点10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）A．P（185.03＜Z＜200）＝0.6826B．P（200≤Z＜229.94）＝0.4772C．P（185.03＜Z＜229.94）＝0.9544D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象12．已知正数a，b满足，则（）A．最小值为2B．ab的最小值为4C．a+4b的最小值为8D．4a+b的最小值为8三、填空题（共4小题）.13．若数列{a n}满足：a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，则a2021＝．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则＝．16．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC 是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题（共6小题）.17．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．18．在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．20．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；②设“虎队”n轮得分之和为X n，求X n的期望值．（参考公式E（X+Y）＝EX+EY）21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，求a的取值范围．22．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0），焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．（1）若l的方程为，求抛物线方程；（2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．[2，+∞）D．（﹣1，2]解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴m≥2；∴m的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2．已知复数Z＝（1+2i）（2﹣i）（其中i为虚数单位），则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（4，﹣3）解：∵Z＝（1+2i）（2﹣i）＝2﹣i+4i﹣2i2＝4+3i，∴，则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为（4，﹣3），故选：D．3．“m2＜n2”是“lnm＜lnn”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：lnm＜lnn，则0＜m＜n，故m2＜n2，反之，m2＜n2，得|m|＜|n|，推不出lnm＜lnn，故“m2＜n2”是“lnm＜lnn”的必要不充分条件．故选：B．4．为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．解：南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n＝＝56，选派的三人中少有1名女医生包含的基本事件个数m＝＝46，∴选派的三人中少有1名女医生的概率为P＝＝＝．故选：A．5．若的二次式展开式中x7项的系数为15，则n＝（）A．5B．6C．7D．8解：中，T r+1＝＝，∵二次式展开式中x7项的系数为15，由2n﹣3r＝7，得n＝，∴＝15，解得r＝1，∴n＝＝5．故选：A．6．已知向量，满足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．【分析】通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．解：cos＜，＞＝＝＝＝．故选：C．7．已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，则a＝（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．﹣1或2D．﹣1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由导数值等于2列式求得a值．解：∵f（x）＝x2e ax+1﹣ax，∴f′（x）＝2xe ax+1+ax2e ax+1﹣a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x平行，∴f′（1）＝2e a+1+ae a+1﹣a＝2，即（2+a）e a+1＝2+a，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故选：A．8．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】由已知可得a＞0，c＜0，利用lna＜a，可得，构造函数h（x）＝，即可比较a，b大小．解：因为，则a＞0，c＜0，对于函数f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴lna＜a，即，∴，令函数h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的图像如下：∴a＜b，综上：a＞b＞c，故选：D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．f（x）是单调函数C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数g（x）＝f（x）﹣x有且只有一个零点【分析】容易看出f（x）是奇函数，从而得出f（x）的图象关于（0，0）对称，从而判断选项A错误；容易判断f（x）是R上的增函数，从而判断选项B正确，并可求出f（x）的值域，并判断选项C正确；可得出g（x）＝x（﹣1）＝0时，x＝0，从而判断选项D正确．解：对于A：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，从而判断选项A错误；对于B：x＞0时，f（x）＝是增函数；x＜0时，f（x）＝是增函数，∴f（x）在R上是增函数，∴若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），选项B正确；对于C：x＞0，x趋向正无穷时，可得出f（x）趋向1；x＜0，x趋向负无穷时，f（x）趋向﹣1，从而得出f（x）的值域为（﹣1，1），选项C正确；对于D：g（x）＝f（x）﹣x＝x（﹣1）＝0时，x＝0，从而得出g（x）只有一个零点，选项D正确．故选：BCD．10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）A．P（185.03＜Z＜200）＝0.6826B．P（200≤Z＜229.94）＝0.4772C．P（185.03＜Z＜229.94）＝0.9544D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件【分析】根据该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），可得μ＝200，σ＝，结合由正态分布函数的对称性即可求出所求．解：因为N（200，224），所以μ＝200，σ＝≈14.97，故μ+σ＝214.97，μ+2σ＝229.94，μ﹣σ＝185.03，μ﹣2σ＝170.06，故P（170.06＜Z＜229.94）＝0.9544，P（185.03＜Z＜214.97）＝0.6826，由正态分布函数的对称性可知A选项应为P（185.03＜Z＜200）＝0.3413，故A错；P（200≤Z＜229.94）＝0.4772，故B正确；P（185.03＜Z＜229.94）＝P（185.03＜Z＜200）+P（200＜Z＜229.94）＝0.3413+0.4772＝0.8185，故C错；由C可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为10000×0.8185＝8185件，故D正确．故选：BD．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象【分析】由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为•＝，∴ω＝4，f（x）＝sin（4x+φ）．∵直线x＝﹣是其中一条对称轴，∴4×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（4x﹣）．故函数f（x）的最小正周期为＝，故A正确；当x∈[﹣，]，4x﹣∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故C正确；将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2x ﹣）的图象；再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故D 错误，故选：AC．12．已知正数a，b满足，则（）A．最小值为2B．ab的最小值为4C．a+4b的最小值为8D．4a+b的最小值为8【分析】利用基本不等式的性质分别进行求解即可．解：∵≥2＝，即≥4，即ab≥4，当且仅当＝，即b＝4a时取等号，则ab的最小值为4，故B正确，设t＝ab，则t≥4，则＝t+在[4，+∞）上为增函数，则最小值为4+＝，故A错误，a+4b≥2≥2＝8，第一个等号当a＝4b时取等号，第二个等号在b＝4a时取等号，在两个等号不能同时取得，则a+4b＞8，故C错误，4a+b≥2≥2＝8，第一个等号当4a＝b时取等号，第二个等号在b＝4a时取等号，在两个等号能同时取得，则a+4b≥8成立，即4a+b的最小值是8，故D正确，故选：BD．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．若数列{a n}满足：a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，则a2021＝2021．【分析】利用题中的恒等式，分别取n＝1，2，3，…，通过列举找到数列的规律，利用规律求解即可．解：因为a n+a n+1＝2n+1，a1＝1，所以当n＝1时，a1+a2＝3，解得a2＝2，当n＝2时，a2+a3＝5，解得a3＝3，当n＝3时，a3+a4＝7，解得a3＝4，…以此类推，可得a n＝n，故a2021＝2021．故答案为：2021．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝2．【分析】利用恒等式以及奇函数的定义可以求出f（x）的周期为4，再利用恒等式可得f （1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，即f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，将所求的式子利用周期进行求解即可得到答案．解：因为足f（1﹣x）＝f（1+x），所以有f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，故在一个周期内f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝2．故答案为：2．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则＝4．【分析】由椭圆和双曲线的定义可求得|AF1|和|AF2|，设直线AF1与渐近线y＝﹣x相交于点B，连接AF2，可推出AF2⊥AF1，再结合勾股定理，即可得解．解：由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|＝2a，由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2m，∴|AF1|＝a+m，|AF2|＝a﹣m，设直线AF1与渐近线y＝﹣x相交于点B，则OB垂直平分线段AF1，连接AF2，∵O为线段F1F2的中点，∴AF2∥OB，∴AF2⊥AF1，∴，即（a+m）2+（a﹣m）2＝4c2，化简得，a2+m2＝2c2，∴＝2，即＝2，∴＝2×2＝4．故答案为：4．16．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC 是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为45π．【分析】由已知证明AP⊥PC1，设BB1＝z，BP＝t，则B1P＝z﹣t，求得AP，PC1，AC1，由AP⊥PC1，得z＝t+，可得，写出三角形APC1的面积，利用基本不等式求最值，得到对应的AP，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径，得到外接球的半径，代入球的表面积公式得结论．解：由堑堵的定义可知，△ABC为直角三角形，故BC＝＝4，由已知可得，平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，而AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C，而PC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥PC1，又PC⊥PC1，AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面APC，∴PC1⊥平面APC，于是AP⊥PC1，设BB1＝z，BP＝t，则B1P＝z﹣t，∴AP＝，＝，，由AP⊥PC1，得9+z2＝25+t2+16+（z﹣t）2，整理得z＝t+，∴，则AP•PC1＝＝2≥2＝18，当且仅当，即t＝2时，△APC1的面积取得最小值为18，此时AP＝，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径，故所求外接球的表面积S＝4π×＝45π．故答案为：45π．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求T n．【分析】本题第（1）题先令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝，再利用公式b n＝即可计算出数列{b n}的通项公式，再计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，令b n＝，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．当n＝1时，b1＝S1＝，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝，∴数列{b n}是常数列，即b n＝，故a n＝，n∈N*．（2）由（1）知，，∴T n＝++…+＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝[﹣]＝﹣＝．18．在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由正弦定理可求出cos∠ABD＝，再利用余弦定理即可求出BD；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理可得（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，再利用基本不等式得（BC+CD）2≤4BD2，结合BD的值即可求出△BCD周长的最大值．解：（1）在△ABD中，由正弦定理得：＝＝2cos∠ABD，∴cos∠ABD＝，∴cos∠ABD＝＝＝，即：BD2﹣8BD+15＝0，解得：BD＝3或5，当BD＝3时，BD＝AD＝3，∴∠ABD＝∠BAD，∠ADB＝2∠ABD＝2∠BAD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∠ADB＝90°，△ABD为等腰直角三角形，不符合题意，舍去，∴BD＝5；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理得：cos∠BCD＝＝，∴BC2+CD2﹣BD2＝BC×CD，∴（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，由基本不等式得：，∴（BC+CD）2≤，∴，∴（BC+CD）2≤4BD2，∵BD＝5，∴BC+CD≤10，即5＜BC+CD≤10，所以10＜BC+CD+BD≤15．所以△BCD周长的最大值为：15．19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2，运用体积公式求解即可得出a的值．解：（I）在图1中，因为AB＝BC＝＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O＝AB＝a，∴平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2，V＝＝a＝a3，由V＝a3＝36，得出a＝6．20．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；②设“虎队”n轮得分之和为X n，求X n的期望值．（参考公式E（X+Y）＝EX+EY）【分析】（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件A n，B n，“虎队”至少投中3个记作事件C，则P（C）＝P（）+P（）+P（）+P（A1A2B1B2），由此能求出结果．（2）①“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②X1有可能取为0，1，3，分别求出相应的概率，求出EX1，再由X n的期望值EX n＝nEX1，能求出结果．解：（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件A n，B n，“虎队”至少投中3个记作事件C，则P（C）＝P（）+P（）+P（）+P（A1A2B1B2）＝+＝．（2）①“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝2×[]＝，P（X＝2）＝+++＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝2×[+]＝，P（X＝6）＝＝．故X的分布列如下图所示：X012346P②X1有可能取为0，1，3，P（X1＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（X1＝1）＝＝，P（X1＝3）＝＝，∴EX1＝＝，设“虎队”n轮得分之和为X n，则X n的期望值EX n＝nEX1＝．21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，然后再利用导函数的正负研究函数的单调性即可；（2）构造，由条件得到F（x）在[0，+∞）上单调递增，故F'（0）≥0，求出a≤1，再通过a≤1证明F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，从而得到a的取值范围．解：（1）函数，故，当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令，当时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增；（2）对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sin x恒成立，即在[0，+∞）上恒成立，令，又F（x）≥F（0），所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，由F'（x）＝，所以F'（0）≥0，即1﹣a≥0，所以a≤1（必要性），下证充分性，当a≤1时，，令，则，令，则h′（x）＝x﹣sin x≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0，所以F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．22．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0），焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．（1）若l的方程为，求抛物线方程；（2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．【分析】（1）根据题意可以直接设出抛物线的切线方程，进而可以直接解出；（2）利用直线的倾斜角和斜率的关系，可以直接证明．解：（1）设M（x0，y0），故切线l的方程为y0y＝2p⋅，即px﹣y0y+px0＝0，故l的方程为x﹣2y+2＝0时，，∴x0＝2，y0＝2，p＝1，抛物线方程为y2＝2x．（2）证明：当l不垂直于x轴时，设l与x轴的夹角为θ，∴|FM与l夹角设为α，k PM＝，∴|∴tanθ＝tanα，θ＝α．。

海安市2020~2021学年度第一学期末学业质量监测试卷高三化学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页，满分100分，考试时间为75分钟。

考试结束后，请将答题卷交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。

4.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

可能用到的相对原子质量∶B-11 O-16 Na-23选择题本题包括15小题，每小题3分，共计45分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行。

下列说法正确的是( )A. 室内场馆使用次氯酸钠灭杀病毒原理是蛋白质变性B. 水结成冰的过程中分子内氢键断裂形成分子间氢键C. 生产速滑服所用的聚氨酯属于新型无机非金属材料D. 照明广泛使用的太阳能电池其光电转换材料是SiO22. 反应2Na2S+Na2CO3+4SO2=3Na2S2O3+CO2可用于工业上制备Na2S2O3。

下列化学用语表示正确的是( )A. 中子数为20的硫原子∶2016SB. 基态O原子核外电子轨道表达式∶C. SO2分子的空间构型∶V型D. CO23-水解的离子方程式∶CO23-+2H2O H2CO3+2OH-3. 下列有关物质性质与用途具有对应关系的是( )A. 二氧化硫具有强还原性，可用作漂白纸张B. 氮气常温下化学性质稳定，可用作粮食保护气C. 苯酚溶液具有弱酸性，可用作环境杀菌消毒剂D. 氧化镁熔点高，可用作电解冶炼镁的原料4. 硫铁矿焙烧后的烧渣含有Fe 2O 3、FeO 、SiO 2、Al 2O 3，用过量硫酸浸取，过滤，将滤液分别与下列指定物质反应，所得溶液中主要存在的一组离子正确的是( ) A. 通入过量NH 3∶NH 4+、AlO 2-、SO 24-、OH - B. 通入过量SO 2∶Fe 2+、H +、Al 3+、SO 24-C. 加入过量KOH 溶液∶K +、AlO 2-、SO 24-、SiO 23-D. 加入过量新制氯水∶Fe 2+、H +、Al 3+、Cl -5. 氯是一种重要的“成盐元素”。

江苏省南通市海安县实验中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三个向量，，共面，且均为单位向量， ?=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1] B．C．[，] D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量， ?=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1， +1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．2. 将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为A． B． C． D．参考答案：D3. 已知命题p：?x∈R，cosx≥a，下列的取值能使“￢p”命题是真命题的是（）A．a∈R B． a=2 C． a=1 D． a=0参考答案：C考点：命题的否定．专题：概率与统计．分析：写出命题的否定形式，然后判断选项即可．解答：解：命题p：?x∈R，cosx≥a，则￢p，?x∈R，cosx＜a，能使“￢p”命题是真命题，由余弦函数的值域可知，cosx≤1，故选项C成立．故选：C．点评：本题考查特称命题的真假的判断与应用，三角函数的值域的应用，基本知识的考查．4. 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）参考答案：C5. 的外接圆圆心为,半径为2，,且,向量在方向上的投影为A. B. C.D.参考答案：C6. 若实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 已知单调递增的等比数列{a n}中，a2?a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．2n﹣1 D．2n+1﹣2参考答案：B【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得q和a1，代入求和公式计算可得．【解答】解：∵a2?a6=16，a3+a5=10，∴由等比数列的性质可得a3?a5=16，a3+a5=10，∴a3，a5为方程x2﹣10x+16=0的实根，解方程可得a3=2，a5=8，或a3=8，a5=2，∵等比数列{a n}单调递增，∴a3=2，a5=8，∴q=2，，∴故选：B．8. 若将函数的图像向左平移个单位，得到偶函数，则的最小正值是（）A. B. C. D.参考答案：A知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换解析：由，把该函数的图象左移个单位，所得图象对应的函数解析式为：．又偶函数图象关于y轴对称，则，k∈Z．则，k∈Z．∴当k=0时，有最小正值是．故选：A．【思路点拨】把函数式化积为，然后利用三角函数的图象平移得到．结合该函数为偶函数求得的最小正值．9. 若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直，则的最小值为（）A.12B.C.D.6参考答案：D略10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为则．参考答案：12. (坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的普通方程__________参考答案：13. 若对任意的，均有，则a的取值范围是________。

2021-2022学年江苏省扬州市海安高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2B．8+8C．12+4D．16+4参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为，画出图象，根据几何体的性质求解表面积即可．【解答】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为，根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．2. 已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是A．0 B． C．D．参考答案：D因,，即．又，所以角的最小值为．3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A． B． C． D．参考答案：C4. 函数，若，则的值是（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2参考答案：A若，则由得，，∴．此时不成立．若，则由得，，∴，故选A．考点：函数的零点；函数的值．5. 下列命题中的假命题是A. B.C. D.参考答案：C,所以C为假命题.6. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．－3 B．－C． D．2参考答案：D7. 设函数有两个极值点，且，则（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则A．B．C．D．参考答案：D9. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A.9万件B.11万件C.12万件 D.13万件参考答案：A10. 已知，，，，则向量在向量上的投影为（▲）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的系数是参考答案：答案:1412. 点A、B、C、D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为．参考答案：9π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三棱锥的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC?BQ==2．，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=，则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；故答案为：9π【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD 的体积的最大值，是解答的关键．属于中档题．13. 、观察右图从上而下，其中2012第一次出现在第行，第列．参考答案：14. 抛物线C:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为_______. 参考答案：【分析】利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；【详解】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x，由抛物线的定义可知13，解得p＝4，∴C的方程为y2＝8x；故答案为15. 已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____.参考答案：【知识点】奇函数的性质.B4解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，，而，所以，故答案为.【思路点拨】直接利用函数的奇偶性解题即可。

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项江苏南通市海安市2025届高三期初学业质量监测试卷数学是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22,2,0,1,3A x x x B =>=−，则A B = （ ）A. {}2,0,3−B. {}2,3−C. {}0,3D. {}3【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式220x x −>，得()(),02,A ∞∞=−∪+， 所以{}2,3A B ∩=−. 故选：B2 已知命题:0,31x p x ∃>>，则p ¬：（ ） A. 0,31x x ∃>≤ B. 0,31x x ∃≤> C. 0,31x x ∀>≤ D. 0,31x x ∀>>【答案】C 【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论. 【详解】命题:0,31x p x ∃>>是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以p ¬：0,31x x ∀>≤. 故选：C.3. 函数e ,e ln ln ,e ln x x xxy x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】e ,e ln ln ,e ln x x x x y x x−−− ≥= < ，即{}maxe ,ln xy x −=， 设()e ln xf x x −=−，则()f x 单调递减，且()1,10ef −>=()3ln 3e 0,3f −<=−故存在唯一一个()01,3x ∈使()00,f x = 故在()00,x 上，()eln 0xf x x −=−>，此时{}maxe ,ln e xx y x −−=单调递减； 在()0,x +∞上，()eln 0xf x x −=−<，此时{}maxe ,l l n n xyx x −=单调递增；故e ,e ln ln ,e ln x x xx y x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上先减后增. 故选：D4. 已知函数()()211f x x =−−，则（ ） A. ()()11f x f x −=− B. ()()11f x f x −=+C. ()()11f x f x +=−D. ()()11f x f x +=−− 【答案】C 【解析】【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因()()()2212111f x x f x x −−−≠−−，而()()2111f x f x x +=+=−，所以ff (1+xx )=ff (1−xx ). 故选：C5. 已知235m n==，则4mn =（ ）A.B. 6C. 8D. 9为【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得2log 3mn=，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由235m n ==，可得23log 5,log 5m n==，则222232log 5log 5log 3log 5log 5log 3m n ===， 则222lo g 3g 23lo 4422log 99mn ====. 故选：D6. 设,b c ∈R ，函数()f x x c =++，则“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A 【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可； 【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ，则240b c =−< ， 可得()20f x x c c =++=+>恒成立，故充分性成立；取3,2b c ==，满足()0f x >恒成立， 但2320x x ++>的解集为()(),21,−∞−∪−+∞，故必要性不成立；所以“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的充分不必要条件. 故选：A.7. 已知直线y ax b =+与曲线1y x x=+相切，则2a b +的最大值为（ ） A.12B. 2C.52D. 5【答案】C 【解析】【分析】设切点切点横坐标为()0m m ≠，由题意列出,,a b m 的关系，进而得到2a b +，再由二次函数求最值即可..【详解】设切点横坐标为()0m m ≠，求导：1y x x =+得'211y x=−， 由题意可得2111a m am b m m=−+=+解得：2112a m b m =− = ， 所以222211522222a b m m m +=−++=−−+ ，所以2m =时，2a b +的最大值为52. 故选:C8. 若函数()1f x x x a =−−的3个零点由小到大排列成等差数列，则a =（ ） A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将问题转化为y x a =−和()10yx x=>的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得3x =12x x ，即可利用等差中项求解. 【详解】令()10f x x x a =−−=可得()10x a x x−=>， 在同一直角坐系中作出yx a =−和()10yx x=>的图象如下：要使()1f x x x a =−−有3个零点，则0a >， 由图可知：1x a x =−有一个零点3x ，1x a x=−+有2个零点12,x x ，且12x x <， 即210x ax −−=有一个零点3x ，210x ax −+=有2个零点12,x x ，且12x x <故3x =12x x 由于1322x x x +=2，a = 由于0a >，故a =， 故选：D【点睛】方法点睛：判断函数yy =ff (xx )零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线2x y =的是（ ） A. 32x y += B. 23xy =−C. 32xy =D. 23xy =【答案】ABD 【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD ，根据图像的伸缩变换可判断C.详解】对于A ，曲线32x y +=向右平移3个单位可得到曲线2x y =，故A 正确； 对于B ，曲线23x y =−向上平移3个单位可得到曲线2x y =，故B 正确； 对于C ，曲线32x y =横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线2x y =，故C 错误；【对于D ，曲线22log 3log 322232x xx y −===，向左平移2log 3个单位可得到曲线2x y =，故D 正确； 故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为2200m ，则窗户面积至少应该为230mB. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m %，第二次增加了%n ,地面面积两次都增加了%2m n+，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x ，依题意列出不等式组求解可判断A ；记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时根据B ，C ，D 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B ，C ，D. 【详解】对于A ，设该公寓窗户面积为x ，则地板面积为200x −，依题意有15%200200xxx x≥− <−100x ≤<， 所以，这所公寓的窗户面积至少为2600m 23，故A 错误； 对于B ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时窗户增加的面积为10%a ⋅，同时地板增加的面积为10%b ⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()110%10%,10%110%a a a a ab b b b b++⋅==+⋅+，所以公寓采光效果不变，故B 正确；对于C ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时增加的面积为c .由题可知，0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,a a c b b c++， 因为()()()()()b ac a b c c b a a c a b c b b b c b b c +−+−+−==+++，且0,0,0a b c b a <<>−>， 所以0a c ab c b+−>+，即a c abc b +>+,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C 正确；对于D ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，则窗户增加后的面积为()()1%1%n m a ++⋅,地板增加后的面积为21%2m n b + +⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()21%1%,1%2n m aa b m n b ++⋅++⋅， 因为()()()()221%1%1%%%%1%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=++++++，又因为0,0,2m n m n +>>≥2%%%2m n m n + ≥， 因为()()()()221%1%1%%%%11%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=≤++++++，所以()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅≤+ +⋅ , 当m n =时()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅=++⋅，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D 错误. 故选：BC.11. 设函数()f x 的定义域关于原点对称，且()f x 不恒为0，下列结论正确的是（ ） A. 若()f x 具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若()f x 不具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+奇函数()p x 与偶函数()q x 不存在C. 若()f x 为奇函数，则满足()()()f x p x q x =奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对D. 若()f x 为偶函数，则满足()()()f x q p x =的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对 【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A 选项；通过举例()2f x x x =+，即可判断B 选项；通过构造的()()11p x f x n =+，()1,q x n =+即可判断C 选项；通过构造()121n p x x +=()()21,n q x f x +=即可判断D选项.【详解】对于A ，()()()f x p x q x =+，则()()()()()f x p x q x p x q x −=−+−=−+，当()f x 为奇函数时，则()()()20f x f x q x +−==，即()0q x =； 当()f x 为偶函数时，则()()()20f x f x p x −−==，即()0p x =， 即满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A 正确；对于B ，当()2f x x x =+，()2,()p x x q x x ==时，()f x 不具有奇偶性， 满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在，故B 错误；对于C ，()f x 为奇函数时，令奇函数()()1,N 1p x f x n n =∈+，偶函数()1,N q x n n =+∈，则()()()p x q x f x =，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x p x q x =.故C 正确； 对于D ，()f x 为偶函数，令奇函数()121,N n p x x n +=∈，偶函数()()21,N n q x f x n +=∈，则()()()121n q p x q x f x +==，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x q p x =.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数()f x 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个()f x =______． 【答案】2x （答案不唯一） 【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.【详解】设()2f x x =，则()2f x x ′=.在()2f x x =上任取一点()200,x x ，则函数在该点处的切线方程为：()2002y x x x x −=−即2002y x x x =−.只要0x 不同，切线方程就不同. 故答案为：2x （答案不唯一）13. 已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24，将ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后与DC 交于点P ．设AB x =，则DP =______________（用x 表示），当ADP △的面积最大时，x =______________．【答案】 ①. 1272x x−. ②. 【解析】【分析】结合图形，折叠后易得ADP CB P ′≅ ，设DPB P y ′==，利用Rt B PC ′ ，即可求得DP 的表示式；依题意，求出ADP △的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时x 的值.【详解】如图2是图1沿着AC 折叠后的图形，因AB x =，则12AD x =−，因矩形()ABCD AB AD >的周长为24，则612x <<，对折后12AD B C x ′==−,易得ADP CB P ′≅ ,设DPB P y ′==，则CP x y =−,在Rt B PC ′ 中，由勾股定理，222()(12)x y y x −=+−，整理得1272x y x −=，即DP =ADP △的面积为1127272(12)6()1082x S x x x x−=⋅−⋅=−++，因612x <<，则当且仅当72x x=时，72x x +≥，此时x =时，max 6108108S =−×+=−.故答案为：1272x x−；14. 已知a 为常数，且0a >．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+，且当0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则a =______________． 【答案】1 【解析】【分析】根据题意，先求出()300,()f f a a a ==−，再赋值得到()303a a f a −≤≤，将(3)f a 转化为()3(3)2()f a f a f a a a ≤≤=−，运用不等式传递性，得到330a a a a −≤≤−.式子恒成立.只能30a a −=.解方程即可.【详解】0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则()300,()f f a a a ==−. 0a >．定义在RR 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+．令0x =，得到()()()03f a f f a ≤≤，即()303a a f a −≤≤.由于()()3(3)22()()f a f a a f a f a a f a a a =+≤=+≤=−，则330a a a a −≤≤−.则要使得式子恒成立，则30a a −=，解得0,a =或1,a =或者1a =−. 由于0a >.则1a =. 故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1B B ⊥平面1,90,1ABC ABC AB BC BB ∠=°===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AEBF B G ==．（1）求证：11A F C G ⊥；（2）若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）12【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =−− 为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AAB B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【小问1详解】因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=°，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m −，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =−=−−=−−=−− ， 则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=−−⋅−−=−=， 故11A F C G ⊥；【小问2详解】()1,0,0E m −，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =−−−=−−，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=−−⋅−−=−+−=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ∩=，1,C G EG ⊂平面1EGC ， 所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =−−为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =， 则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为1cos A F ，又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①22sin()sin()sin sin αβαβαβ+⋅−=−；②22sin()sin()cos cos αβαββα+⋅−=−．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在ABC 中，已知4sin sin()sin sin(),cos ,25C A BB C A A BC −=−==，求ABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）34【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明； 若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得22cos a bc A =，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 若选①，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sinsin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ−=−−− 22sin sin αβ−若选②，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sin 1cos cos cos 1cos αβαβαβαβ=−=−−−22cos cos βα−【小问2详解】由已知sin sin()sin sin()C AB BC A −=−可得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A −=− 即()sin sin cos cos sin 2sin sin cos A C B C B B C A +=即()2sin sin 2sin sin cos sin 2sin sin cos A C B B C A A B C A +=⇒= 由正弦定理可得22cos a bc A =又()4cos ,2,0,5ABC a A π===∈，所以53,sin 25bc A ==， 所以ABC 的面积11533sin 22254S bc A ==××=17. 分别过椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,F F ₁₁作两条平行直线，与C 在x 轴上方的曲线分别交于点,P Q ．（1）当P 为C 的上顶点时，求直线PQ 的斜率； （2）求四边形12PF F Q 的面积的最大值．【答案】（1） （2）3 【解析】【分析】（1）结合图形，易得P ，求得1PF 的斜率，由直线2QF 与椭圆的方程联立，求得点8(5Q ，即得直线PQ 的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半，设直线PR 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出||PR 和点2F 到直线:10l x my −+=的距离d ，得到四边形12PF F Q 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】由22:143x y C +=可知12(1,0),(1,0)F F −,椭圆上顶点为，即P ,直线1PF 2QF 的方程为：1)yx =−，将其代入22:143x y C +=整理得，2580x x -=，解得，0x =或85x =，因点Q 在x 轴上方,故得点8(5Q ，于是直线PQ的斜率为：PQ k == 【小问2详解】如图，设过点,F F ₁₁的两条平行线分别交椭圆于点,P R 和,Q S ， 利用对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，且四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线PR 的方程为:1,l x my =− 代入22:143x y C +=，整理得：22(34)690m y my +−−=，显然0∆>， 设1122(,),(,)P x y R x y ，则122122634934m y y m y y m+= + =− +，于是，||PR2212(1)34m m +=+， 点2F 到直线:10l x my −+=的距离为d =则四边形12PF F Q的面积为221112(1)||2234m S PR d m +=⋅=×=+令t，则1t ≥，且221m t =−，代入得，2212121213(1)4313t t St t t t==−+++，因函数1133()3y t t t t=+=+在[1,)+∞上单调递增，故，当1t =时，13yt t =+取得最小值为4，此时max 3S =.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为11,24.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A ，蓝方击中红方目标为事件B .求： （1）概率()(),P A P B ；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X 的概率分布及数学期望； （3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率． 【答案】（1）1()2P A =，1()3P B = （2）分布列见解析，()16E X =（3）31162【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出()(),P A P B ； （2）求出X 的可能取值范围及对应的概率，求出()E X ； （3）分蓝方击中0、1和2次三种情况讨论. 【小问1详解】22()3314P A =×=，211()323P B =×=；【小问2详解】X 的可能取值为1,0,1−，因为612131)1(P X ×−===，112132321(0)2P X +=×=×=，31211)3(2P X ×===，所以分布列为：X 1− 0 1所以111()0636E X =−++=； 【小问3详解】若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为422242112()C ()()32227=，若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为133********C ()()C ()()332281=， 若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为222441211C ()()()33254=， 所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为28131278154162++=. 19. （1）函数2x y =与2log y x =的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c ，对任意的x c >，总有222log xx x >>？若存在，求c 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数1a >，证明：当x 足够大时，总有log x a a a x x >>．【答案】（1）关于直线y x =对称，证明见解析；（2）存在，min 4c =；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由22x y x =−零点，可得min 4c =，再构造函数，利用导数证明4x >时不等式恒成立. （3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得. 【详解】（1）函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，令(,)a b 为函数2x y =图象上任意一点，即2a b =，则2log a b =，因此点(,)b a 在函数2log y x =的图象上，反之亦然，而点(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称， 所以函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.（2）存在正数4c =，对任意的4x >，222log xx x >>恒成立， 令()22xf x x =−，显然()()240f f ==，根据指数函数与幂函数的增长特征，在()2,4x ∈上恒有()0f x <，当4x >时，求导得()2ln 22x f x x ′=−，令()2ln 22,4x F x x x −>，求导得2()2(ln 2)2x F x ′=−，函数()F x ′在(4,)+∞上单调递增，2()(4)(4ln 2)20F x F ′′>=−>， 函数()F x 在(4,)+∞上单调递增，(4)16ln 288(ln 41)0F =−=−>，函数()f x 在(4,)+∞上单调递增，因此(4,)x ∀∈+∞，()(4)0f x f >=； 令22()log ,4x x x x ϕ=−>，求导得1()2ln 2x x x ϕ′=−，函数()x ϕ′在(4,)+∞上单调递增， 1()(4)804ln 2x ϕϕ′′>=−>，因此函数()ϕx 在(4,)+∞上单调递增，()(4)140x ϕϕ>=>， 所以存在正数c ，对任意的x c >，总有222log x x x >>，min 4c =.（3）1a >，不妨令1x >，则不等式ln ln ln ln x ax aa x x a a x x a>⇔>⇔<， 令ln ln (),1x a g x x x a=−>，求导得21ln ()xg x x −′=， 当1e x <<时，()0g x ′>；当e x >，()0g x ′< 函数()g x 在(1,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，当e a ≥时，(,)x a ∀∈+∞，()()0g x g a <=， 当1e a <<时，由()0g a =，得是函数()g x 的一个零点， 又1ln (e)0e a g a =−>，而x 趋近于正无穷大时，ln ln x ax a−趋近于ln 0a a −<， 因此存在大于e 的正数0x ，使得0()0g x =，当0x x >时，0()()0g x g x <=， 所以对于1a >，存在正数0x ，使得0x x ∀>，恒有x a a x >；1a >，不妨令1x >，log 0a x t =>，不等式ln log ln 0a at a tx x a t a a t>⇔>⇔−<， 令l (n )ln ta a t th −=，则函数()h t 在(0,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，max1l ()(en e)a a h t h =−=，令()ln ,1H a a a a =>，求导得()1ln 0H a a ′=+>，函数()H a 在(1,)+∞上单调递增，值域为(0,)+∞，存在01a >，使得01()e H a =，当0a a ≥，即e1ln a a ≥时，(e,)t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，当01a a <<，即e 10ln a a <<时，函数l (n )ln ta a t th −=有两个零点1212,(1e )t t t t <<<， 对于2(,)t t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，因此对于1a >，存在正数2t ，使得2x t ∀>，log a a x x >恒成立， 取02max{,}M x t =，对于任意的x M >，log x a a a x x >>成立， 所以当x 足够大时，总有log x a a a x x >>.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。