2020-2021高三数学下期末试卷(带答案)

2020-2021高三数学下期末试题带答案(12)一、选择题1．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．32．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i - 3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．26D ．424．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=u u u u v u u u u v，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2 B ．3C ．5D ．65．设集合，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．6．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 57．若双曲线22221x y a b-=3，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=2xC ．12y x =±D ．22y x =±8．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C 2D ．29．在[0,2]π内，不等式3sin x <的解集是（ ）A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的11．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r则BC=______ A 3B 7C 2D 23二、填空题13．复数()1i i +的实部为 ．14．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．15．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．若45100a b ==，则122()a b+=_____________． 18．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba的取值范围是__________．19．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．20．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．三、解答题21．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.22．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-的定义域；（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．24．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 26．已知0,0a b >>. (1)求证：211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．2．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.3．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。

2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(14)一、选择题1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 2．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 3．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+4．若,αβv v 是一组基底,向量γv =x αu v +y βu v (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv 在基底αu v ,βu v 下的坐标,现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v =(-1,1),n v =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2) 5．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．46．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3π B ．2，－6π C ．4，－6π D ．4，3π7．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.258．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b +D ．1()10a b + 9．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．5611．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D12．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥；②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n αP ，则αβ∥；④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．在ABC V 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a bc A B C ++=++________． 15．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 17．若9()ax x -的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．19．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．20．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．三、解答题21．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ;（Ⅱ）若AB 6=APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积． 22．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值.23．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.24．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.26．已知0,0a b >>.(1)求证：211ab a b≥+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出．【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2，∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．C解析：C【解析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】2532()x x - 展开式的通项公式为:53251()2()r r r r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.3．D解析：D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符； ()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】【详解】 由已知αu r =-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得02λμ=⎧⎨=⎩ ∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r 在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2).5．C解析：C【分析】 由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值．【详解】 由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（）， 所以11tan tan tan tan tan αβαβαβ++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-， 则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ．【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.6．A解析：A【解析】【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值．【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．8．C解析：C【解析】【分析】【详解】 由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ，所以所求平均数为 ()121012101210121012020202a a a b b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L 考点：样本平均数9．A解析：A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.10．C解析：C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型 【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. 11．C解析：C【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可.详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的.综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.12．A解析：A【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可.【详解】①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m P β，n β⊂，n αP 时，平面α，β平行；④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题.综上，为真命题的是②③④.故选A【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用．14．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 进而利用余弦定理可求a 的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在 解析：2393【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】60A =︒Q ，1b =31133sin 122bc A c ==⨯⨯, 解得4c =，由余弦定理可得：2212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以13239sin sin sin sin 332a b c a A B C A ++===++, 239 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >， 综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 16．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79- 【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈. 17．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二 解析：1【解析】【分析】 先求出二项式9()a x x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可.【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=， 9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=， 故答案为1.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==． 故答案为． 19．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q L L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a L 取得最大值6264=.考点：等比数列及其应用20．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数 解析：6【解析】【分析】 首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动， 结合2z 的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ， 此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH I BD=H.所以AC ⊥平面PBD.故平面PAC ⊥平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB P CD,AC ⊥.所以因为∠APB=∠ADR=600所以,HD=HC=1.可得等腰梯形ABCD 的面积为S=12所以四棱锥的体积为V=13x （33+ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I ）较为简单，（II ）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．22．（1）()2239x y -+=（2）【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +．详解：（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=，即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以又因为（2，1）为直线所过定点，1212PA PB t t t t ∴+=+=-==≥=所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.【详解】证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈Q .又Q EF ∈，Q β∴∈，则Q 是α与β的公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.24．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ(Ⅲ． 【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得1132MNcosDMNDM∠==．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为13．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得3CMsin CDMCD∠==．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM22=13AD AM+AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13AD AN+．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326．（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM3ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD22AC AD+．在Rt△CMD中，3sinCMCDMCD∠==．所以，直线CD与平面ABD3点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．25．（1）19；（2）89.【解析】试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为31279= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199-= 考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 已知0,0a b >>直接对11a b+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．【详解】证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2222244 4a b aba b a ba b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----，当且仅当11a b ==-+或11a b ==--【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。

2020-2021深圳建文中学高三数学下期末试卷带答案一、选择题1．设1i2i1iz-=++，则||z=A．0B．12C．1D．22．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数ln||()xxf xe=的大致图象是（）A．B．C．D．4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)7．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角9．<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,<k+1.那么当n=k+1时,()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确10．设集合，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．11．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32412．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -二、填空题13．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 14．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．16．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 17．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.23．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.24．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ; （Ⅱ）若AB 6=,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积． 26．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：()()()()1i1i1i2i2i 1i1i1iz---=+=+ +-+i2i i=-+=，则1z=，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B解析：B【解析】【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，即可得出三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，利用1＜y B＜3，即可得出．【详解】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，∵1＜y B＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()xln x f x =e，得()f 1=0，()f 1=0-又()1f e =0e e >，()1f e =0ee --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A5．B解析：B 【解析】 【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点. 【详解】圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．故选B 【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．7．B解析：B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8．B解析：B 【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 时有21k k k +<+ 成立，即2(1)(1)(1)1k k k +++<++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.10．B解析：B 【解析】 试题分析：集合，故选B.考点：集合的交集运算.11．B解析：B 【解析】 【分析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选B.. 【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算12．B解析：B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（），2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B. 二、填空题13．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |==． 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．14．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考 解析：4【解析】 【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ． ∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析：8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.16．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容解析：2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.17．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用 解析：35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.考点：1.二项式定理的展开式应用.18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画解析：画画 【解析】以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画19．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.20．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为解析：660 【解析】 【分析】 【详解】第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为660.三、解答题21．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()114123312n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得2nn a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L错位相减得12111222222212nn n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n nn nn nn n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(1) ； (2)36000；（3）.【解析】 【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．23．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩【解析】 【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长； （2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解.【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==.（2）若212z z =，则()221m i ni -=-，所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.24．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =43，∴sin A =3．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =3114372⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142⨯=，∴AC 边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ323+. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH I BD=H. 所以AC ⊥平面PBD. 故平面PAC ⊥平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB P CD,AC ⊥6. 所以3 因为∠APB=∠ADR=600 所以6,HD=HC=1.可得PH=3.等腰梯形ABCD的面积为S=12AC x BD = 2+3.所以四棱锥的体积为V=13x（2+3）x3=3233考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．26．(1) x2+y2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)=【解析】(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x2+y2=4.∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,∴ρ2-2ρ(cosθcos+sinθsin)=2.∴x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.。

2020-2021高三数学下期末试题(带答案)(13)一、选择题1．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27B ．11C ．109D ．364．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙5．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．1006．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．7187．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=u u u u v u u u u v，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2 B ．3C ．5D ．68．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()32f x x =-与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ②B ．① ③C ．③ ④D ．① ④9．已知向量()1,1m λ=+r，()2,2n λ=+r，若()()m n m n +⊥-r r r r，则λ=（ ） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-10．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2512．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________14．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．17．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）18．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r=______．三、解答题21．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.22．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=„；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=„；③(33)0.9973P X μσμσ-<+=„.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．26．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x -所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D4．A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．5．A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项.6．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.7．B解析：B 【解析】 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()22202222cos45a c a ++-=+⋅,解得ce a== 故选B. 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．8．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()2g x x =定义域都是R ，但()2g x x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数； ③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()011g x x==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴()()0m n m n +⋅-=r r r r. ∴，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=，∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算10．B解析：B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin ,sin ,sin α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.11．A解析：A 【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32 故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．12．B解析：B 【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.二、填空题13．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.14．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐解析：4【解析】 【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3B ⎛ ⎝⎭，所以1π224ABCS ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.15．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为解析：1 2【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定157【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．【详解】2b =Q ，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C=，可得：233sin sin22sin cos B B B B==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 484816A B C B C B C ∴=+=+=⨯+⨯=，11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.17．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用解析：35【解析】 由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 考点：1.二项式定理的展开式应用.18．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2【解析】【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．【详解】45100a b ==Q ，4log 100a ∴=，5log 100b =，10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理解析：【解析】【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求出b c ==【详解】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B=， ∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=， 又1cos 3A =，∴B C =，于是b c =．由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+- 即()22222273b b b =+-， 解得21b =，故21c =． ∴1122sin 21217222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=. 故答案为72．【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．20．2【解析】【分析】过点C 作CD⊥AB 于D 可得Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt△ACD 中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1AD AB 12==，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1cos A AC= ，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅u u u v u u u v 的值． 【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．Rt △ACD 中，1AD AB 12==， 可得cosA=11,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC =∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v =2． 故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．三、解答题21．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.22．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位【解析】【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；（2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；（ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973k k k P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.23．（1）()2239x y -+=（2）27.【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +．详解：（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=，即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--= 因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以又因为（2，1）为直线所过定点，()1212212124324sin232427PA PB t t t t t t t t α∴+=+=-=+-⋅=-≥-=所以27PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．24．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在的频率为：；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，的分布列为：0 1 2的数学期望 . 25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2) 211b e -≤ 【解析】【分析】【详解】分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2⇔1+1x ﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x ﹣lnx x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x a =， 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+x b x x-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x =+-， 则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=， 易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增， 所以()()22min 11g x g e e ==-，即211b e-≤. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >26．(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 【解析】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.。