21.2.2公式法(一)

21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x ，则另一个正方形的边长是(10－x )，由题可得，x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程： (1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0；(4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a ，b ，c 的值，并计算b 2－4ac 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x 1＝－2，x 2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x 2＋4x －2＝0.∵b 2－4ac ＝24，∴x ＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)∵b 2－4ac ＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。

21.2.2公式法教学目标：1.知识与技能：⑴理解一元二次方程求根公式的推导过程。

⑵掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况。

⑶会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。

2.过程与方法：经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础。

3.情感态度与价值观：提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心。

教学重点：用公式法解简单系数的一元二次方程。

教学难点：求根公式的推导过程。

教学过程：一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？○1；6x 2-7x+1=0 ○2()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到:c bx ax -=+2用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．1．当b 2-4ac >0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不等实数根；2．当b 2-4ac =0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个相等实数根；3．当b 2-4ac <0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根．一般的，式子b 2-4ac 叫方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式.用字母△表示.即△=b 2-4ac.一元二次方程的判别式与根的情况有何关系？(1)当方程有两个不相等的实数根时，b 2-4ac >0(2)当方程有两个相等的实数根时，b 2-4ac =0(3)当方程没有实数根时，b 2-4ac <0你能用公式法解方程2x 2-9x =-8吗？解：2x 2-9x +8=0 1.变形：化已知方程为一般形式； ∵a =2，b =-9，b =8 2.确定系数：用a ，b 写出各项系数；△=b 2-4ab =(-9)2-4×2×8=27>03.计算：b 2-4ab 的值；4．代入：把有关数值代入公式计算； ().417922179242±=⨯±--=-±-=∴a ac b b x .4179;417921-=+=∴x x 5．定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出△=b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；归纳小结本节课应掌握：公式法的概念及用其解一元二次方程的步骤．。

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。

五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。

问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。

(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。

21．2.2 公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x ，则另一个正方形的边长是(10－x )，由题可得，x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程 【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0；(4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a ，b ，c 的值，并计算b 2－4ac 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x 1＝－2，x 2＝32. (2)将方程化为一般形式，得x 2＋4x －2＝0.∵b 2－4ac ＝24，∴x ＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)∵b 2－4ac ＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32. 方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。

但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。

三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。

2.能够熟练运用公式法求解二次方程。

3.理解公式法背后的数学原理。

四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。

2.难点：理解公式法背后的数学原理。

五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。

进而引入本节课的主题——公式法。

2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。

让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。

老师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。