当前位置：文档之家 › 随机过程——泊松过程(2) 共28页

随机过程——泊松过程(2) 共28页

  • 格式：ppt
  • 大小：1.00 MB
  • 文档页数：28

下载文档原格式

  / 28

合集下载

泊松过程

泊松过程
8
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程: 独立增量计数过程: 对于t 对于 1<t2<…<tn，N(t2)-N(t1), N(t3)-N(t2), … …, N(tn)-N(tn-1)独立 独立 • 平稳增量计数过程: 平稳增量计数过程: 在(t,t+s]内(s>0)，事件 发生的次数 内 ，事件A发生的次数 N(t+s)-N(t)仅与时间间隔 有关， 仅与时间间隔s有关 仅与时间间隔 有关， 而与初始时刻t无关 而与初始时刻 无关
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + ∑ Pn − j ( t ) Pj ( h)
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + o( h) = (1 − λ h) Pn ( t ) + λ hPn−1 ( t ) + o( h)
14
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
P0 ( t + h) − P0 ( t ) o( h ) , 故 = − λ P0 ( t ) + h h P0′( t ) 当h → 0时有 P0′( t ) = − λ P0 ( t )或 = −λ P0 ( t ) 由于 P0 (0) = P{N（0） 0} = 1 = 于是有 P0 ( t ) = e − λt
j =0
16
Pn ( t + h) = P{N ( t + h) = n}
(2)对n≥1，建立递推公式 对 ≥ ，
n
j =0
n
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义

第三章 泊松过程

第三章 泊松过程

第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即

第四章泊松过程2

第四章泊松过程2

这个计算过程一定是个泊松过程
证明：我们只需要证明
P(N c (t)=k)= (t)k e-t
k!
令
qk (t)=P(N c (t)=k)
先考虑函数 q0 (t+h) ，其中h>0充分小.
q0 (t+h)=P(N c (t+h)=0)=P(N c (t+h)-N c (t)=0,N c (t)=0)
N (t)
n
n
PN (s) k, N (t) N (s) n k
PN(t) n
PN (s) k PN (t) N (s) n k
PN(t) n
es (s)k e (ts) [(t s)]nk
k!
(n k)!
et (t)n
n!
Cnk
s t
n
1
s t
nk
例6：设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客
f (u1,u2,L
,
un
)
n!， tn
0，
0 u1 u2 其它
un
t
对n个到达时间T1 T2 L Tn取充分小的h1, h2,L , hn ,
使得uk Tk uk hk ,且各小区间[uk ,uk hk ](k 1, 2,L n)
互不相交，则当0 u1 u2 L un t时，有
其中t>0和
N
ge 0
1.
那么对任意的0≤s<t<∞有
E[ Ntge ] 1 Nsge
证明
E[ Ntge ] E{exp[(N(t) N(s)) ln( 1) (t s)]}
Nsge
E{exp[(N (t) N (s)) ln( 1)}e (ts)

泊松过程

泊松过程

称 N t 服从参数是 t 的 poisson过程
注：1、 (a) (b)中的第1个等号是由平稳过程而来的
2、(a) (b)中合起来可知在t,t h内没有事件发生
的概率为 1 h oh
3、实际中由定义2判断随机过程更容易一些。
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
一、Poisson过程的两个等价定义
泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机 过程的理论和应用中都有着重要的应用，特别在 运筹学和排队论中有着重要的应用。
计数过程 N t 是独立增量过程
若计数过程N t 在(t, t+s]内（s>0），事件A发生的 次数N t s N t 仅与时间差s有关，而与t无关。
计数过程 N t 是平稳增量过程
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《应用随机过程》电子课件 张 峰
《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
1 定义1
即：由 PN t
定义2
s N
s
k
证t
kБайду номын сангаас
et
(1)
k!
aPN t h N t 1 PN h 1 h oh (2)
bPN t h N t 2 PN h 2 oh (3)
第二章 Poisson 过程

第3讲第三章泊松过程

第3讲第三章泊松过程
对于n＞1 和t＞0,以及 s1，s2，…，sn-1>0,有
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh

随机过程 第3章 泊松过程

随机过程 第3章 泊松过程

泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有


3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,

第五节 泊松过程

第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0

0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率

泊松过程


Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =

[理学]泊松过程


(2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )； (4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间 隔(s, t)内事件出现的次数. ) s ) t
一类很重要的计数过程是Poisson过程.
5
Poisson过程数学模型： 电话呼叫过程 设N ( t )为[0, t) 时间内 到达的呼叫次数, 其状态空间为 E={0，1，2，…} 此过程有如下特点： 1) 零初值性：N( t )=0; 2) 独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔 内到达的呼叫次数相互独立;
(t )
n
n！
21
3.2 泊松过程的性质
• 数字特征 设{X(t),t0}是参数为的泊松过程， 对任意t,s[0,)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
（1） 当n 0时 P0 ( t h) PN ( t h) 0
PN ( t h) N (0) 0
PN ( t ) N (0) 0, N ( t h) N ( t ) 0 P0 ( t )[1 h o( h)]
PN ( t ) N (0) 0PN ( t h) N ( t ) 0


n0
e e
iun n0

t
e
t
exp te

(t ) (te ) t e n! n! n0
n iu
iu n
expt (e
iu

排队论大学课件6-泊松过程


复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
时刻s，则以概率Ps被归为I型，以 1 Ps被归为II型，而且与其他事件
的归类独立，则有如结 下论：
4.1’ Poisson过程的分解
定理4.5 Nit表示到时t，刻i型事件发生的 i I,II，则N1t和N2t是相互独立的随机 ， 分别服从均值tp和 为t1 p的Poi sso分n布，
P s Y t s G t s
N 1t和 N 2t相 互 独 P立 oi分 s， so 布 均 n
E N 1 t tp t1 t0 tG t sd s 0 tG x dx
E N 2 t t1 p 0 t1 G x dx
比 如 ， 公 交 车 站乘达客到流的， 早 晚 高速峰 率 明 显 比 其 他 时；段再要比大如 ， 研 究生某 地震的次数，夏速秋率季也的会比冬春. 季
因此，为了描 象述 ，这 我些 们P现 将 ois齐 s 过程推广到 Po非 is过 s齐 on程 .次
4.2.1 非齐次Poisson过程
二、定义

k
PNt

k
PN1t n, N2t m Nt n mPNt n m

C
n n
m
pn 1
pm
et t nm n m!
etp tp n et1 p t 1 p m
Байду номын сангаас

n!
m!
PN1t nPN2t m
设随机 N过 t是程 一个计数足 过程
(1)N0 0
(2)Nt是独立增量 . 过程
( 3 h 0 ， ) P N t h N t 2 o h
( h 4 0 ， P ) N t h N t 1 t h o h 则称 Nt为 具 有 强 t的 度非 函齐 数次
P N t s N t k
, k!
即 N t s N t服 从 m t s m 均 t 的 P值 o 分 .i
证明: 记PNts Nt k Pk t, s
首先来看k 0的情形
P0 t, s h P Ntsh Nt 0
顾客即到即. 求 服到 务时t， 间已服务完顾客 和尚在服务中的的顾联客合数分. 布 解:设t到 ,已服务I完 型 ,尚 的在 为服I务 型 I 的
N1t和 N2t分别表示其个数
4.1’ Poisson过程的分解
若某一s时 顾刻 客 s到 在 t， 来若服务
Yts，则I型 他， 为那I的 么概 他率 为
N1t ~ Poissontp, N2t ~ Poissont1 p
4.1’ Poisson过程的分解
二、例子 1）例4-2 (无穷服务员Poisson排队服务系统)
设 顾 客 到 达 服P务o 台 iss为 on过 程 ， 顾 客 需 的服务时 i.i.d间Y~Gx. 服务员无穷多个
其
中p

1t
t 0
Psd
s.
证明: 考虑0, t内发生的任意一次事件，它发生的
时刻s服从0, t上的均匀分布，那么该事件恰为I型
的概率为
P0, t内发生一次I型事件
1 t
t
0
Psds

p
4.1’ Poisson过程的分解
若以I表示成功，II表示失败，
PN1t n, N2t m Nt n m
表示在0, t上共做了n m次贝努力试验，
其中成功了n次，失败了m次的概率.
P
N1t n, N2t m Nt
n m

Cn nm
pn
1
pm
PN1t n, N2t m

P
k0
N1t
n, N2t
m
Nt
Poi s过 so.程 n
4.2.1 非齐次Poisson过程
三、性质
1）定理4.6
若 Nt为具有强 t的 度 非 函 P齐 o数 i次 ss
过程m ， t0 令 tsd， s 则 k 有 0,1,2,
e m t s m tm t s m tk
达15位乘客，而每位乘 入A客 车进 或B车的概率
分别
为 2，1， 33
试
求
进A入 、B车
的
乘客
数
的.
分
解 : 15
10
N At~Poi sp s to1 1n 0 53 21
N B t~Po is 1 sp o t n 1 1 0 5 1 30 .5
P N 1 t n ,N 2 t m
et 0tG xdxn0t1G xdxm
n!
m !
4.1’ Poisson过程的分解
2）例4-4
设某汽车站 A,B有两辆公交车停靠， 到设 该达
站 的 乘 客 数P是o一 i sso过n程 ， 平 均 10分 每钟 到
P Nt,ts 0, Nts,tsh 0
目录
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
Nt , t 0为一齐次Poisson过程，有时会
将事件分类，I型和II型，事件被分为哪 一类依赖于发生的时， 间即事件发生在
目录
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.2.1 非齐次Poisson过程
一、背景
齐次 Poiss过 on程，其为 强一 度常数，意
在不同的时刻生 ，的 事速 件率 发都是值 一 . 而实际中，事件 速发 率生 可的 能会因. 时