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随机过程poisson过程 中科大

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泊松(possion)过程

泊松(possion)过程

显然有：
p( i
m j
)
(n)
≥
0
(i, j ∈ S)
∑ p(m) ij
(n)
=
1
j∈S
m = 1时，即为一步转移矩阵。
(i ∈ S)
规定：
p( i
0) j
(n)
= δi j
=
1 0
i= j i≠ j
（二）切普曼－柯尔莫哥洛夫（C－K）方程
定理：对于 m 步转移概率有如下的 C－K 方程：
∑ p (m+r ij
= ∑ P{X (n + m + r) = j X (n + m) = k}P{X (n + m) = k X (n) = i} k∈S
∑ =
p(m) ik(n)Leabharlann p(r) kj(n
+
m)
k∈S
对于齐次马氏链的情形：我们可以写成矩阵的形式即有：
P = P P (m+r)
(m) (r)
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
考虑顾客到达一服务台排队等待服务的情况。
若服务台前至少有一顾客等待，则在单位时间周期内，服务员完成一个顾客
的服务后，该顾客立刻离去；若服务台前没有顾客，则服务员空闲。
在一个服务周期内，顾客可以到达，设第 n 个周期到达的顾客数ξn 是一个取 值为非负整数的随机变量，且{ξn , n ≥ 1} 相互独立同分布。在每个周期开始时 系统的状态定义为服务台前等待服务的顾客数。若现在状态为 i ，则下周期的状 态 j 应该为：
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第二章 Markov 过程

随机过程poisson过程 中科大

随机过程poisson过程 中科大

Poisson 过程1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差.2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }).3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求:(a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ;(b)E[N (s )N (s +t )]=?(c)Cov(N (s ),N (s +t ))=?(d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布;(e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻)4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间;(b)蓝车首先到达的概率;(c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率;(d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望;(e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望.5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3.1(a)试问N i (t ),i =1,2,3分别是什么过程？又问N 1(t ),N 2(t ),N 3(t )是否相互独立？若独立,请证明.(b)若每订出1季杂志可获1元手续费,现以X (t )表示(0,t ]内所获全部手续费,试求E[X (t )]与Var[X (t )].7.一电梯从底层（第0层）开始上升,设在第i 层进入电梯的人数N i 服从参数为λi 的Poisson 分布,且诸N i 相互独立（i =0,1,...）.又设在第i 层进入的每个人相互独立地以p i,j 在第j 层离开,且∑j>i p i,j =1.若记O j 在第j 层离开电梯的人数（j =1,2,3,...）,试求O j 的数学期望.8.已知汽车以强度为λ的Poisson 过程进入一条相当长的单行道均匀行驶.设第i 辆车的速度为V i ,诸V i 相互独立且同分布.记P a,b =1t ∫t 0P(a <V 1(t −s )<b )d s.(a)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的平均汽车数目;(b)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的汽车数的分布.9.一部仪器受到的冲击数N (t )为强度λ的Poisson 过程,设第i 次的冲击造成的损伤为D i ,{D i ,i =1,2,...}独立同分布,并与N (t )独立.若损伤随时间指数递减,即经过t 时间后,D i 变为D i e −αt (α>0),则时刻t 仪器所受的总损伤为:D (t )=N (t )∑i =1D i e −α(t −W i ),其中W i 为第i 次冲击来到的时刻,试求E[D (t )](假定E[D i ]=D ).10.假定参加健康的保险者中出险的人数X (t )为一强度λ的Poisson 过程,现以Y n 代表第n 个出险者应获得的赔偿,设Y 1,...,Y n ,...独立（且与X (t )独立）,都服从参数为µ的指数分布.若以Y (t )表示到t 时刻为止保险公司必须支付的全部赔偿,试求E[Y (t )]、Var[Y (t )]和Y (t )的矩母函数g Y (t )(s ).11.设移民到某地区定居的户数N (t )是一个Poisson 过程,平均每周有2户定居,即强度λ=2.如果每户的人口数为独立同分布的随机变量Y i ,i =1,2,...,且分布律为(123416131316).记X (t )=N (t )∑i =1Y i ,2(a)试求5周内移民到该地区人口的数学期望和方差;(b)求X(t)的矩母函数.3。

随机过程第三章-泊松过程

随机过程第三章-泊松过程

N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则

现代通信系统-2-建模理论-3

现代通信系统-2-建模理论-3
13
状态转移概率矩阵的性质
对于齐次Markov过程，利用上述定义可以验证状态转移 概率矩阵 P( t ) = { pij ( t )}( i , j ∈ S ) 满足如下性质：
(1) (2) (3) pij ( t ) ≥ 0, i , j ∈ S ;
∑ p (t ) = 1;
j∈S ij
pij ( u + t ) = ∑ pik ( u) pkj ( t ), u, t ≥ 0, i , j ∈ S ;
∑π
i
i∈S i
=1
( πe = 1) e 是单位纵向量
12
π = {π 1 ,π 2 , ,π i , }, π i 为处于 i 状态的概率分布。
连续时间Markov过程
记状态空间为 S = {0,1, 2,
}
定义1 设随机过程 X = { X ( t ), t ≥ 0} 对任意
0 ≤ t0 < t1 <
¾ 矩阵表示：
[ P ( n ) ] = [ P ] [ P ( n−1 ) ] = [ P ] [ P ][ P ( n− 2 ) ] = = [ P ]n
¾ 可见，对于齐次M链来说，一步转移概率完全决定了n 步转移概率。 ¾ 非周期不可约的有限状态 M 链，其平稳状态概率分布 存在，且满足
π j = ∑ π i pij ( π = π P) π是横向量
n =1 n =1
∞
∞
Fn ( t ) 是 Tn 的分布函数。 式中，
24
剩余时间与工作时间
¾ 定义： Yn ( t ) = Tn − t 为剩余时间 (剩余寿命) ； Z n ( t ) = t − Tn−1为已工作时间 (使用寿命)。 ¾ 定理： 时间间隔分布为F(x)，平均更新时间为λ −1 的更新过 程，其剩余时间分布 H Y ( x )等于使用寿命的分布 H Z ( x )

3.2011年随机过程 第3章

3.2011年随机过程 第3章
时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立 的，求12时到14时有2000人来站乘客的概率，并求 这两个小时内来站乘客人数的数学期望。 P38
例10 解
设某飞机场到达的客机数服从的泊松过程，平均 每小时到达的客机数为5架，客机共有A,B,C三种 机型，它们承载的客机数分别为180人，145人， 80人，且这三种飞机出现的概率相等，求在3小时 内到达机场的乘客数的数学期望与方差。
P{N (s1 t) N (s1) 0}
P{N (t) N (0) 0} （独立增量过程）
P{N (t) 0} et
可见 T2 也服从均值为1/ 的指数分布
且T2 与T1 独立同分布。
一般地
P{Tn
对 n 1和t，s1，s2，，sn1 0 t | T1 s1,T2 s2 ,,Tn1 sn1}
解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
N1(t) 和 N2 (t) 的强度分别为 1 1/10 ， 2 1/15
下面证明两路车混合到达过程 N (t) 服从强度为
1 2 的泊松分布
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事实上 1） N(t) = N1(t) + N2 (t) 是独立增量
2) P{N (t s) N (s) n} P{N2 (t s) N2 (s) N1(t s) N1(s) n}
kn (k 1)!
kn (k )!
(t)n1 et (t)k1 et (t)k et
(n 1)! kn1 (k 1)!
kn (k )!
et (t)n1
(n 1)!
它是n个相互独立的服从指数分布 的随机变量之和的概率密度
例：P35
X1(t)和X 2 (t)是两个相互独立的强度为1和2的泊松
主讲教师：蔡吉花 黑龙江科技学院

(解答)《随机过程》第三章习题

(解答)《随机过程》第三章习题
义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；

（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!

lim
h0
Pt
2

h 2

S2

t2

h 2 ,t5 h2

h 2

S5

t5

h
2


5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更

随机过程第三章 泊松过程


解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1

第二章-泊松过程-随机过程

n
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t) sup{n : Sn t}， 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )＝et ( etetdt C1 )＝et (t C1 )，

随机过程第三章泊松过程

随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。

泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。

在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。

泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。

泊松过程具有很多重要的性质。

首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。

其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。

此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。

泊松过程具有广泛的应用。

在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。

在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。

在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。

在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。

常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。

矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。

此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。

非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。

二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。

综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。

研究生随机分析2.Poisson过程


= Pn (t )P0 (h ) + Pn − 1 (t )P1 (h ) + o(h )
= Pn (t )e − λh + Pn − 1 (t )[λh + o(h )] + o(h )
(独立， 平稳增量)
= Pn (t )[1 − λh + o(h )] + Pn −1 (t )[λh + o(h )] + o(h ) = Pn (t )[1 − λh] + Pn −1 (t )λh + o(h )
n!
,n ≥ 0
由(3)可知，EN (t ) = λt , λ称为过程的率.
定义2.
{N (t ), t
≥ 0} 称为Poisson过程如果
(1) (3) (4)
N (0 ) = 0 ≥ 0}有平稳、 独立增量 P( N (t ) = 1) = λt + o(t ) P ( N (t ) ≥ 2 ) = o(t )
(2) {N (t ), t
定理1
定义 1 与定义 2 等价
证
先证定义2 ⇒ 定义 1
令 Pn (t ) = P( N (t ) = n )
导出关于P0 (t )的微分方程， 再求出P0 (t )的表示式
P0 (t + h ) = P( N (t + h ) = 0)
= P( N (t ) = 0, N (t + h ) − N (t ) = 0 )
∑X
k =1
n
k
,
则 {N (t ), t ≥ 1}是 Poisson 过程.
事实上： P( N (t ) = n ) = P( N (t ) ≥ n ) − P( N (t ) ≥ n + 1)
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Poisson 过程
1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差.
2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }).
3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求:
(a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ;
(b)E[N (s )N (s +t )]=?
(c)Cov(N (s ),N (s +t ))=?
(d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布;
(e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻)
4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间;
(b)蓝车首先到达的概率;
(c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率;
(d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望;
(e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望.
5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？
6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3.
1
(a)试问N i (t ),i =1,2,3分别是什么过程？又问N 1(t ),N 2(t ),N 3(t )是否相互独立？若独立,
请证明.
(b)若每订出1季杂志可获1元手续费,现以X (t )表示(0,t ]内所获全部手续费,试求E[X (t )]
与Var[X (t )].
7.一电梯从底层（第0层）开始上升,设在第i 层进入电梯的人数N i 服从参数为λi 的Poisson 分布,且诸N i 相互独立（i =0,1,...）.又设在第i 层进入的每个人相互独立地以p i,j 在第j 层离开,且
∑j>i p i,j =1.若记O j 在第j 层离开电梯的人数（j =1,2,3,...）,试求O j 的数学期望.
8.已知汽车以强度为λ的Poisson 过程进入一条相当长的单行道均匀行驶.设第i 辆车的速度为V i ,诸V i 相互独立且同分布.记
P a,b =1t ∫t 0P(a <V 1(t −s )<b )d s.
(a)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的平均汽车数目;
(b)试求在时刻t 时位于路段(a,b )的汽车数的分布.
9.一部仪器受到的冲击数N (t )为强度λ的Poisson 过程,设第i 次的冲击造成的损伤为D i ,{D i ,i =1,2,...}独立同分布,并与N (t )独立.若损伤随时间指数递减,即经过t 时间后,D i 变为D i e −αt (α>0),则时刻t 仪器所受的总损伤为:
D (t )=N (t )
∑
i =1D i e −α(t −W i ),
其中W i 为第i 次冲击来到的时刻,试求E[D (t )](假定E[D i ]=D ).
10.假定参加健康的保险者中出险的人数X (t )为一强度λ的Poisson 过程,现以Y n 代表第n 个出
险者应获得的赔偿,设Y 1,...,Y n ,...独立（且与X (t )独立）,都服从参数为µ的指数分布.若以Y (t )表示到t 时刻为止保险公司必须支付的全部赔偿,试求E[Y (t )]、Var[Y (t )]和Y (t )的矩母函数g Y (t )(s ).
11.设移民到某地区定居的户数N (t )是一个Poisson 过程,平均每周有2户定居,即强度λ=2.
如果每户的人口数为独立同分布的随机变量Y i ,i =1,2,...,且分布律为
(1
23416131316).
记X (t )=N (t )∑
i =1Y i ,
2
(a)试求5周内移民到该地区人口的数学期望和方差;
(b)求X(t)的矩母函数.
3。