随机过程-1泊松过程PPT课件

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泊松过程的定义和例
(1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t的区间中, 事件A发生的次数服从 参数λ＞0的泊松分布,即对任意s,t≥0,有
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,(n =t ) n0,1,2,…. n!
• 从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt. 由于: λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均 个数,故称λ为泊松过程的速率或强度.
硕士研究生学位课程《应用数学基础》
泊松过程
(Poisson process)
(演示文稿)
主讲教师 段禅伦
2008年秋季学期
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第三章 泊松过程
• 泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机
过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天
文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用.
• 如果计数过程N(t)在(t,t+s](s＞0)内,事件A发生的次
数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关, 则
计数过程N(t)是平稳增量过程.
• 泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是:
定义3.2 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊
松过程,如果{X(t),t≥0}满C足HEN下LI 列条件:
=P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0}
=P0(t)[1-λh+o(h)],
所以 P0(t hh)=-Pλ0(Pt)0(t)+ .
o(h) h
令h→0取极限得
P’0(t)=-λP0(t)
或
=P-0λ (.t ) CHENLI P 0 ( t )
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积分得
lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt. 由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有
• 从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过 程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说 明事件A的计数是从t=0时CHE开NLI始的; 条件(2)通常可从我4
泊松过程的定义和例
们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式:
P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). • 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能CH有ENL2I 个或2个以上事件同时发5
泊松过程的定义和例
生. 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足. 例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t)
3.1 泊松过程的定义和例 定义3.1 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程, 若N(t)表
示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列
条件:
(1) N(t)≥0;
(2) N(t)取正整数值; (3) 若s＜t,则N(s)≤N(t); (4) 当s＜t时, N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的事
定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的.
证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3C.H2E的NLI 条件(3)中蕴涵X(t)为平7
泊松过程的定义和例
稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推
出定义3.3的条件(3).由式
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ( ,tn) n=0,1,2,….
表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数, 则 {X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0} 是一个泊松过程. 其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过{X(t),t≥0} 是一个独立增量过程. 而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t)C,HtE≥NL0I }是平稳独立增量过程. 6
对充分小的h,有
n!
P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) ( h ) 1
=e-λh =λh 1!
(h)n
n0 n!
=λh[1-λh+o(h)]
=λh+o(h);
P{X(t+h)-X=(t)≥2}=P{ X(nh2)e-Xh((0)n≥h!)2n }
件A的次数.
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泊松过程的定义和例
• 如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内, 事件A发
生的次数是相互独立的,即若
t1＜t2≤t3＜t4 则在区间(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在 (t3,t4]内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么 此时的计数过程N(t)是独立增量过程.
泊松过程的定义和例
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程.
例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.
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=o(h).
泊松过程的定义和例
以下证明定义3.3蕴涵定义3.2. 经比较,只需证明由
定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令
Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}. 根据定义3.3的(2)与(3),有
P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0} =P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0}