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光学薄膜与多层干涉的数学模型光学薄膜是一种应用广泛的光学器件，具有重要的科学研究和工程应用价值。
它的原理基于多层干涉效应，通过精密设计和控制，可以实现对光的传输和反射的精确控制。
本文将讨论光学薄膜的数学模型，并探讨它在实际应用中的一些特点和限制。
一、多层膜干涉的基本原理多层薄膜干涉是基于光的干涉现象。
当光波通过不同折射率材料的界面时，会发生干涉现象，产生明暗条纹。
当干涉的两束光在一定条件下相互干涉，就会出现干涉增强或干涉衰减的现象。
通过这种干涉现象，可以实现对光的透射、反射和分光等精确控制。
多层薄膜是由一层一层的不同折射率的材料组成的，每一层材料的厚度都是光的波长的整数倍。
通过调节每一层材料的厚度和折射率，可以控制光的穿透和反射。
例如，当两层折射率不同的材料相互干涉时，可以产生反射、透射和干涉条纹。
这些干涉条纹的强度和分布可以通过数学模型来预测和计算。
二、光学薄膜的数学模型光学薄膜的数学模型基于Maxwell方程组和边界条件。
通过对Maxwell方程组进行求解，可以得到光波在不同折射率材料中的传播方程和边界条件。
根据这些方程和条件，可以进一步推导出光的强度分布和相位分布。
光的传播可以用电场强度分布的波动方程来描述。
在每一个界面上，要满足边界条件，即电场和磁场在界面上的连续性和边界条件。
通过求解这些方程和条件，可以得到光波在光学薄膜中的反射、透射和干涉现象。
通过数学模型，可以得到光的反射系数和透射系数的表达式，从而得到光的强度分布和相位分布。
通过进一步的计算和优化，可以得到多层薄膜的厚度和折射率的最佳组合，实现对光的最优控制。
三、光学薄膜的特点和限制光学薄膜具有一些特点和限制。
首先，光学薄膜的设计和制备需要高度精密的工艺，要求薄膜的厚度和折射率的精度非常高。
这对材料的选择和工艺的控制提出了挑战。
其次，光学薄膜的性能对入射光的波长和角度非常敏感，需要根据具体的应用和需求进行精确的设计和调整。
此外，光学薄膜在实际应用中也存在一些限制。
数学建模双层玻璃的功效模型评价
双层玻璃是一种常见的建筑材料，具有一些独特的功效。
本文将基于数学建模方法，对双层玻璃的功效进行评价。
首先，我们可以通过数学模型评估双层玻璃的保温性能。
双层玻璃的两层之间通常会填充一种叫做气体的绝热材料，如氩气或氪气。
这些气体具有较低的热传导性，可以减少室内与室外的热量传递。
我们可以利用传热学中的热传导理论，建立数学模型来计算双层玻璃的热传导系数。
通过对比单层玻璃和双层玻璃的热传导系数，我们可以评估双层玻璃在保温方面的功效。
其次，我们可以利用数学模型来研究双层玻璃的隔音效果。
双层玻璃通过夹层的气体和两层之间的距离，可以有效吸收声波的能量，减少声音的传播。
我们可以运用声学原理，建立声波传播的数学模型，计算双层玻璃的声学性能指标，如声传递系数和噪音减少量。
通过与单层玻璃进行对比，我们可以评估双层玻璃在隔音方面的功效。
此外，数学建模还可以应用于评估双层玻璃的安全性能。
双层玻璃的两层之间可以夹入一层薄膜，以增强玻璃的抗冲击能力和防护性能。
我们可以运用力学原理建立数学模型，评估双层玻璃在受力情况下的强度和稳定性。
通过计算双层玻璃的抗压强度和抗张强度，我们可以对其安全性能进行评价。
总之，数学建模是评价双层玻璃功效的有效工具。
通过建立合适的数学模型，我们可以准确评估双层玻璃在保温、隔音和安全性能方面的优势，为建筑设计和使用提供科学依据。
细胞穿透肽
细胞穿透肽（cell-penetrating peptide，CPP）是一种能够携带大分子物质进入细胞的短肽，其穿膜能力不依赖经典的胞吞作用，非ATP依赖。
近年来，CPP作为一种潜在的药物输送高效转运载体得到了研究者的广泛关注。
研究发现，CPP能够通过多种机制进入细胞，包括非内吞途径、膜孔道形成、膜脂质相互作用等。
同时，CPP还具有良好的生物相容性、低免疫原性和易于化学修饰等优点，因此被广泛应用于药物递送、基因治疗和纳米生物材料等领域。
细胞穿透肽（CPP）是一种能够携带大分子物质进入细胞的短肽。
其穿膜能力不依赖经典的胞吞作用，而是通过多种机制实现。
主要机制是：
1. 非内吞途径：CPP可以通过直接穿越细胞膜的方式进入细胞，这种机制称为非内吞途径。
研究表明，一些CPP如TAT 和Pep-1可以通过这种方式进入细胞。
2. 膜孔道形成：一些CPP可以形成孔道或通道，从而将大分子物质运输到细胞内部。
例如，聚精氨酸（polyarginine）和其类似物可以形成孔道，使细胞膜变得通透，从而促进大分子物质的进入。
3. 膜脂质相互作用：CPP还可以与细胞膜上的脂质分子发生相互作用，从而改变膜的结构和通透性。
例如，一些CPP如
Melittin和SynB可以通过与膜上的磷脂分子结合，改变膜的结构，从而促进大分子物质的进入。
总之，CPP的穿膜机制多种多样，不同的CPP可能采用不同的机制。
这些机制的深入了解有助于设计更加高效和特异性的药物递送系统。
数学建模——原子弹爆炸的能量估计（医学参照）原子弹爆炸所释放的能量是巨大的，而对于医学来说，我们需要关注的是此次爆炸对健康的影响。
因此，在进行能量估计时，我们需要考虑的不仅是爆炸造成的破坏，还要考虑辐射对人体的影响。
首先，我们可以利用质能方程E=mc²来估算原子弹爆炸所释放的能量。
其中E为能量，m为失重的质量，c为光速（3×10^8 m/s）。
以1945年美国在广岛投下的“小男孩”原子弹为例，其质量为64 kg，如果它完全失重了，那么释放的能量为：E = 64 ×（3 × 10^8）² = 5.76 × 10^17 J这个数字太大了，难以想象。
我们可以将其与医学中用的单位——格雷（Gy）进行比较。
格雷是一种测量辐射剂量的单位，表示每公斤物质所吸收的辐射剂量。
经过计算，我们可以估计出广岛原子弹爆炸后周围瞬时释放的电离辐射剂量为3.4 × 10^15 Gy，随着时间的推移，这个剂量会不断下降。
这个数字很大，但并不能直接表明辐射对人体的影响。
不同的组织对辐射的敏感程度不同，因此我们还需要进行更详细的计算。
辐射对人体的影响主要包括两个方面：急性病理反应和慢性病理反应。
急性病理反应是指在短时间内接受高剂量辐射后，人体出现的一系列急性症状，可导致死亡。
而慢性病理反应则可能在长时间内造成慢性疾病，如癌症。
对于辐射剂量不同的组织，它们所受损害的也有所不同。
例如，免疫系统和骨髓对辐射的敏感程度较高，而肝脏和肺部的敏感程度较低。
因此，在评估辐射对人体的影响时，需要针对不同的组织进行分析。
另外，辐射的类型也会影响其对人体的影响。
电离辐射分为α、β、γ三种类型，其中α辐射对组织的影响最大，因为它的能量很高，穿透力很弱，很容易被身体内的组织吸收。
而γ辐射穿透力很强，对人体内部的所有组织都有影响。
总之，原子弹爆炸所释放的能量及其对人体的影响是一个十分复杂的问题，需要考虑多个因素。
1.3.2薄膜渗透率的测定1、问题提出某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它(从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散)的功能,在试制时需要测定薄膜被这种分子穿透的能力.测定方法如下:用面积为S 的薄膜将容器分为体积分别为,A B V V 的两部分,在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液.此时,该物质分析就会穿过薄膜从高浓度溶液向低浓度溶液扩散.已知通过单位面积薄膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比,比例系数K 表征了薄膜被该物质分析穿透的能力,称为渗透率.定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值,可以确定K 的数值试用数学建模的方法解决K 值的求解问题. 2、数学模型的建立 （1）假设①薄膜两侧的溶液始终是均匀的,即在任何时刻膜两侧的每一处溶液的浓度都是相同的.②当两侧浓度不一致时,物质的分子穿透薄膜总是从高浓度向低浓度溶液扩散. ③通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比.④薄膜式双向同性的,即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的. （2）符号说明①()(),A B C t C t :t 时刻薄膜两侧溶液的浓度.②,A B a a :初始时刻膜两侧溶液的浓度(单位:3/mg cm ). ③K :渗透率.④,A B V V :由薄膜阻隔的容器两侧的体积. (3)模型的建立考虑时间段[,]t t t +∆薄膜两侧容器中该物质质量的变化. 以容器A 侧为例,物质质量增加量为:()()A A A A V C t t V C t +∆-,由渗透率的定义,从B 侧渗透至A 侧的该物质的质量为: ()B A SK C C t -∆, 由质量守恒定律有: ()()()A A A A B A V C t t V C t SK C C t +∆-=-∆,整理得:()A B A AdC SKC C dt V =-.…………(1) 因为整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,即有()()A A B B A A B B V C t V C t V a V a +=+, (2)()()B B A A B B A AV VC t a a C t V V =+- ………………（3） 将（3）带入（1）得：11B A B B A B B A dC a a SK C SK dt V V V V ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且()0B B C a =, 解得：()()11A B SK tV V A B A A A B B B A B A BV a a a V a V C t e V V V V ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-+=+++.至此，问题归结为利用B C 在时刻j t 的测量数据()1,2,j C j N =来辨识参数K 和,A B a a ，对应的数学模型变为求函数：()()()21min ,,nA B B j jj E K a a C t C ==-∑,令 (),A BA A AB BA B A BV a a a V a V a b V V V V -+==++, 问题转化为函数()1121,,SK t V V A B ne A B j j E K a a a be C ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑j 的最小值点。
分子穿透能力的测定
摘要
通过对问题的分析，根据质量守恒，利用微分方程模型，得到了关于浓度低一侧浓度对时间的微分方程模型，通过求解参数和简化以后确定了浓度与时间的指数关系。
运用MATLAB编程进行拟合，求得参数，从而得到渗透率K。
最后，对拟合结果进行检验，检验结果见图5.2.1和图5.3.1。
关键字：渗透率MATLAB软件参数估计微分方程模型
一、问题重述
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在测试时需测定薄膜被这种分子穿透的能力。
测定方法如下：用面积10cm2的薄膜将分成体积分别为100cm3和100cm3的两部分，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。
此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。
通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。
定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定K的数值。
对容器一侧溶液浓度的测试结果如下：
t j100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 C j(10-3mg/cm3) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
试建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序。
二、问题分析
用单位体积溶液中所含的溶质质量数来表示的浓度叫质量-体积浓度，题中给出的浓度为质量-体积浓度。
通过薄膜单位面积分子扩散速度与膜两侧溶液浓度差成正比例，比例系数K被称为渗透率，它表征了薄膜被分子穿透的能力。
要确定渗透率，需要建立通过薄膜单位面积分子扩散速与薄膜两侧浓度差的关系模型。
在本题中我们可以根据质量守恒来进行求解，考察时段[]t
,薄膜两侧容
+
t t∆
器中该物质质量的变化，可以用两种形式表示出来，薄膜的一侧在时段[]t
+
,内
t t∆
物质质量的增加，以及根据渗透率K表示的一侧渗透至另一侧的物质的质量，两者相等可得到等式（1）。
其次，整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，也是质量守恒，可得到等式（2），即联立两个等式，可以得到浓度与时间的表达式，代入数据，对等式的系数进行求解。
三、模型假设
1、薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻薄膜两侧的每一处溶液的
溶度都是相同的；
2、当两侧浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜总是从高浓度溶液向低浓度
溶液扩散；
3、通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比；
4、薄膜是双向性的，即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。
四、符号定义与说明
符号 定义与说明
K 渗透率
)(t C A t 时刻薄膜的A 侧溶液浓度
)(t C B t 时刻薄膜的B 侧溶液浓度
A V 薄膜A 侧的体积
B V 薄膜B 侧的体积
S 薄膜的面积
)0(A C 初始时刻A 侧的溶液浓度
)0(B C 初始时刻B 侧的溶液浓度
五、模型的建立与求解
5.1 模型的建立
考察时段[]t t t ∆+,薄膜两侧容器中该物质质量的变化。
在容器的一侧，物质质量的增加是由于另一侧的物质向该侧渗透的结果，因此物质质量的增量应等于另一侧的该物质向这侧的渗透量。
设)(t C A 、)(t C B 分别表示在时刻t 膜两侧溶液的浓度，浓度单位:3/cm mg 以容器A 侧为例，在时段[]t t t ∆+,物质质量的增量为：
)()(t C V t t C V A A A A -∆+
由于平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数为K 。
因此，在时段[]t t t ∆+,，从B 侧渗透至A 侧的该物质的质量为：
t S t C t C K A B ∆-))()((
于是有：
t S t C t C K t C V t t C V A B A A A A ∆-=-∆+))()(()()(
两边除以t ∆，并令0→∆t 取极限再稍加整理即得：
A
A B A V t C t C SK dt t dC ))()(()(-= （1） 注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，因此
)0()0()()(B B A A B B A A C V C V t C V t C V +=+
其中)0(A C 、)0(B C 分别表示在初始时刻两侧溶液的浓度
从而：
A B B A B B A A V t C V V C V C t C )()0()0()(-+=
代入式（1）得：
))0()0(()()11()(B
A A
B B B A B V
C V C SK t C V V SK dt t dC +=++ 解得：
t V V SK B
A A A
B B A B B A A B B A e V V V
C C V V V C V C t C )11())0()0(()0()0()(+-+-+++= 由上面的分析得到()B C t 的表达式后问题归结为利用CB 在时刻tj 的测量数据Cj(j=1,2,...,N)来辨识 K 和 ,A B αα
引入： B A B B A A V V V C V C a ++=
)0()0( B
A A A
B V V V
C C b +-=))0()0(( 从而 t V V SK B B A be a t C )11()(+-+=
将321000,10A B V V cm S cm ===代入上式有：
0.02()Kt B C t a be -=+
5.2 模型的求解
由5.1可知)(t C B 和t 的关系式，可用该关系式来拟合附件中给的定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值的实验数据，即确定参数,
a ,
b K 的值。
利用MATLAB 软件编程解得 006941.0=a 002937.0-=b 08093.0=K
容器一侧的溶液浓度离散点与拟合结果图见图5.2.1。
图5.2.1容器一侧的溶液浓度离散点与拟合结果图
5.3 拟合检验
运用MATLAB 软件对拟合的结果进行检验，检验的结果见图5.3.1拟合检验结果截图。
图5.3.1拟合检验结果截图
其中
Sse表示误差平方和,值越小，表示拟合的曲线和真实数据越接近
Rsquare表示确定系数,值越接近于1越好
dfe表示自由度即能够自由取值的变量个数
Adjrsquare表示调整后的确定系数,值越接近于1越好
Rmse表示均方根误差,值越小，表示拟合的曲线和真实数据越接近
由结果可知sse和rmse两者的值都十分接近于一，即表示拟合的曲线和真实数据十分接近，并且确定系数和调整后的确定系数两者的值都接近于1，即综合表示拟合结果较好。
六、模型评价及推广
本文主要根据质量守恒，利用微分方程模型，得到了关于浓度低一侧浓度对时间的微分方程模型，通过求解参数和简化以后确定了浓度与时间的指数关系，
运用MATLAB编程进行拟合，求得参数，从而得到渗透率K。
模型较为简单，易于实现，通用性强。
七、参考文献
[1] 章绍辉，数学建模.北京；科学出版社，2010第一版.
[2] 袁振东、洪源，数学建模.华东师范大学出版社，2002第一版.
八、附件
MATLAB程序
clc;
clear all;
t= [100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000];
t=t';
c=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
c=c';
st=[0,0.05,0.05];
ft_ = fittype('a+b*exp(-0.02*K*t)','dependent',{'c'},'independent',{'t'}, 'coefficients',{'a', 'b', 'K'});
%f = fit(t,c,ft_ ,'Startpoint',st)
[f, goodness]= fit(t,c,ft_,'Startpoint',st)
figure
plot(f,'predobs',0.95);
hold on,plot(t,c,'b*')。
