高中数学 2.4幂函数学案 苏教版必修1(2)

2.4 幂函数知道幂函数也是一类函情况和性质二、 预习指导 1. 预习目标(1)了解幂函数的概念，会画出幂函数2132,1,,,x y xy x y x y x y ===== 的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.(2)了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.(3)进一步体会数形结合的思想. 2. 预习提纲(1)阅读课本P72,了解幂函数的概念，区别幂函数与指数函数.(2)结合课本P72例1，在同一坐标系中作出函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图象.观察上述图象填写下表：(3)结合(2)中图象与表格，归纳幂函数αx y =的一般性质. 3. 典型例题 (1)幂函数的概念xyO例1 已知221()(2),mm f x m m x m +-=+为何值时，()f x 是幂函数？分析：根据幂函数的概念，建立关于m 的方程求解． 解：由题得：221m m +=，解得：1m =-点评：形如“y x α=(α为常数)”的函数叫幂函数，这是一个形似概念，x α的系数是1. 例2 若幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(25)f 的值. 分析：先用待定系数法求出幂函数的解析式，再求(25)f 的值. 解：设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=， 即1233α-=，12α∴=-，12()f x x -∴=，121(25)255f -∴==.点评：注意193α=中，α的求法. (2)幂函数的图象与性质例2 判断幂函数是否具有下列性质：(1) 都过(0，0)点； (2) 都过(1，1)点；(3) 不是奇函数就是偶函数； (4) 至少在(0，+∞)上有定义； (5) 不可能是R 上的减函数；(6) (0，+∞)是幂函数()y x Q αα=∈值域的子集. 分析：画出幂函数的图象，观察图象，逐一判断． 解：图略幂函数具有性质⑵ ⑷ ⑸性质⑴的反例为1y x -=；性质⑶的反例为12y x =；性质⑹的反例为0(0)y x x =≠. 点评：要熟记幂函数在第一象限的图象与性质，其它象限根据奇偶性来定. 例3 画出23y x =的图形，并讨论23y x =的定义域、值域、奇偶性、单调性. 分析：根据作出的23y x =的图形“看图说话”. 解：由题得：23y x =的定义域为R ；值域为[0,)+∞；偶函数；在[0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞点评：研究幂函数的性质要充分依靠幂函数的图象. 例4 已知幂函数223*()mm y x m N --=∈分析：结合幂函数图象建立m 的方程，但注意0(0)y x x =≠解：由题得：2223023m m m m ⎧--≤⎨--⎩①②为偶数，由①解得：13m -≤≤，又*m N ∈，∴1,2,3m m m ===或或， 分别代入②检验得：1, 3.m m ==或 点评：容易遗漏0α=的情形. 例5 比较下列各组数的大小(1)1,7.1,5.13131； (2)3432321.1,)710(,)22(----；(3)535232)8.1(,9.3,8.3---； (4)5.14.15,3.分析：(1)考察幂函数13y x =；(2)考察幂函数23y x-=；(3)(4)都可插入中间量.解：(1)3111= ，15.17.1>>且31x y =在R 上单调递增，31313115.17.1>>∴.(2)32343232323221.11.1,)107()710(,)22()22(-----==-=-，32-=x y 在),0(+∞上单调递减，且21.122107<<，32323221.1)22()107(--->>∴，即22433310()( 1.17--->>. (3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0)8.1(,19.3,,18.30535232<-><<--533252)8.1(8.39.3--->>∴(4)它们的底和指数都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数5.13，利用幂函数和指数函数的单调性得5.15.14.1533<<点评：比较幂形式的两个数的大小，一般思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找一个恰当的数作为桥梁来比较大小. 4. 自我检测(1)下列函数中是幂函数的有__________．①23x y =；②2x y =+1；③x y 1-=；④xy 1=；⑤32x y =；⑥x y 2=．(2)已知幂函数:①3x y =；②21x y =；③ 1-=x y ；④32x y =； 其中定义域是R 的函数有__________；是偶函数的有__________． (3)幂函数)(x f y =的图象过点(4，2)，则=)8(f __________． (4)幂函数1-=x y 在[1，2]上的最大值是__________．(5)已知函数①x y =；②2x y =；③2-=x y ；④xy 2=其中定义域是R 且在R 上单调递增的有__________．(6)函数22)33()(++-=m x m m x f 是幂函数，且函数)(x f 为偶函数，则=m __________．三、课后巩固练习A 组1．在以下四个函数：232334,,y x y x y x y x -====与中，定义域为R 的函数为__________． 2．(1)函数122(2)y x x -=-的定义域为_________．(2)2324()(log 1)f x x =-的定义域为_________．3．在以下四个函数：212332,,y x y x y x y x -====与中，值域为[0,)+∞的函数共_____个． 4． 函数13y x =的图象是( )5．已知函数12()f x x =，若()1f b <，则实数b 的取值范围是___________ ．6.(1)设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．(2)已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m =___________ ．7．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v (单位：s cm /3)与管道半径r (单位：cm )的四次方成正比，若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400s cm /3，(1)求该气体通过半径为r 的的管道时，流量速率v 的表达式；(2)若气体通过的管道半径为5cm ，计算气体的流量速率(精确到1s cm /3)．B 组8．给出下列四个命题：① 幂函数的图象都通过(0，0)，(1，1)两点；② 当α<0时，幂函数y x α=的值在定义域内随x 的增大而减少； ③ 幂函数的图象不可能出现在第四象限；④ 当幂函数y x α=的图象是一条直线时，α=0或α=1． 其中正确的命题共有__________个．9．如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，24比较1,,,,,04321αααα的大小关系为___________． 10.(1)函数234()()mm f x x m Z --=∈是幂函数，当0x >时，()f x 是减函数，则m 的取值的集合为___________． (2)已知幂函数23()mm f x x --=为奇函数，且在区间()0,+∞上是减函数()2m N m *∈≥且，则(2011)f -_______(2012)f -(填写“>”、“=”或“<”) ． 11．求函数23(2)y x -=+的定义域、值域，并讨论其单调性. ．12．比较大小：(1) 若0a <，比较12,(),0.22aa a的大小； (2) 若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小． 13．x y -+=31的简图，并写出单调区间．C 组14．已知1155(3)(12)a a ---<+，求a 的取值范围．幂四、 学习心得五、 拓展视野并非危言耸听公元1972年尼克松再次当选为美国总统后，建议美苏两国联合攻克癌症，美方赠送了23种致癌病毒，苏方回赠了六名癌症患者的癌细胞标本.翌年一月，美国癌症研究中心将赠送的癌细胞标本分送给几位科学家研究，其中一份送到了加州细胞培养实验所所长尼尔森芮斯博士手上.尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清楚了苏方赠送的六个标本全是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞.拉克丝于1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌，这种特殊的癌细胞具有极强的繁殖力和生命力，拉克丝从被发现第一个病灶到死亡，整个过程不足8个月.科学家们提取这种细胞加以培养，发现它竟以x A y 20⋅=(0A 为原始数量，x 为天数)这样的指数曲线疯狂生长，每24小时便增加一倍.就这样这种新发现的癌细胞被命名为“海拉”，并被严格控制于实验室. “海拉”在不足一个月的时间里便能增加数千万倍，这使过去一直认为的健康细胞“自发”转变为癌细胞的神秘现象得到了新的解释，原来所谓“自发”的转变，只不过是癌细胞消灭健康细胞并占领了整个培养物！事隔二十多年，“海拉”不仅没有死亡，而且还出现在了莫斯科，于是尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲响了警钟：“如果听任‘海拉’无抑制生长，它们很可能已经占领整个世界！”这是危言耸听吗？不！这是科学的结论.如果任其生长，一年后其数量为36502⋅=A y ，这个数字有多大？我们利用对数来计算一下：=+=36502lg lg lg A y ≈+2lg 365lg 0A 3010.0365lg 0⨯+A865.109)lg(0=∴A y，从而01090865.10910328.710A A y ⨯≈=这么多的细胞不必说占领地球，就是占领整个宇宙也不算过分！好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般的生长和繁殖.具有讽刺意味的是：人类虽然很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着！公元初地球上的人口不足2亿5千万，公元1650年世界人口才达5亿，我们可以计算这段时间内世界人口的增长率P ：165088)1(105.2105P +⨯=⨯ ，1650)1(2P +=∴)1lg(16502lg P +=，0001824.016503010.0)1lg(=÷=+P ， 042.0,00042.11==+∴P P %这就是说公元后的1650年里，世界人口平均每年只增长万分之四多一些.然而，从公元1650年到公元1800年仅一个半世纪，世界人口又翻了一番，可算出这段时间增长率为%46.0，比前面高了10倍！而从1800年到1930年，世界人口再次翻番，达20亿.1960年达30亿，1975年达40亿，1987年达50亿，------世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上升！科学家告诉我们，我们赖以生存的地球最多只能养活(80～100)亿人口，但是按目前人口的增长速度，2000年已达65亿，2025年将突破100亿！再这样下去，地球将无法承受，人类将最终毁灭自己！这是危言耸听吗？不！这是科学向人类发出的警告！。