二次函数与一元二次方程 教学设计

《二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）》教学设计◆教学目标1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．◆教学重难点◆教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．◆课前准备GEOGEBRA、PPT课件．◆教学过程一、情境引入★资源名称：【情景演示】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，提出对二次函数与一元二次方程、不等式之间联系的思考，引发学生以类比的视角来学习函数、方程、不等式之间的关系．注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x ，另一边为y ，可以得到⎩⎨⎧>=+.20,12xy y x 此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．2．部分学生用一个未知数x 即可表示问题中的不等式20)-12>x x （，但学生容易忘记自变量x 的取值范围．追问：不等式20)-12>x x （即020122<+-x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022<++>++c bx ax c bx ax 或，并且强调二次项的系数a ≠0．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数20122+-=x x y 为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问1：教师用信息技术画出函数20122+-=x x y 的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P （x ，y ）．当点P 在抛物线上移动时，请你观察：随着点P 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？师生活动：学生观察思考后回答．预设的答案：当点P 移动到x 轴上时，它的纵坐标等于0（即0=y ）；当点P 移动到x 轴上方时，它的纵坐标大于0（即0>y ）；当点P 移动到x 轴下方时，它的纵坐标小于0（即0<y ）．追问2：当点P 的纵坐标y =0时、y ＞0时、y ＜0时所对应的横坐标x 的取值范围分别是什么？师生活动：学生独立获得答案．师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c ＜0(a＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．3．应用举例例1 求下列不等式的解集：（1）0652>+-x x （2）01692>+-x x （3）03-2-2>+x x追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即0<a )的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．预设的答案：（1）解：对于方程0652=+-x x ，因为∆＞0， 所以它有两个实数根，解得3,221==x x ，画出二次函数652+-=x x y 的图象（图2.3-2）结合图象得不等式0652>+-x x 的解集为}{3,2><x x x 或．（2）解：对于方程01692=+-x x ，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得3121==x x ，画出二次函数169y 2+-=x x 的图象（图2.3-3），结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为}31|{≠x x ．（3）解：不等式可化为032-2<+x x ，因为∆=-8＜0，所以方程032-2=+x x 无实数根，画出二次函数32y 2+-=x x 的图象（图2.3-4），结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为∅．因此原不等式的解集为∅．追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？师生活动：学生总结，教师完善．预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与x 轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．例 2 已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53-><x x x ，或，则02<+-c bx ax 的解集为________．追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a ，b ，c 之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．图2-3-5令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac ab解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ． 对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2-3-5），结合图象得不等式15-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或．设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．三、归纳小结，布置作业★资源名称： 【知识点解析】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源为二次函数与一元二次方程、不等式的知识讲解视频，主要以二次函数为视角讨论了三个“二次”之间的关系，让学生明确二次函数的零点、一元二次方程的根和一元二次不等式的解集之间的统一性．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式。

二次函数与一元二次方程,不等式教案
一、教学内容：
二次函数与一元二次方程及不等式的概念、特征及应用
二、教学目标：
1、掌握二次函数的定义及一般式形式；
2、掌握一元二次方程的定义及解法；
3、掌握不等式的定义及解法；
4、能够应用一元二次方程和不等式解决实际问题；
三、教学重点：
1、引出二次函数的概念，掌握一般式形式；
2、了解一元二次方程的定义，熟练掌握解题步骤；
3、理解不等式的定义和解题步骤；
4、熟练运用一元二次方程和不等式解决实际问题；
四、教学过程：
Step1. 问题引入
1. 用图像说明二次函数的特点
2. 提出求抛物线顶点坐标的问题，引出一元二次方程 Step2. 探究解题思路
1. 引入一元二次方程的概念，介绍其一般式形式和解法
2. 通过案例让学生掌握解一元二次方程的步骤
Step3. 深入学习
1. 引入不等式的概念，介绍其定义及解答
2. 通过案例让学生熟练掌握不等式的解法
Step4. 应用与练习
1. 通过实际问题让学生熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的概念，特征及应用
2. 通过实际问题让学生熟练掌握求解一元二次方程、不等式的步骤
Step5. 总结
1. 总结一元二次方程及不等式的定义、特征及求解步骤
2. 总结二次函数的定义及特征。

教学设计（集中授课）教学内容与过程一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象时间分配a<，消去+>的解集为bx c}3x<.时，不等式为8≥{x|50<x<60}.因为x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益. 解题方法（一元二次不等式实际应用问题） （1）根据题意列出相应的一元二次函数； （2）由题意列出相应一元二次不等式； （3）求出解集；（4）结合实际情况写出最终结果. 跟踪训练三1.用可围成32 m 墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为16m 5，另一边为4 m 时猪舍面积最大，最大值为22565m . 【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m ，则另一边长为325m 4x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，总面积 2(325)532S x x x x =-=-+，3205x <<，当16m 5x =时，()2max 256m 5S =．。

教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。